初中常見定理證明

1、中學(xué)常見定理的證明一、三角形1、 運 用你 所學(xué) 過 的 三 角 形全 等的 學(xué)問 去 證 明 定 理： 有兩 個角 相 等 的 三角 形是 等腰 三角 形（ 用 圖形 中的 符號 表 達(dá) 已 知 、求 證， 并證 明 ， 證 明對 各步 驟要 注 明 依據(jù) ）2、證 明定 理：等 腰三 角 形的 兩個 底 角相等 （ 畫出 圖形 、寫出 已知 、求證 并證 明）3、 表達(dá) 并 證明 三角形 內(nèi) 角和 定 理 要 求寫 出 定 理、 已知 、求證 ， 畫 出圖 形， 并寫 出 證 明過 程4、 我們 知 道， 證明三 角 形內(nèi) 角 和 定理 的一 種 思 路是 力求 將三角 形的 三個 內(nèi)角

2、轉(zhuǎn)化 到 同 一個 頂 點 的三 個相鄰 的角，從而 利 用 平角 定義來 得 到結(jié)論 ， 你 能想 出 多 少種 不 同 的方 法呢？ 同學(xué)之 間 可相 互交 流 5、 三角 形 中位 線定理 ， 是我 們 非 常熟 悉的 定 理 請你 在下 面 的 橫線上 ， 完整 地表達(dá) 出這 個 定 理： 依據(jù) 這個 定 理 畫出圖 形 ， 寫 出已知 和求 證 ， 并對 該定 理 給 出證 明6、定 理“ 直角 三 角形 斜 邊 上 的中 線等于斜 邊 的 一 半 ” 的逆 命題是，這 個 命題 正 確 嗎？ 如 正確 ，請 你證 明這 個 命 題， 如 不 正確 請說明 理由7、用 所學(xué) 定理 、

3、 定義 證 明 命 題證 明： 直角 三 角形 斜邊 上 的 中線 等于 斜邊 的一 半8、 同學(xué) 們 ， 這 學(xué)期我 們 學(xué)過 不 少 定理 ，你 仍 記 得 “ 在直 角三角 形 中 ，如 果一 個銳 角 等 于30 度 ，那 么它 所 對 的直 角邊 等 于 斜邊 的一半 ” ，請 你寫 出它 的逆 命 題 ， 并 證 明 它的 真假解： 原命 題的 逆命 題 為：在直 角三 角形 中，假如 一條 直角 邊等 于 斜邊 的一 半，那么 這 條直 角邊所對 的角 是 30°9、利 用圖 （ 1）或 圖（ 2 ） 兩 個 圖 形中 的有 關(guān) 面 積 的等 量關(guān) 系都 能證 明數(shù) 學(xué)

4、中 一個 十 分 聞名 的 定 理， 這個定 理稱為， 該 定 理的 結(jié) 論 其 數(shù)學(xué) 表 達(dá)式是10、利用 圖中 圖形 的有 關(guān)面 積 的等 量 關(guān) 系都 能 證 明數(shù) 學(xué)中 一 個十 分 著 名的 定理 ，此證 明方 法就 是美 國第 二 十 任總統(tǒng) 伽 菲 爾 德最 先完成的 ，人 們?yōu)?了紀(jì) 念他 ， 把 這一 證 法 稱為 “ 總統(tǒng) ” 證法 這個 定理 稱為， 該 定理 的結(jié) 論其 數(shù) 學(xué) 表達(dá)式是11 、 定理 表述 請 你根 據(jù)圖 1 中 的直角 三 角形 ， 寫出 勾股定 理 內(nèi)容 ； 嘗 試證 明 以 圖 1 中的 直 角 三角形 為 基礎(chǔ) ， 可以 構(gòu)造出 以 a、 b

5、為底 ， 以 a+b 為 高的 直角 梯形 （ 如 圖 2）， 請 你 利 用圖 2，驗 證 勾 股定 理定理 表述 ：直 角三 角 形中 ，兩 直角 邊的 平 方和 等于 斜邊 的平 方2證明 ： s 四 邊 形 abcd =s abe +s aed +s cde=ab2c2212 、如圖， abc 中， ab=ac， bad= cad， bd=c，d ad bc請你 挑選 其中 的 兩 個作 為 條 件，另 兩個 作 為結(jié) 論 ，證明 等腰 三角形 的 “ 三線 合一 ” 性 質(zhì) 定 理13、課本 指出 ：公認(rèn)的 真 命題 稱為 公 理，除 了 公理 外，其 他的 真 命 題（ 如推 論、

6、 定理 等 ） 的正 確 性 都需 要通過 推理 的 方 法證 實（ 1） 敘 述 三角 形全等 的 判定 方 法 中的 推論 aas；（ 2） 證 明 推論 aas要 求：敘 述推 論用 文字 表 達(dá) ；用圖 形中 的符 號表 達(dá) 已 知、求 證，并 證明 ，證 明對 各步 驟 要 注明 依 據(jù) 14 、在數(shù) 學(xué) 課 外活 動中 ，某 學(xué)習(xí) 小組 在 爭論 “ 導(dǎo)學(xué) 案” 上 的 一個 作 業(yè)題 ： 已 知： 如圖 ， oa平分 bac， 1=2求 證： ao bc同 學(xué)甲 說： 要 作 幫助 線 ；同 學(xué)乙 說： 要 應(yīng) 用角 平 分 線性 質(zhì)定理 來解決 ：同 學(xué)丙 說： 要 應(yīng) 用等

