相量法 復(fù)數(shù)的計(jì)算

1、第九章第九章相相 量量 法法第九章相量法第九章相量法 教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)1. 了解復(fù)數(shù)的各種表達(dá)式和相互轉(zhuǎn)換關(guān)系，掌握復(fù)數(shù)的了解復(fù)數(shù)的各種表達(dá)式和相互轉(zhuǎn)換關(guān)系，掌握復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算。四則運(yùn)算。2. 掌握正弦量的復(fù)數(shù)表示法，以及復(fù)數(shù)掌握正弦量的復(fù)數(shù)表示法，以及復(fù)數(shù)( (相量相量) )形式的歐形式的歐姆定律。姆定律。3. 掌握運(yùn)用相量法分析計(jì)算阻抗串、并聯(lián)的正弦交流電掌握運(yùn)用相量法分析計(jì)算阻抗串、并聯(lián)的正弦交流電路。路。教學(xué)難點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn)1掌握復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及各種表達(dá)式之間的相互轉(zhuǎn)換。掌握復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及各種表達(dá)式之間的相互轉(zhuǎn)換。2掌握運(yùn)用相量法分析計(jì)算正弦交流電路。掌握運(yùn)用相量法分析計(jì)算正弦交流電

2、路。第九章相量法第九章相量法第一節(jié)復(fù)數(shù)的概念第一節(jié)復(fù)數(shù)的概念第二節(jié)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算第二節(jié)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算第三節(jié)正弦量的復(fù)數(shù)表示法第三節(jié)正弦量的復(fù)數(shù)表示法第四節(jié)復(fù)數(shù)形式的歐姆定律第四節(jié)復(fù)數(shù)形式的歐姆定律第五節(jié)復(fù)阻抗的連接第五節(jié)復(fù)阻抗的連接本章小結(jié)本章小結(jié)第一節(jié)復(fù)數(shù)的概念第一節(jié)復(fù)數(shù)的概念一、虛數(shù)單位一、虛數(shù)單位二、復(fù)數(shù)的表達(dá)式二、復(fù)數(shù)的表達(dá)式一、虛數(shù)單位一、虛數(shù)單位 圖圖 9-1在復(fù)平面上表示復(fù)數(shù)在復(fù)平面上表示復(fù)數(shù) 參見(jiàn)圖參見(jiàn)圖 9-1 給出的直角坐標(biāo)系復(fù)數(shù)平面。在這個(gè)復(fù)數(shù)平面給出的直角坐標(biāo)系復(fù)數(shù)平面。在這個(gè)復(fù)數(shù)平面上定義上定義虛數(shù)單位虛數(shù)單位為為1j 二、復(fù)數(shù)的表達(dá)式二、復(fù)數(shù)的表達(dá)式 圖圖 9-1在

3、復(fù)平面上表示復(fù)數(shù)在復(fù)平面上表示復(fù)數(shù) 一個(gè)復(fù)數(shù)一個(gè)復(fù)數(shù) Z 有以下四種表達(dá)式。有以下四種表達(dá)式。1直角坐標(biāo)式直角坐標(biāo)式( (代數(shù)式代數(shù)式) ) Z = a + jb式中，式中，a 叫做復(fù)數(shù)叫做復(fù)數(shù) Z 的的實(shí)部實(shí)部，b 叫做復(fù)數(shù)叫做復(fù)數(shù) Z 的的虛部虛部。 在直角坐標(biāo)系中，以橫坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系中，以橫坐標(biāo)為實(shí)數(shù)軸，縱坐標(biāo)為虛數(shù)軸，這為實(shí)數(shù)軸，縱坐標(biāo)為虛數(shù)軸，這樣構(gòu)成的平面叫做樣構(gòu)成的平面叫做復(fù)平面復(fù)平面。任意。任意一個(gè)復(fù)數(shù)都可以在復(fù)平面上表示一個(gè)復(fù)數(shù)都可以在復(fù)平面上表示出來(lái)。例如復(fù)數(shù)出來(lái)。例如復(fù)數(shù) A = 3 + j2 在復(fù)平在復(fù)平面上的表示面上的表示如圖如圖 9-1 所示。所示。 圖圖 9-1

