《模煳聚類分析》PPT課件

1、 設(shè)設(shè)R = (rij)mn，假設(shè)，假設(shè)0rij1，那么稱，那么稱R為模為模糊矩陣糊矩陣. 當(dāng)當(dāng)rij只取只取0或或1時(shí)，稱時(shí)，稱R為布爾為布爾(Boole)矩矩陣陣. 當(dāng)模糊方陣當(dāng)模糊方陣R = (rij)nn的對(duì)角線上的元素的對(duì)角線上的元素rii都為都為1時(shí)，稱時(shí)，稱R為模糊自反矩陣為模糊自反矩陣. 設(shè)設(shè)A=(aij)mn,B=(bij)mn都是模糊矩陣，都是模糊矩陣，定義定義相等：相等：A = B aij = bij；包含：包含：AB aijbij；并：并：AB = (aijbij)mn；交：交：AB = (aijbij)mn；余：余：Ac = (1- aij)mn.0.10.30.20

2、.1,0.20.10.30.20.20.30.10.10.90.7,0.30.20.20.10.80.9cABABABA例 設(shè)，則 設(shè)設(shè)A = (aik)ms，B = (bkj)sn，稱模糊矩陣，稱模糊矩陣A B = (cij)mn，為為A 與與B 的合成，其中的合成，其中cij = (aikbkj) | 1ks .模糊方陣的冪模糊方陣的冪 定義：假設(shè)定義：假設(shè)A為為 n 階方陣，定義階方陣，定義A2 = A A，A3 = A2 A，Ak = Ak-1 A.7 . 04 . 03 . 03 . 07 . 04 . 03 . 01 . 07 . 04 . 03 . 03 . 07 . 04 .

3、03 . 01 . 03 定義定義 設(shè)設(shè)A = (aij)mn, 稱稱AT = (aijT )nm為為A的的轉(zhuǎn)置矩陣，其中轉(zhuǎn)置矩陣，其中aijT = aji.轉(zhuǎn)置運(yùn)算的性質(zhì)：轉(zhuǎn)置運(yùn)算的性質(zhì)：性質(zhì)性質(zhì)1：( AT )T = A；性質(zhì)性質(zhì)2：( AB )T = ATBT， ( AB )T = ATBT；性質(zhì)性質(zhì)3：( A B )T = BT AT；( An )T =( AT )n ；性質(zhì)性質(zhì)4：( Ac )T = ( AT )c ；性質(zhì)性質(zhì)5：AB AT BT . 設(shè)設(shè)A = (aij)mn,對(duì)恣意的對(duì)恣意的 0, 1，稱，稱A = (aij( )mn,為模糊矩陣為模糊矩陣A的的 - 截矩陣截矩陣

4、, 其其中中 當(dāng)當(dāng)aij 時(shí)，時(shí)，aij( ) =1； 當(dāng)當(dāng)aij 時(shí)，時(shí)，aij( ) =0. 顯然，顯然，A的的 - 截矩陣為布爾矩陣截矩陣為布爾矩陣. 1110110010110011,18 . 03 . 008 . 011 . 02 . 03 . 01 . 015 . 002 . 05 . 013 . 0AA 與模糊子集是經(jīng)典集合的推行一樣，模糊關(guān)與模糊子集是經(jīng)典集合的推行一樣，模糊關(guān)系是普通關(guān)系的推行系是普通關(guān)系的推行. . 設(shè)有論域設(shè)有論域X X，Y Y，X X Y Y 的一個(gè)模糊子集的一個(gè)模糊子集 R R 稱為從稱為從 X X 到到 Y Y 的模糊關(guān)系的模糊關(guān)系. . 模糊子集模

5、糊子集 R R 的隸屬函數(shù)為映射的隸屬函數(shù)為映射R : X R : X Y Y 0,1.0,1.并稱隸屬度并稱隸屬度R (x , y ) R (x , y ) 為為 (x , y ) (x , y )關(guān)于模糊關(guān)關(guān)于模糊關(guān)系系 R R 的相關(guān)程度的相關(guān)程度. . 特別地，當(dāng)特別地，當(dāng) X =Y X =Y 時(shí)，稱之為時(shí)，稱之為 X X 上各元素之上各元素之間的模糊關(guān)系間的模糊關(guān)系. . 由于模糊關(guān)系由于模糊關(guān)系 R R就是就是X X Y Y 的一個(gè)模糊子集，的一個(gè)模糊子集，因此模糊關(guān)系同樣具有模糊子集的運(yùn)算及性質(zhì)因此模糊關(guān)系同樣具有模糊子集的運(yùn)算及性質(zhì). .設(shè)設(shè)R，R1，R2均為從均為從 X 到到

