D89二元泰勒公式課件

1、D89二元泰勒公式PPT課件*第九節(jié)一、二元函數(shù)泰勒公式一、二元函數(shù)泰勒公式 二、極值充分條件的證明二、極值充分條件的證明 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二元函數(shù)的泰勒公式 第八章 D89二元泰勒公式PPT課件一、二元函數(shù)的泰勒公式一、二元函數(shù)的泰勒公式一元函數(shù))(xf的泰勒公式: 20000!2)()()()(hxfhxfxfhxfnnhnxf!)(0)(10) 1(!) 1()(nnhnxxf) 10(推廣多元函數(shù)泰勒公式 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 D89二元泰勒公式PPT課件記號記號 (設(shè)下面涉及的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)): ),()(00yxfykxh),()(002yxfykxh

2、),()(00yxfykxhm),(),(0000yxfkyxfhyx表示),(),(2),(00200002yxfkyxfkhyxfhyyyxxx),(C000yxyxfkhpmpmpmpmppm 一般地, 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 表示表示D89二元泰勒公式PPT課件定理定理1 1.),(),(00yxyxfz在點(diǎn)設(shè)的某一鄰域內(nèi)有直到 n + 1 階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ,),(00kyhx為此鄰域內(nèi)任 一點(diǎn), 則有),(),(0000yxfkyhxf),()(00yxfkhyx),()(002!21yxfkhyx),()(00!1yxfkhnyxn),()(001! ) 1(1kyhxf

3、khRnyxnn) 10(nR其中 稱為f 在點(diǎn)(x0 , y0 )的 n 階泰勒公式階泰勒公式,稱為其拉格拉格朗日型余項(xiàng)朗日型余項(xiàng) .機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 D89二元泰勒公式PPT課件證證: 令),10(),()(00tktyhtxft則 ),() 1 (, ),()0(0000kyhxfyxf利用多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得: ),(),()(0000t kyt hxfkt kyt hxfhtyx),()()0(00yxfkhyx),()(002t kyt hxfhtxx ),(200t kyt hxfkhyx),(002t kyt hxfkyy),()()0(002yxfkhy

4、x 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 D89二元泰勒公式PPT課件),(C)(000)(t kyt hxyxfkhtpmpmpmpmppmm一般地, ),()()0(00)(yxfkhmyxm由 )(t的麥克勞林公式, 得 ) 1 ()() 1(! ) 1(1nn) 10(將前述導(dǎo)數(shù)公式代入即得二元函數(shù)泰勒公式. )0()0()0()0()(!1!21nn 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 D89二元泰勒公式PPT課件),()(001! ) 1(1kyhxfkhRnyxnn說明說明:(1) 余項(xiàng)估計(jì)式. 因 f 的各 n+1 階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù), 在某閉鄰域其絕對值必有上界 M , ,22kh

5、令則有1)(! ) 1(nnkhnMRsincoskh11)sincos(! ) 1(nnnM)1(max2 1 , 0 xx利用11)2(! ) 1(nnnM)(no2機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 D89二元泰勒公式PPT課件(2) 當(dāng) n = 0 時(shí), 得二元函數(shù)的拉格朗日中值公式:),(),(0000yxfkyhxf),(00kyhxfhx),(00kyhxfky) 10(3) 若函數(shù)),(yxfz 在區(qū)域D 上的兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)恒為零, .),(常數(shù)yxf由中值公式可知在該區(qū)域上 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 D89二元泰勒公式PPT課件例例1. 求函數(shù))0 , 0()1ln

6、(),(在點(diǎn)yxyxf解解: yxyxfyxfyx11),(),(的三階泰勒公式. 2)1 (1),(),(),(yxyxfyxfyxfyyyxxx333)1 (!2yxyxfpp)3,2, 1 ,0(p444)1 (!3yxyxfpp)4,3,2, 1 ,0(p因此,)0, 0()(fkhyx)0, 0()0, 0(yxfkfhkh機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 D89二元泰勒公式PPT課件)0, 0()(2fkhyx)0, 0()(3fkhyx)0, 0()0, 0(2)0, 0(22yyyxxxfkfkhfh)0 , 0(C333303ppppppyxfkh2)(kh3)(2kh,0

7、)0, 0(f又代入三階泰勒公式得將ykxh,)1ln(yxyx2)(21yx 33)(31Ryx其中),()(43khfkhRyx44)1 ()(41yxyxykxh) 10(機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 D89二元泰勒公式PPT課件時(shí), 具有極值二、極值充分條件的證明二、極值充分條件的證明 的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且令則: 1) 當(dāng)A 0 時(shí)取極小值.2) 當(dāng)3) 當(dāng)時(shí), 沒有極值.時(shí), 不能確定 , 需另行討論.若函數(shù)的在點(diǎn)),(),(00yxyxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx

8、02BAC02 BAC02BAC定理定理2 (充分條件)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 D89二元泰勒公式PPT課件證證: 由二元函數(shù)的泰勒公式, 并注意0),(,0),(0000yxfyxfyx則有),(),(0000yxfkyhxfz20021),(hkyhxfxxkhkyhxfyx),(200),(200kkyhxfyy,),(),(00連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)由于yxyxf所以Akyhxfxx),(00Bkyhxfyx),(00Ckyhxfyy),(00機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 D89二元泰勒公式PPT課件22221kCkhBhA其中其中 , , 是當(dāng)h 0 , k 0 時(shí)的

9、無窮小量 ,于是z),(21khQ)(22kh ,很小時(shí)因此當(dāng)kh.),(確定的正負(fù)號可由khQz(1) 當(dāng) ACB2 0 時(shí), 必有 A0 , 且 A 與C 同號, )()2(),(222221kBACkBkhBAhAkhQA)()(2221kBACkBhAA可見 ,0),(,0khQA時(shí)當(dāng)從而z0 , 因此),(yxf;),(00有極小值在點(diǎn)yx機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )(2o22221kkhhD89二元泰勒公式PPT課件,0),(,0khQA時(shí)當(dāng)從而 z0,在點(diǎn)因此),(yxf;),(00有極大值yx(2) 當(dāng) ACB2 0 時(shí), 若A , C不全為零, 無妨設(shè) A0, 則

10、)(),(221kkBhAkhQA)(2BAC ),(0)()(),(0000yxyyBxxAyx接近沿直線當(dāng)時(shí), 有,0kBhAAkhQ與故),(異號;),(yx當(dāng),),(0000時(shí)接近沿直線yxyy,0k有AkhQ與故),(同號.可見 z 在 (x0 , y0) 鄰近有正有負(fù), 在點(diǎn)因此),(yxf;),(00無極值yxxy),(00yxo機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 D89二元泰勒公式PPT課件+xy),(00yxo若 AC 0 , 則必有 B0 ,不妨設(shè) B0 , 此時(shí) 222),(kCkhBhAkhQ),(00kyhx對點(diǎn),同號時(shí)當(dāng)kh,0),(khQ,異號時(shí)當(dāng)kh,0),(khQ可見 z 在 (x0 , y0) 鄰近有正有負(fù), 在點(diǎn)因此),(yxf;),(00無極值yxkhB2,0z從而,0z從而(3) 當(dāng)ACB2 0 時(shí), 若 A0, 則21)(),(kBhAkhQA若 A0 , 則 B