第5章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析

1、第第5章章 離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析n5.1 離散時(shí)間信號(hào)的基本概念離散時(shí)間信號(hào)的基本概念n5.2 離散系統(tǒng)的基本概念離散系統(tǒng)的基本概念n5.3 線性時(shí)不變離散系統(tǒng)的時(shí)域分析線性時(shí)不變離散系統(tǒng)的時(shí)域分析12與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)相比，離散時(shí)間系統(tǒng)的優(yōu)點(diǎn)與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)相比，離散時(shí)間系統(tǒng)的優(yōu)點(diǎn): 易于實(shí)現(xiàn)、便于大規(guī)模集成、可靠性更好；易于實(shí)現(xiàn)、便于大規(guī)模集成、可靠性更好；在足夠字長(zhǎng)的條件下，可以設(shè)計(jì)更高的精度。在足夠字長(zhǎng)的條件下，可以設(shè)計(jì)更高的精度。由可編程器件和軟件來(lái)實(shí)現(xiàn)，系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)更靈活、系統(tǒng)的升級(jí)由可編程器件和軟件來(lái)實(shí)現(xiàn)，系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)更靈活、系統(tǒng)的升級(jí)維護(hù)更簡(jiǎn)單維護(hù)更簡(jiǎn)單

2、并非離散時(shí)間系統(tǒng)可以完全取代連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)并非離散時(shí)間系統(tǒng)可以完全取代連續(xù)時(shí)間系統(tǒng) 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)與離散時(shí)間系統(tǒng)分析方法比較連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)與離散時(shí)間系統(tǒng)分析方法比較連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)離散時(shí)間系統(tǒng)離散時(shí)間系統(tǒng)微分方程微分方程差分方程差分方程數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型( )H s系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)H(z)經(jīng)典法經(jīng)典法卷積積分法卷積積分法時(shí)域分析時(shí)域分析經(jīng)典法經(jīng)典法卷積求和法卷積求和法拉普拉斯變換拉普拉斯變換傅里葉變換傅里葉變換變換域分析變換域分析z變換變換離散傅里葉變換離散傅里葉變換( )H頻響特性頻響特性()jH e3離散時(shí)間系統(tǒng)基礎(chǔ)理論體系離散時(shí)間系統(tǒng)基礎(chǔ)理論體系(Basic theory of disc

3、rete-time system) 離散時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析（第5章 時(shí)域分析）離散時(shí)間系統(tǒng)的變換域分析（第6章 z變換、z域分析) 基礎(chǔ)理論基礎(chǔ)理論數(shù)字信號(hào)處理數(shù)字信號(hào)處理通信雷達(dá)聲吶控制地震生物專業(yè)方向?qū)I(yè)方向45.1 離散時(shí)間信號(hào)的基本概念離散時(shí)間信號(hào)的基本概念n5.1.1 離散時(shí)間信號(hào)的描述離散時(shí)間信號(hào)的描述n5.1.2 基本離散信號(hào)基本離散信號(hào)n5.1.3 離散信號(hào)的運(yùn)算與變換離散信號(hào)的運(yùn)算與變換55.1.1 離散時(shí)間信號(hào)的描述離散時(shí)間信號(hào)的描述n離散時(shí)間信號(hào)是指僅在時(shí)間的離散值有定義離散時(shí)間信號(hào)是指僅在時(shí)間的離散值有定義的信號(hào)，簡(jiǎn)稱離散信號(hào)，也稱離散序列。的信號(hào)，簡(jiǎn)稱離散信號(hào)，也稱離

4、散序列。n數(shù)值的離散時(shí)間間隔通常是均勻的，設(shè)間隔數(shù)值的離散時(shí)間間隔通常是均勻的，設(shè)間隔為為T,信號(hào)可表示為信號(hào)可表示為6()x nT(, 1,0,1,2,)n 如圖所示。 ()x nTtnT只在只在上有定義，在其它時(shí)刻沒(méi)有定義，上有定義，在其它時(shí)刻沒(méi)有定義，而不是幅度為零。而不是幅度為零。 ()x nTT()x nT( )x n(, 1,0,1,2,)n 的時(shí)間間隔是均勻的，在離散時(shí)間信號(hào)的分析和處理中，往往的大小，因?yàn)樗挥绊懛治龅倪^(guò)程和結(jié)果，所以，一般將表示為不需要考慮離散時(shí)間信號(hào)( )x n，可以由連續(xù)時(shí)間信號(hào)等間隔采樣獲得，如圖所示（虛線所表示的連續(xù)時(shí)間信號(hào) ）。 7離散時(shí)間信號(hào)的描述