4、在復(fù)平面上表示復(fù)數(shù)在復(fù)平面上表示復(fù)數(shù) 2三角函數(shù)式三角函數(shù)式 在圖在圖 9-1 中，復(fù)數(shù)中，復(fù)數(shù) Z 與與 x 軸的夾角為軸的夾角為 ，因此可以寫成，因此可以寫成Z = a + jb = |Z|(cos jsin ) 式中式中 |Z| 叫做復(fù)數(shù)叫做復(fù)數(shù) Z 的的模模，又稱為，又稱為 Z 的的絕對(duì)值絕對(duì)值，也可用，也可用 r 表示，表示，即即22ba|Z|r 叫作復(fù)數(shù)叫作復(fù)數(shù) Z 的的輻角輻角，從圖，從圖 9-1 中可以看出中可以看出 )0 0( arctan)0 0( arctan)0( arctanbaabbaabaab， 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) Z 的實(shí)部的實(shí)部 a、虛部、虛部 b 與模與模 |Z| 構(gòu)

5、成一個(gè)直角三角形。構(gòu)成一個(gè)直角三角形。 3指數(shù)式指數(shù)式 利用歐拉公式，可以把三角函數(shù)式的復(fù)數(shù)改寫成指數(shù)式，利用歐拉公式，可以把三角函數(shù)式的復(fù)數(shù)改寫成指數(shù)式，即即Z =|Z|(cos jsin ) =|Z|ej 4極坐標(biāo)式極坐標(biāo)式( (相量式相量式) )復(fù)數(shù)的指數(shù)式還可以改寫成極坐標(biāo)式，即復(fù)數(shù)的指數(shù)式還可以改寫成極坐標(biāo)式，即Z =|Z|/ 以上這四種表達(dá)式是可以相互轉(zhuǎn)換的，即可以從任一個(gè)式以上這四種表達(dá)式是可以相互轉(zhuǎn)換的，即可以從任一個(gè)式子導(dǎo)出其他三種式子。子導(dǎo)出其他三種式子?！纠纠?-1】將下列復(fù)數(shù)改寫成極坐標(biāo)式：】將下列復(fù)數(shù)改寫成極坐標(biāo)式：( (1) )Z1 = 2；( (2) ) Z2

6、= j5；( (3) ) Z 3 = j9；( (4) ) Z4 = 10；( (5) ) Z 5 = 3 j4；( (6) ) Z6 = 8 j6( (7) ) Z7 = 6 j8；( (8) ) Z8 = 8 j6。( (2) ) Z2 = j5 = 5/90 ( (j 代表代表90 旋轉(zhuǎn)因子，即將旋轉(zhuǎn)因子，即將“5”逆時(shí)針旋逆時(shí)針旋90 ) )( (3) ) Z3 = j9 = 9/ 90 ( ( j代表代表 90 旋轉(zhuǎn)因子，即將旋轉(zhuǎn)因子，即將“9”作作順順 時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)針旋轉(zhuǎn)90 ) )( (4) ) Z4= 10 = 10/180 或或10/ 180 ( (“ ”號(hào)代表號(hào)代表 180

7、) )( (1) ) Z1= 2 = 2/0 解：利用關(guān)系式解：利用關(guān)系式 Z = a + jb =|Z|/ ， ， = arctan，計(jì)算如下：，計(jì)算如下：22|baZ ab( (5) ) Z5 = 3 + j4 = 5/53.1 ( (6) ) Z6 = 8 j6 = 10/ 36.9 ( (7) ) Z7 = 6 + j8 = ( (6 j8) )= ( ( 10/ 53.1 ) ) = 10/180 53.1 = 10/126.9 ( (8) ) Z8 = 8 j6 = ( (8 + j6 ) ) = ( (10/36.9 ) ) = 10/ 180 + 36.9 = 10/ 143.

8、1 。解：利用關(guān)系式解：利用關(guān)系式 Z = |Z|/ =|Z|(cos + jsin ) = a + jb 計(jì)算計(jì)算：【例【例9-2】將下列復(fù)數(shù)改寫成代數(shù)式】將下列復(fù)數(shù)改寫成代數(shù)式( (直角坐標(biāo)式直角坐標(biāo)式) )：( (1) )Z1= 20/53.1 ；( (2) ) Z2 = 10/ 36.9 ；( (3) ) Z3 = 50/120 ；( (4) ) Z4 = 8/ 120 。( (1) )Z1= 20/53.1 = 20(cos53.1 + jsin53.1 ) = 20(0.6 + j0.8) = 12 + j16( (2) )Z2 = 10/ 36.9 = 10(cos36.9 js

9、in36.9 )= 10(0.8 j0.6) = 8 j6( (3) ) Z3 = 50/120 = 50(cos120 + jsin120 ) = 50( 0.5 + j0.866) = 25 + j43.3( (4) )Z4 = 8/ 120 = 8(cos120 jsin120 ) = 8( 0.5 0.866) = 4 j6.928【例【例9-3】將下列復(fù)數(shù)改寫成代數(shù)表示式：】將下列復(fù)數(shù)改寫成代數(shù)表示式：( (1) )Z1= /90 ；( (2) ) Z2 = / 90 ；( (2) ) Z2 =1/ 90 = -j( (1) ) Z1= 1 /90 = j 解：利用關(guān)系式解：利用關(guān)系

