第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

1、第三章第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱3-1 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的基本概念非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的基本概念3-2 集總參數(shù)法的簡(jiǎn)化分析集總參數(shù)法的簡(jiǎn)化分析3-3 一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的分析解一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的分析解3-4 二維及三維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題二維及三維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題 的求解3-1 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的基本概念非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的基本概念、什么是非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱1、已學(xué)穩(wěn)態(tài)：一維 ( )tt x( , )t x y（二維 ）與無關(guān) 2、非穩(wěn)態(tài)： 一維 ( , )tt x， 二維 ( , , )t x y， 三維 ( , , , )t x y z二、導(dǎo)熱微分式仍可用式（2-8），通式222222()ttttcxyzc（2-8） 除有邊界條件外還有

2、初始條件： 一般形式： ( , , ,0)( , , )t x y zf x y z常用初溫均勻： 0( , , ,0)t x y zt三、非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程及特點(diǎn)平壁為例特點(diǎn)1：分參予和不參予換熱的兩個(gè)區(qū)域特點(diǎn)2：平壁各截面上的熱流量也是不同圖3-1四、畢渥數(shù)（準(zhǔn)則數(shù)）0tt圖3-3初始溫度環(huán)境溫度面積熱阻：1( )ah1( )bh1( )ch/1/hBih 1h，冷卻過程的三種情況定義：無量綱量3-2 集總參數(shù)法的簡(jiǎn)化分析集總參數(shù)法的簡(jiǎn)化分析一、問題提出h當(dāng)很大，或很小時(shí)， ，導(dǎo)熱 0hBi對(duì)流換熱時(shí)，溫度一致） （某一現(xiàn)象： ( )tt溫度變化只是時(shí)間函數(shù)， 物體溫度均勻即某一時(shí)刻， 實(shí)質(zhì)：

3、忽略物體內(nèi)部的導(dǎo)熱熱阻 方法：集總參數(shù)法情況(b)二、集總參數(shù)法的計(jì)算式1、導(dǎo)熱微分式任意形狀物體， 0,VA t與 （設(shè) 0tt) ,hc導(dǎo)熱微分方程式通式： 222222()ttttcxyzc,xyz無關(guān)： dtdc（a） 換熱： ()hA tt （b） （2-8）（1）物體被冷卻，熱源為負(fù)值 ()hAhAVttVV （3-4）（2）物體被加熱，熱源為正值 仍設(shè) tt ，則 ()hA tthAVVV 形式不變 代入式（a），有 ()dtcVhA ttd （處理方法與等截面直肋相同）2、內(nèi)熱源用熱源代替對(duì)流換熱t(yī)t dcVhAd （c） 初始條件 00(0)tt（d） 其解為： 0exp()

4、hAcVhAecV（3-5） 說明：1） 具有長(zhǎng)度的量綱，記作l，則 V A222(/)(/)VVhAhVAh V AaBiFocVAcVV A（3-6） 0exp()VVBiFoVVeBiFo（3-7） 3、非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的解畢渥數(shù)傅里葉數(shù)2,hlaBiFol一般地： 2） hAcV1(1 ) scV hA具有的量綱，令則 1000.36836.8%ttettccVhA稱為時(shí)間常數(shù) 例： 0100則 36.83）能用集總參數(shù)法分析的加熱或冷卻 問題，又稱為牛頓加熱或冷卻 c時(shí) 見圖3-4 三、采用集總參數(shù)法的判斷條件()0.1Vh V ABiM（3-10） M 12()Vh V ABi0.05其

5、中 ，長(zhǎng)圓柱 113，大平板 ，球體 0.10.033()V A AA222R lRRl324343RRR， 平板 ， 圓柱體 ， 球體 BiVBihlBi與 的關(guān)系 ：(/)Vh VABi四、不同幾何形狀的加熱和冷卻速度比較若內(nèi)熱阻可忽略（即0Bi ）： 排列： 球體圓柱平板應(yīng)用：溫度計(jì)感溫部分為球體習(xí)題：3-13，3-15例題3-1（冷卻到t時(shí)，=？） 3-2（測(cè)溫給定，t=？） 3-3 （加熱到t時(shí)，=？）（5）3-3 一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的分析解、無限大平板的分析解2( , )t x一塊厚為的無限大平板為例，注意坐標(biāo)的取法 1、導(dǎo)熱微分方程式及定解條件 導(dǎo)熱微分方程式，由式（2-8）得 22

6、ttax0 x0，（，( , )tt x）（3-11） 初始條件：（1） 0( ,0)t xt，（ 0 x）（3-12） 邊界條件：（1） 0( , )0 xt xx（分布對(duì)稱性） （3-13） （2） ( , ) ( , )xt xh ttx （表面對(duì)流換熱，無內(nèi)熱源） （3-14） 引入過余溫度 ( , )t xt 則有 22ax， （ 0 x， 0）（3-15） 初始條件：（1） 0( ,0)x0 x（）（3-16） 邊界條件：（1） 0( , )0 xxx（3-17） （2） ( , )( , )xxhx （3-18） ( , )x2、導(dǎo)熱微分方程式的求解二階偏微分方程用分離變量法求解

