冪函數(shù)及其性質(zhì)

1、冪函數(shù)及其性質(zhì)冪函數(shù)及其性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)一、知識(shí)目標(biāo)：1.通過(guò)實(shí)例了解并記住冪函數(shù)的概念.2.結(jié)合幾個(gè)常見(jiàn)冪函數(shù)的圖象觀察圖象特征并能自行發(fā)現(xiàn)冪函數(shù)的性質(zhì).3.記住冪函數(shù)的性質(zhì)并會(huì)應(yīng)用.能力目標(biāo)：通過(guò)觀察圖象特征來(lái)歸納函數(shù)性質(zhì),從而培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力.情感目標(biāo)：通過(guò)觀察圖象體會(huì)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美.一、冪函數(shù)的概念的引入 閱讀課本第85頁(yè)的具體實(shí)例（1）（5），思考下列問(wèn)題： 1.它們的解析式分別是什么？若用 表示自變量, 表示 的函數(shù),上述五個(gè)函數(shù)解析式分別是什么? xxy問(wèn)題引入：函數(shù)的生活實(shí)例問(wèn)題問(wèn)題1：如果張紅購(gòu)買(mǎi)了每千克：如果張紅購(gòu)買(mǎi)了每千克1元的蘋(píng)果元的蘋(píng)果w千克，千克，那么她需要

2、付的錢(qián)數(shù)那么她需要付的錢(qián)數(shù)p = 元，元， 。問(wèn)題問(wèn)題2：如果正方形的邊長(zhǎng)為：如果正方形的邊長(zhǎng)為a，那么正方形的面積，那么正方形的面積 是是S = ， 。問(wèn)題問(wèn)題3：如果立方體的邊長(zhǎng)為：如果立方體的邊長(zhǎng)為a，那么立方體的體積，那么立方體的體積是是V = ， 。問(wèn)題問(wèn)題4:如果正方形場(chǎng)地的面積為如果正方形場(chǎng)地的面積為S，那么正方形的，那么正方形的邊長(zhǎng)邊長(zhǎng)a= ， 。問(wèn)題問(wèn)題5：如果某人：如果某人t s內(nèi)騎車(chē)行進(jìn)了內(nèi)騎車(chē)行進(jìn)了1km，那么他騎車(chē)，那么他騎車(chē)的平均速度的平均速度v = ， 。 w這里這里p是是w的函數(shù)的函數(shù)a這里這里S是是a的函數(shù)的函數(shù)a 這里這里V是是a的函數(shù)的函數(shù)21S這里這里a

3、是是S的函數(shù)的函數(shù)這里這里v是是t的函數(shù)的函數(shù)1t km/s若將它們的自變量全部用若將它們的自變量全部用x來(lái)表示來(lái)表示,函數(shù)值用函數(shù)值用y來(lái)表示來(lái)表示,則它們的函數(shù)關(guān)系式將是則它們的函數(shù)關(guān)系式將是:xy xy2xy3xy21xy1xay 以上問(wèn)題中的函數(shù)有什么共同特征？以上問(wèn)題中的函數(shù)有什么共同特征？（1）都是函數(shù)；）都是函數(shù)；（2）均是以自變量為底的）均是以自變量為底的冪；冪；（3）指數(shù)為常數(shù)；）指數(shù)為常數(shù)；（4）自變量前的系數(shù)為）自變量前的系數(shù)為1;（5）冪前的系數(shù)也為）冪前的系數(shù)也為1。 y=x y=x2 y=x1/2y=x3y=x-1 一般地，函數(shù)一般地，函數(shù)y= 叫做叫做，其中，其中

4、x是自是自變量，變量，是常數(shù)是常數(shù).注意注意:冪函數(shù)中冪函數(shù)中的可以為任意實(shí)數(shù)的可以為任意實(shí)數(shù).x一、冪函數(shù)的定義：一、冪函數(shù)的定義：一般地，我們把形如一般地，我們把形如 的函數(shù)的函數(shù)叫做叫做冪函數(shù)，其中冪函數(shù)，其中 為自變量，為自變量， 為常數(shù)。為常數(shù)。xy x練習(xí)練習(xí)1：判斷下列函數(shù)哪幾個(gè)是冪函數(shù)？：判斷下列函數(shù)哪幾個(gè)是冪函數(shù)？xyxyxyxyyx1)5(; 1)4( ;2) 3( ;)2( ;31222）（答案答案（2）（）（5）思考：指數(shù)函數(shù)思考：指數(shù)函數(shù)y= =ax與冪與冪函數(shù)函數(shù)y= =x有什么區(qū)別？有什么區(qū)別？xy x2.已知冪函數(shù)已知冪函數(shù)y = f (x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)的圖象經(jīng)

