多元微積分基礎(chǔ)課件

1、多元微積分基礎(chǔ)PPT課件1多元微積分基礎(chǔ)PPT課件2碩士研究生入學(xué)統(tǒng)考數(shù)學(xué)試卷分為四種：碩士研究生入學(xué)統(tǒng)考數(shù)學(xué)試卷分為四種：工學(xué)：工學(xué)： 數(shù)學(xué)一、數(shù)學(xué)二數(shù)學(xué)一、數(shù)學(xué)二經(jīng)濟(jì)學(xué)和管理學(xué)：經(jīng)濟(jì)學(xué)和管理學(xué)： 數(shù)學(xué)三、數(shù)學(xué)四數(shù)學(xué)三、數(shù)學(xué)四l數(shù)學(xué)一：數(shù)學(xué)一： 高等數(shù)學(xué)，線性代數(shù)，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)高等數(shù)學(xué)，線性代數(shù)，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)l數(shù)學(xué)二：數(shù)學(xué)二： 高等數(shù)學(xué)，線性代數(shù)高等數(shù)學(xué)，線性代數(shù)l數(shù)學(xué)三：數(shù)學(xué)三： 微積分，線性代數(shù)，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)微積分，線性代數(shù)，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)l數(shù)學(xué)四：數(shù)學(xué)四： 微積分，線性代數(shù)，概率論微積分，線性代數(shù)，概率論數(shù)學(xué)一內(nèi)容比例：數(shù)學(xué)一內(nèi)容比例：高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 約約56% 線性代

2、數(shù)線性代數(shù) 約約22% 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 約約22%多元微積分基礎(chǔ)PPT課件3第一節(jié)第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念第二節(jié)第二節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)第三節(jié)第三節(jié) 全微分及其應(yīng)用全微分及其應(yīng)用第四節(jié)第四節(jié) 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法第五節(jié)第五節(jié) 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式第六節(jié)第六節(jié) 微分法在幾何上的應(yīng)用微分法在幾何上的應(yīng)用第七節(jié)第七節(jié) 方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度第八節(jié)第八節(jié) 多元函數(shù)的極值及其求法多元函數(shù)的極值及其求法多元微積分基礎(chǔ)PPT課件4 |0,00PPPPU 稱為稱為點(diǎn)點(diǎn) 0P的的 去心鄰域去心鄰域. 若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域半徑若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域半徑

3、, 用用0PU表示點(diǎn)表示點(diǎn)0P 的的鄰域。鄰域。 0P1. 鄰域鄰域:,0 00,PPPPU即即 .,20200 yyxxyxPU 稱為稱為點(diǎn)點(diǎn)0P的的 鄰域鄰域。 設(shè)設(shè) 000y,xP為為面上一定點(diǎn)面上一定點(diǎn),xOy0P多元微積分基礎(chǔ)PPT課件52 2區(qū)域區(qū)域EP開集開集：若點(diǎn)集若點(diǎn)集E的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn), 則稱點(diǎn)集則稱點(diǎn)集E為為開集開集.EP邊界邊界：E邊界點(diǎn)的全體稱為邊界點(diǎn)的全體稱為的的邊界邊界.是平面上一點(diǎn)，是平面上一點(diǎn)，P若存在若存在 ,E,PU 設(shè)設(shè)是平面上一個(gè)點(diǎn)集是平面上一個(gè)點(diǎn)集,E稱點(diǎn)稱點(diǎn)P為點(diǎn)集為點(diǎn)集E的的內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)。內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)：顯然內(nèi)點(diǎn)顯然內(nèi)點(diǎn) .EP 例如例如41,22

