線面垂直與面面垂直典型例題新

1、所謂的光輝歲月，并不是以后，閃耀的日子，而是無人問津時，你對夢想的偏執(zhí)。線面垂直與面面垂直放棄很簡單，但你堅持到底的樣子一定很酷！基礎要點1若直線a與平面所成的角相等，則平面與的位置關(guān)系是（B ）A、/B、不一定平行于C、不平行于D、以上結(jié)論都不正確2、在斜三棱柱 ABC ABQ, BAC 90；,又 BC1AC,過G作CiH丄底面 ABC垂足為H，則H 定在（B ）A、直線AC上B、直線AB上C、直線BC上D、 ABC的內(nèi)部3、如圖示，平面 丄平面 ，A所成的角分別為-和-，過A、B分別作兩平面交線的垂線，垂足為（A ）A、2:1B、3:1C、3:24、如圖示，直三棱柱 ABB1 DCC1

2、中,BC 2,CC11 DC上有一動點 卩，則厶C1C5.已知長方體 ABCD A1B1C1D1 中，A1A AB 2,若棱AB上存在點P,使得D1P PC ,則棱AD長的取值范圍是 。題型一：直線、平面垂直的應用1. （2014,江蘇卷）如圖，在三棱錐 P-ABC中，D，E，F(xiàn)分別為棱 PC，AC，AB的中點.已知 PA AC, PA 6, BC 8, DF 5.求證：（1） PA I平面DEF錯誤！未找到引用源。； 平面BDE 平面ABC錯誤味找到引用源。.所謂的光輝歲月，并不是以后，閃耀的日子，而是無人問津時，你對夢想的偏執(zhí)。證明：因為D，E分別為棱PC，AC的中點, 所以 DE / P

3、A.又因為 PA ? 平面 DEF，DE 平面DEF，所以直線PA /平面DEF.(2) 因為 D，E，F(xiàn) 分別為棱 PC，AC，AB 的中點，PA= 6，BC = 8,所以 DE / PA，DE = 11PA = 3，EF= BC = 4.22又因 DF = 5,故 DF2= DE2 + EF2, 所以/ DEF = 90° 即 DE 丄 EF.又 PA丄 AC，DE / PA，所以 DE 丄 AC.因為AS EF = E,AC 平面ABC , EF 平面 ABC，所以DE丄平面 ABC. 又DE 平面BDE，所以平面 BDE丄平面 ABC.2. (2014,北京卷，文科)如圖，在

4、三棱柱 ABC Ai B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，AB BC，AA1 AC 2，E、F分別為AG、BC的中點.(1)求證：平面 ABE 平面B1BCC1 ； (2)求證：GF/平面ABE.證明：(1)在三棱柱ABC ABG中，ECCiBB1 底面 ABC, BB1 AB, AB BC, AB 平面 B1BCC1,:AB 平面ABE, 平面ABE 平面B,BCC1.取AB的中點G，連接EG，F(xiàn)G1叮E、F分別為AG、 BC的中點，F(xiàn)G AC, FG AC,2:Ac|aC1, AC AC1， Fg|eG, FG EC1,則四邊形 FGE6 為平行四邊形,GF EG / EG 平面 ABE,GF 平

5、面 ABE, C1F 平面 ABE .3.如圖，P是 ABC所在平面外的一點，且PA 平面ABC，平面PAC 平面PBC 求證 BC AC .分析：已知條件是線面垂直和面面垂直，要證明兩條直線垂直， 應將兩條直線中的一條納入一個平面中，使另一條直線與該平面垂直，即從線面垂直得到線線垂直.證明：在平面PAC內(nèi)作AD PC，交PC于D .因為平面PAC 平面PBC于PC ,AD 平面PAC，且AD PC，所以AD 平面PBC 又因為BC 平面PBC，于是有AD BC另外PA 平面ABC，BC 平面ABC，所以PA BC 由及 AD PA A，可知BC 平面PAC 因為AC 平面PAC，所以BC A

6、C 說明：在空間圖形中，高一級的垂直關(guān)系中蘊含著低一級的垂直關(guān)系，通過本題可以看到，面面垂直線面垂直 線線垂直.4. 過點S引三條不共面的直線SA、 SB、 SC，如圖， BSC 90 ASC ASB 60，若截取 SA SB SC a求證：平面ABC 平面BSC;(2)求S到平面ABC的距離.分析：要證明平面 ABC 平面BSC，根據(jù)面面垂直的判定定理，須在平面ABC或平面BSC內(nèi)找到一條與另一個平面垂直的直線.(1)證明： SA SB SC a，又 ASC ASB 60，二 ASB和ASC都是等邊三角形，AB AC a，取BC的中點H，連結(jié)AH， AH BC 在Rt BSC中，BS 

