初一數(shù)學(xué)競(jìng)賽系列講座2

1、初一數(shù)學(xué)競(jìng)賽系列講座應(yīng)用題（一）（上）學(xué)問(wèn)要點(diǎn)應(yīng)用題是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，它著重培育同學(xué)懂得問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的才能，解應(yīng)用題最主要的方法是列方程或方程組；列方程 組 解應(yīng)用題的一般步驟是：1弄清題意和題目中的數(shù)量關(guān)系，2用字母表示題目中的一個(gè)未知數(shù)；(3) 找出能夠表示應(yīng)用題全部含義的一個(gè)相等關(guān)系；(4) 依據(jù)這個(gè)相等關(guān)系列出方程；(5) 解這個(gè)方程， 6求出未知數(shù)的值；7寫(xiě)出答案 包括單位名 8稱 ；3、行程類問(wèn)題行程類問(wèn)題爭(zhēng)論速度、時(shí)間和路程之間的相互關(guān)系；它們滿意如下基本關(guān)系式：速度時(shí)間=路程4、數(shù)字類問(wèn)題數(shù)字類問(wèn)題常用十進(jìn)制來(lái)表示數(shù)，然后通過(guò)相等關(guān)系列出方程；解數(shù)字類問(wèn)題應(yīng)

2、留意數(shù)字間固有的關(guān)系，如：連續(xù)整數(shù)，一般設(shè)中間數(shù)為x，就相鄰兩數(shù)分別為 x-1 、x+1；連續(xù)奇 偶 數(shù)，一般設(shè)中間數(shù)為x，就相鄰兩數(shù)分別為x-2 、x+2；例題精講例1 從甲地到乙地的大路， 只有上坡路和下坡路，沒(méi)有平路； 一輛汽車上坡時(shí)每小時(shí)行駛 20千米，下坡時(shí)每小時(shí)行駛35千米，；車從甲地開(kāi)往乙地需9小時(shí)，乙地開(kāi)往甲地需小時(shí)，問(wèn)：甲、乙兩地間的大路有多少千米？從甲地到乙地須行駛多少千米的上坡路？ 第五屆華杯賽復(fù)賽題分析此題用方程來(lái)解簡(jiǎn)潔自然；解設(shè)從甲地到乙地的上坡路為x千米，下坡路為 y千米，依據(jù)題意得方程組解這個(gè)方程組有許多種方法；例如代入消元法、 加減消元法等； 由于方程組系數(shù)比較

3、特別 第一個(gè)方程中 x的系數(shù) 恰好是其次個(gè)方程中 y的系數(shù)，而y的系數(shù)也恰好是其次個(gè)方程中 x的系數(shù) ，也可以采納如下的解法：1+2 得x+y + =9+所以 x+y=31-2 得 x - y - =9 -所以 x-y=4由3 、4 得 x=所以甲、乙兩地間的大路長(zhǎng) 210千米，從甲地到乙地須行駛 140千米的上坡路；例2 公共汽車每隔 x分鐘發(fā)車一次， 小宏在大街上行走， 發(fā)覺(jué)從背后每隔 6分鐘開(kāi)過(guò)來(lái)一輛公共汽車，而每隔分鐘迎面開(kāi)來(lái)一輛公共汽車；假如公共汽車與小宏行進(jìn)的速度都是勻稱的，就x等于分鐘； 第六屆迎春杯初賽試題分析：此題包括了行程問(wèn)題中的相遇與追及兩種情形； 如設(shè)汽車速度為 a米/