4、1yxyxE是開集。是開集。1E的邊界是圓周：的邊界是圓周：122 yx和和.yx422 邊界點(diǎn)邊界點(diǎn)：E稱稱P為為的的邊界點(diǎn)邊界點(diǎn).若點(diǎn)若點(diǎn)P的任一鄰域內(nèi)既有屬于的任一鄰域內(nèi)既有屬于的點(diǎn)的點(diǎn),E也有不屬于也有不屬于的點(diǎn)的點(diǎn),E多元微積分基礎(chǔ)PPT課件641,222yxyxE連通連通：設(shè)設(shè)D是開集，是開集，若對(duì)若對(duì)D內(nèi)任意兩點(diǎn)，內(nèi)任意兩點(diǎn)，都可用包含于都可用包含于D 內(nèi)的內(nèi)的折線連結(jié)起來(lái)折線連結(jié)起來(lái),則稱則稱D是是連通的連通的。區(qū)域區(qū)域或或開區(qū)域開區(qū)域：連通的開集連通的開集稱為稱為區(qū)域區(qū)域或或開區(qū)域開區(qū)域.41,221yxyxE為區(qū)域或開區(qū)域?yàn)閰^(qū)域或開區(qū)域開區(qū)域連同它的邊界一起，開區(qū)域連同它的

5、邊界一起，閉區(qū)域閉區(qū)域：稱為稱為閉區(qū)域閉區(qū)域。yOxyOx為閉區(qū)域。為閉區(qū)域。0,3yxyxE及及 AB AB 多元微積分基礎(chǔ)PPT課件7AK3. n維空間維空間有界的閉區(qū)域。有界的閉區(qū)域。例如例如,0,4yxyxE無(wú)界的開區(qū)域。無(wú)界的開區(qū)域。有界點(diǎn)集與無(wú)界點(diǎn)集有界點(diǎn)集與無(wú)界點(diǎn)集：,E對(duì)于點(diǎn)集對(duì)于點(diǎn)集,K0 若若使得使得,EP P與某一定點(diǎn)與某一定點(diǎn)A間的距離間的距離,KAP 則稱則稱E為為有界點(diǎn)集有界點(diǎn)集， 否則稱為否則稱為無(wú)界點(diǎn)集無(wú)界點(diǎn)集。41,222yxyxE41,221yxyxE有界的開區(qū)域。有界的開區(qū)域。0,3yxyxE無(wú)界的閉區(qū)域。無(wú)界的閉區(qū)域。數(shù)軸上：數(shù)軸上： 點(diǎn)點(diǎn)實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)平面上

6、：平面上： 點(diǎn)點(diǎn) y,x空間中：空間中：點(diǎn)點(diǎn)zyx,EP多元微積分基礎(chǔ)PPT課件8設(shè)設(shè)n為取定的一個(gè)自然數(shù)，為取定的一個(gè)自然數(shù)， nx,x,x21的全體為的全體為維空間維空間。n稱稱元有序數(shù)組元有序數(shù)組n維空間維空間：n數(shù)數(shù)ix稱為該點(diǎn)的稱為該點(diǎn)的第第i個(gè)坐標(biāo)個(gè)坐標(biāo)維空間記為維空間記為n稱為稱為 維空間中的一個(gè)點(diǎn)。維空間中的一個(gè)點(diǎn)。n nx,x,x21維空間中的兩點(diǎn)維空間中的兩點(diǎn)nnxxxP,21及及 ny,y,yQ21間間的距離為的距離為 2222211nnxyxyxyPQ 設(shè)設(shè),RPn 0,0 維空間中點(diǎn)集維空間中點(diǎn)集n則則nRPPPPPU,00 0P為點(diǎn)為點(diǎn)的的 鄰域。鄰域。相應(yīng)的可以定

7、義點(diǎn)集的內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、區(qū)域等概念。相應(yīng)的可以定義點(diǎn)集的內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、區(qū)域等概念。多元微積分基礎(chǔ)PPT課件9例如：圓柱體的體積例如：圓柱體的體積 hrv2 長(zhǎng)方體的體積長(zhǎng)方體的體積abcv 類似可定義三元、四元函數(shù)，類似可定義三元、四元函數(shù)， 二元以上的函數(shù)稱為二元以上的函數(shù)稱為多元函數(shù)多元函數(shù) 記為記為yxfz, Dyxyxfzz,定義定義 設(shè)設(shè)D是平面上一點(diǎn)集，是平面上一點(diǎn)集， ,y,xP若對(duì)若對(duì)D內(nèi)每一點(diǎn)內(nèi)每一點(diǎn)變量變量按照一定法則總有確定的值與之對(duì)應(yīng)，按照一定法則總有確定的值與之對(duì)應(yīng)，z則稱則稱是變量是變量y,xz的的二元二元函數(shù)函數(shù)（或點(diǎn)（或點(diǎn)P的函數(shù)），的函數(shù)），點(diǎn)集點(diǎn)集D為其為其定