5、方法離散時(shí)間信號(hào)的描述方法對(duì)于離散時(shí)間信號(hào)的描述，常采用以下三種形式對(duì)于離散時(shí)間信號(hào)的描述，常采用以下三種形式 解析形式解析形式 序列形式序列形式 圖形形式圖形形式 0( )sin()x nnfk=1、0、2、0、0、0、0、-1指向原點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)指向原點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)fkk2101235-1-2-1-1141、0、2、0、0、0、0、-1(-2)(-2)是序列開(kāi)始的宗數(shù)是序列開(kāi)始的宗數(shù)圖圖5-1 離散信號(hào)離散信號(hào)81 1單位沖激序列單位沖激序列( (單位樣值序列單位樣值序列) )1,0( )0,0nnn( )n( ) t單位取樣序列類似于連續(xù)時(shí)間信號(hào)中的單位沖激信號(hào) ，在信號(hào)與系統(tǒng)的分析中作用相

6、當(dāng)，但必須注意它們之間的區(qū)別。 ( )n0n 是一個(gè)確定的物理量，在時(shí)取值為1離散時(shí)間點(diǎn)上取值為零 ，在其它非零的不是一個(gè)物理量，只是一個(gè)數(shù)學(xué)抽象。 ( ) t5.1.2 基本離散信號(hào)基本離散信號(hào)9100kkf123-2-112-1-2-3圖5-3 2 32 3 12 2f kkkkkkn任意序列均可表示為任意序列均可表示為k的位移加權(quán)和的位移加權(quán)和即即ppkpfkfnk與任意信號(hào)相乘特性與任意信號(hào)相乘特性fkk= f0kfk-mk= f-mkfkk-n= fnk-nfk-mk-n= fn-mk-n11n2單位階躍序列單位階躍序列uk單位階躍序列單位階躍序列u k，如圖，如圖5-4所示，表示為

7、：所示，表示為：0 00 1kkuk12圖5-4 單位階躍序列ukk1012341111)(tu) 1 (0tt10)(tdttdut)()( - 微分關(guān)系微分關(guān)系dtut)()(- 積分關(guān)系積分關(guān)系 1nu nu n- 差分關(guān)系差分關(guān)系0 12mu nnnnn m - 求和關(guān)系求和關(guān)系. -2 -1 0 1 2 3 nun -2 -1 0 1 2 3 n n1113n3門序列門序列Ap2N+1k-n門高門高A，門寬，門寬2N+1，門的中心位置，門的中心位置n圖5-5 門序列p2N+1kkA01-N-121- (1)NNpNPkkpu kNu kN14n無(wú)時(shí)限指數(shù)序列無(wú)時(shí)限指數(shù)序列ak(a為實(shí)

8、常數(shù)為實(shí)常數(shù))對(duì)于對(duì)于fkakuk稱為單邊指數(shù)序列稱為單邊指數(shù)序列(因果因果指數(shù)序列指數(shù)序列).151a ，序列是發(fā)散的。 1a ，序列是收斂的 0a 0a 序列的所有樣值都為正值 序列正、負(fù)擺動(dòng) 圖5-6單邊指數(shù)序列165.1.3 離散信號(hào)運(yùn)算與變化離散信號(hào)運(yùn)算與變化n1、相加、相加(乘乘):對(duì)應(yīng)宗數(shù)函數(shù)值相加對(duì)應(yīng)宗數(shù)函數(shù)值相加(乘乘)17圖5-10離散信號(hào)相加（乘）-2kf1k21112-10kf2k1212-10-2f1k +f2kk2212-10-2-111f1k f2kk21-1011118例：已知 1( ) ,1( )20,1nnx nn 1( ) ,0( )21,0nny nnn