4、 每秒， 小宏速度為 b米/ 每秒，就當(dāng)一輛汽車追上小宏時(shí)， 另一輛汽車在小宏后面 ax米處， 它用6分鐘追上小宏；另一方面，當(dāng)一輛汽車與小宏相遇時(shí)，另一輛汽車在小宏前面ax米處，它經(jīng)過(guò)分鐘與小宏相遇；由此可列出兩個(gè)方程；解：設(shè)汽車速度為a米/ 每秒，小宏速度為b米/ 每秒，依據(jù)題意得兩式相減得12a=72b即a=6b 代入可得 x=5評(píng)注：行程問(wèn)題常分為同向運(yùn)動(dòng)和相向運(yùn)動(dòng)兩種， 相遇問(wèn)題就是相向運(yùn)動(dòng)， 而追及問(wèn)題就是同向運(yùn)動(dòng)； 解這類問(wèn)題分析時(shí)往往要結(jié)合題意畫(huà)出示意圖， 以便幫忙我們直觀、形象地懂得題意；例3 攝制組從 a市到b市有一天的路程，方案上午比下午多走100千米到 c市吃午飯；由于

5、堵車，中午才趕到一個(gè)小鎮(zhèn)，只行駛了原方案的三分之一，過(guò)了小鎮(zhèn)， 汽車趕了 400千米，傍晚才停下來(lái)休息； 司機(jī)說(shuō)， 再走從 c市到這里路程的二分之一就到達(dá)目的地了；問(wèn)a、b兩市相距多少千米？ 第五屆華杯賽決賽試題分析：此題條件中只有路程，沒(méi)有時(shí)間和速度， 因而應(yīng)當(dāng)認(rèn)真分析各段路程之間的關(guān)系；解：如圖，設(shè)小鎮(zhèn)為d，傍晚汽車在 e 休息 a d c e b由已知，ad是ac的三分之一，也就是ad =dc 又由已知， eb=ce兩式相加得： ad+ eb=de由于de=400千米，所以 ad+ eb=400=200千米，從而a、b兩市相距 400+200=600千米評(píng)注：行程問(wèn)題常通過(guò)畫(huà)行程示意圖來(lái)

6、幫忙我們摸索；例4 有編號(hào)為、的 3條賽艇，其在靜水中的速度依次為每小時(shí)v1、v2 、v3千米，且滿意 v1> v 2 > v 3> v >0 ，其中 v為河流的水流速度；它們?cè)诤恿魃线M(jìn)行追趕賽， 規(guī)章如下：(1) 3條賽艇在同一起跑線上同時(shí)動(dòng)身，逆流而上，在動(dòng)身的同時(shí)，有一浮標(biāo)順流而下；(2) 經(jīng)過(guò)1小時(shí)，、號(hào)賽艇同時(shí)掉頭，追趕浮標(biāo)，誰(shuí)先追上誰(shuí)為冠軍；在整個(gè)競(jìng)賽期間各艇的速度保持不變，就競(jìng)賽的冠軍為解：經(jīng)過(guò) 1小時(shí)，、號(hào)賽艇同時(shí)掉頭，掉頭時(shí)，各艇與浮標(biāo)的距離為： s i =v i -v1+v1= v i1i=1、2、3第i 號(hào)賽艇追上浮標(biāo)的時(shí)間為： 小時(shí)由此可見(jiàn)，掉頭

7、后各走1小時(shí)，同時(shí)追上浮標(biāo)，所以3條賽艇并列冠軍；評(píng)注：順流速度 =靜水速度 +水流速度；逆流速度=靜水速度 - 水流速度；例5在一環(huán)行軌道上有三枚彈子同時(shí)沿逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)；已知甲于第 10秒鐘時(shí)追上乙，在第30秒時(shí)追上丙， 第60秒時(shí)甲再次追上乙， 并且在第 70秒時(shí)再次追上丙， 問(wèn)乙追上丙用了多少時(shí)間？ 第11屆期望杯競(jìng)賽培訓(xùn)題 解：設(shè)甲的運(yùn)動(dòng)速度是乙的運(yùn)動(dòng)速度是，丙的運(yùn)動(dòng)速度是設(shè)環(huán)形軌道長(zhǎng)為 l；甲比乙多運(yùn)動(dòng)一圈用時(shí)50秒，故有甲比丙多運(yùn)動(dòng)一圈用時(shí) 40秒，故有 可 得 到 甲、乙、丙初始位置時(shí)，乙、丙之間的距離甲、丙之間距離甲、乙之間距離（ ）×30（ ）×10；

