常微分方程課件

1、常微分方程常常 微微 分分 方方 程程常微分方程常微分方程課程簡介常微分方程課程簡介 常微分方程是研究自然科學和社會科學中的事物、物體和常微分方程是研究自然科學和社會科學中的事物、物體和現(xiàn)象運動、演化和變化規(guī)律的最為基本的數(shù)學理論和方法?，F(xiàn)象運動、演化和變化規(guī)律的最為基本的數(shù)學理論和方法。物理、化學、生物、工程、航空航天、醫(yī)學、經(jīng)濟和金融領(lǐng)物理、化學、生物、工程、航空航天、醫(yī)學、經(jīng)濟和金融領(lǐng)域中的許多原理和規(guī)律都可以描述成適當?shù)某Ｎ⒎址匠?，如域中的許多原理和規(guī)律都可以描述成適當?shù)某Ｎ⒎址匠?，如牛頓運動定律、萬有引力定律、機械能守恒定律，能量守恒牛頓運動定律、萬有引力定律、機械能守恒定律，能量守

2、恒定律、人口發(fā)展規(guī)律、生態(tài)種群競爭、疾病傳染、遺傳基因定律、人口發(fā)展規(guī)律、生態(tài)種群競爭、疾病傳染、遺傳基因變異、股票的漲伏趨勢、利率的浮動、市場均衡價格的變化變異、股票的漲伏趨勢、利率的浮動、市場均衡價格的變化等，對這些規(guī)律的描述、認識和分析就歸結(jié)為對相應(yīng)的常微等，對這些規(guī)律的描述、認識和分析就歸結(jié)為對相應(yīng)的常微分方程描述的數(shù)學模型的研究。因此，常微分方程的理論和分方程描述的數(shù)學模型的研究。因此，常微分方程的理論和方法不僅廣泛應(yīng)用于自然科學，而且越來越多的應(yīng)用于社會方法不僅廣泛應(yīng)用于自然科學，而且越來越多的應(yīng)用于社會科學的各個領(lǐng)域科學的各個領(lǐng)域。 常微分方程 學習學習常微分方程常微分方程的目的

3、是用微積分的思想，結(jié)合線性代的目的是用微積分的思想，結(jié)合線性代數(shù)，解析幾何等的知識，來解決數(shù)學理論本身和其它學科中出數(shù)，解析幾何等的知識，來解決數(shù)學理論本身和其它學科中出現(xiàn)的若干最重要也是最基本的微分方程問題，使學生學會和掌現(xiàn)的若干最重要也是最基本的微分方程問題，使學生學會和掌握常微分方程的基礎(chǔ)理論和方法，為學習其它數(shù)學理論，如微握常微分方程的基礎(chǔ)理論和方法，為學習其它數(shù)學理論，如微分幾何、泛函分析等后續(xù)課程打下基礎(chǔ)；同時，通過這門課本分幾何、泛函分析等后續(xù)課程打下基礎(chǔ)；同時，通過這門課本身的學習和訓練，使學生學習數(shù)學建模的一些基本方法，初步身的學習和訓練，使學生學習數(shù)學建模的一些基本方法，初

4、步了解當今自然科學和社會科學中的一些非線性問題，為他們將了解當今自然科學和社會科學中的一些非線性問題，為他們將來從事相關(guān)領(lǐng)域的科學研究工作培養(yǎng)興趣，做好準備來從事相關(guān)領(lǐng)域的科學研究工作培養(yǎng)興趣，做好準備。 教材及參考資料教材及參考資料教教 材材：常微分方程，：常微分方程，( (第二版）（第二版）（9797年國家教委一等獎），年國家教委一等獎）， 王高雄等編（中山大學王高雄等編（中山大學), ), 高教出版社。高教出版社。參考書目參考書目： 常微分方程習題集常微分方程習題集, ,莊萬，高教出版社莊萬，高教出版社 常微分方程全程導學及習題全解，石瑞青編，常微分方程全程導學及習題全解，石瑞青編， 中