6、 Y 的模糊關(guān)系的模糊關(guān)系.相等：相等：R1= R2 R1(x, y) = R2(x, y)；包含：包含： R1 R2 R1(x, y)R2(x, y)；并：并： R1R2 的隸屬函數(shù)為的隸屬函數(shù)為 (R1R2 )(x, y) = R1(x, y)R2(x, y)；交：交： R1R2 的隸屬函數(shù)為的隸屬函數(shù)為(R1R2 )(x, y) = R1(x, y)R2(x, y)；余：余：Rc 的隸屬函數(shù)為的隸屬函數(shù)為Rc (x, y) = 1- R(x, y). (R1R2 )(x, y) (R1R2 )(x, y)表示表示(x, y)(x, y)對(duì)模糊關(guān)系對(duì)模糊關(guān)系“R1R1或者或者R2R2的相關(guān)

7、程度，的相關(guān)程度， (R1R2 )(x, y) (R1R2 )(x, y)表示表示(x, (x, y)y)對(duì)模糊關(guān)系對(duì)模糊關(guān)系“R1R1且且R2R2的相關(guān)程度，的相關(guān)程度，Rc (x, y)Rc (x, y)表示表示(x, y)(x, y)對(duì)模糊關(guān)系對(duì)模糊關(guān)系“非非R R的相關(guān)程度的相關(guān)程度. . 對(duì)于有限論域?qū)τ谟邢拚撚?X = x1, x2, , xm X = x1, x2, , xm和和Y Y = y1, y2, , yn= y1, y2, , yn，那么，那么X X 到到Y(jié) Y 模糊關(guān)系模糊關(guān)系R R可用可用m mn n 階模糊矩陣表示，即階模糊矩陣表示，即R = (rij)mR =

8、(rij)mn n，其中其中rij = R (xi , yj )0, 1rij = R (xi , yj )0, 1表示表示(xi , (xi , yj )yj )關(guān)于模糊關(guān)系關(guān)于模糊關(guān)系R R 的相關(guān)程度的相關(guān)程度. . 又假設(shè)又假設(shè)R R為布爾矩陣時(shí)為布爾矩陣時(shí), ,那么關(guān)系那么關(guān)系R R為普通關(guān)為普通關(guān)系系, ,即即xi xi 與與 yj yj 之間要么有關(guān)系之間要么有關(guān)系(rij = 1),(rij = 1),要么要么沒有關(guān)系沒有關(guān)系( rij = 0 ).( rij = 0 ). 設(shè)設(shè) R1 R1 是是 X X 到到 Y Y 的關(guān)系的關(guān)系, R2 , R2 是是 Y Y 到到 Z Z

9、 的關(guān)系的關(guān)系, , 那么那么R1R1與與 R2 R2的合成的合成 R1 R1 R2 R2是是 X X 到到 Z Z 上的一個(gè)關(guān)系上的一個(gè)關(guān)系. .(R1 (R1 R2) (x, z) = R1 (x, y)R2 (y, R2) (x, z) = R1 (x, y)R2 (y, z)| yY z)| yY 當(dāng)論域?yàn)橛邢迺r(shí)，模糊關(guān)系的合成化為模糊當(dāng)論域?yàn)橛邢迺r(shí)，模糊關(guān)系的合成化為模糊矩陣的合成矩陣的合成. . 設(shè)設(shè)X = x1, x2, , xm,Y = y1 , X = x1, x2, , xm,Y = y1 , y2 , , ys, Z= z1, z2, , zn,y2 , , ys, Z=

10、 z1, z2, , zn,且且X X 到到Y(jié) Y 的模糊關(guān)系的模糊關(guān)系R1 = (aik)mR1 = (aik)ms s ，Y Y 到到Z Z 的模糊關(guān)的模糊關(guān)系系R2 = (bkj)sR2 = (bkj)sn n ，那么，那么X X 到到Z Z 的模糊關(guān)系可表的模糊關(guān)系可表示為模糊矩陣的合成：示為模糊矩陣的合成：R1 R1 R2 = (cij)m R2 = (cij)mn n 其中其中cij = (aikbkj) | 1ks.cij = (aikbkj) | 1ks. 假設(shè)模糊關(guān)系假設(shè)模糊關(guān)系R是是X上各元素之間的模糊關(guān)系，上各元素之間的模糊關(guān)系，且滿足：且滿足： (1)自反性：自反性：R