9、求 ( )( )x ny n解：根據(jù)序列求和定義，得解：根據(jù)序列求和定義，得11( ),02( )( )( )2,11,1nnz nx ny nnnn 解：根據(jù)序列乘積的定義，得解：根據(jù)序列乘積的定義，得1( ) ,0( )( )( )40,0nnz nx ny nn 例例: 已知已知 1( ) ,1( )20,1nnx nn 1( ) ,0( )21,0nny nnn0時(shí)，時(shí)， fk-n波形是波形是fk波形右移波形右移n位的結(jié)果，位的結(jié)果，當(dāng)當(dāng)n0時(shí)，時(shí)， fk-n波形是波形是fk波形左移波形左移n位的結(jié)果。位的結(jié)果。 2122圖5-12 信號(hào)移位 (a)fk (b)左位移信號(hào)左位移信號(hào) (

10、c)右位移信號(hào)右位移信號(hào)kfkk0-11-1fk+1k-1 0-212fk-11023-1122-1112n4、差分、差分:仿照連續(xù)信號(hào)的微分運(yùn)算，定義離仿照連續(xù)信號(hào)的微分運(yùn)算，定義離散信號(hào)的差分運(yùn)算散信號(hào)的差分運(yùn)算23000( )( )()( )( )()limlimlimtttdf tf tf ttf tf tf ttdtttt 離散信號(hào)離散信號(hào)的變化率有兩種表示形式的變化率有兩種表示形式： ( )(1)( )( )( )(1)(1)(1)f kf kf kf kf kf kkkkkkk離散信號(hào)離散信號(hào)fk的前向差分運(yùn)算為：的前向差分運(yùn)算為： fk=fk+1-fk離散信號(hào)離散信號(hào)fk的后向

11、差分運(yùn)算為：的后向差分運(yùn)算為： fk=fk-fk-1例: 已知 1( ) ,1( )20,1nnx nn ，求 ( )x n( )x n和。 解：根據(jù)前向差分的定義，得( )(1)( )x nx nx n111( ),11( ),22(1)22,20, 20,2nnnnx nnnn ( )(1)( )x nx nx n1111 1( )( )( ) ,1222 22,20,2nnnnnn 24根據(jù)后向差分的定義，得( )( )(1)x nx nx n11( ),0(1)20,0nnx nn1( ) ,1( )20,1nnx nn 1( ) , 122,10,1nnnn ， ( )( )(1)x

12、 nx nx n1111( )( )( ) ,12222,10,1nnnnnn 25n5、求和、求和:表示表示y(n)在某個(gè)樣點(diǎn)在某個(gè)樣點(diǎn)n0上的值等于上的值等于x(n)在這個(gè)樣點(diǎn)在這個(gè)樣點(diǎn)n0上的值上的值x(n0)以及以及n0以前所有以前所有樣點(diǎn)上樣點(diǎn)上x(chóng)(n)的值之和的值之和26( )( )nky nx n圖5-13 信號(hào)求和示意圖kfky120-100k-101234133222k0227(a)離散信號(hào)離散信號(hào)fk (b) fk的求和信號(hào)的求和信號(hào)yk圖圖5-14 離散離散信號(hào)及其求和信號(hào)信號(hào)及其求和信號(hào)0kkf12-11-1230kky12-11233224求和2829例 1( ) ,

13、1( )20,1nnx nn ( )( )nky nx k已知，求解：012( ) ,12( )( )2,10,1nnnkkny nx knn 111 ( )1224( ) ,112122,10,1nnnnn =5.2 離散系統(tǒng)的基本概念離散系統(tǒng)的基本概念n5.2.1 線性時(shí)不變（線性時(shí)不變（LTI）離散系統(tǒng)的性質(zhì)）離散系統(tǒng)的性質(zhì)n5.2.2 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型305.2.1 線性時(shí)不變線性時(shí)不變(LTI)離散系統(tǒng)的性質(zhì)離散系統(tǒng)的性質(zhì)n輸入輸出信號(hào)都是離散信號(hào)的系統(tǒng)稱為離散輸入輸出信號(hào)都是離散信號(hào)的系統(tǒng)稱為離散時(shí)間系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱離散系統(tǒng)。時(shí)間系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱離散系統(tǒng)。kf離散系統(tǒng)ky圖

