分段函數(shù)專題非常全面

1、分段函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用分段函數(shù)是函數(shù)中比較復(fù)雜的一種函數(shù)，其要點在于自變量取不同范疇的值時所使用的解析式不同， 所以在解決分段函數(shù)的問題時要時刻盯著自變量的范疇是否在發(fā)生變化；即“分段函數(shù)分段看”一、基礎(chǔ)學(xué)問：1、分段函數(shù)的定義域與值域各段的并集2、分段函數(shù)單調(diào)性的判定：先判定每段的單調(diào)性，假如單調(diào)性相同，就需判定函數(shù)是連續(xù) 的仍是斷開的， 假如函數(shù)連續(xù)，就單調(diào)區(qū)間可以合在一起，假如函數(shù)不連續(xù)，就要依據(jù)函數(shù)在兩段分界點出的函數(shù)值（和臨界值）的大小確定能否將單調(diào)區(qū)間并在一起；3、分段函數(shù)對稱性的判定：假如能夠?qū)⒚慷蔚膱D像作出，就優(yōu)先采納圖像法，通過觀看圖像判定分段函數(shù)奇偶性；假如不便作出，就只能通

2、過代數(shù)方法比較fx ,fx 的關(guān)系，要留意 x,x 的范疇以代入到正確的解析式；4、分段函數(shù)分析要留意的幾個問題（1）分段函數(shù)在圖像上分為兩類，連續(xù)型與斷開型，判定的方法為將邊界值代入每一段函數(shù)（其中一段是函數(shù)值，另外一段是臨界值），如兩個值相等，那么分段函數(shù)是連續(xù)的；否就是斷開的；例如：fx2x1,xx24, x3，將 x33代入兩段解析式，運算結(jié)果相同，那么此分段函數(shù)圖像即為一條連續(xù)的曲線，其性質(zhì)便于分析； 再比如fx2 x1,x3中，x21,x3兩段解析式結(jié)果不同，進而分段函數(shù)的圖像是斷開的兩段；（2）每一個含肯定值的函數(shù)，都可以通過肯定值內(nèi)部的符號爭論，將其轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)；例如：fxx

3、13，可轉(zhuǎn)化為：fxx13,x11x3,x15、遇到分段函數(shù)要時刻盯住變量的范疇，并依據(jù)變量的范疇挑選合適的解析式代入，如變量的范疇并不完全在某一段中，要留意進行分類爭論6、假如分段函數(shù)每一段的解析式便于作圖，就在解題時建議將分段函數(shù)的圖像作出，以便必要時進行數(shù)形結(jié)合；二、典型例題例 1：已知函數(shù)f x2 x1x1，如 ff04a ，就實數(shù) a x2axx1思路：從里向外一層層求值，f02012ff0f242a所以 42a4aa2答案： a2cosx, x010例 2：設(shè)函數(shù)fxfx11,x，就 f的值為 03思路：由fx解析式可知，只有x0 ，才能得到詳細的數(shù)值，x0 時只能依靠fxfx11

4、向 x0 正數(shù)進行靠攏；由此可得：107412ff1f2f3f4 ，而33333f2cos 21332答案：92f10932小煉有話說： 含有抽象函數(shù)的分段函數(shù)，在處理里第一要明確目標，即讓自變量向有詳細解析式的部分靠攏，其次要懂得抽象函數(shù)的含義和作用（或者對函數(shù)圖象的影響）比如在此題中： x0, fxfx11可以立刻為間隔為1 的自變量，函數(shù)值差1，其作用在于自變量取負數(shù)時，可以不斷1 直至取到正數(shù)；懂得到這兩點，問題自然迎刃而解；例 3：函數(shù)fx3x4 , x 2, xx12，就不等式fx21 的解集是 a.,1 u5 ,b.3,1 u5 ,33c.1, 53d.5 ,33思路：第一要把f