10、式 Z = rcos +jrsin ，計(jì)算如下：，計(jì)算如下：【例【例9-4】將下列復(fù)數(shù)】將下列復(fù)數(shù)A=18-j40改寫成坐標(biāo)表示式：改寫成坐標(biāo)表示式：A=44/ 65.8 =-65.8 r=44 解：利用關(guān)系式解：利用關(guān)系式 ， 計(jì)算如下：計(jì)算如下： 22ba|Z|r )0 0( arctan)0 0( arctan)0( arctanbaabbaabaab， 第二節(jié)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算第二節(jié)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算設(shè)設(shè) Z1= a + jb =|Z1|/ ，Z2 = c + jd = |Z2|/ ，復(fù)數(shù)的運(yùn)算規(guī)，復(fù)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則為則為1加減法加減法 Z1 Z2 = ( (a c) ) + j( (b d) )

11、 2乘法乘法 Z1 Z2 = |Z1| |Z2|/ + 2121ZZZZ 3除法除法 / nnZZ11 4乘方乘方 /n 【例【例9-3】已知】已知 Z1= 8 j6， Z2 = 3 j4試求：試求：( (1) ) Z1 Z2；( (2) ) Z1 Z2；( (3) ) Z1 Z2；( (4) ) Z1 / Z2。解：解：( (1) ) Z1 + Z2 = ( (8 j6) ) + ( (3 + j4) ) = 11 j2 = 11.18/ 10.3 ( (2) ) Z1 Z2 = ( (8 j6) ( (3 j4) ) = 5 j10 = 11.18/ 63.4 ( (3) ) Z1 Z2

12、= ( (10/ 36.9 ) ) ( (5/53.1 ) ) = 50/16.2 ( (4) ) Z1 / Z2 = ( (10/ 36.9 ) ) ( (5/53.1 ) ) = 2/ 90 第三節(jié)正弦量的復(fù)數(shù)表示法第三節(jié)正弦量的復(fù)數(shù)表示法正弦量可以用復(fù)數(shù)表示，即可用正弦量可以用復(fù)數(shù)表示，即可用最大值相量最大值相量或或有效值相量有效值相量表示，但通常用有效值相量表示。其表示方法是表示，但通常用有效值相量表示。其表示方法是用正弦量的有用正弦量的有效值作為復(fù)數(shù)相量的模、用初相角作為復(fù)數(shù)相量的輻角。效值作為復(fù)數(shù)相量的模、用初相角作為復(fù)數(shù)相量的輻角。正弦正弦電流電流 i = Imsin( ( t

13、i) )的相量表達(dá)式為的相量表達(dá)式為 iII jme2I/ i正弦電壓正弦電壓 u = Umsin( ( t u) )的相量表達(dá)式為的相量表達(dá)式為uUU jme2 = U/ u 【例【例9-4】把正弦量】把正弦量 u = 311sin( (314t 30 ) ) V，i = 4.24sin( (314t 45 ) ) A 用相量表示。用相量表示。 解：解：( (1) ) 正弦電壓正弦電壓 u 的有效值為的有效值為 U = 0.7071 311 = 220 V，初相初相 u = 30 ，所以它的相量為，所以它的相量為U= U/ u = 220/30 V( (2) ) 正弦電流正弦電流 I 的有效

14、值為的有效值為 I = 0.7071 4.24 = 3 A，初相，初相 i = 45 ，所以它的相量為，所以它的相量為= I/ i = 3/ 45 AI解解: u = sin( ( t 37 ) ) V，i = 5 sin( ( t + 60 ) ) A。 21202【例【例9-5】 把下列正弦相量用三角函數(shù)的瞬時(shí)值表達(dá)示，把下列正弦相量用三角函數(shù)的瞬時(shí)值表達(dá)示，設(shè)角頻率均為設(shè)角頻率均為 ： ( (1) ) =120/ 37 V ； ( (2) ) = 5/60 A 。UI解：解：首先用復(fù)數(shù)相量表示正弦量首先用復(fù)數(shù)相量表示正弦量 i1、i2，即，即I1= 3/30 A = 3( (cos30