11、(x, x) =1； (2)對(duì)稱性：對(duì)稱性：R(x, y) =R(y, x)； (3)傳送性：傳送性：R2 R, 那么稱模糊關(guān)系那么稱模糊關(guān)系R是是X上的一個(gè)模糊等價(jià)關(guān)系上的一個(gè)模糊等價(jià)關(guān)系. 當(dāng)論域當(dāng)論域X = x1, x2, , xn為有限時(shí)為有限時(shí), X 上的一上的一個(gè)模糊等價(jià)關(guān)系個(gè)模糊等價(jià)關(guān)系R就是模糊等價(jià)矩陣就是模糊等價(jià)矩陣, 即即R滿足：滿足：I R ( rii =1 )RT=R( rij= rji)R2R.R2R ( (rikrkj) | 1kn rij) .12345 ,10.40.80.50.50.410.40.40.40.80.410.50.50.50.40.510.60.

12、50.40.50.61Uu u u u uR 例設(shè) 210.40.80.50.50.410.40.40.40.80.410.50.50.50.40.510.60.50.40.50.61RR RR( ,)1( ,1,2,3,4,5)ijijuuR u ui j元素 與 歸為一類的充要條件是 110.40.80.50.5100000.410.40.40.4010000.80.410.50.5001000.50.40.510.6000100.50.40.50.6100001RR0.810.40.80.50.5101000.410.40.40.4010000.80.410.50.5101000.50.

13、40.510.6000100.50.40.50.6100001RR12345: , , 5uuuuu相應(yīng)的分類共分為 類13245: , 4u uuuu相應(yīng)的分類共分為 類12345 , , uuuuu當(dāng) =1時(shí)，得到的分類為；13245 , u uuuu當(dāng) =0.8時(shí)，得到的分類為；13245 , ,u uuu u當(dāng) =0.6時(shí)，得到的分類為；13452 , u u u uu當(dāng) =0.5時(shí)，得到的分類為；12345 ,u u u u u當(dāng) =0.4時(shí)，得到的分類為； 假設(shè)模糊關(guān)系假設(shè)模糊關(guān)系 R 是是 X 上各元素之間的模糊關(guān)上各元素之間的模糊關(guān)系，且滿足：系，且滿足： (1) 自反性：自反

14、性：R( x , x ) = 1； (2) 對(duì)稱性：對(duì)稱性：R( x , y ) = R( y , x ) ； 那么稱模糊關(guān)系那么稱模糊關(guān)系 R 是是 X 上的一個(gè)模糊類似關(guān)系上的一個(gè)模糊類似關(guān)系. 當(dāng)論域當(dāng)論域X = x1, x2, , xn為有限時(shí)，為有限時(shí)，X 上的上的一個(gè)模糊類似關(guān)系一個(gè)模糊類似關(guān)系 R 就是模糊類似矩陣，即就是模糊類似矩陣，即R滿滿足：足： (1) 自反性：自反性：I R ( rii =1 )； (2) 對(duì)稱性：對(duì)稱性：RT = R ( rij = rji ). 定理定理1 假設(shè)假設(shè)R 是模糊類似矩陣，那么對(duì)恣意的是模糊類似矩陣，那么對(duì)恣意的自然數(shù)自然數(shù) k，Rk 也

15、是模糊類似矩陣也是模糊類似矩陣. 定理定理2 假設(shè)假設(shè)R 是是n階模糊類似矩陣，那么存在階模糊類似矩陣，那么存在一個(gè)最小自然數(shù)一個(gè)最小自然數(shù) k (kn )，對(duì)于一切大于，對(duì)于一切大于k 的自的自然數(shù)然數(shù) l，恒有，恒有Rl = Rk，即，即Rk 是模糊等價(jià)矩陣是模糊等價(jià)矩陣(R2k = Rk ). 此時(shí)稱此時(shí)稱Rk為為R的傳送閉包，記作的傳送閉包，記作 t ( R ) = Rk . 上述定理闡明，任一個(gè)模糊類似矩陣可誘導(dǎo)出上述定理闡明，任一個(gè)模糊類似矩陣可誘導(dǎo)出一個(gè)模糊等價(jià)矩陣一個(gè)模糊等價(jià)矩陣.平方法求傳送閉包平方法求傳送閉包 t (R)：RR2R4R8R1610.10.2 0.110.30