5、x1轉(zhuǎn)變?yōu)樵敿毜牟坏仁?，由于fx是分段函數(shù)，所以要對x 的范圍分類爭論以代入不同的解析式：當x2 時， fx13x41 ，可解得：x1或 x5 ；所以 x1或 5x2 ；當 x2時， fx1212x1解得3x3，所以 23x3 ，綜上所述：xx1,1 u5 ,33答案： b例 4：已知函數(shù)f xx1xx1x0，就不等式xx01f x11 的解集是 思路：要想解不等式，第一要把fx1轉(zhuǎn)變?yōu)樵敿毜谋磉_式，觀看已知分段函數(shù)，f xx1xx1x0 ， x 占據(jù) f整個括號的位置，說明對于函數(shù)fx 而言，括號里0的式子小于0 時，代入上段解析式， 當括號里的式子大于0 時，代入下段解析式； 故要對 x1

6、的符號進行分類爭論； （ 1）當 x10x1 時， fx1x11x ，不等式變?yōu)椋簒xx11x21x（2）當 x10x1時， fx1x11x ，不等式變?yōu)椋簒xx11x22x1012x12x1,12答案： x1,12例 5：已知函數(shù)fxx22x3, x0，就不等式fx8fx23x的解集為2 x 11, x0思路：此題假如通過分類爭論將不等式變?yōu)樵敿毑坏仁角蠼猓碗y點有二：一是要顧及x8, x23x 的范疇，就需要分的情形太多；二是詳細的不等式可能是多項式與指數(shù)式混在一起的不等式，不易進行求解；所以考慮先擱置代數(shù)方法，去分析fx的圖像性質(zhì)，發(fā)覺 fx的兩段解析式均可作圖，所以考慮作出fx 的圖像

7、，從而發(fā)覺fx 是增函數(shù)，從而無論x8, x23x 在哪個范疇，fx8fx23xx8x23x ，從而解得： x4 或 x2答案：,4u2,小煉有話說： 含分段函數(shù)的不等式在處理上通常是兩種方法：一種是利用代數(shù)手段，通過對x 進行分類爭論將不等式轉(zhuǎn)變?yōu)樵敿毜牟坏仁角蠼?比如例 3，例 4）；另一種是通過作出分段函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合，利用圖像的特點解不等式（比如例5）；例 6：已知函數(shù)fxx22 x, xx22x, x0 . 如 fafa02 f1，就 a 的取值范疇是a1,0b 0,1c1,1d2,2思路：此題可以對a 進行分類爭論， 以將fafa2 f1變成詳細不等式求解，但也可從a, a 的

8、特點動身，考慮判定fx的奇偶性，通過作圖可發(fā)覺fx為偶函數(shù)，所以 fafa，所解不等式變?yōu)閒af1 ，再由圖像可得只需a1，即1a1答案： c小煉有話說：（ 1）此題判定函數(shù)fx 的奇偶性可以簡化運算，而想到這一點是源于抓住宅解不等式中a,a 的特點；由此可見，有些題目的思路源于式子中的一些示意（2）由于 fx 兩段圖像均易作出，所以在判定fx 奇偶性時用的是圖像法；對于某些不易作圖的分段函數(shù)，在判定奇偶性時就需要用定義法了，下面以此題為例說說定義法如何判斷：整體思想依舊是找到fx ,fx，只是在代入過程中要留意x, x 的范疇：設(shè)x0,，就x,0，fxx2x,2fxx2xx2x ，22所以

9、fxfx，即 fx 為偶函數(shù)22g x,f xg x例 7：已知函數(shù)f x12 x, g xx2 x ，如f xf x,f xg x，就 f x 的值域是 解析： fx是一個分段函數(shù)，其分段標準以fx , gx的大小為界，所以第一步先確定好 x 的取值，解不等式：fxgx12x2x22x ，解得：13x1 ，故x22 x,1x1fx321，分別求出每段最值，再取并集即可答案：12 x, 79, xor x1 3例 8：已知函數(shù)f x a log a2x x1 x x1，如 f x1在,單調(diào)遞增， 就實數(shù) a 的取值范疇是 思路：如fx 在,單調(diào)增，就在r 上任取 x1x2 ，均有fx1fx2，