8、乙追上丙所用時(shí)間秒所以第 110秒時(shí)，乙追上丙評(píng)注：相遇問(wèn)題的關(guān)系式是：路程和=速度和時(shí)間；追及問(wèn)題的關(guān)系式是： 追及路程=速度差時(shí)間；例6 一個(gè)三位數(shù)，三個(gè)數(shù)位上的數(shù)字和為17，百位上的數(shù)比十位上的數(shù)大7，個(gè)位上的數(shù)是十位上數(shù)的3倍，求這個(gè)三位數(shù)；解：設(shè)十位上的數(shù)為 x，就個(gè)位上的數(shù)為 3 x ，百位上的數(shù)是 x+7由題意得： 3 x+x+ x+7=17 ， x=2這個(gè)三位數(shù)是：100x+7+10 x+3 x=926答：這個(gè)三位數(shù)是926評(píng)注：數(shù)字問(wèn)題常設(shè)出數(shù)位上的數(shù)字，再用十進(jìn)制把數(shù)表示出來(lái)；例7 兩個(gè)三位整數(shù)，它們的和加1得1000，假如把大數(shù)放在小數(shù)的左邊，并在這 兩數(shù)之間點(diǎn)上一個(gè)小數(shù)

9、點(diǎn)，就所成的數(shù)正好等于把小數(shù)放在大數(shù)的左邊，中間點(diǎn)一個(gè)小數(shù)點(diǎn)所成的數(shù)的6倍，求這兩個(gè)數(shù)；解：設(shè)大數(shù)為 x，就小數(shù)為 999-x ，由題意得解這個(gè)方程得： x=857,999-x=142 答：大數(shù)為 857，小數(shù)為 142；例8 一輛卡車在大路上勻速行駛，起初看到里程碑上的數(shù)字為，過(guò)了 1小時(shí)里程碑上的數(shù)字為，又行駛了 1小時(shí)里程碑上的數(shù)字為，求每次看到的數(shù)字和卡車的速度；分析：相等關(guān)系是前一小時(shí)走的路程=后一小時(shí)走的路程；解：依題意得：-=-，即+=2，所以 10a+b+100a+b=210b+a ，整理得 6a=b由于a、b取1到9的自然數(shù)，所以只有a=1， b=6故3次看到的數(shù)字分別是16

10、， 61，106，卡車的速度為 45千米/ 時(shí)；評(píng)注：此題得到的是一個(gè)不定方程，通過(guò) a、b是1到9的自然數(shù)來(lái)求出 a、b；例9 在黑板上從 1開(kāi)頭，寫(xiě)出一組連續(xù)的自然數(shù)，然后擦去了一個(gè)數(shù)，其余的平均值為，試問(wèn)擦去的數(shù)是什么數(shù)？分析：設(shè)出擦去的數(shù)，用平均值為來(lái)估量出寫(xiě)出的自然數(shù)，從而求出擦去的數(shù)；解：設(shè)寫(xiě)出了 n個(gè)自然數(shù) 1，2， n中擦去的是 k，就由題意得：即由于n是自然數(shù)，且 n-1 必需是 17的倍數(shù)，所以 n=69于是由，可解得 k=7，即擦去的數(shù)為 7；評(píng)注：此題運(yùn)用了放縮原理來(lái)得出n的范疇， 從而確定自然數(shù) n的值， 放縮法是數(shù)學(xué)競(jìng)賽中常用的方法；鞏固練習(xí)挑選題1、甲、乙二人從

11、m地同時(shí)動(dòng)身去 n地，甲用一半的時(shí)間以每小時(shí)a千米的速度行走，另一半的時(shí)間以每小時(shí)b千米的速度行走； 乙以每小時(shí) a千米的速度行走一半的路程，另一半路程以每小時(shí)b千米的速度行走；如ab，就 先到達(dá) n地；a、甲 b 、乙 c、二人同時(shí)到達(dá)d、不確定2、已知游艇在靜水中的航速為每小時(shí)10千米，某一旅行團(tuán)乘該游艇在黃河順?biāo)叫?小時(shí)，又用 3小時(shí)返回動(dòng)身地，求該團(tuán)所走的航程是 a、24千米 b 、12千米 c、48千米 d 、40千米3、某人從 a地步行到 b地，當(dāng)走到預(yù)定時(shí)間時(shí)，離b地仍有 0.5 千米；如把步行速度提高 25%，就可比預(yù)定時(shí)間早半小時(shí)到達(dá)b地；已知ab兩地相距 12.5 千米，