14、5-15 離散系統(tǒng)框圖311、離散系統(tǒng)的線性特性、離散系統(tǒng)的線性特性n同時(shí)具三性同時(shí)具三性n分解性分解性:yk= yxk+ yfkn零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)yxk線性性線性性n零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)yfk線性性線性性322、離散系統(tǒng)的移位不變特性、離散系統(tǒng)的移位不變特性n已知，已知， fkykn則：則： fk-nyk-n33fkky時(shí)不變系統(tǒng)0k0kk-ny0kk-nf0nnn1231n2n3n1234564n1n2n3n5n6n圖5-16 移位不變離散系統(tǒng)345.2.2 LTI離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型n1、差分方程的階、差分方程的階差分方程的階等于輸出序列的最高、最低宗數(shù)之差。差分方程

15、的階等于輸出序列的最高、最低宗數(shù)之差。n2、n階階LTI離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型n階階LTI離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是n階線性常系數(shù)差分方程。階線性常系數(shù)差分方程。設(shè)輸入設(shè)輸入fk，輸出輸出 yk，一般形式為：一般形式為： yk+n+an-1yk+n-1+ a1yk+1+ a0yk= bmfk+m+bm-1fk+m-1+ b1fk+1+ b0fk其中，其中， aj， bi均為常數(shù)均為常數(shù)差分方程本質(zhì)上是遞推的代數(shù)方程，若已知初始條件差分方程本質(zhì)上是遞推的代數(shù)方程，若已知初始條件和激勵(lì)，利用迭代法可求得其數(shù)值解和激勵(lì)，利用迭代法可求得其數(shù)值解35n例：例： 若描述某系統(tǒng)

16、的差分方程為若描述某系統(tǒng)的差分方程為 y(k)+3y(k-1)+2y(k-2)=f(k)已知初始條件已知初始條件y(0)=0，y(1)=2，激勵(lì)，激勵(lì)f(k)=2k u(k)，求求y(k)n解：解： y(k)=-3y(k-1)-2y(k-2)+f(k) y(2)=-3y(1)-2y(0)+f(2)=-2 y(3)=-3y(2)-2y(1)+f(3)=10.注：一般不易得到解析形式的注：一般不易得到解析形式的(閉合閉合)解解36n3、算子、算子n超前算子超前算子EEfk=fk+1 Enfk=fk+n,(n為正整數(shù)為正整數(shù))n滯后算子滯后算子E-1E-1fk=fk-1 E-nfk=fk-n,(n為

17、正整數(shù)為正整數(shù))n廣義超前算子廣義超前算子D(E)，是，是E的正冪次多項(xiàng)式的正冪次多項(xiàng)式如如D(E)=E+2 D(E)fk=(E+2)fk=fk+1+2fkn廣義滯后算子，其中廣義滯后算子，其中D(E)是廣義超前算子是廣義超前算子)(,)(1kfEDkykfkyED即：37n4、LTI離散系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移算子離散系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移算子n引入算子，得系統(tǒng)算子方程式引入算子，得系統(tǒng)算子方程式D(E)yk=N(E)fk或或yk=H(E)fkn其中系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移算子其中系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移算子01110111)()()(aEaEaEbEbEbEbEDENEHnnnmmmm38xk xk+ykyk (b) 加法器加法器離散時(shí)間系統(tǒng)

18、的基本單元符號(hào)表示：離散時(shí)間系統(tǒng)的基本單元符號(hào)表示：E1xkxk-1(a) 延時(shí)器延時(shí)器xkxk-1D(c) 數(shù)乘器數(shù)乘器axk axkaxk axkaxk axk395.3 線性時(shí)不變離散系統(tǒng)的時(shí)域分析線性時(shí)不變離散系統(tǒng)的時(shí)域分析n5.3.1 卷積和卷積和n5.3.2 零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)n5.3.3 零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)405.3.1 離散卷和離散卷和n1離散卷和的定義離散卷和的定義n2圖解卷和圖解卷和n3卷和的性質(zhì)卷和的性質(zhì)41求求卷積和卷積和是本章的重點(diǎn)是本章的重點(diǎn)1離散卷和的定義離散卷和的定義n具相同宗數(shù)的兩離散信號(hào)具相同宗數(shù)的兩離散信號(hào)f1k和和f2k的求和的求和 稱為該兩序列的離

