水平井試井分析模型

1、一 符號(hào)說(shuō)明和無(wú)量綱量字符說(shuō)明英文符號(hào)：B = 流體積系數(shù)；C = 井筒存儲(chǔ)系數(shù)（m3/MPa）；ct = 總壓縮系數(shù)（1/MPa）；h = 有效層厚（m）；Ij(v) = j 階第一類修正Bessel函數(shù)；kj = j方向滲透率（m2），j = h、v；Kj(v) = j 階第二類修正Bessel函數(shù)；L = 水平井筒半長(zhǎng)（m）；P = 壓力（MPa)；P = 壓差（MPa)；q = 產(chǎn)量（m3/d）；rw = 水平井筒半徑（m）；Skin = 表皮因子；s = Laplace變換量；t = 時(shí)間（hour）；x、y = 坐標(biāo)；xe、ye = 外邊界距離（m）；z = 坐標(biāo)；zw = 水平井

2、垂向位置，m；希臘符號(hào)： =流體粘度（mPa·s）；f = 孔隙度；hj = j 方向擴(kuò)散系數(shù)，定義為hj = kj /fmctj；下標(biāo)：D = 無(wú)量綱；w = 井壁；i = 初始狀態(tài)；eD = 無(wú)量綱外邊界無(wú)量綱量定義采用中國(guó)SI單位制，定義如下無(wú)量綱量群：無(wú)量綱壓力：；表皮壓力降：，無(wú)量綱時(shí)間：，無(wú)量綱井筒存儲(chǔ)系數(shù)：，無(wú)量綱Fair變井筒存儲(chǔ)參數(shù)： ，無(wú)量綱坐標(biāo)：，無(wú)量綱井筒半長(zhǎng)：；無(wú)量綱滲透邊界補(bǔ)給系數(shù)： 無(wú)量綱雙孔介質(zhì)參數(shù)：；二 試井分析理論模型由于試井分析模型較多，本章將分類介紹主要模型。模型1 平面無(wú)限延伸平板地層物理模型如圖所示，垂向有上下平板型封閉、上定壓下封閉、上封

3、閉下定壓及上下皆定壓四種情形可選，水平方向無(wú)限延伸，均勻各向異性或雙重孔隙介質(zhì)任選其一，常井儲(chǔ)和Fair變井儲(chǔ)任選其一。物理模型如圖所是2-1AD。無(wú)量綱參數(shù)：LD、zwD、HLCD、CDe2S、D、CfD、；封閉hzw2L封閉圖2-1A定壓hzw2L封閉圖2-1B封閉hzw2L定壓圖2-1C定壓hzw2L定壓圖2-1D需要說(shuō)明的是，由于定壓邊界的影響，在某些情況下上下定壓和上封閉下定壓、下封閉上定壓情形區(qū)別不大。壓力分布解式：考慮垂向存在平板型封閉邊界、水平方向無(wú)窮延伸的均勻或各向異性地層中一口均勻流量水平井的不定常滲流理論，它是水平井不定常滲流基本問(wèn)題之一。關(guān)于這個(gè)專題以前的研究，較早而且

4、比較完整的結(jié)果主要有Goode和Thambynayagam（1985）、Daviau（1985）、Clonts和Ramey（1986）、Ozkan和Raghavan（1987、1991）以及Kuchuk和Goode（1988）等人的論文，他們的結(jié)果各有特點(diǎn)。而針對(duì)雙重介質(zhì)的研究者有Carvalho（1988）、Aguilera（1989）以及劉慈群（1991）等人，以下分別簡(jiǎn)述之。按SPE的文獻(xiàn)發(fā)表時(shí)間排序，Goode和Thambynayagam的論文是占先的。他們將水平井看成垂直于x-y平面的條帶源，采用Fourier余弦變換結(jié)合Laplace變換求解了三維Fourier方程，分別給出了壓力

5、降落和壓力恢復(fù)問(wèn)題的實(shí)時(shí)域解式。雖然他們的計(jì)算分析過(guò)于簡(jiǎn)單，也沒有進(jìn)一步給出快速計(jì)算曲線方面的研究結(jié)果，但他們給出了壓力降落早期、中期、中晚期及晚期的近似表達(dá)式，這對(duì)后來(lái)的研究者有很大的啟發(fā)。另外他們追溯了利用水平井開采的思想直至四十年代，并列舉了包括東歐研究者在內(nèi)的一些論文。同年，Daviau等人也研究了類似問(wèn)題。他們利用已有的Gringarten和Ramey（1973）的瞬時(shí)點(diǎn)源函數(shù)式直接構(gòu)造了實(shí)時(shí)域解式。Daviau等人的理論研究比較簡(jiǎn)潔，采用一種近似方法考慮了井筒存儲(chǔ)的影響，但他們計(jì)算的主要參數(shù)影響的半對(duì)數(shù)曲線圖版流動(dòng)段很清楚，基本反應(yīng)了這類問(wèn)題的壓力反應(yīng)特征。Ozkan和Raghav