12、 就某人原先步行的速度是 a、2千米/ 時(shí) b 、4千米/ 時(shí) c 、5千米/ 時(shí) d 、6千米/ 時(shí)4、一個(gè)兩位數(shù)， 十位上的數(shù)與個(gè)位上的數(shù)的和是7，如十位上的數(shù)與個(gè)位上的數(shù)對(duì)換，現(xiàn)在的兩位數(shù)與原先的兩位數(shù)的差是9，就現(xiàn)在的兩位數(shù)是 a、43 b 、34 c、25 d、525、在由兩個(gè)不同數(shù)字組成的全部?jī)晌粩?shù)中，每個(gè)兩位數(shù)被其兩個(gè)數(shù)字之和除時(shí)，所得的商的最小值是 a、1.5 b 、1.9 c 、3.25 d 、4.3756、一個(gè)插入一個(gè)一位數(shù) 包括0 ，就變成一個(gè)三位數(shù)，如：72中間插入 6后變成了762；有些兩位數(shù)中間插入某個(gè)一位數(shù)后變成的三位數(shù)，是原先兩位數(shù)的9倍，這樣的兩位數(shù)有 第六屆

13、祖沖之杯數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題a、1個(gè) b 、4個(gè) c、10個(gè) d、超過(guò) 10個(gè)填空題7、早晨8點(diǎn)多鐘，有兩輛汽車先后離開(kāi)化肥廠，向幸福村開(kāi)去；兩輛汽車的速度都是每小時(shí) 60千米， 8點(diǎn)32分時(shí)，第一輛車離開(kāi)化肥廠的距離是其次輛車的3倍；到了8點(diǎn)39分時(shí)，第一輛車離開(kāi)化肥廠的距離是其次輛車的2倍；就第一輛車是8 點(diǎn)分別開(kāi)化肥廠的 .8、甲、乙兩個(gè)同學(xué)從 a地到b地，甲步行的速度為每小時(shí)3千米，乙步行的速度為每小時(shí) 5千米，兩人騎自行車的速度都是每小時(shí)15千米；現(xiàn)在甲先步行，乙先騎自行車，兩人同時(shí)動(dòng)身；走了一段路程后，乙放下車步行，甲走到乙放車處改騎自行車， 以后不斷交替行進(jìn)， 兩人恰好同時(shí)到達(dá) b地；

14、甲走全程的平均速度是千米/ 小時(shí)； 第六屆迎春杯初賽試題9、一船從重慶到上海要5晝夜，而從上海到重慶要7晝夜，那么有一木排從重慶順流漂到上海要晝夜10、一個(gè)六位數(shù)的4倍是，就這個(gè)六位數(shù)是11、有四個(gè)正整數(shù)，其中任三個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和，分別等于29、23、21、19，就這四個(gè)數(shù)中最大的一個(gè)是12、一個(gè)兩位自然數(shù)等于它的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和的3倍，就這樣的兩位自然數(shù)的個(gè)數(shù)是解答題13、一列客車的速度是 60千米/ 時(shí)，一列貨車的速度是45千米/ 時(shí)，貨車比客車長(zhǎng)135米，假如兩車在平行的軌道上同向行駛，客車從后面趕上貨車，它們交叉的時(shí)間是 1分30秒，求各車的長(zhǎng)度；假如這兩車在平行的