5、國時代經(jīng)濟出版社。中國時代經(jīng)濟出版社。 常微分方程第一章 緒論 常微分方程是現(xiàn)代數(shù)學的一個重要分支常微分方程是現(xiàn)代數(shù)學的一個重要分支, ,是人們是人們解決各種實際問題的有效工具解決各種實際問題的有效工具, ,它在幾何它在幾何, ,力學力學, ,物物理理, ,電子技術(shù)電子技術(shù), ,自動控制自動控制, ,航天航天, ,生命科學生命科學, ,經(jīng)濟等經(jīng)濟等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用, ,本章將通過幾個具體例子本章將通過幾個具體例子, ,粗略地介紹常微分方程的應(yīng)用粗略地介紹常微分方程的應(yīng)用, ,并講述一些最基本并講述一些最基本概念概念. .常微分方程1.1 微分方程模型 微分方程微分方程:

6、 :聯(lián)系著聯(lián)系著自變量自變量, ,未知函數(shù)及其導數(shù)未知函數(shù)及其導數(shù)的關(guān)系式的關(guān)系式. . 為了定量地研究一些實際問題的變化規(guī)律為了定量地研究一些實際問題的變化規(guī)律, ,往往是往往是要對所研究的問題進行適當?shù)暮喕图僭O(shè)要對所研究的問題進行適當?shù)暮喕图僭O(shè), ,建立數(shù)學建立數(shù)學模型模型, ,當問題涉及變量的變化率時當問題涉及變量的變化率時, ,該模型就是微分該模型就是微分方程方程, ,下面通過幾個典型的例子來說明建立微分方程下面通過幾個典型的例子來說明建立微分方程模型的過程模型的過程. .常微分方程例1 鐳的衰變規(guī)律:0,0,.tRt設(shè)鐳的衰變規(guī)律與該時刻現(xiàn)有的量成正比且已知時 鐳元素的量為克 試

7、確定在任意 時該時鐳元素的量常微分方程解:( ),tR t設(shè) 時刻時鐳元素的量為,)()(dttdRtR對時間的變化律是由于鐳元素的衰變律就:衰變律可得依題目中給出鐳元素的,kRdtdR0)0(RR.)(, 0隨時間的增加而減少是由于這里tRk :解之得kteRtR0)(即鐳元素的存量是指數(shù)規(guī)律衰減的.常微分方程 將某物體放置于空氣中將某物體放置于空氣中, , 在時刻在時刻0t時時, , 測得它的溫度為測得它的溫度為,1500Cu1010分鐘后測量得溫度為分鐘后測量得溫度為 試決定此物試決定此物.1001Cu體的溫度體的溫度 和時間和時間 的關(guān)系的關(guān)系.ut例例2 2 物理冷卻過程的數(shù)學模型物

8、理冷卻過程的數(shù)學模型Newton Newton 冷卻定律冷卻定律: : 1. 1. 熱量總是從溫度高的物體向溫度低的物體傳導熱量總是從溫度高的物體向溫度低的物體傳導; ; 2. 2. 在一定的溫度范圍內(nèi)在一定的溫度范圍內(nèi), ,一個物體的溫度變化速度一個物體的溫度變化速度與這一物體的溫度與其所在的介質(zhì)的溫度之差成正比與這一物體的溫度與其所在的介質(zhì)的溫度之差成正比. . 常微分方程 設(shè)物體在時刻設(shè)物體在時刻 的溫度為的溫度為 根據(jù)導數(shù)的物理意義根據(jù)導數(shù)的物理意義, , 則則 溫度的變化速度為溫度的變化速度為 由由NewtonNewton冷卻定律冷卻定律, , 得到得到 t).(tu.dtdu, )

9、uk(udtdua其中其中 為比例系數(shù)為比例系數(shù). . 此數(shù)學關(guān)系式就是物體冷卻過此數(shù)學關(guān)系式就是物體冷卻過程的數(shù)學模型程的數(shù)學模型.0k注意注意: :此式子并不是直接給出此式子并不是直接給出 和和 之間的函數(shù)關(guān)系之間的函數(shù)關(guān)系, ,而只是給出了未知函數(shù)的導數(shù)與未知函數(shù)之間的關(guān)系式而只是給出了未知函數(shù)的導數(shù)與未知函數(shù)之間的關(guān)系式. .如何如何由此式子求得由此式子求得 與與 之間的關(guān)系式之間的關(guān)系式, , 以后再介紹以后再介紹. .utut解:常微分方程例3 R-L-C電路 如圖所示的如圖所示的R-L-CR-L-C電路電路. . 它包含電感它包含電感L,L,電阻電阻R,R,電容電容C C及電源及

