數(shù)學(xué)建模用回歸分析探究止痛劑療效模型

1、用回歸分析探究止痛劑療效模型摘要：本文通過結(jié)合實際情況，對病人疼痛減輕時間和影響它的因素：用藥量，性別，血壓作了較為合理的分析。首先，我們將用藥量分為四組，求其每組用藥量的平均值，利用Minitab工具，畫出散點圖。我們通過散點圖分析，得到了病痛減輕時間和平均用藥量的數(shù)學(xué)模型：二次模型。然后，我們假設(shè)病人疼痛減輕時間分別與性別，血壓呈線性關(guān)系。綜合上述，我們就第一次得到了較為粗略的數(shù)學(xué)模型。結(jié)合數(shù)據(jù)，通過MATLAB回歸分析檢驗，我們得到了可以接受的數(shù)學(xué)模型。同時，我們也發(fā)現(xiàn)其存在問題，需要優(yōu)化，所以，我們提出對模型的改進(jìn)：同樣，將用藥量分為四組，將血壓分為三組，分別求其平均值?？紤]不同性別的

2、病痛患者疼痛減輕時間與平均用藥量的關(guān)系，不同性別的病痛患者疼痛減輕時間與平均用藥量和平均血壓共同作用的關(guān)系；不同性別的病痛患者病痛減輕時間與平均用藥量和不同性別的共同作用的關(guān)系。同理，我們利用Minitab工具，畫出不同性別患者病痛減輕時間和分好組的平均用藥量的散點圖；不同性別病痛患者病痛減輕時間和分好組的平均用藥量和平均血壓共同作用的散點圖；不同性別病痛患者病痛減輕時間和分好組的平均用藥量和性別共同作用的散點圖。這樣我們就得到了個改進(jìn)后的二次模型。我們通過MATLAB工具，經(jīng)過回歸分析檢驗我們發(fā)現(xiàn)改進(jìn)后的數(shù)學(xué)模型較以前的模型更加優(yōu)化，更加接近實際。因此，我們接受改進(jìn)后的模型。這樣我們就得到了

3、病人疼痛減輕時間與用藥量和性別以及血壓間的關(guān)系，即最終數(shù)學(xué)模型。此數(shù)學(xué)模型可以作為我們根據(jù)患者的用藥量，性別，血壓來預(yù)測其病痛減輕時間。關(guān)鍵字：回歸方程 矩陣 置信區(qū)間 估計值問題重述 一個醫(yī)藥公司的新藥研究部門為了掌握一種新止痛藥的療效。設(shè)計了一種藥物試驗，給患者有同種病痛的病人使用這種新止痛劑的一下4個劑量中的某一個：2g，5g，7g和10g，并記錄每個病人病痛明顯減輕的時間（以分鐘計）。為了解新藥的療效與病人性別和血壓又什么關(guān)系，實驗過程中研究人員把病人按性別及血壓的低、中、高三檔平均分配來進(jìn)行測試。通過比較每個病人血壓的歷史數(shù)據(jù)，從低到高分成三組，分別記作0.25,0.50,和0.75

4、.實驗結(jié)束后，公司的記錄結(jié)果見下表（性別以0表示女，1表示男）。請你為公司建立一個模型，根據(jù)病人用藥的劑量、性別和血壓組別，預(yù)測出服藥后病痛明顯減輕的時間。問題分析及建立模型根據(jù)常識，我們知道病人的病痛減輕時間與用藥量有直接的關(guān)系，除此之外，一般的話，病人病痛減輕時間與性別，血壓也有明顯的關(guān)系。我們假設(shè)病痛減輕時間為y,用藥劑量為,性別為，血壓組別為。分析不同用藥劑量下的病痛減輕時間，根據(jù)所給數(shù)據(jù)用minitab作散點圖：(分別作出線性、二次、三次關(guān)系擬合)以上三幅圖的比較中，我們發(fā)現(xiàn)，隨著用藥劑量的增加，y有向上彎曲增加的趨勢，圖中的曲線是用二次函數(shù)模型可知：病痛減輕時間與用藥劑量成二次函數(shù)

5、關(guān)系，則可建立模型：y=+分別作病痛減輕時間與性別和血壓組別的散點圖： 在病痛減輕時間與性別的散點圖中，性別的不同并未導(dǎo)致病痛減輕時間很大的變化，而在病痛減輕時間與血壓組別的散點圖中，血壓分為三個組別，不易看出兩者的關(guān)系。于是我們假設(shè)病人疼痛減輕時間分別與性別、血壓呈線性關(guān)系，可建立模型：及由以上分析可建立綜合模型： （1）模型求解直接利用MATLAB統(tǒng)計工具箱中的命令regress求解：x = 1.0000 2.0000 0 0.2500 4.0000 1.0000 2.0000 0 0.5000 4.0000 1.0000 2.0000 0 0.7500 4.0000 1.0000 2.0