15、軌道上相向行駛，它們交叉時(shí)需要多少時(shí)間？14、甲、乙兩人在一條長(zhǎng) 400米的環(huán)形跑道上跑步，如同向跑步每隔分鐘相遇一次，如反向跑步就每隔40秒相遇一次，求甲、乙兩人的速度 甲比乙跑得快 ；15、某人由甲地去乙地，假如他從甲地先騎摩托車行12小時(shí)，再換騎自行車行9 小時(shí)，恰好到達(dá)乙地；假如他從甲地先騎自行車行21小時(shí)，再換騎摩托車行8小時(shí)，恰好也到達(dá)乙地；問(wèn)：全程騎摩托車需要幾小時(shí)到達(dá)乙地？ 第四屆華杯賽初賽試題 16、快、中、慢三輛車同時(shí)從同一地點(diǎn)動(dòng)身，沿同一大路追趕前面的一個(gè)騎車人；這三輛車分別用 6分鐘、 10分鐘、 12分鐘追上騎車人；現(xiàn)在知道快車每小時(shí)走24 千米，中車每小時(shí)走20千米

16、，問(wèn)慢車每小時(shí)走多少千米？ 第一屆華杯賽決賽試題17、有一個(gè)兩位數(shù)，它的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的和是8，并且這個(gè)兩位數(shù)除以十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字的差，所得的商為11，余數(shù)為 5，求這個(gè)兩位數(shù)；18、一個(gè)十位數(shù)字為 0的三位數(shù)，它恰好等于它的數(shù)字和的67倍；交換它的個(gè)位與百位數(shù)字后得到一個(gè)新的三位數(shù)，它恰好又是它的數(shù)字和的m倍, 求m的值；19、一個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字小于個(gè)位數(shù)字，當(dāng)數(shù)字交換位置后所得的新的兩位數(shù)與原數(shù)之和大于 70而小于 90，求這樣的兩位數(shù)；20、今有一個(gè)三位數(shù)， 其各位數(shù)字均不相同， 如將此三位數(shù)的各位數(shù)字重新排列， 必得一個(gè)最大數(shù)和一個(gè)最小數(shù)， 且此兩數(shù)之差恰為原先的那個(gè)三

17、位數(shù)， 求原先的三位數(shù)；（下）學(xué)問(wèn)要點(diǎn)1、工程類問(wèn)題工程類問(wèn)題爭(zhēng)論工作效率、工作時(shí)間和工作總量之間的相互關(guān)系；它們滿意如下基本關(guān)系式：工作效率工作時(shí)間 =工作總量解工程問(wèn)題常常將工作總量當(dāng)作整體“1”2、溶液類問(wèn)題溶質(zhì)：能溶解到溶劑中的物質(zhì)；如鹽、糖、酒精等；溶劑：能溶解溶質(zhì)的物質(zhì)；如水等；溶液：溶質(zhì)和溶劑的混合體；如鹽水、糖水、酒精溶液等；溶液的濃度：指肯定量溶液中所含溶質(zhì)的量，常常用百分?jǐn)?shù)表示；濃度的基本算式濃度溶質(zhì)量是：溶液量100%2例題精講例1江堤邊一凹地發(fā)生了管涌，江水不斷地涌出，假定每分鐘涌出的水量相等，假如用兩臺(tái)抽水機(jī)抽水，40分鐘可抽完；假如用4臺(tái)抽水機(jī)抽水，16分鐘可抽完，

18、假如要在10分鐘內(nèi)抽完水，那么至少需要抽水機(jī)臺(tái)； 1999年全國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題解：設(shè)開(kāi)頭抽水前管涌已經(jīng)涌出的水量為a立方米，管涌每分鐘涌出的水量為b立方米，又設(shè)每臺(tái)抽水機(jī)每分鐘可抽水c立方米，由條件可得：a40ba16b240c416ca160 c3b2 c解得3假如要在 10分鐘內(nèi)抽完水，那么至少需要抽水機(jī)的臺(tái)數(shù)為：a10b 10c160 c310c20 c36評(píng)注：此題設(shè)了三個(gè)未知數(shù)a、b、c，但只列出兩個(gè)方程；實(shí)質(zhì)上c是個(gè)幫助未知數(shù)，在解方程時(shí)把c視為常數(shù)，解出a， b用c表示出來(lái) ，然后再代入求出所要求的結(jié)果；例2 甲、乙、丙三隊(duì)要完成a 、b 兩項(xiàng)工程； b工程的工作量比a 工

