光學信息技術(shù)原理及應(yīng)用(第二版)課后答案

1、第一章 習題解答1.1 已知不變線性系統(tǒng)的輸入為 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。若b取（1）（2），求系統(tǒng)的輸出。并畫出輸出函數(shù)及其頻譜的圖形。答：（1） 圖形從略， （2） 圖形從略。 1.2若限帶函數(shù)的傅里葉變換在長度為寬度的矩形之外恒為零，（1） 如果，試證明 證明：（2） 如果， ，還能得出以上結(jié)論嗎？答：不能。因為這時。1.3 對一個空間不變線性系統(tǒng)，脈沖響應(yīng)為 試用頻域方法對下面每一個輸入，求其輸出。（必要時，可取合理近似）（1）答：（2）答：（3）答： （4）答：1.4 給定一個不變線性系統(tǒng)，輸入函數(shù)為有限延伸的三角波 對下述傳遞函數(shù)利用圖解方法確定系統(tǒng)的輸出。（1）（2）答：圖解方法是在頻域

2、里進行的，首先要計算輸入函數(shù)的頻譜，并繪成圖形方括號內(nèi)函數(shù)頻譜圖形為：圖1.4（1）圖形為：圖 1.4（2）因為的分辨力太低，上面兩個圖縱坐標的單位相差50倍。兩者相乘時忽略中心五個分量以外的其他分量，因為此時的最大值小于0.04%。故圖解頻譜結(jié)果為：圖 1.4（3）傳遞函數(shù)（1）形為：圖 1.4（4）因為近似后的輸入函數(shù)頻譜與該傳遞函數(shù)相乘后，保持不變，得到輸出函數(shù)頻譜表達式為：其反變換，即輸出函數(shù)為：該函數(shù)為限制在區(qū)間內(nèi)，平均值為1，周期為3，振幅為1.37的一個余弦函數(shù)與周期為1.5，振幅為0.342的另一個余弦函數(shù)的疊加。傳遞函數(shù)（2）形為：圖 1.4（5）此時，輸出函數(shù)僅剩下在及兩個

3、區(qū)間內(nèi)分量，盡管在這兩個區(qū)間內(nèi)輸入函數(shù)的頻譜很小，相對于傳遞函數(shù)（2）在的零值也是不能忽略的，由于可以解得，通過傳遞函數(shù)（2）得到的輸出函數(shù)為：該函數(shù)依然限制在區(qū)間內(nèi)，但其平均值為零，是振幅為0.043，周期為0.75，的一個余弦函數(shù)與振幅為0.027，周期為0.6的另一個余弦函數(shù)的疊加。1.5 若對二維函數(shù) 抽樣，求允許的最大抽樣間隔并對具體抽樣方法進行說明。答： 也就是說，在X方向允許的最大抽樣間隔小于1/2a，在y方向抽樣間隔無限制。1.6 若只能用表示的有限區(qū)域上的脈沖點陣對函數(shù)進行抽樣，即 試說明，即使采用奈魁斯特間隔抽樣，也不能用一個理想低通濾波器精確恢復(fù)。答：因為表示的有限區(qū)域以

4、外的函數(shù)抽樣對精確恢復(fù)也有貢獻，不可省略。1.7 若二維不變線性系統(tǒng)的輸入是“線脈沖”，系統(tǒng)對線脈沖的輸出響應(yīng)稱為線響應(yīng)。如果系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為，證明：線響應(yīng)的一維傅里葉變換等于系統(tǒng)傳遞函數(shù)沿軸的截面分布。證明：1.8 如果一個空間不變線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)在頻率域的區(qū)間，之外恒為零，系統(tǒng)輸入為非限帶函數(shù)，輸出為。證明，存在一個由脈沖的方形陣列構(gòu)成的抽樣函數(shù)，它作為等效輸入，可產(chǎn)生相同的輸出，并請確定。答：為了便于從頻率域分析，分別設(shè)：物的空間頻譜 ；像的空間頻譜 ；等效物體的空間頻譜 ；等效物體的像的空間頻譜 由于成像系統(tǒng)是一個線性的空間不變低通濾波器，傳遞函數(shù)在之外恒為零，故可將其記為：、利用系

5、統(tǒng)的傳遞函數(shù)，表示物像之間在頻域中的關(guān)系為 在頻域中我們構(gòu)造一個連續(xù)的、二維周期性分布的頻域函數(shù)，預(yù)期作為等效物的譜，辦法是把安置在平面上成矩形格點分布的每一個點周圍，選擇矩形格點在、方向上的間隔分別為和,以免頻譜混疊，于是 （1）對于同一個成像系統(tǒng)，由于傳遞函數(shù)的通頻帶有限，只能允許的中央一個周期成份（）通過，所以成像的譜并不發(fā)生變化，即 圖1.8用一維形式表示出系統(tǒng)在頻域分別對和的作用，為簡單計，系統(tǒng)傳遞函數(shù)在圖中表示為。 圖 題1.8 既然，成像的頻譜相同，從空間域來看，所成的像場分布也是相同的，即 因此，只要求出的逆傅立葉變換式，就可得到所需的等效物場，即 帶入（1）式，并利用卷積定理