15、+ jsin30 ) ) = 2.598 j1.5 AI2 = 4/ 60 A = 4( (cos60 jsin60 ) ) = 2 j3.464 A然后作復(fù)數(shù)加法：然后作復(fù)數(shù)加法： I1 + I2 = 4.598 j1.964 = 5/ 23.1 A25最后將結(jié)果還原成正弦量：最后將結(jié)果還原成正弦量：i1 i2 =sin( ( t 23.1 ) ) A【例【例9-6】已知】已知 i1 = sin( ( t 30 ) ) A，i2 = 4 sin( ( t 60 ) ) A。 試求：試求：i1 i2。232第四節(jié)復(fù)數(shù)形式的歐姆定律第四節(jié)復(fù)數(shù)形式的歐姆定律一、復(fù)數(shù)形式的歐姆定律一、復(fù)數(shù)形式的歐姆

16、定律二、電阻、電感和電容的復(fù)阻抗二、電阻、電感和電容的復(fù)阻抗一、復(fù)數(shù)形式的歐姆定律一、復(fù)數(shù)形式的歐姆定律 定義定義復(fù)阻抗復(fù)阻抗為為|Z|/ 其中其中 為阻抗大小，為阻抗大小， = u i 為為阻抗角阻抗角，即，即電壓電壓 u與電流與電流 i 的相位差的相位差。則復(fù)數(shù)形式的歐姆定律為。則復(fù)數(shù)形式的歐姆定律為 IUZIUZ IZUZUI 或或圖圖 9-2復(fù)數(shù)形式的歐姆定律復(fù)數(shù)形式的歐姆定律圖圖 9-2 所示為復(fù)數(shù)形式的歐姆定所示為復(fù)數(shù)形式的歐姆定律的示意圖。律的示意圖。 二、電阻、電感和電容的復(fù)阻抗二、電阻、電感和電容的復(fù)阻抗1電阻電阻 R 的復(fù)阻抗的復(fù)阻抗ZR = R = R/ 0 RRIRU

17、2電感電感 L 的復(fù)阻抗的復(fù)阻抗LLLLLLILIXIZU jj ZL = XL/ 90 = jXL = j L3電容電容 C 的復(fù)阻抗的復(fù)阻抗C 1j ZC = XC/ 90 = j XC = CCCCCCICIXIZU 1jj 第五節(jié)復(fù)阻抗的連接第五節(jié)復(fù)阻抗的連接一、阻抗的串聯(lián)一、阻抗的串聯(lián)二、阻抗的并聯(lián)二、阻抗的并聯(lián)一、阻抗的串聯(lián)一、阻抗的串聯(lián) 圖圖 9-3 阻抗串聯(lián)電路阻抗串聯(lián)電路 如圖如圖 9-3 所示阻抗串聯(lián)電路。所示阻抗串聯(lián)電路。n 個(gè)復(fù)阻抗串聯(lián)可以等效成一個(gè)復(fù)阻抗個(gè)復(fù)阻抗串聯(lián)可以等效成一個(gè)復(fù)阻抗Z = Z1 + Z2 + + Zn例如例如 RLC 串聯(lián)電路可以等效一只阻抗串聯(lián)電

18、路可以等效一只阻抗 Z ，根據(jù)，根據(jù) ZR = R，ZL = jXL，ZC = jXC，則，則 jej)1j()j(ZXRCLRXXRZZZZCLCLR 即即Z =|Z|/ 其中電抗其中電抗 X = XL XC，阻抗大小為，阻抗大小為2222)(CLXXRXRZ 為阻抗角，代表路端電壓為阻抗角，代表路端電壓 u 與電流與電流 i 的相位差，即的相位差，即RXiuarctan 【例【例9-7】 在在 RL 串聯(lián)電路中，已知：串聯(lián)電路中，已知：R = 3 ，L = 12.7 mH，設(shè)外加工頻電壓，設(shè)外加工頻電壓 sin( (314 t 30 ) ) V。試求：電阻和電感上的電壓瞬時(shí)值試求：電阻和電

19、感上的電壓瞬時(shí)值 uR、uL。2220 u 解：解：等效復(fù)阻抗等效復(fù)阻抗 Z = ZR + ZL = R + jXL = R + j L = 3 + j4 = 5/53.1 ，其中，其中 XL = 4 ，正弦交流電壓，正弦交流電壓 u 的相量為的相量為220/30 V。電路中電流相量為。電路中電流相量為 U/30 53.1 = 44/ 23.1 A5220 ZUI 電阻上的電壓相量和瞬時(shí)值分別為電阻上的電壓相量和瞬時(shí)值分別為 IRUR132/ 23.1 VV)1 .23314sin(2132 tuR電感上的電壓相量和瞬時(shí)值分別為電感上的電壓相量和瞬時(shí)值分別為 IXIZULLLj176/90 2