19、散卷和，記稱為該兩序列的離散卷和，記為：為：n卷和運(yùn)算中，求和上下限的選取與信號(hào)的取卷和運(yùn)算中，求和上下限的選取與信號(hào)的取值范圍有關(guān)，在計(jì)算時(shí)，需根據(jù)具體情況確定。值范圍有關(guān)，在計(jì)算時(shí)，需根據(jù)具體情況確定。當(dāng)當(dāng)f1k 和和f2k均為因果序列時(shí)，二者卷和為：均為因果序列時(shí)，二者卷和為：12120 ( )kpf kf kfp f kp ppkfpf211212 pf kf kf p f kp422圖解卷和圖解卷和n離散信號(hào)的圖解卷和與連續(xù)信號(hào)的圖解卷積離散信號(hào)的圖解卷和與連續(xù)信號(hào)的圖解卷積積分類似，是指應(yīng)用形象直觀的圖形并結(jié)合計(jì)積分類似，是指應(yīng)用形象直觀的圖形并結(jié)合計(jì)算來(lái)求解離散信號(hào)卷和的一種有效

20、方法。算來(lái)求解離散信號(hào)卷和的一種有效方法。n優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn):便于確定求和的上下限，尤其適用于簡(jiǎn)便于確定求和的上下限，尤其適用于簡(jiǎn)單序列的卷和運(yùn)算；單序列的卷和運(yùn)算；n缺點(diǎn)缺點(diǎn):不易得到閉合函數(shù)形式。不易得到閉合函數(shù)形式。4301k1kf12220k2kf132321144n其圖解卷積步驟如下：其圖解卷積步驟如下：n(1)置換置換kp,即即f1k f1p , f2kf2pn(2)反褶反褶p-p,即即f2pf2 -pn(3)移位移位-pk- -p,即即f2 -pf2 k-pn(4)相乘相乘 即即f1p f2k-p n(5)求和求和 即即kppkfpfpy02145“置換” “反褶”01p12220p2p

21、f13232111pf0p2pf 23-2-1146(k6)02kky107211134551例例1：設(shè)設(shè)hn 與與 xn 分別如下圖所示，求分別如下圖所示，求 y nx nh n h nn321120 x nn31120解法一：列表法解法一：列表法 1 1 1 1 x m 3 2 1hm01 33y 11 2 1 35y 21 1 1 2 1 36y 31 1 1 2 1 36y 41 1 1 23y 51 11y 60y 3 2 11hm 3 2 12hm 3 2 13hm 3 2 14hm 3 2 15hm 3 2 16hm48 h nn321120 x nn31120解法二：列豎式法解

22、法二：列豎式法1 1 1 1(0) 3 2 1 (0)1 1 1 12 2 2 23 3 3 33 5 6 6 3 1即：(0) 3, 5, 6, 6, 3, 1y n 49將兩序列用列表法表示，以各自n的最高宗數(shù)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值按右端對(duì)齊，然后把各個(gè)序列值對(duì)應(yīng)相乘，但不要進(jìn)位，最后把同一列上的乘積值按對(duì)應(yīng)位求和，也不進(jìn)位取得卷和結(jié)果，卷和的起始位置，由兩序列起始位置之和確定，適用于求解有限長(zhǎng)短序列的卷和結(jié)果501212 2 124 34 3 15 2 * f nnnnnf nnnny nf nf n例：已知序列序列，求2 1 4 1(1) 3 1 5 (0)10 5 20 52 1 4 16 3

23、 12 36 5 23 12 21 5即：(1) 6, 5, 23, 12, 21, 5y n 3、 卷和的性質(zhì)卷和的性質(zhì)n（1）代數(shù)運(yùn)算性質(zhì)）代數(shù)運(yùn)算性質(zhì)n交換律交換律n分配律分配律n結(jié)合律結(jié)合律1221kfkfkfkf3121321kfkfkfkfkfkfkf321321kfkfkfkfkfkf51n（2）離散序列與）離散序列與 的卷和的卷和 n離散序列與離散序列與uk的卷和的卷和kfkkfkppfkukfk52 * (1) u ku kku k53例：已知例：已知x(n)=anu(n)(0a1),h(n)=u(n)，求，求y(n)=x(n)*h(n)。( )( )( ) kkky nx