7、9;CSa， SH BC，BC、2a，22 AH 2 AC2CH 22 a22 a(a)，2 2SH2a222在SHA中，AH2a，SH2，SA22a ，22二 SA2 SH2 HA2， AH SH，a AH 平面 SBC AH 平面ABC，平面 ABC 平面BSC 或： SA AC AB，頂點A在平面BSC內(nèi)的射影H為 BSC的外心,又 BSC為Rt ， H在斜邊BC 上,又 BSC為等腰直角三角形， H為BC的中點， AH 平面BSC： AH 平面ABC，平面 ABC 平面BSC (2)解：由前所證：SH AH ， SH BC， SH 平面 ABC， SH的長即為點S到平面ABC的距離，S

8、H 些 -a，2 2放棄很簡單，但你堅持到底的樣子一定很酷!3所謂的光輝歲月，并不是以后，閃耀的日子，而是無人問津時，你對夢想的偏執(zhí)。；2點S到平面ABC的距離為"a .25、如圖示,ABCD為長方形,SA垂直于ABCD所在平面，過 A且垂直于SB、SC、SD 于 E、F、G，求證：AE丄 SB,AG丄SDSC的平面分別交6.在四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PCD是正三角形，且與底面ABCD垂直，已知底面是面積為 2 ., 3的菱形， ADC 60，M是PB中點。求證：PA CD求證：平面 PAB 平面 CDM7.在多面體 ABCDE中, AB=BC=AC=AE=1CD=2 AE 面 A

9、BC AE/CD。求證:AE/ 平面 BCD求證：平面BED平面BCD放棄很簡單，但你堅持到底的樣子一定很酷！5題型二、空間角的問題DACFD1A1L_1.女口圖示，在正四棱柱 ABCD ABCD,中所謂的光輝歲月，并不是以后，閃耀的日子，而是無人問津時，你對夢想的偏執(zhí)。AB 1,BB,3' 1，E為BBi上使BiE 1的點，平面 AECi交DDi于F，交ADi的延長線于G，求：（I ）異面直線 AD與CiG所成的角的大?。?）二面角A CIG A的正弦值2.如圖，點A在銳二面角MN 的棱MN上，在面 內(nèi)引射線AP，使AP與MN所成的角 PAM為45，與面 所成的角大小為30，求二面角

10、MN的大小.放棄很簡單，但你堅持到底的樣子一定很酷!11解：在射線AP上取一點B，作 BH分析：首先根據(jù)條件作出二面角的平面角，然后將平面角放入一個可解的三角形中（最好是直角三角形），通過解三角形使問題得解.WPBQa2連結(jié)AH，貝U BAH為射線AP與平面 所成的角， % H/BAH 30 再作 BQ MN，交 MN 于 Q，連結(jié)HQ，則HQ為BQ在平面 內(nèi)的射影由三垂線定理的逆定理，HQ MN，BQH為二面角MN的平面角.設 BQ a，在 Rt BAQ 中， BQA 90 , BAM 45 , AB . 2a ,在 Rt BHQ 中,BHQ 90 ,BQ a,BH 2a, sin2BQH是

11、銳角，BQH 45 ,即二面角 MN 等于45 .說明：本題綜合性較強，在一個圖形中出現(xiàn)了兩條直線所稱的角，斜線與平面所稱的角，二面角等空間角，這些空間角都要轉(zhuǎn)化為平面角，而且還要彼此聯(lián)系相互依存，要根據(jù)各個平面角的定義添加適當?shù)妮o助線.3.正方體ABCD A1B1C1D1的棱長為1 ,P是AD的中點求二面角A BD, P的大小.分析：求二面角關(guān)鍵是確定它的平面角，按定義在二面角的棱上任取了點，在二個半平面上分別作棱的垂線， 方法雖簡便，但因與其他條件沒有聯(lián)系，要求這個平面角一般是很不容易的，所以在解題中不大應用在解題中應用得較多的是“三垂線定理”的方法，如圖考慮到AB垂直于平面AD,，BD,

12、在平面AD, 上的射影就是 AD, 再過P作AD,的垂線PF，則PF 面ABD,，過F作D,B的垂線FE， PEF即為所求二面角的平面角了.解：過P作BDi及AD,的垂線，垂足分別是 E、F，連結(jié)EF ./ AB面 AD,，PF面 AD,，又 PEPF，又 PFBD,， EF Rt AD,D s PFA，AD,， PF 面 ABD,.BDi，PFDD,PEF為所求二面角的平面角.APAD,1而 AP -， DD,2AD,2， PF在 PBD,中，PD,BD,， BE -BD2在 Rt PEB 中，PE、-PB2 BE2-，在 Rt PEF 中，sin2PEFPFPE PEF 30 .4.PA垂直于矩形 ABCD所在平面，M、E、N分別是AB、CD和PC的中點,題型三、探索性、開放型問題1.如圖，已知正方形當CE為多少時，PO 平面BED(1) 求證：MN /平面PAD(2) 若二面角 P DC A為，求證：平面 MND丄平面PDC45已知正方體中 ABCD AiBQiDi，E為棱CCi上的動點，(1)求證：AiE丄BD (2) 當E恰為棱CCi的中點時，求證：平面ABD丄平面EBD(3) 在棱CCi上是否存在一個點 E，可以使二面角 A BD E的大小為45丫