5、過(guò)點(diǎn)待定系數(shù)法待定系數(shù)法分析：分析：例題要求函數(shù)的解析式，首先由題知，例題要求函數(shù)的解析式，首先由題知，此函數(shù)是冪函數(shù)，也就符合冪函數(shù)的一般形此函數(shù)是冪函數(shù)，也就符合冪函數(shù)的一般形式式 ，而且我們知道圖像過(guò)點(diǎn)，而且我們知道圖像過(guò)點(diǎn) 只要把點(diǎn)帶入解析式中即可求出只要把點(diǎn)帶入解析式中即可求出a，也就可以求，也就可以求出函數(shù)的解析式。出函數(shù)的解析式。yx)2,2(（3 ， ），求這個(gè)函數(shù)的解析式。），求這個(gè)函數(shù)的解析式。3解：設(shè)所求冪函數(shù)的解析式為解：設(shè)所求冪函數(shù)的解析式為yx21axy21a33因?yàn)辄c(diǎn)因?yàn)辄c(diǎn)) 3, 3(在函數(shù)圖像上，所以代在函數(shù)圖像上，所以代入解析式得：入解析式得： 3.如果函數(shù)

6、如果函數(shù)f (x) = (m2+2m2) 是冪函數(shù)，求實(shí)數(shù)是冪函數(shù)，求實(shí)數(shù)m,n的值。的值。32112 nxm解：由題意得解：由題意得0320112222 nmmm.,233 nm解解得得 式子式子 名稱(chēng)名稱(chēng)常數(shù)常數(shù) x y指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù): y=a x（a0且且a1) 冪函數(shù)冪函數(shù): y= x a為底數(shù)底數(shù)指數(shù)指數(shù)為指數(shù)指數(shù)底數(shù)底數(shù)冪值冪值冪值冪值二、冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)比較判斷一個(gè)函數(shù)是冪函數(shù)還是指數(shù)函數(shù)的切入點(diǎn)：判斷一個(gè)函數(shù)是冪函數(shù)還是指數(shù)函數(shù)的切入點(diǎn)：看未知數(shù)看未知數(shù)x是是指數(shù)指數(shù)還是還是底數(shù)底數(shù)冪函數(shù)冪函數(shù)函數(shù)函數(shù)二、五個(gè)常用冪函數(shù)的圖像和性質(zhì) (1) (2) (3) (4) (5)21

7、xy 2xy 1 xy3xy xy 定義域：定義域：值值 域：域：奇偶性：奇偶性：?jiǎn)握{(diào)性：?jiǎn)握{(diào)性：RR上是奇函數(shù)在R上是增函數(shù)在Rxy 函數(shù)函數(shù) 的圖像的圖像定義域：定義域：值值 域：域：奇偶性：奇偶性：?jiǎn)握{(diào)性：?jiǎn)握{(diào)性：R), 0 上是偶函數(shù)在R上是增函數(shù)在), 0 上是減函數(shù)在0 ,(函數(shù)函數(shù) 的圖像的圖像2xy xy=x3-3-27-2.5-15.63-2-8-1.5-3.375-1-1-0.5-0.125000.50.125111.53.375282.515.625327用描點(diǎn)法作出函數(shù)y=x3的圖象.定義域：定義域：值值 域：域：奇偶性：奇偶性：?jiǎn)握{(diào)性：?jiǎn)握{(diào)性：RR上是奇函數(shù)在R上是增

8、函數(shù)在R函數(shù)函數(shù) 的圖像的圖像3xy x001121.41431.7324252.23662.44972.64682.82893103.162113.317123.464133.606143.742153.87316412 yx用描點(diǎn)法作出函數(shù)的圖象.12 yx定義域：定義域：值值 域：域：奇偶性：奇偶性：?jiǎn)握{(diào)性：?jiǎn)握{(diào)性：), 0 非奇非偶函數(shù)上是增函數(shù)在), 0 ), 0 函數(shù)函數(shù) 的圖像的圖像21xy 定義域：定義域：值值 域：域：奇偶性：奇偶性：?jiǎn)握{(diào)性：?jiǎn)握{(diào)性：0 xx上是奇函數(shù)在0 xx上是減函數(shù)在), 0( 上是減函數(shù)在)0 ,(0yy函數(shù)函數(shù) 的圖像的圖像1 xy下面將5個(gè)函數(shù)的圖

9、像畫(huà)在同一坐標(biāo)系中 (1) (2) (3) (4) (5)21xy 2xy 1 xy3xy xy 4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x-1y=x12y=x3y=x2y=x(4,2)(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)21xy 冪函數(shù)的定義域、值域、奇偶性和單調(diào)性，隨常冪函數(shù)的定義域、值域、奇偶性和單調(diào)性，隨常數(shù)數(shù)取值的不同而不同取值的不同而不同. .y= x3定義域定義域值值 域域單調(diào)性單調(diào)性公共點(diǎn)公共點(diǎn)y = xRRR0，+）R0，+）R0，+）奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶非奇非偶函數(shù)函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)在在R R上上是增函是增函數(shù)數(shù)在（在（,0