20、3.1 = 176/66.9 V V)9 .66314sin(2176 tuL二、阻抗的并聯(lián)二、阻抗的并聯(lián)阻抗并聯(lián)電路如圖阻抗并聯(lián)電路如圖 9-4 所示。所示。 圖圖 9-4阻抗串聯(lián)電路阻抗串聯(lián)電路 n 只阻抗只阻抗 Z1、Z2、Zn 并聯(lián)電路，對(duì)電源來(lái)說(shuō)可以并聯(lián)電路，對(duì)電源來(lái)說(shuō)可以等效為一只阻抗，即等效為一只阻抗，即nZZZZ111121 即等效復(fù)阻抗即等效復(fù)阻抗Z的倒數(shù)，等于各個(gè)復(fù)阻抗的倒數(shù)之和。的倒數(shù)，等于各個(gè)復(fù)阻抗的倒數(shù)之和。為便于表達(dá)阻抗并聯(lián)電路，定義復(fù)阻抗為便于表達(dá)阻抗并聯(lián)電路，定義復(fù)阻抗 Z 的倒數(shù)叫做的倒數(shù)叫做復(fù)導(dǎo)納復(fù)導(dǎo)納，用符號(hào)，用符號(hào) Y 表示，即表示，即 ZY1 導(dǎo)納導(dǎo)納

21、 Y 的單位為西門子的單位為西門子( (S) )。于是有。于是有Y = Y1 + Y2 + + Yn即幾只并聯(lián)導(dǎo)納的等效導(dǎo)納即幾只并聯(lián)導(dǎo)納的等效導(dǎo)納 Y 等于所有導(dǎo)納之和。等于所有導(dǎo)納之和。歐姆定律的相量形式為歐姆定律的相量形式為UYIIZU 或或【例【例9-8】?jī)蓚€(gè)復(fù)阻抗分別是】?jī)蓚€(gè)復(fù)阻抗分別是 Z1 = ( (10 j20) ) ，Z2 = ( (10 j10) ) ，并聯(lián)后接在，并聯(lián)后接在 的交流電源上，的交流電源上，試求：電路中的總電流試求：電路中的總電流 I 和它的瞬時(shí)值表達(dá)式和它的瞬時(shí)值表達(dá)式 i 。V )sin(2220tu 解：解：由由 Z1= ( (10 + j20) ) 可

22、得可得4 .631020arctan 36.2220101221 ，Z由由 Z2 = ( (10 j10) ) 可得可得451010arctan 14.1410102222 ，Z即即Z1 = 10 + j20 = 22.36/63.4 ， Z2 = 10 j10 = 14.14/ 45 由由21111ZZZ 可得并聯(lián)后的等效復(fù)阻抗為可得并聯(lián)后的等效復(fù)阻抗為 2 . 814.146 .2636.224 .1817.316)10j10()20j10()4514.14()4 .6336.22(2121ZZZZZ于是總電流的相量于是總電流的相量A2 . 86 .15A2 . 814.140220 ZU

23、I即即 I = 15.6 A?？傠娏魉矔r(shí)值表達(dá)式為?？傠娏魉矔r(shí)值表達(dá)式為 A)28sin(2615.t.i 本章小結(jié)本章小結(jié)本章學(xué)習(xí)了應(yīng)用復(fù)數(shù)相量法表示正弦交流電壓、電流、本章學(xué)習(xí)了應(yīng)用復(fù)數(shù)相量法表示正弦交流電壓、電流、阻抗，并運(yùn)用相量法分析計(jì)算阻抗串聯(lián)與并聯(lián)電路。阻抗，并運(yùn)用相量法分析計(jì)算阻抗串聯(lián)與并聯(lián)電路。一、復(fù)數(shù)及其運(yùn)算法則一、復(fù)數(shù)及其運(yùn)算法則二、正弦量的復(fù)數(shù)表示法二、正弦量的復(fù)數(shù)表示法 三、歐姆定律與復(fù)阻抗三、歐姆定律與復(fù)阻抗一、復(fù)數(shù)及其運(yùn)算法則一、復(fù)數(shù)及其運(yùn)算法則1復(fù)數(shù)的表達(dá)式復(fù)數(shù)的表達(dá)式 ( (1) )直角坐標(biāo)式直角坐標(biāo)式( (代數(shù)式代數(shù)式) )：Z = a + jb( (2) ) 三角函數(shù)式：三角函數(shù)式：)0( arctan )jsin(cos2