6、000 1.0000 0.2500 4.0000 1.0000 2.0000 1.0000 0.5000 4.0000 1.0000 2.0000 1.0000 0.7500 4.0000 1.0000 5.0000 0 0.2500 25.0000 1.0000 5.0000 0 0.5000 25.0000 1.0000 5.0000 0 0.7500 25.0000 1.0000 5.0000 1.0000 0.2500 25.0000 1.0000 5.0000 1.0000 0.5000 25.0000 1.0000 5.0000 1.0000 0.7500 25.0000 1.00

7、00 7.0000 0 0.2500 49.0000 1.0000 7.0000 0 0.5000 49.0000 1.0000 7.0000 0 0.7500 49.0000 1.0000 7.0000 1.0000 0.2500 49.0000 1.0000 7.0000 1.0000 0.5000 49.0000 1.0000 7.0000 1.0000 0.7500 49.0000 1.0000 10.0000 0 0.2500 100.0000 1.0000 10.0000 0 0.5000 100.0000 1.0000 10.0000 0 0.7500 100.0000 1.00

8、00 10.0000 1.0000 0.2500 100.0000 1.0000 10.0000 1.0000 0.5000 100.0000 1.0000 10.0000 1.0000 0.7500 100.0000>> b,bint,r,rint,stats=regress(y,x)b = 63.1291 -10.2706 5.6667 -1.5000 0.5111bint = 48.7173 77.5409 -14.9243 -5.6169 -0.0213 11.3546 -15.4325 12.43250.1319 0.8903stats = 0.8275 22.7903

9、0.0000 44.310b表示的各個參數(shù)估計值，bint表示其各個參數(shù)估計值的置信區(qū)間。Stats下的各個數(shù)據(jù)依次表示回歸方程的決定系數(shù)，即相關(guān)系數(shù)，F(xiàn)統(tǒng)計量值，F(xiàn)統(tǒng)計量對應(yīng)的概率值p。結(jié)果分析：從上表我們可以看出，=0.8275指因變量y的82.75可由模型確定。F=22.7903遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過F檢驗的臨界值。P=0.0000遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于a(置信水平)，所以，該模型大體上還是可以應(yīng)用的。上表的回歸系數(shù)給出了的估計值，即=63.1291，=-10.2706，=5.6667，=-1.5000，=0.5111.根據(jù)其各自的置信區(qū)間，我們可以檢查發(fā)現(xiàn)：、的置信區(qū)間包含了零點。它表明了回歸變量，還不是太顯著。

10、病痛減輕時間預(yù)測：將回歸系數(shù)值代入簡化后的模型。即可預(yù)測病痛減輕時間y，預(yù)測值記為 ，得到預(yù)測方程：63.1291-10.2706+5.6667-1.5000+0.5111我們只需知道用藥量，性別，血壓，我們就能計算預(yù)測值。如對男性，血壓組別為0.5，用藥劑量為5時的疼痛時間進(jìn)行預(yù)測63.1291-10.2706*5+5.6667*1-1.5000*0.5+0.5111*25=29.47（四舍五入）如對女性，血壓組別為0. 5，用藥劑量為5時的疼痛時間進(jìn)行預(yù)測63.1291-10.2706*5+5.6667*0-1.5000*0.5+0.5111*25=23.80（四舍五入）模型改進(jìn)由于的置信

11、區(qū)間包含了零點，這就表明了此模型還有待改進(jìn)。模型（1）中分析回歸變量、對y的影響都是相互獨立的。下面討論自變量之間的相互作用對y的影響：為探究用藥劑量與性別的共同作用對疼痛減輕時間的影響，作不同性別時，用藥劑量與疼痛減輕時間的關(guān)系圖：其中，虛線表示男性用藥劑量與疼痛減輕時間分析圖，實線表示女性用藥劑量與疼痛減輕時間分析圖。由圖可以明顯看出來性別與用藥劑量的相互作用對疼痛減輕時間有影響，可用與的乘積代表他們的相互作用。為探究用藥劑量與血壓組別的共同作用對疼痛減輕時間的影響，作不同血壓組別時，用藥劑量與疼痛減輕時間的關(guān)系圖：其中，C3、C6、C9分別是血壓組別為0.25、0.50、0.75時用藥劑