24、nh nx k h nka u k u nk由于當(dāng)由于當(dāng)kn時(shí)，時(shí)，un-k=0，當(dāng)，當(dāng)0kn時(shí)，時(shí)，ukun-k=1，所以求和區(qū)間應(yīng)是，所以求和區(qū)間應(yīng)是0kn，故有，故有 101( )( )1nnkkay nau na解：53n（3）卷和的移位特性）卷和的移位特性n若若f1k*f2k=yk，則：則：f1k-n1*f2k-n2=yk -n1-n2,( n1、n2為整數(shù)為整數(shù))5455n（4）有限個(gè)樣本點(diǎn)序列間的卷和仍為有限個(gè)）有限個(gè)樣本點(diǎn)序列間的卷和仍為有限個(gè)樣本點(diǎn)序列。樣本點(diǎn)序列。若若f1k、f2k的樣本點(diǎn)數(shù)分別為的樣本點(diǎn)數(shù)分別為N1、N2，則則yk= f1k* *f2k的樣本點(diǎn)數(shù)的樣本點(diǎn)數(shù)

25、N= N1+N2-155565.3.2 零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)n1、零輸入響應(yīng)的定義：系統(tǒng)在初始狀態(tài)單獨(dú)、零輸入響應(yīng)的定義：系統(tǒng)在初始狀態(tài)單獨(dú)作用下（輸入為零）的響應(yīng)分量，定義為系統(tǒng)作用下（輸入為零）的響應(yīng)分量，定義為系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)分量。是齊次差分方程的零輸入響應(yīng)分量。是齊次差分方程D(E)yxk=0的解。的解。5657經(jīng)典解經(jīng)典解n2、零輸入響應(yīng)的求法：若、零輸入響應(yīng)的求法：若LTI離散系統(tǒng)轉(zhuǎn)移算離散系統(tǒng)轉(zhuǎn)移算子為子為(1)解特征方程解特征方程D(E)=0，得特征根，得特征根vj (j=1、2、n) n當(dāng)特征根當(dāng)特征根vj均為單根時(shí)均為單根時(shí))()()(EDENEHikckynjkjjx,1

26、5758n當(dāng)特征根有重根時(shí)，設(shè)：當(dāng)特征根有重根時(shí)，設(shè)：其中其中1為為重根，重根，+1 n均為單根均為單根,則：則：)()()()(11nEEEEDikCkCkCCkynjkjjkx,)(1112158(2)代入初始狀態(tài)定待定常數(shù)代入初始狀態(tài)定待定常數(shù)Cj。59例例：若描述某離散系統(tǒng)的差分方程為：若描述某離散系統(tǒng)的差分方程為 y(k) + 3y(k 1) + 2y(k 2) = f(k)已知激勵(lì)已知激勵(lì)f(k)=2k , k0，初始狀態(tài)初始狀態(tài)y(1)=0, y(2)=1/2, 求求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)解解：yx(k)滿足方程滿足方程 yx(k) + 3yx(k 1)+ 2yx(k

27、2)= 0其初始狀態(tài)其初始狀態(tài)yx(1)= y(1)= 0, yx(2) = y(2) = 1/2方程的特征根為方程的特征根為1= 1 ，2= 2 ，其解為其解為 yx(k)=Cx1( 1)k+Cx2(2)k 將初始值代入將初始值代入 并解得并解得 Cx1=1 , Cx2= 2 所以所以 yx(k)=( 1)k 2( 2)k , k-259605.3.3 零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)n零狀態(tài)響應(yīng)的定義：零狀態(tài)響應(yīng)的定義：系統(tǒng)在輸入的單獨(dú)作用下系統(tǒng)在輸入的單獨(dú)作用下(初始狀態(tài)為零初始狀態(tài)為零)的響應(yīng)分量，稱為系統(tǒng)的零狀態(tài)的響應(yīng)分量，稱為系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，記為響應(yīng)，記為yfk。是差分方程。是差分方程yfk