16、.20.31( )RRt R例設(shè)容易驗(yàn)證， 是模糊相似矩陣，用平方法求其傳遞閉包210.10.210.10.210.20.20.110.30.110.30.210.30.20.310.20.310.20.31R RR 22210.20.210.20.210.20.20.210.30.210.30.210.30.20.310.20.310.20.31RRR 210.20.2( )0.210.30.20.31t RR故傳遞閉包1數(shù)據(jù)規(guī)范化數(shù)據(jù)規(guī)范化 設(shè)論域設(shè)論域X = x1, x2, , xn為被分類對(duì)象為被分類對(duì)象,每個(gè)每個(gè)對(duì)象又由對(duì)象又由m個(gè)目的表示其外形個(gè)目的表示其外形:xi = xi1,

17、xi2, , xim, i = 1, 2, , n于是于是,得到原始數(shù)據(jù)矩陣為得到原始數(shù)據(jù)矩陣為nmnnmmxxxxxxxxx.212222111211),.,2 , 1,.,2 , 1(mjnisxxxjjijij其中其中21111,()1nnjijjijjiixxsxxnnb 平移平移 極差變換極差變換1|min1|max1|minnixnixnixxxijijijijija 類似系數(shù)法類似系數(shù)法 -夾角余弦法夾角余弦法mkjkmkikmkjkikijxxxxr12121mkjjkmkiikmkjjkiikijxxxxxxxxr12121)()(| |其中其中1111,mmiikjjkkk

18、xxxxmmrij = 1 c d (xi, xj )其中其中c為適中選取的參數(shù)為適中選取的參數(shù).海明間隔海明間隔mkjkikjixxxxd1|),(歐氏間隔歐氏間隔mkjkikjixxxxd12)(),(切比雪夫間隔切比雪夫間隔d (xi, xj ) = | xik- xjk | , 1km 在模糊聚類分析中，對(duì)于各個(gè)不同的在模糊聚類分析中，對(duì)于各個(gè)不同的 0,10,1，可得到不同的分類，從而構(gòu)成，可得到不同的分類，從而構(gòu)成一種動(dòng)態(tài)聚類圖，這對(duì)全面了解樣本分類一種動(dòng)態(tài)聚類圖，這對(duì)全面了解樣本分類情況是比較籠統(tǒng)和直觀的情況是比較籠統(tǒng)和直觀的. . 但在許多實(shí)踐問題中，需求給出樣本但在許多實(shí)踐問

19、題中，需求給出樣本的一個(gè)詳細(xì)分類，這就提出了如何確定最的一個(gè)詳細(xì)分類，這就提出了如何確定最正確分類的問題正確分類的問題. .111(1,2, ),( ,)nkikmixxkkxxxn設(shè) 稱為總體樣本的中心向量稱為總體樣本的中心向量.對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于 值的分類數(shù)為值的分類數(shù)為r第第 j 類的樣本數(shù)為類的樣本數(shù)為nj，第，第 j 類的樣本標(biāo)志為類的樣本標(biāo)志為.,.,)()(2)(1jnjjjxxx第第 j 類樣本的中心向量為類樣本的中心向量為( )( )( )1:1(1,2,)jjknjjkikijxkxxkmn其中為第 個(gè)特征的平均值( )( )( )( )12,),jjjjmxxxx（作作F- 統(tǒng)

20、計(jì)量：統(tǒng)計(jì)量：), 1()/(|) 1/(|112)()(12)(rnrFrnxxrxxnFrjnkjjkrjjjj( )( )2( )1( )( )( )( )()mjjjkkkjjjjiixxxxxxxxjxx上式中為與 的距離為第 類中樣本與中心的距離 假設(shè)滿足不等式假設(shè)滿足不等式FF ( r -1, n -r )的的F值不止值不止一個(gè)，那么可根據(jù)實(shí)踐情況選擇一個(gè)稱心的分類，一個(gè)，那么可根據(jù)實(shí)踐情況選擇一個(gè)稱心的分類，或者進(jìn)一步調(diào)查差或者進(jìn)一步調(diào)查差 ( F - F )/F 的大小，從較的大小，從較大者中找一個(gè)稱心的大者中找一個(gè)稱心的F值即可值即可. 實(shí)踐上，最正確分類確實(shí)定方法與聚類方