6、an的論文更注重計(jì)算方法方面的研究，對(duì)解式的漸近變化表述的比較清楚。尤其是他們對(duì)壓力導(dǎo)數(shù)曲線的分析和計(jì)算是前所未有的，所附錄的數(shù)值計(jì)算結(jié)果也為后來(lái)的研究者提供了驗(yàn)證方便。相比來(lái)看，Kuchuk等人的研究結(jié)果集眾家之長(zhǎng)而富有代表性。他們?cè)跀?shù)學(xué)模型中吸取了Goode和Thambynayagam論文中的精華，又引入了一種新的混合型垂向邊界條件，利用其極限形式研究了有底水或氣頂?shù)母飨虍愋越橘|(zhì)中水平井的瞬時(shí)壓力。他們的解析解式幾乎包含了在此以前的有關(guān)結(jié)果。其中值得注意的是他們采用沿著水平井段取積分平均的方法解決了測(cè)壓點(diǎn)的選取問(wèn)題。物理模型：各向異性平面無(wú)界地層水平井問(wèn)題Green-Newman解法Sz(

7、z,t)hzw2Lh2LSy(y,t)zwxzySx(x,t)S(x,y,z,t)物理模型和Green-Newman解法思路如圖所示：線源有量綱解式：按Green-Newman解法，有量綱解式為：式中，根據(jù)井和所在的地層條件，按前文的推導(dǎo)結(jié)果，可給出各維Green函數(shù)如下：（1）x方向?yàn)榘腴L(zhǎng)是L的直線源，取算術(shù)平均：（2）y方向要么為無(wú)限延伸：（3）z方向要么上下平板型封閉，要么有一個(gè)為定壓邊界而另一個(gè)為平板型封閉：線源無(wú)量綱解式：有兩種方法可以對(duì)褶積通式進(jìn)行無(wú)量綱化（Kuchuk，1988；Ozkan，1987），為對(duì)比方便，以下對(duì)應(yīng)給出：結(jié)果分別為：其中，各Green函數(shù)分量為：本文采用后

8、一種方法，結(jié)果為：注意解式含有無(wú)窮函數(shù)序列的積分，可進(jìn)行分部記分后采用Gauss公式計(jì)算，過(guò)程比較繁瑣。流動(dòng)段特征：可出現(xiàn)的流動(dòng)段有：井筒存儲(chǔ)段、初始徑向流段、中期徑向流段、中期線性流段，受垂向定壓邊界影響，還可能出現(xiàn)中期穩(wěn)態(tài)段，如圖所示。模型2 圓柱地層re2Lhzw圖2-2物理模型如圖2-2所示。垂向上下邊界仍有四種組合，即上下平板型封閉、上定壓下封閉、上封閉下定壓及上下皆定壓；水平方向?yàn)閳A形滲透型界，均勻、各向異性或雙重孔隙介質(zhì)任選其一，平面外邊界的滲透系數(shù)LB的變化范圍為（0 ），在實(shí)際應(yīng)用中，其范圍可取（0 100），其中當(dāng)LB = 0時(shí)表示封閉邊界，LB = 表示定壓邊界，其他LB

9、給定值表示邊界的相對(duì)滲透能力。圓形介質(zhì)中的滲流問(wèn)題是一個(gè)經(jīng)典的問(wèn)題，因?yàn)檩^早的研究對(duì)象一般針對(duì)完善直井，它涉及的僅是平面徑向的不定常滲流，隨著應(yīng)用數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)的發(fā)展，這個(gè)經(jīng)典滲流問(wèn)題的研究逐漸得到深入?？疾霱uskat（1937）、Jaeger（1940、1941）、van Everdingen（1949）、Horner（1951）以及Rowan（1962）等人的研究論文，研究者要么選用點(diǎn)源條件要么對(duì)線源解的解析反演結(jié)果作相應(yīng)的近似，以便能夠計(jì)算和應(yīng)用，這是因?yàn)楫?dāng)時(shí)沒有較好的Laplace數(shù)值反演方法和高效率的電子計(jì)算機(jī)，精確計(jì)算所得到的解式是很困難的。后來(lái)，由于有了成功的Stehfest（1