7、設(shè) ( , )( ) ( )xX x TX T則 ( )( )dTdTX xXdd（簡(jiǎn)寫） 222222( )( )d X xd XTTxdxdx式（3-15）成為 222211dTd XdTd XXaTddxaT dX dx只與 有關(guān) 只與 有關(guān) x只有兩邊同為某一常數(shù)時(shí)，該式才成立 分析解為 00( , )( , )t xtxtt22()1sin()cos()2sin()cos()nannnnnnnxe 特征值 由特征方程決定： tan()nnBi ， 1,2,n 顯見： 220( , )(,)(,)(,)nxaxahxxfff Fo Bi Bi畢渥數(shù)OF傅里葉數(shù)注：式（3-19）計(jì)算很煩

8、，常用圖線表示其關(guān)系諾謨圖 （3-19） 解過程 略n（3-20） （3-21） 3、非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的正規(guī)狀況階段分析解式(3-19)為無窮級(jí)數(shù)，計(jì)算量大但當(dāng)20.2aFo21()1100111( , )2sin()( , )cos()sin()cos()Fot xtxxett 1( , )cos()( )mxxii 用式(3-19)的第一項(xiàng)計(jì)算：誤差1%（3-22） （3-23） 取比值與無關(guān)！屬正規(guī)狀況階段平板中心處將式(3-22)簡(jiǎn)寫為2110( , )()FoxAef（3-27） 符號(hào)見表3-24、正規(guī)狀況階段的實(shí)用計(jì)算方法（1）近似擬合公式法（2）諾謨圖法2110( , )()FoxAe

9、f211()(1)cBibaBiAabe（3-27） 式中（3-29a） （3-29b） 相應(yīng)的a，b，c見表3-3xrR或二、求解一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的圖線法諾謨圖：（1）按分析解第一項(xiàng)計(jì)算繪制的圖線 0(0, )( ,0)mx1( , )()(0, )mxf這二張圖亦稱海斯勒?qǐng)D（確定溫度分布）中心位置溫度隨時(shí)間變化量（x=0時(shí)）任意位置與中心位置的溫度比值式（3-23）與x無關(guān) 圖 0間傳遞的熱量與最大熱量之比0QQ000( , )mmt xttt（3-30） （2）1 、無限大平板的諾謨圖20( , )(,)(,)xahxxff Fo Bi11201(,)(,)maffFohBi ， （a

10、） 221(,)(,)mxxffhBi （b） 圖（3-6）圖（3-7） 2220()()Qh af FoBifQ圖（3-8）2 、無限長(zhǎng)圓柱體或球體20( , )(,)(,)rahR rrff Fo BiRRR附錄2 圖13 圖4611201(,)(,)maffFohR RBi221(,)(,)mrrffhR RBi R=3、典型運(yùn)用分析 求未知變量 mhR， ， ，或任一個(gè) 1）給定條件（ 0, ,httx），求被加熱體中 某一時(shí)刻 的任意位置 xrt或 處的溫度即 tt tt hhRa）或； 2a2aR或 0m（查圖） xrRb） 或 00mmm（查圖） 2）給定條件（0,htt ），求

11、被加熱體 xrRwt表面（或處）達(dá)到 wwtt, 即所需時(shí)間 x1rRhhRa) 由或；或 wmm00mwwmb) ； 2a或 2aR（查圖） （查圖） wt例題（3-5） 3）對(duì)于物體被加熱， ( , )( , )0 xt xt而物體被冷卻， ( , )( , )0 xt xt都適用200( , )( , )(,)t xtxahxftt 4）當(dāng)平板一側(cè)加熱，一側(cè)絕熱時(shí)， 則式（3-19） 和圖線仍可用。 因?yàn)榉治龅臄?shù)學(xué)模型一樣。 0 x，00 xx， hx 例題（3-4）習(xí)題：（3-25）提示：最高溫度在內(nèi)側(cè)面 （3-36）（6）3-4 二維及三維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的求解一、問題提出非無限大平板

12、，而是一個(gè)很長(zhǎng)的長(zhǎng)方體（無限長(zhǎng)長(zhǎng)方體）0tt 置于流體中溫度：( , , )t x y 過余溫度： ( , , )( , , )x yt x yt定義：無量綱過余溫度： 00( , , )( , , )( , , )x yt x ytx ytt 二維問題1222xy( , , )x y.溫度分布對(duì)稱只要分析第一象限（圖3-9） 二、處理方法（二維非穩(wěn)態(tài)問題的乘積法）定理：若初始溫度為常數(shù)（0t）且邊界 具有第類或第類邊界條件，則無限長(zhǎng)長(zhǎng)方體的無量綱過余溫度為兩個(gè)相應(yīng)等厚無限大平板過余溫度 的乘積。 xyxrxyz21222=hR對(duì)于無限大平板12， 溫度分布為0( , )( , )xx， x方向?qū)幔?對(duì)于無限大平板22， 溫度分布為0( , )( , )yy， y方向?qū)?：化解成兩塊 則無限長(zhǎng)長(zhǎng)方體： 00( , )( , )( , , )( , )( , )xyxyx yxy （3-37） 證明略參見課本p81的證明過程三、短圓柱體也屬二維2h的無限大平板（一維） ( , )x半徑為R的無限長(zhǎng)圓柱（一維） ( , )r短圓柱體 hR( ,) 同理有： 00( , )( , )( , , )( , )( ,