21、法實(shí)踐上，最正確分類確實(shí)定方法與聚類方法無關(guān)，但是選擇較好的聚類方法，可以較快地找無關(guān)，但是選擇較好的聚類方法，可以較快地找到比較稱心的分類到比較稱心的分類. . 左圖給出了左圖給出了9 9只只AfAf和和6 6只只ApfApf蠓的觸角長和翼長蠓的觸角長和翼長數(shù)據(jù)數(shù)據(jù), , 其中其中“表示表示Apf,Apf,“表示表示Af.Af.根據(jù)觸角長根據(jù)觸角長和翼長來識(shí)別一個(gè)標(biāo)本是和翼長來識(shí)別一個(gè)標(biāo)本是AfAf還是還是ApfApf是重要的是重要的. . 給定一只給定一只AfAf族族或或ApfApf族的蠓族的蠓, ,如何如何正確地域分它屬于正確地域分它屬于哪一族？哪一族？ 將他的方法用將他的方法用于觸角長

22、和翼長分于觸角長和翼長分別為別為(1.24,1.80), (1.24,1.80), (1.28,1.84),(1.40,(1.28,1.84),(1.40,2.04)2.04)三個(gè)標(biāo)本三個(gè)標(biāo)本. .模糊判別方法模糊判別方法 先將知蠓重新進(jìn)展分類先將知蠓重新進(jìn)展分類. . 當(dāng)當(dāng) = 0.919時(shí)時(shí),分為分為3類類1, 2, 3, 6, 4, 5, 7, 8, 9,10, 11, 12, 13, 14, 15,三類的中心向量分別為三類的中心向量分別為(1.395, 1.770),(1.560, 2.080),(1.227, 1.927).用平移極差變換用平移極差變換227. 108. 2227.

23、1xx將它們分別變?yōu)閷⑺鼈兎謩e變?yōu)锳1 = (0.200, 0.637) (Af 蠓蠓),A2 = (0.390, 1.000) (Af 蠓蠓),A3 = (0.000, 0.821) (Apf 蠓蠓),再將三只待識(shí)別的蠓用上述變換分別變?yōu)樵賹⑷淮R(shí)別的蠓用上述變換分別變?yōu)锽1= (0.015, 0.672),B2 = (0.062, 0.719),B3 = (0.203, 0.953 ).采用貼近度采用貼近度 3 (A, B) =nkkkxBxAn1| )()(|11計(jì)算得：計(jì)算得： 3(A1, B1) = 0. 89, 3(A1, B1) = 0. 89, 3(A2, B1) = 0.6

24、5, 3(A2, B1) = 0.65, 3(A3, B1) = 0.92.3(A3, B1) = 0.92. 3(A1, B2) = 0.89, 3(A1, B2) = 0.89, 3(A2, B2) = 0.69, 3(A2, B2) = 0.69, 3(A3, 3(A3, B2) = 0.92. B2) = 0.92. 3(A1, B3) = 0.84, 3(A1, B3) = 0.84, 3(A2, B3) = 0.88, 3(A2, B3) = 0.88, 3(A3, 3(A3, B3) = 0.83.B3) = 0.83. 根據(jù)擇近原那么及上述計(jì)算結(jié)果根據(jù)擇近原那么及上述計(jì)算結(jié)果,

25、 ,第一只待識(shí)第一只待識(shí)別的蠓別的蠓(1.24, 1.80)(1.24, 1.80)屬于第三類屬于第三類, ,即即Apf Apf 蠓；第二蠓；第二只待識(shí)別的蠓只待識(shí)別的蠓(1.28, 1.84)(1.28, 1.84)屬于第三類屬于第三類, ,即即Apf Apf 蠓；蠓；第三只待識(shí)別的蠓第三只待識(shí)別的蠓(1.40, 2.04)(1.40, 2.04)屬于第二類屬于第二類, ,即即Af Af 蠓蠓. . 設(shè)設(shè)Af是傳粉益蟲是傳粉益蟲, Apf是某種疾病的載體是某種疾病的載體, 能能否應(yīng)修正他的分類方法？假設(shè)需修正否應(yīng)修正他的分類方法？假設(shè)需修正, 為什么？為什么？ 2000網(wǎng)易杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題：生物網(wǎng)易杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題：生物學(xué)家發(fā)現(xiàn)學(xué)家發(fā)現(xiàn)DNA序列是由四種堿基序列是由四種堿基A,T,C,G按一定按一定順序陳列而成順序陳列而成,其中既沒有其中既沒有“斷句斷句,也沒有標(biāo)點(diǎn)符也沒有標(biāo)點(diǎn)符號(hào)號(hào),同時(shí)也發(fā)現(xiàn)