6、得到 （2）上式也可以從抽樣定理來解釋。 是一個限帶的頻譜函數(shù)，它所對應(yīng)的空間域的函數(shù)可以通過抽樣，用一個點源的方形陣列來表示，若抽樣的矩形格點的間隔，在方向是，在方向是，就得到等效物場 ； （3） （4）把（3）、（4）式代入（2）式，得到 利用函數(shù)性質(zhì)（1.8）式，上式可寫為這一點源的方形陣列構(gòu)成的等效物場可以和真實物體產(chǎn)生完全一樣的像. 本題利用系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，從頻率域分析物象關(guān)系，先找出等效物的頻譜，再通過傅立葉逆變換，求出等效物場的空間分布，這種頻域分析方法是傅立葉光學問題的基本分析方法。第二章 習題解答2.1 一列波長為的單位振幅平面光波，波矢量與軸的夾角為，與軸夾角為，試寫出其空

7、間頻率及平面上的復(fù)振幅表達式。答： , , 2.2 尺寸為a×b的不透明矩形屏被單位振幅的單色平面波垂直照明，求出緊靠屏后的平面上的透射光場的角譜。答： ， ，2.3 波長為的單位振幅平面波垂直入射到一孔徑平面上，在孔徑平面上有一個足夠大的模板，其振幅透過率為，求緊靠孔徑透射場的角譜。答:： 2.4 參看圖2.13，邊長為的正方形孔徑內(nèi)再放置一個邊長為的正方形掩模，其中心落在點。采用單位振幅的單色平面波垂直照明，求出與它相距為的觀察平面上夫瑯和費衍射圖樣的光場分布。畫出時，孔徑頻譜在方向上的截面圖。圖2.4題答： 2.5 圖2-14所示的孔徑由兩個相同的矩形組成，它們的寬度為，長度為

8、，中心相距為。采用單位振幅的單色平面波垂直照明，求與它相距為的觀察平面上夫瑯和費衍射圖樣的強度分布。假定及，畫出沿和方向上強度分布的截面圖。如果對其中一個矩形引入位相差，上述結(jié)果有何變化？圖 題2.5 （1）答：如圖所示，雙縫的振幅透射率是兩個中心在及的矩形孔徑振幅透射率之和： （1）由于是單位振幅平面波垂直照明，孔徑平面上入射光場 ，透射光場 （2）由夫瑯和費衍射方程，在夫瑯和費區(qū)中離孔徑距離z的觀察平面上得到夫瑯和費衍射圖樣，它正比于孔徑上場分布的傅立葉變換式（頻率坐標），即 （3）利用傅立葉變換的相移定理，得到 把它帶入（3）式，則有強度分布不難看出，這一強度分布是矩孔徑衍射圖樣和雙光束

9、干涉圖樣相互調(diào)制的結(jié)果。雙縫的振幅透射率也可以寫成下述形式： （4）它和（1）式本質(zhì)上是相同的。由（4）式可以利用卷積定理直接求出其傅立葉變換式，導出與上述同樣的結(jié)果。代入所給條件b=4a,d=1.5a沿x軸，此時中心光強：I(0,0)=8a2極小值位置為：方向上強度分布的截面圖示意如下：圖 題2.5 （2）沿y軸：此時，故中心光強：I(0,0)=8a2極小值位置：方向上強度分布的截面圖示意如下：圖 題2.5 （3）由于是單位振幅平面波垂直照明，孔徑平面上入射光場 ，透射光場,b=4a,d=1.5a時 （2）由夫瑯和費衍射方程，在夫瑯和費區(qū)中離孔徑距離z的觀察平面上得到夫瑯和費衍射圖樣，它正比

10、于孔徑上場分布的傅立葉變換式（頻率坐標），即 （3）利用傅立葉變換的相移定理，得到把它帶入（3）式，則有強度分布2.6 圖2-14所示半無窮不透明屏的復(fù)振幅透過率可用階躍函數(shù)表示為。采用單位振幅的單色平面波垂直照明，求相距為的觀察平面上夫瑯和費衍射圖樣的復(fù)振幅分布。畫出在方向上的振幅分布曲線。圖 題2.6答：振幅分布曲線圖從略。2.7 在夫瑯和費衍射中，只要孔徑上的場沒有相位變化，試證明：（1）不論孔徑的形狀如何，夫瑯和費衍射圖樣都有一個對稱中心。（2）若孔徑對于某一條直線是對稱的，則衍射圖樣將對于通過原點與該直線平行和垂直的兩條直線對稱。證明：（1）在孔徑上的場沒有相位變化時，衍射孔徑上的光