7、腰 三 角形 “ 三線 合一 ” 的 性質(zhì) 定理 來 解 決如 果你 是這 個 學(xué) 習(xí)小 組 的 成員 ， 請你 結(jié)合同 學(xué) 們的 爭論 寫 出 證明 過程 15、證明：勾股定理逆定理已知：在 abc中， ab=c,ac=b,bc=a ,如 c2 =a 2 + b 2求證： c = 90 度證明：作 rtdef，使 e=rt， de=b ,ef=a在 rt def中， df2 = ed 2 + ef2 = a 2 +b2由于 c2 =a 2 + b 2所以 df =c所以 df=ab，de=ac，ef=bc所以 rtdfe abcsss所以 c=e = rt二、四邊形（一）梯形1、 定理 證

8、明： “ 等腰 梯 形的 兩條 對 角 線相 等 ” 2、 用兩 種 方法 證明等 腰 梯形 判 定 定理 ：在 同 一 底上 的兩 個角相 等的 梯形 是等 腰梯 形 （ 要求 ： 畫 出圖 形， 寫 出已知 、 求證 、證 明 ）'.'ae*dc bfldc.'.'abÎdc-ae-bf.£d-*c.' dkdl0 obcfadbcqëz: r1Ób1.be/xd ad-be .3、在 梯形 abcd中，如 圖所 示， ad bc， 點 e、 f 分 別是 ab、 cd的 中 點 ， 連 接 ef，ef 叫 做

9、梯 形 的 中位線 觀 察 ef 的位 置，聯(lián) 想三 角形 的 中 位線 定 理 ，請 你 猜 想 ： ef 與 ad、bc 有 怎樣的 位置 和數(shù)量 關(guān)系 并證 明 你 的猜 想 4、采納如 圖所示 的方 法，可 以 把梯 形 abcd折疊 成一 個 矩 形 efnm（ 圖中 ef， fn， em 為 折痕）， 使得 點 a 與 b、 c 與 d 分 別 重 合于 一點 請 問， 線 段 ef 的位 置如 何確 定； 通 過這 種 圖 形變 化 ， 你能 看出 哪 些定 理 或 公式 （ 至 少三 個） ？ 證明 你 的所 有結(jié)論 解： 可以 看出 梯形 的 中位 線定 理、 面積 公 式、

10、 平行 線的 性質(zhì) 定理等 （二）平行四邊形1、 定理 證 明： 一組對 邊 平行 且 相 等的 四邊 形 是 平行 四邊 形2、 定理 求 證： 對角線 互 相平 分 的 四邊 形是 平 行 四邊 形3、 我們 在 幾何 的學(xué)習(xí) 中 能發(fā) 現(xiàn) ， 許多 圖形 的 性 質(zhì)定 理與 判定定 理之 間有 著一 定的 聯(lián) 系 例如 ：菱 形的性 質(zhì)定 理 “ 菱形 的對 角 線 相互垂 直 ” 和菱 形的 判定 定 理 “ 對角 線 相互 垂直的 平行四 邊 形是 菱 形 ” 就 是這 樣但是 課本 中對 菱 形 的另 外 一 個性 質(zhì)“ 菱 形的對 角 線平 分一 組 對 角” 卻沒有 給出 類似

11、 的 判 定定 理 ， 請你 利用如 圖所示 圖 形研 究一 下 這 個問 題 要 求： 假如 有 類 似的 判 定 定理 ， 請寫 出已知 、 求證 并證 明 假如 沒有 ，請 舉出 反例 （三）圓證明：一條弧所對圓周角等于它所對圓心角的一半；這肯定理叫做圓周角定理；（圓周角與圓心角的關(guān)系）已知在o 中， boc與圓周角 bac同對弧 bc，求證： boc=2 bac.證明： 情形 1：如圖 1，當(dāng)圓心 o在 bac的一邊上時，即a、o、b 在同始終線上時：圖 1oa、oc是半徑解： oa=oc bac=aco（等邊對等角） boc是 aoc的外角 boc=情形 2：bac+aco=2bac如圖 2, ，當(dāng)圓心 o在 bac的內(nèi)部時： 連接 ao，并延長 ao交o于 d圖 2oa、ob、oc是半徑解： oa=ob=oc bad=abo， cad=aco（等邊對等角） bod、 cod分別是 aob、 aoc的外角 bod=bad+abo=2bad三角形的外角等于兩個不相鄰兩個內(nèi)角的和）cod=cad+aco=2cad三角形的外角等于兩個不相鄰兩個內(nèi)角的和） boc=bod+cod=2bad+cad=2bac情形 3：如圖 3，當(dāng)圓心 o在 bac的外部時：圖 3 連接 ao，并延長 ao