19、程的工作量多25%，甲、乙、丙三隊(duì)單獨(dú)完成a 工程所需的時(shí)間分別是20天、 24天、 30天；為了共同完成這兩項(xiàng) 工程，先派甲隊(duì)做a 工程，乙、丙二隊(duì)做b 工程；經(jīng)過(guò)幾天后，又調(diào)丙隊(duì)與甲隊(duì)共同完成a 工程；問(wèn)乙、丙二隊(duì)合作了多少天？第十四屆迎春杯決賽試題解：設(shè)乙、丙二隊(duì)合作了x天，丙隊(duì)與甲隊(duì)合作了y 天；將工程 a 視為 1，就工程 b可視為1+25%=5/4 ，由題意得：xyy203020xxy24302413x去分母得59x45 y605 y150，由此可解得x=15答：乙、丙二隊(duì)合作了15天評(píng)注：在工程問(wèn)題中，假如工作總量不是一個(gè)詳細(xì)的量，常常將工作總量視為1；例3 牧場(chǎng)上的草長(zhǎng)得一樣地

20、密，一樣地快；70已知 70頭牛在 24天里把草吃完，而30頭牛就可吃 60天；假如要吃96天，問(wèn)牛數(shù)該是多少？解：設(shè)牧場(chǎng)上原先的草的問(wèn)題是1，每天長(zhǎng)出來(lái)的草是x，就 24天共有草 1+24x ， 60天共有草 1+60x ，所以每頭牛每天吃124 x7024160 x3060去分母得 : 301+24x=281+60x 960x=2 x=1480，就每頭牛每天吃124 x702411600 頭96天吃完，牛應(yīng)當(dāng)是1961480961201600例4 某生產(chǎn)小組綻開(kāi)勞動(dòng)競(jìng)賽后，每人一天多做10個(gè)零件，這樣8個(gè)人一天做的零件超過(guò)了200只；后來(lái)改進(jìn)技術(shù)，每人一天又多做27個(gè)零件； 這樣他們 4個(gè)

21、人一天所做的零件就超過(guò)勞動(dòng)競(jìng)賽中 8個(gè)人做的零件；問(wèn)他們改進(jìn)技術(shù)后的生產(chǎn)效率是勞動(dòng)競(jìng)賽前的幾倍？解：設(shè)勞動(dòng)競(jìng)賽前每人一天做x個(gè)零件，由題意得4x8x 1010272008x10解得15<x<17由于x是整數(shù)，所以x=16，而 16+37163.3故改進(jìn)技術(shù)后的生產(chǎn)效率約是勞動(dòng)競(jìng)賽前的3.3倍；評(píng)注：此題所列的是不等式組，不能列成方程；例5 某中學(xué)試驗(yàn)室需要含碘2% 的碘酒，現(xiàn)有含碘15%的碘酒 350克，問(wèn)應(yīng)加純酒精多少克？分析：配比前后碘的含量相同；解：設(shè)稀釋時(shí)需加純酒精x 克，就稀釋后有碘酒350+x 克，由題意得： 350+x 2%=35015%解之得x=2275答：應(yīng)加純酒

22、精2275克；評(píng)注： 濃度配比問(wèn)題的相等關(guān)系一般是配比前后未發(fā)生轉(zhuǎn)變的量，或溶質(zhì)量不變，或溶劑量不變；所列方程的一般形式是各重量=總量；例6在濃度為 x%的鹽水中加入肯定重量的水，就變成濃度為20%的新溶液，在此新溶液中再加入與前次所加入的水重量相等的鹽，溶液濃度變成30%，求 x解：設(shè)濃度為x% 的鹽水為 a千克，加水 b千克，就由題意得ax%ab20%1ab 120%abb130%2x23 1由2得8 a+b=7 a+2b即 a=6b代入 1 得6bx=140b323 1答： x為3例7 從兩個(gè)重量分別為7千克和 3千克， 且含銅百分?jǐn)?shù)不同的合金上切下重量相等的兩塊，把切下的每一塊和另一塊