11、分布是一個實函數(shù)，其傅里葉變換是厄米型函數(shù)，即： 因此，所以夫瑯和費衍射圖樣有一個對稱中心。 （2）孔徑對于某一條直線是對稱時，以該直線為軸建立坐標系。有： 因此 同時 所以 可見衍射圖樣將對于通過原點與該直線平行和垂直的兩條直線對稱。2.8 試證明如下列陣定理：假設(shè)在衍射屏上有個形狀和方位都相同的全等形開孔，在每一個開孔內(nèi)取一個相對開孔來講方位一樣的點代表孔的位置，那末該衍射屏生成的夫瑯和費衍射場是下列兩個因子的乘積：（1）置于原點的一個孔徑的夫瑯和費衍射（該衍射屏的原點處不一定有開孔）；（2）個處于代表孔位置的點上的點光源在觀察面上的干涉。證明：假設(shè)置于原點的一個孔徑表示為，個處于代表孔位

12、置的點上的點光源表示為，則衍射屏的透過率可表示為 ，其傅里葉變換可表示為 ，該式右邊第一項對應(yīng)于置于原點的一個孔徑的夫瑯和費衍射，第二項對應(yīng)于個處于代表孔位置的點上的點光源在觀察面上的干涉，因此該衍射屏生成的夫瑯和費衍射場是這兩個因子的乘積。2.9 一個衍射屏具有下述圓對稱振幅透過率函數(shù) （1） 這個屏的作用在什么方面像一個透鏡？（2） 給出此屏的焦距表達式。（3） 什么特性會嚴重的限制這種屏用做成像裝置（特別是對于彩色物體）？答：（1）解衍射屏的復(fù)振幅投射率如圖所示，也可以把它表示為直角坐標的形式： （1）（1）式大括號中第一項僅僅是使直接透射光振幅衰減，其他兩項指數(shù)項與透鏡位相變換因子比較

13、，可見形式相同。當平面波垂直照射時，這兩項的作用是分別產(chǎn)生會聚球面波和發(fā)散球面波。因此在成像性質(zhì)和傅立葉變換性質(zhì)上該衍射屏都有些類似與透鏡，因子表明該屏具有半徑為的圓形孔徑。（2）解把衍射屏復(fù)振幅透射率中的復(fù)指數(shù)項與透鏡位相變換因子相比較，得到相應(yīng)的焦距，對于項，令，則有 焦距為正，其作用相當于會聚透鏡，對于項，令，則有 焦距為負，其作用相當于發(fā)散透鏡，對于“”這一項來說，平行光波直接透過，僅振幅衰減，可看作是 （3）解由于該衍射屏有三重焦距，用作成像裝置時，對同一物體它可以形成三個像，例如對于無窮遠的點光源，分別在屏兩側(cè)對稱位置形成實像和虛像，另一個像在無窮遠（直接透射光）（參看圖4.12）

14、。當觀察者觀察其中一個像時，同時會看到另外的離焦像，無法分離開。如用接收屏接收，在任何一個像面上都會有其它的離焦像形成的背景干擾。除此以外，對于多色物體來說，嚴重的色差也是一個重要的限制。因為焦距都與波長成反比。例如取，則有 這樣大的色差是無法用作成像裝置的，若采用白光作光源，在像面上可以看到嚴重的色散現(xiàn)象。 這種衍射屏實際就是同軸形式的點源全息圖，即伽柏全息圖。2.10 用波長為的平面光波垂直照明半徑為的衍射孔，若觀察范圍是與衍射孔共軸，半徑為的圓域，試求菲涅耳衍射和夫瑯和費衍射的范圍。答：由式(2.55)及式(2-57)有菲涅耳衍射和夫瑯和費衍射分別要求 即 2.11 單位振幅的單色平面波

15、垂直入射到一半徑為的圓形孔徑上，試求菲涅耳衍射圖樣在軸上的強度分布。答：圓形孔徑的透過率可表示為根據(jù)式(2.53)有 軸上的振幅分布為 軸上的強度分布為 2.12 余弦型振幅光柵的復(fù)振幅透過率為 式中，為光柵周期，。觀察平面與光柵相距。當分別取下列各數(shù)值：（1）；（2）；（3）（式中稱作泰伯距離）時，確定單色平面波垂直照明光柵，在觀察平面上產(chǎn)生的強度分布。答：根據(jù)式(2.31)單色平面波垂直照明下余弦型振幅光柵的復(fù)振幅分布為 強度分布為 角譜為 傳播距離后，根據(jù)式(2.40)得到角譜 利用二項式近似有 故（1）時與僅相差一個常數(shù)位相因子，因而觀察平面上產(chǎn)生的強度分布與單色平面波垂直照明下剛剛透

