第三章(單調(diào)性與凹凸性)

1、第四節(jié)單調(diào)性與凹凸性下面我們來討論，怎樣利用導(dǎo)數(shù)反過來研究函數(shù)的性質(zhì)或曲線的形態(tài). 主要介紹：?jiǎn)握{(diào)性、極值最值、凹凸、拐點(diǎn)和曲率.)( xfy )(1xf)(2xfxyoI設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f(x)定義域?yàn)槎x域?yàn)镈，區(qū)間區(qū)間DI 如果對(duì)于區(qū)間如果對(duì)于區(qū)間 I 上任意兩點(diǎn)上任意兩點(diǎn) ,當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)21,xx21xx 恒有恒有),()()2(),()() 1 (2121xfxfxfxf則稱函數(shù)則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間I上是上是 (1)單調(diào)增加的單調(diào)增加的;(2)單調(diào)減少的單調(diào)減少的.)(xfy )(1xf)(2xfxyoI.,)(0)(),()2(;,)(, 0)(),(1.),(,)(上單調(diào)減少

2、在那末函數(shù)，內(nèi)如果在上單調(diào)增加在那末函數(shù)內(nèi)如果在）（可導(dǎo)內(nèi)在上連續(xù)在設(shè)函數(shù)baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy注意:函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)區(qū)間上的性質(zhì)，要用導(dǎo)數(shù)在這一區(qū)間上的符號(hào)來判定，而不能用某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)符號(hào)來判別一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性此判定法則對(duì)其它各種類型的區(qū)間仍適用.且簡(jiǎn)單來說是開區(qū)間可導(dǎo)開區(qū)間可導(dǎo)閉區(qū)間單調(diào)閉區(qū)間單調(diào). .證:，應(yīng)用拉格朗日中值定理且,2121xxbaxx)(),)()()(211212xxxxfxfxf, 012 xx, 0)(, 0)(),(fxfba則顯然則顯然內(nèi)，內(nèi)，若在若在.,)().()(12上上單單調(diào)調(diào)增增加加在在區(qū)區(qū)間間即即baxfy

3、xfxf, 0)(, 0)(),(fxfba則顯然則顯然內(nèi)，內(nèi)，若在若在.,)().()(12上上單單調(diào)調(diào)減減少少在在區(qū)區(qū)間間即即baxfyxfxf.2 , 0sin的單調(diào)性在討論函數(shù)xxy解:.2 , 0, 0cos1,2 , 0上是單調(diào)增加的函數(shù)在由定理可知）上在（xy .1的單調(diào)性討論函數(shù)xeyx),( :. 1Deyx函數(shù)定義域?yàn)橛? 0,)0 ,(y內(nèi)在單調(diào)減少；函數(shù)在0 ,(.), 0, 0,), 0(單調(diào)增加函數(shù)在內(nèi)在y解: .)(32的單調(diào)性確定函數(shù)xxf 解：).,( :D函數(shù)的定義域?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?32)(,03xxfx 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng).,0導(dǎo)數(shù)不存在導(dǎo)數(shù)不存在時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x;0

4、 ,()(),0(0)(, 0)(,0上單調(diào)減少上單調(diào)減少在在又又時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xffxfxfxyxo32xy 0,( )0,( )0(0)( )0,).xfxf xff x 當(dāng)時(shí)又在上單調(diào)增加如上例,函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的,但在各個(gè)部分區(qū)間上單調(diào)定義:若函數(shù)在其定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間單調(diào)區(qū)間.駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn).,)()(:間內(nèi)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)然后判斷區(qū)的定義區(qū)間的點(diǎn)來劃分函數(shù)不存在用駐點(diǎn)及確定單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間xfxf 確定函數(shù)確定函數(shù)31292)(23xxxxf的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間. .解解: :12186)

5、(2xxxf)2)(1(6xx令令,0)( xf得得2, 1xxx)(xf )(xf) 1,(2001)2,1 (),2(21故故)(xf的的單調(diào)增區(qū)間為區(qū)間為, 1,()(xf的的單調(diào)減區(qū)間為區(qū)間為.2,1 12xoy12 注意：如注意：如果函數(shù)在分界點(diǎn)兩邊導(dǎo)果函數(shù)在分界點(diǎn)兩邊導(dǎo)數(shù)同號(hào)數(shù)同號(hào), , 則不改變函數(shù)的單調(diào)性則不改變函數(shù)的單調(diào)性. .例如例如, ,),(,3xxy23xy 00 xyyox3xy .)1ln(,0成立試證時(shí)當(dāng)xxx證:.)1ln(, 0)1ln(,0, 0)0(.), 0)(, 0)(,), 0(,), 0)(.1)(),1ln()(成立即時(shí)當(dāng)又上單調(diào)增加在上可導(dǎo)且