23、剩余的合金放在一起，熔煉后兩塊合金含銅百分?jǐn)?shù)相等，求所切下的合金的重量是多少？解：設(shè)重量為7千克的合金的含銅百分?jǐn)?shù)為x，重量為 3千克的合金的含銅百分?jǐn)?shù)為y，切下的合金的重量是z千克，由題意得：zx3z y 37z xzy 7 21-10z x=21-10z y 21-10z x-y=0 x y 21-10z=0 z=2.1答：所切下的合金的重量是2.1千克 .例8 甲、乙、丙三個(gè)容器中盛有含鹽比例不同的鹽水；如從甲、乙、丙中各取出重量相等的鹽水，將它們混合后就成為含鹽10%的鹽水；如從甲和乙中按重量之比為2：3來(lái)取，混合后 就成為含鹽 7% 的鹽水； 如從乙和丙中按重量之比為3：2來(lái)取，混合

24、后就成為含鹽9% 的鹽水；求甲、乙、丙三個(gè)容器中鹽水含鹽的百分?jǐn)?shù)；分析：題設(shè)中有三種混合方式，但每種混合方式從各個(gè)容器中取出的鹽水的重量都是未知的，我們可以引進(jìn)幫助未知數(shù)，將這些量分別用字母表示；解：設(shè)甲、乙、丙三個(gè)容器中鹽水含鹽的百分?jǐn)?shù)分別為x%、 y%、z%第一次混合從甲、乙、丙三個(gè)容器中各取出a克鹽水，就有 a x%+ ay%+ az%=3a 10%從甲和乙中按重量之比為2：3來(lái)取鹽水時(shí)， 設(shè)從甲中取鹽水2m克，從乙中取鹽水3m克，就有2mx%+ 3my%=2m +3m7%從乙和丙中按重量之比為3： 2來(lái)取鹽水時(shí)，設(shè)從乙中取鹽水3n克，從丙中取鹽水2n克， 就有3ny%+ 2nz%=3n

25、+2n9%將上面三式消去幫助未知數(shù)得：xyz30 2 x3 y353 y2 z45x10解得y5z15答：甲、乙、丙三個(gè)容器中鹽水含鹽的百分?jǐn)?shù)分別為10%、5%、15%評(píng)注：此題中我們假設(shè)的未知數(shù)a、m、n不是題目所要求的，而是為了便于列方程而設(shè)的，這種設(shè)元方法叫做幫助未知數(shù)法，幫助未知數(shù)在求解過(guò)程中將被消去；例9組裝甲、乙、丙3種產(chǎn)品，需用a 、b、 c3種零件；每件甲需用a 、b各2個(gè)；每件乙需 用b 、c各1個(gè)；每件丙需用2個(gè)a 和 1個(gè)c；用庫(kù)存的 a、b、c3種零件，如組裝成p件甲產(chǎn)品、 q件乙產(chǎn)品、 r件丙產(chǎn)品， 就剩下 2個(gè) a和 1個(gè)b，c恰好用完； 求證： 無(wú)論怎樣轉(zhuǎn)變生產(chǎn)甲

26、、乙、丙的件數(shù)，也不能把庫(kù)存的a 、b、c3種零件都恰好用完； （ 1981 年全國(guó)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）解：由已知，庫(kù)存的a 、 b、 c3種零件的個(gè)數(shù)分別為：a 種2p+2r+2 件， b種2p+q+1 件， c種q+r件；假設(shè)生產(chǎn)甲 x 件，乙 y 件，丙 z件恰好將 3種零件都用完，就由題意得：2x2 z2 xy2 p2r22 pq112yzqr31+3-2 得： 3z=3r+1它的左邊是 3的倍數(shù)，而右邊卻是3的倍數(shù)加 1，沖突，不成立，所以不能把庫(kù)存的a、b、c3 種零件都恰好用完；評(píng)注：此題列出方程組后，沒(méi)有解出x、y 、z，而導(dǎo)出沖突，而是奇妙地通過(guò)方程的加減得出沖突式 3z=3r+

