常見的幾種平面變換(反射變換與旋轉(zhuǎn)變換)

1、學(xué)習(xí)目標(biāo):1 理解可以用矩陣表示平面中常見的幾何變?yōu)?掌握恒等、伸壓、反瓠 旋轉(zhuǎn)、投執(zhí) 切變變換的矩陣表示及其幾何童義;3.從幾何上理解二階矩陣對(duì)應(yīng)的幾何變換是竣性變換準(zhǔn)往將直拔變成直錢或點(diǎn)溫故知新仁恒等變換矩陣（單位矩陣）E= 10恒等變換是指對(duì)平面上任何一點(diǎn)（向量）或圖形施以矩陣P對(duì)應(yīng)的變換，都把自己變?yōu)樽约?o 110_XX=>T:XTxrX01yyyyfy溫故知靳2伸壓變換矩陣M=a=卩°0 10 b伸壓變換矩陣是指將圖形作沿工軸方向伸長或壓縮, 或沿y軸方向伸長或壓縮的變換矩陣.j0 X01y22_2Xxf=>T:T_y_¥221 00 0.5伸壓變換

2、問題情軌求圓6 0 2)2+0 2)2 = 2在矩陣-1 01作用下變換所得的曲線.(x + 2)2+(y-2)2 =2X-2)2+(，2)2=2兩個(gè)幾何圖形有何特點(diǎn)?問題1*境OX象限有一張汽車圖片尺已知在平面直角坐標(biāo)的將它做關(guān)于兀軸、y軸和半標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的變換，分別得 到圖片F(xiàn)1 . F2 ” F3 ”處些變換能用矩陣來刻畫嗎?問題仁 若將一個(gè)平面圖形F在矩陣 的作用變換下得到關(guān)于歹軸對(duì)稱的幾 何圖形，則如何來求出這個(gè)矩陣呢？ 問題2：能否再找出其它類似的變換矩陣嗎?xr-xL/J_y _變換矩陣為M=-1010陸二0-1"-10陸二0-1=0r Af4 =101(4)M5 二把一

3、個(gè)幾何圖形變換為與之關(guān)于 龍軸對(duì)稱的圖形；把一個(gè)幾何圖形變換為與之關(guān)于 原點(diǎn)對(duì)稱的圖形$把一個(gè)幾何圖形變換為與之關(guān)于 直線y =兀對(duì)稱的圖形鼻q直線y = x對(duì)稱的圖形；把一個(gè)幾何圖形變換為與之關(guān)于構(gòu)建數(shù)學(xué)般地，稱形如mpm2,m3,m4,m5這樣將一個(gè)平面圖形F變?yōu)殛P(guān)于定直線或定點(diǎn)對(duì)稱的 平面圖形的變換矩陣，稱之為反射變換矩陣，對(duì)應(yīng)的 變換叫做反射變換，其中（3）叫做中心反射，其余 叫軸反射其中定直線叫做反射軸，定點(diǎn)稱為反射點(diǎn).數(shù)學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)應(yīng)用例2.求出直線y = 4x在矩陣M作用下變換得到的圖形.0數(shù)學(xué)應(yīng)用3-1 1例3.求直線/：2x+y-7 = 0在矩陣M二 作用下變換得到的圖形.00

4、1-1 13-1 1則變換得到的圖形是什么?思考仁若矩陣M =改為矩陣4 =0或點(diǎn)丿思考2：我們從中能猜想什么結(jié)論？ 一般地，二階非零矩陣對(duì)應(yīng)的變換把直線變成道線.A（2（x + 入卩）=人 Aa + & A 卩這種把亶線變?yōu)橹本€的變換叫做線性變換.學(xué)生活動(dòng)變式：門設(shè)若旳=:定義的線性變換把直線-1 b _/:2x + y-7 = 0變換成另一直線 :x + y 7 = 0求的值.學(xué)生活動(dòng)1.求平行四邊形OBCD在矩陣作用2 求出曲線y =心在矩陣0M =-1-1-1 00下變換得到的幾何圖形，并給出圖示，其中0(0,0),B(2,0),C(3,1)Q(1,1)作用下變換得到的曲線.學(xué)

5、生活動(dòng)0 -1"1-求矩形0BCD在矩陣h ° 作用下變換得到的 幾何圖形，并給出圖示，其中0(0,0), 3(2,0),C(2,l),D(0,l)102求出曲線yV經(jīng)二ro 10-1作用下變換得到的曲線.1 0學(xué)生活動(dòng)3 求 y 二M3/(兀0)在昭=01-100-1m410 -1r0M2-1001分別作用下變換得到的曲線.4二階矩陣M對(duì)應(yīng)的變換將(1,-1)與(-2,1)分別變換成(5,7)與(-3,6)(1) 求矩陣M(2) 求直線l:x-y = 4在此變換下所變成的j T的解析式.構(gòu)建數(shù)學(xué)旋轉(zhuǎn)變換ESI巳91Pg y)2.旋轉(zhuǎn)變換矩陣是指將平面圖形圍繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

6、0矗賽換宛陣，箕中捺為旋轉(zhuǎn)角，皆o為旋轉(zhuǎn)中心.| x = rcosa y = rsin ax -廠cos(a + 0) = rcosacosO-rsinasinO = xcosO-ysinOy - r sin(« + 0)二廠 sin a cos 0+rcosasin0 = y cos O + xsinOcos <9一 sin。Xsin 6cos <9_y.旋轉(zhuǎn)變換M=cos 0 一 sin 0sin 3 cos 010-1"0 110_1 0Xy兀' yyx=>Tyx-1 0 II y旋轉(zhuǎn)變換矩陣主對(duì)角線上的兩個(gè)數(shù)相等.副對(duì)角線上的兩 個(gè)數(shù)互為相反數(shù)且每行、每列的兩個(gè)數(shù)的平方和為1 另外中 心對(duì)稱與旋轉(zhuǎn)180。是同一變換，要注意旋轉(zhuǎn)變換中旋轉(zhuǎn)方向 為逆時(shí)針.旋轉(zhuǎn)變換只改變幾何圖形的相對(duì)位置，不會(huì)改變幾何圖形 的形狀，旋轉(zhuǎn)中心在旋轉(zhuǎn)過程中保持不變，圖形的旋轉(zhuǎn)由旋 轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角度決定,顯然繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。的變換相當(dāng)于 關(guān)于定點(diǎn)作中心反射變換數(shù)學(xué)應(yīng)用、C (2, 1)、D (0, 1)例4.已知A (0, 0)、B (2, 0)試求矩形ABCD繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后所得到的圖形，并 求出其頂點(diǎn)坐標(biāo)，畫出示意圖。變式：將條件