10、970）數(shù)值反演算法和高速電子計(jì)算機(jī)，計(jì)算圓形介質(zhì)中平面徑向流問(wèn)題就變得相對(duì)容易一些。Temeng和Horne（1982）曾經(jīng)采用Stehfest方法計(jì)算了偏心圓系統(tǒng)直井的井壁壓力降落問(wèn)題，九十年代初Rosa和Horne（1993）對(duì)這一問(wèn)題又進(jìn)行了更深入的研究，他們除了重新計(jì)算了偏心圓系統(tǒng)直井的井壁壓力降落問(wèn)題之外，還通過(guò)改進(jìn)數(shù)學(xué)模型研究了介質(zhì)中存在圓形布滲透體對(duì)鄰近直井壓力分析的影響。然而，在圓柱體介質(zhì)中水平井的不定常滲流屬于三維問(wèn)題，模型的求解和計(jì)算變得愈加復(fù)雜，特別是要完成相應(yīng)的快速、準(zhǔn)確的計(jì)算方法必需解決許多數(shù)學(xué)難題，如無(wú)窮Bessel函數(shù)級(jí)數(shù)求和快速計(jì)算問(wèn)題等，可供參考的研究文獻(xiàn)為

11、數(shù)不多而且不甚詳細(xì)。兩位優(yōu)秀的研究者Ozkan和Raghavan（1991）在他們總結(jié)性的文獻(xiàn)中只是列舉過(guò)此類解式，但沒有詳細(xì)的討論。Chen（1991）曾經(jīng)給出過(guò)均勻圓形介質(zhì)中完善的垂直裂縫井不定常滲流數(shù)學(xué)模型，由于完善的垂直裂縫井問(wèn)題屬于二維不定常滲流問(wèn)題，Chen的結(jié)果只相當(dāng)于水平井情形相應(yīng)解式中的第一項(xiàng)。王曉冬和劉慈群（1995）發(fā)表了關(guān)于這一問(wèn)題的一篇研究論文，將其中的垂向邊界取為混合型，并且對(duì)于具體的計(jì)算方法、晚期段穩(wěn)態(tài)或擬穩(wěn)態(tài)的壓力漸近表現(xiàn)等做了詳細(xì)的討論，文中還給出了一口井的現(xiàn)場(chǎng)實(shí)際測(cè)試資料分析數(shù)據(jù)。高為h、外半徑為Re的雙重孔隙型圓柱介質(zhì)的上、下邊界中有一個(gè)為封閉，另一個(gè)為混

12、合型。在水平井段上任意一處取垂向常強(qiáng)度線匯，以下給出經(jīng)過(guò)Laplace變換后的三維不定常滲流數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型：在Laplace變換域中，無(wú)量綱控制方程：內(nèi)邊界條件：垂向邊界條件：， or 徑向外邊界條件（封閉或定壓）：，其中，s是對(duì)應(yīng)于tD的Laplace變換量，其他相應(yīng)關(guān)系式為：，下面給出以上模型的Laplace變換解。Fourier-Laplace變換解：根據(jù)本問(wèn)題的特點(diǎn)，對(duì)上述數(shù)學(xué)模型各式再施以Fourier有限余弦積分變換，初步求得數(shù)學(xué)模型的解為：，圓形封閉，圓形定壓這里，F(xiàn)ourier有限余弦積分變換關(guān)系式及其它記號(hào)為，式中：，而n是下列特征方程之非負(fù)根：再對(duì)所得的初步解式作疊加積分

13、和Fourier反演，可得到水平方向圓形封閉/定壓的雙重孔隙介質(zhì)型油藏水平井（條帶匯）之壓力分布公式。（1）垂向上、下邊界平板型封閉、水平方向圓形封閉介質(zhì)中水平井井壁壓力分析公式：式中引用井壁條件，得到：，（2）垂向上、下邊界平板型封閉、水平方向圓形定壓地層中水平井井壁壓力分析公式：通過(guò)這一解式計(jì)算，可以得到晚期穩(wěn)態(tài)特征。典型曲線特征分析：一般，在完全封閉的介質(zhì)中，井產(chǎn)液較長(zhǎng)一段時(shí)間后整個(gè)介質(zhì)中的壓力變化與延續(xù)時(shí)間將成線性關(guān)系，此時(shí)介質(zhì)中平均壓力和井底壓力之差為一常數(shù)，這種狀態(tài)通常稱為擬穩(wěn)態(tài)。而在有底水或氣頂?shù)慕橘|(zhì)中由于氣頂或底水的強(qiáng)補(bǔ)給，晚期壓力變化將與延續(xù)時(shí)間無(wú)關(guān)，稱之為穩(wěn)態(tài)。計(jì)算結(jié)果參見