10、在任取中就包含x1, x2 均在同一段取值的情形，所以可得要想在r 上單調(diào)增，起碼每一段的解析式也應(yīng)當是單調(diào)遞增的，由此可得：a20a1，但僅僅滿意這個條件是不夠的；仍有一種取值可能為x1, x2 不在同一段取值，如也滿意 x1x2 ，均有fx1fx2，通過作圖可發(fā)現(xiàn)需要左邊函數(shù)的最大值不大于右邊函數(shù)的最小值；代入x1 ，有左段右端，即a21log a 10a3綜上所述可得：a2,3答案：2,3例 9：已知fxx1. x2x1, x1,00,1，就以下選項錯誤選項（）a.是 fx1 的圖像b.是 fx 的圖像c.是 fx的圖像d.是fx的圖像思路： 考慮先作出fx 的圖像 （如右圖所示） ，再

11、依據(jù)選項進行驗證即可：a.fx1為 fx 向右平移一個單位，正確；b.fx 為 fx 關(guān)于 y 軸對稱的圖像， 正確；c.fx為 fx 正半軸圖像不變， 負半軸作與fx正半軸關(guān)于 y 軸對稱的圖像， 正確；d.fx的圖像為fx在 x 軸上方的圖像不變， 下方圖像沿x 軸對稱翻折； 而 fx 圖像均在 x 軸上方，所以fx應(yīng)與 fx圖像相同；錯誤答案： d例 10：函數(shù)fx3x1 , x1，就以下結(jié)論正確選項（）2sinx, x12a.函數(shù) fx 在 1,上為增函數(shù)b.函數(shù) fx的最小正周期為4c.函數(shù) fx 是奇函數(shù)d.函數(shù) fx 無最小值思路：可觀看到fx的圖像易于作出，所以考慮先作圖，再看

12、由圖像能否判定各個選項，如下列圖可得：bc 選項錯誤， d 選項 fx 存在最小值f12 ，所以 d 錯誤， a 選項是正確的答案： a小煉有話說：（ 1）此題利用數(shù)形結(jié)合是最為簡便的方法，一方面是由于 fx本身便于作圖， 另一方面四個選項在圖上也有詳細的含 義；（2）分段函數(shù)作圖過程中，特別在函數(shù)圖象斷開時，肯定要留意端點處屬于哪個解析式；此題中三、近年模擬題題目精選x1就屬于 y2sin2x 部分，所以才存在最小值；1、已知函數(shù)fxxa xlg x23, x1 , x1,如 f 1f1,3 ，就 a 2、已知f x x 2 , x 2 sin0,x , 0x， 如 f f x0 3 ，就

13、x0 .3、（ 2021，湖州中學(xué)期中）函數(shù)f x4 x, x2 ,xx0 , 如0,f faf f a1 ，就實數(shù) a 的取值范疇為（）a 1,0b 1,0c 5,4d 5,44、已知fx2 x1 , x x21 ,xx0，就 fx01的解集為 5、（ 2021，北京）設(shè)函數(shù)fx2 xa , x14 xax2 a , x1如 a1 ，就 fx 的最小值為 如 fx恰有 2 個零點，就實數(shù)a 的取值范疇是 x6, x26、（ 2021，福建）如函數(shù)fxa0,a1 的值域是4,，就實3log a x, x2數(shù) a 的取值范疇是 fx， 就 f2flog 2 12（）9d.121log 22x , x17、（ 2021，新課標 ii ）設(shè)函數(shù)x 12, x1a.3b.6c.3x1, x1f a8、（ 2021，山東）設(shè)函數(shù)fx2x , x1，就滿意ffa2 的 a 的取值范疇是（）a.2 ,13b.0,1c.2 ,3d.1