28、=H(E)fk在初在初始狀態(tài)為零時(shí)的解始狀態(tài)為零時(shí)的解n單位脈沖響應(yīng)單位脈沖響應(yīng):系統(tǒng)在輸入為單位沖激信號(hào)系統(tǒng)在輸入為單位沖激信號(hào)k時(shí)的零狀態(tài)響應(yīng)分量稱為離散系統(tǒng)的單位脈沖響時(shí)的零狀態(tài)響應(yīng)分量稱為離散系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，記為應(yīng)，記為hk。是差分方程。是差分方程hk=H(E)k在初始在初始狀態(tài)為零時(shí)的解狀態(tài)為零時(shí)的解6061n離散系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)：系統(tǒng)輸入為離散系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)：系統(tǒng)輸入為單位階躍序列時(shí)的零狀態(tài)響應(yīng)稱為系單位階躍序列時(shí)的零狀態(tài)響應(yīng)稱為系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)，記為統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)，記為gk= uk*hkn零狀態(tài)響應(yīng)的求法：系統(tǒng)輸入為零狀態(tài)響應(yīng)的求法：系統(tǒng)輸入為fk時(shí)，時(shí)，零狀態(tài)響應(yīng)零狀

29、態(tài)響應(yīng)yfk=fk*hk62n例例 已知已知LTI離散時(shí)間系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系為離散時(shí)間系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系為求系統(tǒng)的單位沖擊響應(yīng)序列求系統(tǒng)的單位沖擊響應(yīng)序列n解：當(dāng)輸入信號(hào)為解：當(dāng)輸入信號(hào)為fn= n時(shí)，可得該系統(tǒng)時(shí)，可得該系統(tǒng)的單位沖擊序列為：的單位沖擊序列為：n即即 hn=u-n-162 1k ny nf k 1k nh nk110n 其他63)0(h) 1 (h)(nh 迭代法求單位沖激響應(yīng)迭代法求單位沖激響應(yīng) 方法：利用隱含的已知條件用迭代法依次求方法：利用隱含的已知條件用迭代法依次求)() 1(21)(nxnyny)(nh1( )(1)( )2( 1)0h nh nnh1)0() 1(

30、21)0(hh21) 1 ()0(21) 1 (hh2)21()2() 1 (21)2(hhnnnhnh)21()() 1(21)(例： 求：求： 解： 64n已知某已知某LTI離散時(shí)間系統(tǒng)的單位沖擊序列響離散時(shí)間系統(tǒng)的單位沖擊序列響應(yīng)應(yīng)hn=2nun，求該系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)，求該系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)s(n)n解：解：當(dāng)當(dāng)n 0時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)n0時(shí)，時(shí)，ukun-k=0，則，則64 * 2 kkks nu nh nh k u nku k u nk1 0 0knu k u nk其他1101 2 2 (21) ( )1 2nnknks nu nu nu n65例例 如圖復(fù)合系統(tǒng)由三個(gè)如圖復(fù)合系統(tǒng)由三個(gè)

31、子系統(tǒng)組成，其中子系統(tǒng)組成，其中h1(k) = u(k)， h2(k) = u(k 5)，求復(fù)合系統(tǒng)的，求復(fù)合系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)單位序列響應(yīng)h (k) 。 解解 根據(jù)根據(jù)h(k)的定義，有的定義，有h1(k)h2(k)h1(k)f(k)f(k)y(k)y(k)h(k)= h1(k) h2(k) * h1(k) = h1(k) * h1(k) h2(k) * h1(k) = u(k)* u(k) u(k 5) *u(k) = (k+1)u(k) (k+15)u(k5) = (k+1)u(k) (k 4)u(k 5)6566例例 如圖復(fù)合系統(tǒng)由兩個(gè)子系統(tǒng)如圖復(fù)合系統(tǒng)由兩個(gè)子系統(tǒng)級(jí)聯(lián)組成，其中級(jí)聯(lián)組成，其中h1(k) = 2cos(k)， h2(k) = aku(k)，激勵(lì)激勵(lì)f(k)= (k)(k-1)，求復(fù)合系，求復(fù)合系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)響應(yīng)統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)響應(yīng)yf (k) 。 h1(k)h2(k)f(k)f(k)y(k)y(k)解解yf (k) = f(k)* h1(k) * h2(k) = 2cos(k)*aku(k)*(k)(k-1) = 2cos(k)*aku(k) - aku(k -1