8、義域定義域y,x為其為其自變量自變量，z也稱為也稱為因變量因變量數(shù)集數(shù)集稱為該函數(shù)的稱為該函數(shù)的值域值域。（或（或 Pfz ）多元微積分基礎(chǔ)PPT課件10例求下列函數(shù)的定義域：例求下列函數(shù)的定義域： ; 1122yxz ;ln12yxxz .arcsin322yxz解解 ; 1122 yx ;002yxx .yx1322 (1)yOx()yOx()yOx0 yx多元微積分基礎(chǔ)PPT課件11D二元函數(shù)的幾何意義：二元函數(shù)的幾何意義： y,xfz 在幾何上表示在幾何上表示空間曲面空間曲面.如如,cbyaxz 平面平面;221yxz 上半球面上半球面;22yxz 旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面;22yxz 上

9、半錐面上半錐面;yOxzx z , y,xM y,xfz y P 多元微積分基礎(chǔ)PPT課件12定義定義2 2若對(duì)若對(duì) ,0 ,0 當(dāng)當(dāng) 20200|0yyxxPP時(shí)時(shí), , 恒有恒有 |,|Ayxf成立成立. . 記作記作 ,lim00Ayxfyyxx或或 0, Ayxf. |0PP 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y,xfz 在區(qū)域在區(qū)域內(nèi)有定義內(nèi)有定義, , D 000y,xP是是 D的的內(nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn)。 則稱常數(shù)則稱常數(shù) yxfz,當(dāng)當(dāng)00yy,xx時(shí)的極限時(shí)的極限, , 為為 A二元函數(shù)的極限稱為二元函數(shù)的極限稱為二重極限二重極限。 注：注：1、2 二元函數(shù)的極限概念可以推廣到二元函數(shù)的極限概

10、念可以推廣到 n元函數(shù)（自己推）。元函數(shù)（自己推）。 多元微積分基礎(chǔ)PPT課件13例例2設(shè)設(shè) 01sin,222222yxyxyxyxf求證求證 . 0,lim00yxfyx證證0- 22221sinyxyx,0 對(duì)對(duì)當(dāng)當(dāng) 2222000yxyx時(shí)時(shí),恒有恒有 成立成立, 0- 22221sinyxyx所以所以 . 0,lim00yxfyx, 取取22221sinyxyx要使要使 22yx 只要證只要證 ,0 對(duì)對(duì) , 0 使得使得 當(dāng)當(dāng) 22000yx時(shí)時(shí),成立成立, 0- 22221sinyxyx多元微積分基礎(chǔ)PPT課件14例例3證明證明 .0lim2200yxxyyx證證022 yxxy

11、222221yxyx2221yx ,0 對(duì)對(duì) 2222220021210yxyxyxxy成立成立., 2取取所以所以 . 0lim2200yxxyyx當(dāng)當(dāng) 2222000yxyx時(shí)時(shí),多元微積分基礎(chǔ)PPT課件15例例4.討論討論 2200limyxxyyx是否存在是否存在?解解220limkxxkxxx21kk 極限值與極限值與 k有關(guān)，有關(guān)， 當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn) y,xP沿直線沿直線 kxy 時(shí)，時(shí)， 趨于點(diǎn)趨于點(diǎn) 00,O2200limyxxykxyx2200limyxxyyx所以所以 不存在不存在 2200limyxxyyx二重極限的存在，二重極限的存在， 時(shí)，時(shí)， 函數(shù)值都接近于函數(shù)值都接近于

12、.A注：注：反之，反之， 當(dāng)當(dāng) y,xP以不同方式趨于以不同方式趨于 000y,xP 時(shí)，時(shí)， 函數(shù)值函數(shù)值 趨于不同的值，趨于不同的值， 則則函數(shù)的極限不存在函數(shù)的極限不存在。 y,xP以任何方式趨于以任何方式趨于 000y,xP是指是指 多元微積分基礎(chǔ)PPT課件16例求極限例求極限 xxyyxsinlim20解解221 xxyyxsinlim20yxyxyyxsinlim20例例6求極限求極限 22222200cos1limyxyxeyxyx解解22222200cos1limyxyxeyxyx2222222002sin2limyxyxeyxyx222sin22sinlim22222200y