12、量與疼痛減輕時間的關(guān)系。由圖可以看出來用藥劑量與血壓組別的相互作用對疼痛減輕時間有影響，可用與的乘積代表他們的相互作用。由表中所給數(shù)據(jù)可看出性別與血壓組別的相互作用對疼痛減輕時間的影響不大。于是將模型（1）中增加兩項和，得到模型： （2）利用MATLAB的統(tǒng)計工具得到如下結(jié)果：其中矩陣x的第六列表示，第七列表示。x = 1.0000 2.0000 0 0.2500 4.0000 0 0.5000 1.0000 2.0000 0 0.5000 4.0000 0 1.0000 1.0000 2.0000 0 0.7500 4.0000 0 1.5000 1.0000 2.0000 1.0000 0

13、.2500 4.0000 2.0000 0.5000 1.0000 2.0000 1.0000 0.5000 4.0000 2.0000 1.0000 1.0000 2.0000 1.0000 0.7500 4.0000 2.0000 1.5000 1.0000 5.0000 0 0.2500 25.0000 0 1.2500 1.0000 5.0000 0 0.5000 25.0000 0 2.5000 1.0000 5.0000 0 0.7500 25.0000 0 3.7500 1.0000 5.0000 1.0000 0.2500 25.0000 5.0000 1.2500 1.000

14、0 5.0000 1.0000 0.5000 25.0000 5.0000 2.5000 1.0000 5.0000 1.0000 0.7500 25.0000 5.0000 3.7500 1.0000 7.0000 0 0.2500 49.0000 0 1.7500 1.0000 7.0000 0 0.5000 49.0000 0 3.5000 1.0000 7.0000 0 0.7500 49.0000 0 5.2500 1.0000 7.0000 1.0000 0.2500 49.0000 7.0000 1.7500 1.0000 7.0000 1.0000 0.5000 49.0000

15、 7.0000 3.5000 1.0000 7.0000 1.0000 0.7500 49.0000 7.0000 5.2500 1.0000 10.0000 0 0.2500 100.0000 0 2.5000 1.0000 10.0000 0 0.5000 100.0000 0 5.0000 1.0000 10.0000 0 0.7500 100.0000 0 7.5000 1.0000 10.0000 1.0000 0.2500 100.0000 10.0000 2.5000 1.0000 10.0000 1.0000 0.5000 100.0000 10.0000 5.0000 1.0

16、000 10.0000 1.0000 0.7500 100.0000 10.0000 7.5000>> b,bint,r,rint,stats=regress(y,x)b = 43.5408 -7.0059 -0.3333 43.6765 0.5111 1.0000 -7.5294bint = 29.8831 57.1986 -10.4416 -3.5702 -8.7359 8.0692 23.0945 64.2584 0.2663 0.7559 -0.2596 2.2596 -10.6148 -4.4440stats =0.9367 41.9218 0.0000 18.1779結(jié)

17、果分析：從上表我們可以看出，=0.9367指因變量y的93.67可由模型確定。F=41.9218遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過F檢驗的臨界值。P=0.0000遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于a(置信水平)，所以，該模型基本可以反應(yīng)病痛減輕時間與用藥劑量、性別、血壓組別的關(guān)系。上表的回歸系數(shù)給出了的估計值，即=43.5408，=-7.0059，=-0.3333，=43.6765，=0.5111，=1.0000，=-7.5294病痛減輕時間預(yù)測：將回歸系數(shù)值代入簡化后的模型。即可預(yù)測病痛減輕時間y，預(yù)測值記為 ，得到預(yù)測方程：43.5408-7.0059-0.3333-43.6765+0.5111+1.0000-7.5294我們只需知道用藥量

18、，性別，血壓，我們就能計算預(yù)測值：如對男性，血壓組別為0.75，用藥劑量為7時的疼痛時間進(jìn)行預(yù)測43.5408-7.0059*7-0.3333*1-43.6765*0.75+0.5111*49+1.0000*7-7.5294*5.25=19.44（四舍五入）如對女性，血壓組別為0.75，用藥劑量為7時的疼痛時間進(jìn)行預(yù)測43.5408-7.0059*7-0.3333*0-43.6765*0.75+0.5111*49+1.0000*0-7.5294*5.25=19.77（四舍五入）與所給數(shù)據(jù)出入不大?？偨Y(jié) 本次模型的建立，改進(jìn)優(yōu)化，總體來說，做的還比較順利。最終建立的數(shù)學(xué)模型的結(jié)果預(yù)測比較符合實際情況，可以作為預(yù)測模型。但是在建立和優(yōu)化模型過程中，我們既得到了一些經(jīng)驗，但同時我們也還有更待完善的地方，還有許多地方需要進(jìn)一步改進(jìn)，但由于團(tuán)隊能力和技術(shù)知識有限，所以還有許多遺憾之處。首先：優(yōu)點，我們通過所學(xué)的Minitab數(shù)學(xué)工具，結(jié)合所給的數(shù)據(jù)，畫出散點圖，為我們的初次建立數(shù)學(xué)模型指明了方向，防止偏離正確的軌道，為