27、1 ，從而得出結(jié)論；所以有些數(shù)學(xué)問(wèn)題應(yīng)從整體上來(lái)把握解法；3 鞏固練習(xí)挑選題1、有酒精 a升和水 b升，將它們混合后取出x升，這 x升混合液中含水 升ba 、 abab 、 abaxc、 abbxd、 ab2、一件工作，甲、乙、丙合作需7天半完成；甲、丙、戊合作需5天完成；甲、丙、丁合作需 6天完成；乙、丁、戊合作需4天完成，那么這5人合作， 天可以完成這件工作；a 、3天b 、4天c、 5天d、7天3、某工廠七月份生產(chǎn)某產(chǎn)品的產(chǎn)量比六月份削減了20，如八月份產(chǎn)品要達(dá)到六月份的產(chǎn)量，就八月份的產(chǎn)量比七月份要增加（）a 、20b、25c、80d、754、兩個(gè)相同的瓶子中裝滿了酒精溶液，第一個(gè)瓶子

28、里的酒精與水的體積之比為a: 1，第一個(gè)瓶子為 b:1，現(xiàn)將兩瓶溶液全部混和在一起，就混和溶液中酒精與水的體積之比是安徽省中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題aba 、2b 、 a2abb1ac、ab2 abb2ad 、ab4abb25、某運(yùn)算機(jī)系統(tǒng)在同一時(shí)間只能執(zhí)行一項(xiàng)任務(wù)，且完成該任務(wù)后才能執(zhí)行下一項(xiàng)任務(wù)，現(xiàn)有 u，v，w的時(shí)間分別為10秒， 2分和 15分，一項(xiàng)任務(wù)的相對(duì)等待時(shí)間為提交任務(wù)到完成該任務(wù)的時(shí)間與運(yùn)算機(jī)系統(tǒng)執(zhí)行該任務(wù)的時(shí)間之比，就下面四種執(zhí)行次序中使三項(xiàng)任務(wù)相對(duì)等候時(shí)間之和最小的執(zhí)行是（）；（ a） u， v， w（ b）v， w， u（ c） w， u， v（ d）u， w， v6、咖啡 a與

29、咖啡 b按x: y 以重量計(jì) 的比例混合； a的原價(jià)為每千克50元，b的原價(jià)為每千克40元，假如 a的價(jià)格增加 10%， b的價(jià)格削減 15%，那么混合咖啡的價(jià)格保持不變；就x: y 為a 、5： 6b、6： 5c、5：4d 、4： 5填空題7、因工作需要，對(duì)甲、乙、丙三個(gè)小組的人員進(jìn)行三次調(diào)整，第一次丙組不動(dòng)，甲、乙兩組中的一組調(diào)出7人給另一組； 其次次乙組不動(dòng)， 甲、丙兩組中的一組調(diào)出7人給另一組；第三次甲組不動(dòng)，乙、丙兩組中的一組調(diào)出7人給另一組，三次調(diào)整后，甲組有5人，乙組有13人，丙組有 6人；就各組原有人數(shù)為8、a 、b、c、d、e五個(gè)人干一項(xiàng)工作，如a 、b、c、d 四人一起干， 8天可完工；如 b 、c、d 、e四人一起干， 6天可完工； 如 a、e二人干， 12天可完工， 就 a 一個(gè)人單獨(dú)干天可完工；9、某車間共有 86名工人，已知每人平均每天可加工甲種部件 15個(gè)，或乙種部件 12個(gè)， 或丙種部件 9個(gè)，要使加工后的部件按 3個(gè)甲種部件， 2個(gè)乙種部件和 1個(gè)丙種部件配套， 就應(yīng)支配人加工甲種部件，人加工乙種部件，人加工丙種部件；2110、容積為 v 的容器盛酒精溶液，第一次倒出3 后，用水加滿；其次次倒出3 后，再用水加滿，這時(shí)它的濃度為20%，就原先酒精溶液的濃度為1