6、在上連續(xù)在則設(shè)xxxxxfxfxfxfxxxfxxxf 利用單調(diào)性證明不等式的步驟：利用單調(diào)性證明不等式的步驟：將要證的不等式作 恒等變形(通常是移項(xiàng))使一端為0,另一端即為所作的輔助函數(shù) f (x).求)(xf 驗(yàn)證f (x)在指定區(qū)間上的單調(diào)性.與區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值或極限值作比較即得證. 前面我們介紹了函數(shù)的單調(diào)性,這對(duì)于了解函數(shù)的性態(tài)很有幫助,但僅知道單調(diào)性還不能比較全面地反映出曲線的性狀,還須要考慮彎曲方向.oyxL3L2L1AB 如右圖所示L1 ,L2 和 L3雖然都是從A點(diǎn)單調(diào)上升到B點(diǎn),但它們的彎曲方向卻不一樣. L1 是“凸”弧,L2是“凹”弧 L3既有凸弧,也有凹弧,這和我們

7、日常習(xí)慣對(duì)凹凸的稱呼是一致的.問題:如何研究曲線的彎曲方向?xyoxyo1x2x)(xfy 圖形上任意弧段位于所張弦的上方xyo)(xfy 1x2x圖形上任意弧段位于所張弦的下方ABC;),()(,2)()()2(,),(,),()(212121內(nèi)的圖形是凹的在那末稱恒有兩點(diǎn)內(nèi)任意如果對(duì)內(nèi)連續(xù)在設(shè)baxfxfxfxxfxxbabaxf;),()(,2)()()2(,),(212121內(nèi)的圖形是凸的在那末稱恒有內(nèi)任意兩點(diǎn)如果對(duì)baxfxfxfxxfxxba.,)(, 0)()2(;,)(, 0)() 1 (),(,),(,)(上的圖形是凸的上的圖形是凸的在在則則上的圖形是凹的上的圖形是凹的在在則

8、則內(nèi)內(nèi)若在若在二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)內(nèi)具有內(nèi)具有在在上連續(xù)上連續(xù)在在如果如果baxfxfbaxfxfbababaxf 拐點(diǎn)：拐點(diǎn)：.)(,(,)(,(.,)(,00000為這曲線的拐點(diǎn)那么就稱點(diǎn)改變了函數(shù)的凹凸性時(shí)如果曲線在經(jīng)過點(diǎn)的內(nèi)點(diǎn)是連續(xù)在區(qū)間上設(shè)一般地xfxxfxIxIxfy 注：定理的結(jié)論可推廣到任意區(qū)間上.3的凹凸性判斷曲線xy 解:,6,32xyxy ;0 ,(, 0,0上為凸的上為凸的曲線在曲線在時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) yx.)0 , 0(是是曲曲線線由由凸凸變變凹凹的的拐拐點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn);), 0, 0,0上為凹的上為凹的曲線在曲線在時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) yx.4的凹凸性判定曲線xy 解:,43xy 212xy 時(shí)

9、，當(dāng)0 x;0 y,0時(shí)x, 0 y故曲線故曲線4xy 在在),(上是凹的上是凹的. .xyo 說明:1) 若在某點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)為0, 2)根據(jù)拐點(diǎn)的定義及上述定理,可按步驟判定拐點(diǎn):則曲線的凹凸性不變.在其兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號(hào),.)(,(,)(,)2() 3(.)(0)()2();() 1 (即為曲線的拐點(diǎn)點(diǎn)當(dāng)符號(hào)相反時(shí)兩側(cè)的符號(hào)在點(diǎn)檢查中找到的點(diǎn)對(duì)于不存在的點(diǎn)的點(diǎn)或者區(qū)間內(nèi)找出求出jjjjxfxxxfxxfxfxf 方法方法1:1:.14334的拐點(diǎn)及凹凸區(qū)間求曲線xxy解：),( :D).32(36,121223 xxyxxy.32, 0, 021 xxy得得令令x)0 ,( ),32()32

10、, 0(032)(xf )(xf 00凹的凸的凹的拐點(diǎn)拐點(diǎn))1 , 0()2711,32( 方法方法2:2:.)()(,(,0)(, 0)(,)(00000的拐點(diǎn)線是曲那末而數(shù)的鄰域內(nèi)有三階連續(xù)導(dǎo)在設(shè)函數(shù)xfyxfxxfxfxxf .)2 , 0(cossin的拐點(diǎn)的拐點(diǎn)內(nèi)內(nèi)求曲線求曲線xxy 解:,sincosxxy,cossinxxy .sincosxxy , 0 y令令.47,4321xx得得, 02)43( f, 02)47( f內(nèi)曲線有拐點(diǎn)為內(nèi)曲線有拐點(diǎn)為在在2 , 0).0 ,47(),0 ,43(P152 .141. 1. 可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別Ixxf,0)()(xf在在 I 上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增. .Ixxf,0)()(xf在在 I 上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減. .2.2.曲線凹凸與拐點(diǎn)的判別