13、xyxeyxyxyx0多元函數(shù)的極限運(yùn)算，多元函數(shù)的極限運(yùn)算，有與一元函數(shù)類似的運(yùn)算法有與一元函數(shù)類似的運(yùn)算法則。夾逼準(zhǔn)則，重要極限都則。夾逼準(zhǔn)則，重要極限都可以應(yīng)用于多元函數(shù)的極限可以應(yīng)用于多元函數(shù)的極限運(yùn)算。運(yùn)算。多元微積分基礎(chǔ)PPT課件17若函數(shù)若函數(shù) y,xf在點(diǎn)在點(diǎn) 00y,x處不連續(xù)，處不連續(xù)， 則稱點(diǎn)則稱點(diǎn) 00y,x為為 yxf,的的間斷點(diǎn)間斷點(diǎn) 則稱函數(shù)則稱函數(shù) yxf,若函數(shù)若函數(shù) yxfz,內(nèi)每一點(diǎn)連續(xù)，內(nèi)每一點(diǎn)連續(xù)， 在區(qū)域在區(qū)域 D在在 D內(nèi)連續(xù)，內(nèi)連續(xù)， 或稱或稱 y,xf內(nèi)的連續(xù)函數(shù)。內(nèi)的連續(xù)函數(shù)。 是是 D定義定義 00,lim00yxfyxfyyxx若若 則稱

14、函數(shù)則稱函數(shù) yxf,在點(diǎn)在點(diǎn) 00y,x處連續(xù)處連續(xù) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y,xfz 在區(qū)域在區(qū)域 內(nèi)有定義內(nèi)有定義, , D 000y,xP是是 D的的內(nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn), , 且且 .DP 0間斷點(diǎn)間斷點(diǎn) (1)無(wú)定義的點(diǎn)無(wú)定義的點(diǎn) 00,lim300yxfyxfyyxx 不不yxfyyxx,lim200多元微積分基礎(chǔ)PPT課件18例如，函數(shù)例如，函數(shù) 間斷點(diǎn)為：間斷點(diǎn)為： 1,22 yxyx,11sin22yxz .yx,yx,yxxyy, xf000222222所以，點(diǎn)所以，點(diǎn) 00,是函數(shù)的間斷點(diǎn)。是函數(shù)的間斷點(diǎn)。 再如，函數(shù)再如，函數(shù) （孤立點(diǎn)）（孤立點(diǎn)） （函數(shù)無(wú)定義的點(diǎn)）（函

15、數(shù)無(wú)定義的點(diǎn)）21kk2200limyxxyyx (極限不存在極限不存在) （曲線）（曲線） 多元微積分基礎(chǔ)PPT課件19在在有界閉區(qū)域有界閉區(qū)域上上多元連續(xù)函數(shù)多元連續(xù)函數(shù)具有性質(zhì)：具有性質(zhì)：性質(zhì)性質(zhì)（最大值和最小值定理）（最大值和最小值定理） 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域 D上的連續(xù)函數(shù)，上的連續(xù)函數(shù)， 一定能夠取得最大值和最小值。一定能夠取得最大值和最小值。 性質(zhì)性質(zhì)（介值定理）（介值定理） 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域 D上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù) ，一定能夠一定能夠 取得介于最大值和最小值之間的任何數(shù)值。取得介于最大值和最小值之間的任何數(shù)值。 多元初等函數(shù)多元初等函數(shù)（能用一個(gè)式子表示的函數(shù)）（能用一個(gè)式子表示的函數(shù)）在其在其定義區(qū)域定義區(qū)域 內(nèi)連續(xù)。內(nèi)連續(xù)。 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) Pf為多元初等函數(shù)，其定義域?yàn)闉槎嘣醯群瘮?shù)，其定義域?yàn)?,D且且 ,0DEPE為一區(qū)域或閉區(qū)域，則為一區(qū)域或閉區(qū)域，則 00limPfPfPP定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域。定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域。 多元微積分基礎(chǔ)PPT課件20例例7求下列極限：求下列極限： ;lim121xyyxyx .42lim200 xyxyyx 解解.232121 42lim00 xyxyxyyx421lim00 xyyx.41 xyyxyx21lim1