10、上是減函上是減函數(shù)，在數(shù)，在(0, +）上是）上是增函數(shù)增函數(shù)在在R上上是增函是增函數(shù)數(shù)在在(0，+)上是增函數(shù)上是增函數(shù)在在( ,0)，(0, +）上是）上是減函數(shù)減函數(shù)（1，1）奇偶性奇偶性y = x21 xy0， （0，+ ）0， （0，+ ）101a=1小結(jié)：小結(jié)： 冪函數(shù)的性質(zhì)冪函數(shù)的性質(zhì): :.所有冪函數(shù)的圖象都通過(guò)點(diǎn)所有冪函數(shù)的圖象都通過(guò)點(diǎn)(1,1(1,1);冪函數(shù)的定義域、值域、奇偶性和單調(diào)性，隨冪函數(shù)的定義域、值域、奇偶性和單調(diào)性，隨常數(shù)常數(shù)取值的不同而不同取值的不同而不同. .如果如果0,0,則冪函數(shù)則冪函數(shù)在在(0,+)(0,+)上為減函數(shù)。上為減函數(shù)。 0,0,則冪函數(shù)

11、則冪函數(shù) 在在(0,+)(0,+)上為增函數(shù)上為增函數(shù); ;2.2.當(dāng)當(dāng)為奇數(shù)時(shí)為奇數(shù)時(shí), ,冪函數(shù)為奇函數(shù)冪函數(shù)為奇函數(shù), , 當(dāng)當(dāng)為偶數(shù)時(shí)為偶數(shù)時(shí), ,冪函數(shù)為偶函數(shù)冪函數(shù)為偶函數(shù). .練習(xí)：利用單調(diào)性判斷下列各值的大小。練習(xí)：利用單調(diào)性判斷下列各值的大小。（1）5.20.8 與與 5.30.8 （2）0.20.3 與與 0.30.3 (3) 2.5-25與 2.7-25解解:(1)y= x0.8在在(0,)內(nèi)是增函數(shù)內(nèi)是增函數(shù), 5.25.3 5.20.8 5.30.8 (2)y=x0.3在在(0,)內(nèi)是增函數(shù)內(nèi)是增函數(shù)0.20.3 0.20.3 0.30.3(3)y=x-2/5在在(0

12、,)內(nèi)是減函數(shù)內(nèi)是減函數(shù)2.52.7-2/5練習(xí)練習(xí)(4)1）0.51.30.51.525.125.092）3）140.5140.44）230.7230.8則則且且任任取取證證明明,),0,:2121xxxx 2121)()(xxxfxf2121xxxx ,0,0,0212121 xxxxxx所所以以因因?yàn)闉?),0)()()(21上上的的增增函函數(shù)數(shù)在在即即冪冪函函數(shù)數(shù)所所以以 xxfxfxf212121)(xxxxxx.), 0)(. 1上是增函數(shù)在證明冪函數(shù)例xxf例例2 2：練習(xí)練習(xí)3: 如圖所示，曲線(xiàn)是冪函數(shù)如圖所示，曲線(xiàn)是冪函數(shù) y = xk 在第一象在第一象限內(nèi)的圖象，已知限內(nèi)的

13、圖象，已知 k分別取分別取 四個(gè)四個(gè)值，則相應(yīng)圖象依次為值，則相應(yīng)圖象依次為:_ 11,1, 22一般地，冪函數(shù)的圖象在直線(xiàn)一般地，冪函數(shù)的圖象在直線(xiàn)x=1的右側(cè)，大指數(shù)在上，小指數(shù)在下，的右側(cè)，大指數(shù)在上，小指數(shù)在下，指大圖高指大圖高C4C2C3C11思考思考4 4：根據(jù)上述五個(gè)函數(shù)的圖象，你能：根據(jù)上述五個(gè)函數(shù)的圖象，你能歸納出冪函數(shù)歸納出冪函數(shù) 在第一象限的圖在第一象限的圖象特征嗎？象特征嗎？ayxxyo10 00時(shí)圖象過(guò)原點(diǎn)且上升，時(shí)圖象過(guò)原點(diǎn)且上升，0時(shí)圖象不過(guò)原點(diǎn)且下降，時(shí)圖象不過(guò)原點(diǎn)且下降，同時(shí)以?xún)勺鴺?biāo)軸為慚近線(xiàn)同時(shí)以?xún)勺鴺?biāo)軸為慚近線(xiàn).3.在在 x=1x=1 的右側(cè)指大圖高的右側(cè)指大圖高.11小結(jié)小結(jié): :1記住冪函數(shù)的定義；記住冪函數(shù)的定義；2掌握冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)；掌握冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)；3能利用冪函數(shù)的性質(zhì)解決有關(guān)問(wèn)題能利用冪函數(shù)的性質(zhì)解決有關(guān)問(wèn)題;4這節(jié)課我們從觀察圖象入手這節(jié)課我們從觀察圖象入手, ,運(yùn)用自然語(yǔ)言描述運(yùn)用自然語(yǔ)言描述了函數(shù)的圖象特征了函數(shù)的圖象特征, ,最后抽象到運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言和符最后抽象到運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言和符號(hào)刻畫(huà)了相應(yīng)的數(shù)量特征號(hào)刻畫(huà)了相應(yīng)的數(shù)量特征. . 這是一個(gè)循序漸進(jìn)的這是一個(gè)循序漸進(jìn)的