10、電源e(t). e(t). 設(shè)設(shè)L,R,CL,R,C均為常數(shù)均為常數(shù),e(t),e(t)是時間是時間t t的已知函數(shù)的已知函數(shù). .試求當開關(guān)試求當開關(guān)K K合上后合上后, ,電路中電流強度電路中電流強度I I與時間與時間t t之間的關(guān)系之間的關(guān)系. . 常微分方程電路的電路的Kirchhoff第二定律第二定律: 設(shè)當開關(guān)K合上后, 電路中在時刻t的電流強度為I(t), 則電流 經(jīng)過電感L, 電阻R和電容的電壓降分別為 其中Q為電量,于是由Kirchhoff第二定律, 得到 ,CQRIdtdIL. 0)(CQRIdtdILte因為 于是得到,dtdQI .)(122dttdeLLCIdtdIL

11、RdtId這就是電流強度I與時間t所滿足的數(shù)學關(guān)系式. 解:在閉合回路中在閉合回路中,所有支路上的電壓的代數(shù)和為零所有支路上的電壓的代數(shù)和為零. 常微分方程例例5 5 （理想單擺運動）建立理想單擺運動滿足的微（理想單擺運動）建立理想單擺運動滿足的微分方程，并得出理想單擺運動的周期公式。分方程，并得出理想單擺運動的周期公式。 從圖從圖3-13-1中不難看出，小球所受的合力為中不難看出，小球所受的合力為mgsinmgsin，根據(jù)根據(jù)牛頓第二定律牛頓第二定律可得：可得： sinmlmg 這是理想單擺應(yīng)這是理想單擺應(yīng)滿足的運動方程滿足的運動方程MQPmgl圖圖3-1 （3.13.1）的）的近似方程近似

12、方程從而得出兩階微分方程：從而得出兩階微分方程： 0sin0(0)0, (0)gl（3.1） （3.13.1）是一個兩階非線性方程，不是一個兩階非線性方程，不易求解。當易求解。當很小時，很小時，sinsin，此時，此時，可考察（可考察（3.13.1）的近似線性方程：）的近似線性方程： 常微分方程00(0)0, (0)gl（3.2） （3.23.2）的解為）的解為: : (t)= 0cost 當當 時時,(t)=04Tt 42g Tl故有故有由此即可得出由此即可得出2gTlgl其中其中常微分方程例例6 6 傳染病模型傳染病模型: : 長期以來長期以來, ,建立傳染病的數(shù)學建立傳染病的數(shù)學模型來描

13、述傳染病的傳播過程模型來描述傳染病的傳播過程, ,一直是各國有關(guān)專一直是各國有關(guān)專家和官員關(guān)注的課題家和官員關(guān)注的課題. .人們不能去做傳染病傳播的人們不能去做傳染病傳播的試驗以獲取數(shù)據(jù)試驗以獲取數(shù)據(jù), ,所以通常主要是依據(jù)機理分析的所以通常主要是依據(jù)機理分析的方法建立模型方法建立模型. .:假設(shè)設(shè),時間以天為計量單位,不變N察地區(qū)的 總地區(qū)假設(shè)設(shè)疾病傳播期內(nèi)所件為).()()()() 1 (titst和別為在總?cè)藬?shù)中所占比例分病人和已感染者健康人群中易感染者在時該.,)2(稱日接觸率的平均人數(shù)是每個病人每天有效接觸常微分方程解:根據(jù)題設(shè),每個病人每天可使.)( 個健康者變?yōu)椴∪藅s由于病人總?cè)藬?shù)為),(tNi所以每天共有( ) ( ).Ns t i t個健康者被感染于是病人增加率為,NsidtdiN再由初始條件得又因, 1)()( tits)1 (iidtdi0)0(ii常微分方程思考與練習1.曲線上任一點的切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積都等于常數(shù) ,求該曲線所滿足的微分方程.2a:),(距分別為的切線的橫截距與縱截過點yx.xyyyyx和解:由題目條