14、附圖。計(jì)算分析表明，由于在平面徑向上存在圓形邊界，在晚期水平井井壁壓力將表現(xiàn)為穩(wěn)態(tài)或擬穩(wěn)態(tài)。水平井壓力動(dòng)態(tài)可劃分為當(dāng)LD較小時(shí)：初期徑向流球形流平面徑向流雙重介質(zhì)過(guò)渡段平面徑向流擬穩(wěn)態(tài)/穩(wěn)態(tài)；而當(dāng)LD較大時(shí)：初期徑向流中期線性流平面徑向流雙重介質(zhì)過(guò)渡段平面徑向流擬穩(wěn)態(tài)/穩(wěn)態(tài)。模型3 平面有單一斷層xf2Lhzw圖2-3物理模型如圖2-3所示。垂向上下邊界仍有四種組合，即上下平板型封閉、上定壓下封閉、上封閉下定壓及上下皆定壓；平面上存在單一直線段層；均勻、各向異性或雙重孔隙介質(zhì)任選其一。無(wú)量綱量：LD、zwD、HLCD、CDe2S、D、CfD、xfD；流動(dòng)段特征：可出現(xiàn)的流動(dòng)段有：井筒存儲(chǔ)段、初

15、始徑向流段、中期徑向流段、中期線性流段，受垂向定壓邊界影響，還可能出現(xiàn)中期穩(wěn)態(tài)段；對(duì)于上下平板型封閉的地層。模型4 箱式地層ywxwzyx2Lhzw圖2-4yexe物理模型如圖2-4所示。垂向上下邊界仍有四種組合，即上下平板型封閉、上定壓下封閉、上封閉下定壓及上下皆定壓；平面上存在矩形邊界，每一條直線邊界有無(wú)限大、封閉及定壓等三種情形可選；均勻、各向異性或雙重孔隙介質(zhì)任選其一。無(wú)量綱量：LD、zwD、HLCD、CDe2S、D、CfD、xwD、ywD、xeD，yeD流動(dòng)段特征：可出現(xiàn)的流動(dòng)段有：井筒存儲(chǔ)段、初始徑向流段、中期徑向流段、中期線性流段，由于垂向定壓邊界影響，還可能出現(xiàn)中期穩(wěn)態(tài)段；對(duì)于

16、上下平板型封閉的地層，如圖所示。由于水平封閉邊界影響，壓降曲線晚期可能出現(xiàn)擬穩(wěn)態(tài)流動(dòng)段。三 雙對(duì)數(shù)擬合求參公式 已知基礎(chǔ)參數(shù)：流量q、流體粘度、系統(tǒng)壓縮系數(shù)ct、井筒半徑rw、流體體積系數(shù)Bo、地層孔隙度f(wàn)（小數(shù)）、地層有效厚度h、水平井筒半長(zhǎng)L。今采用CSI單位制，其各量單位為： P=MPa；t=Hour；q= m3/day；= mPas；k= m2；ct = 1/MPa；h, rw, L= m其他單位參照?qǐng)?zhí)行。將無(wú)量綱壓力和無(wú)量綱時(shí)間的定義式可分別寫成：；其他無(wú)量綱量為： ；特別是，對(duì)于各向異性地層，有等效井徑模型：；這里，S是各向異性引起的表皮因子。根據(jù)典型曲線擬合可知PM、TM、LD、HLCD、reD等擬合值，則參數(shù)計(jì)算公式：地層系數(shù)/滲透率：；井儲(chǔ)系數(shù)及其無(wú)量綱量：；表皮因子即表皮壓力降：；壓降/壓恢探測(cè)半徑：；圓形地層邊界距離：斷層距離/井位置：；井位置：；矩形邊界：；各向異性表皮因子：四 半對(duì)數(shù)直線段分析方法（1）井筒存儲(chǔ)方程（2）初始徑向流方程，壓降方程：