16、過余弦型振幅光柵產(chǎn)生的強度分布完全相同。（2）時對應(yīng)復(fù)振幅分布為 因而觀察平面上產(chǎn)生的強度分布為平移半個周期的單色平面波垂直照明下剛剛透過余弦型振幅光柵產(chǎn)生的強度分布。（3）對應(yīng)復(fù)振幅分布為 強度分布為 2.13 圖2.16所示為透射式鋸齒型位相光柵。其折射率為，齒寬為，齒形角為，光柵整體孔徑為邊長的正方形。采用單位振幅的單色平面波垂直照明，求距離光柵為的觀察平面上夫瑯和費衍射圖樣的強度分布。若讓衍射圖樣中的某個一級譜幅值最大，應(yīng)如何選擇？圖2.16（ 題2.13） 答：在如圖的透射式鋸齒型位相光柵中，單位振幅的單色平面波由光柵的背后平面入射垂直照明，則在齒頂平面形成的光波復(fù)振幅分布可表示為

17、其角譜為 若讓衍射圖樣中的m級譜幅值最大，應(yīng)選擇使得 因而有 2.14 設(shè)為矩形函數(shù)，試編寫程序求，時，其分數(shù)階傅里葉變換，并繪制出相應(yīng)的曲線。答：根據(jù)分數(shù)階傅里葉變換定義式(2.62) 以及式 (2.79)即可編程計算，時的分數(shù)階傅里葉變換（此處略）。第三章 習題解答3.1 參看圖3.5，在推導相干成像系統(tǒng)點擴散函數(shù)（3.35）式時，對于積分號前的相位因子 試問（1） 物平面上半徑多大時，相位因子相對于它在原點之值正好改變弧度？（2） 設(shè)光瞳函數(shù)是一個半徑為a的圓，那么在物平面上相應(yīng)h的第一個零點的半徑是多少？（3） 由這些結(jié)果，設(shè)觀察是在透鏡光軸附近進行，那么a，和do之間存在什么關(guān)系時可

18、以棄去相位因子解：（1）由于原點的相位為零，于是與原點位相位差為的條件是，（2）根據(jù)（3.1.5）式，相干成像系統(tǒng)的點擴散函數(shù)是透鏡光瞳函數(shù)的夫瑯禾費衍射圖樣，其中心位于理想像點 式中，而 （1）在點擴散函數(shù)的第一個零點處，此時應(yīng)有，即 （2）將（2）式代入（1）式，并注意觀察點在原點，于是得 （3）（3）根據(jù)線性系統(tǒng)理論，像面上原點處的場分布，必須是物面上所有點在像面上的點擴散函數(shù)對于原點的貢獻。按照上面的分析，如果略去h第一個零點以外的影響，即只考慮h的中央亮斑對原點的貢獻，那么這個貢獻僅僅來自于物平面原點附近范圍內(nèi)的小區(qū)域。當這個小區(qū)域內(nèi)各點的相位因子變化不大，就可認為（3.1.3）式的

19、近似成立，而將它棄去，假設(shè)小區(qū)域內(nèi)相位變化不大于幾分之一弧度（例如）就滿足以上要求，則，也即 （4）例如，則光瞳半徑，顯然這一條件是極易滿足的。3.2 一個余弦型振幅光柵，復(fù)振幅透過率為放在圖3.5所示的成像系統(tǒng)的物面上，用單色平面波傾斜照明，平面波的傳播方向在x0z平面內(nèi)，與z軸夾角為。透鏡焦距為f，孔徑為D。（1） 求物體透射光場的頻譜；（2） 使像平面出現(xiàn)條紋的最大角等于多少？求此時像面強度分布； (3) 若采用上述極大值，使像面上出現(xiàn)條紋的最大光柵頻率是多少？與=0時的截止頻率比較，結(jié)論如何？解：（1）斜入射的單色平面波在物平面上產(chǎn)生的場為，為確定起見設(shè)，則物平面上的透射光場為 其頻譜

20、為 由此可見，相對于垂直入射照明，物頻譜沿軸整體平移了距離。（2）欲使像面有強度變化，至少要有兩個頻譜分量通過系統(tǒng)，系統(tǒng)的截止頻率，于是要求 ，由此得 （1）角的最大值為 （2）此時像面上的復(fù)振幅分布和強度分布為（3）照明光束的傾角取最大值時，由（1）式和（2）式可得 即 或 （3）時，系統(tǒng)的截止頻率為，因此光柵的最大頻率 （4）比較（3）和（4）式可知，當采用傾角的平面波照明時系統(tǒng)的截止頻率提高了一倍，也就提高了系統(tǒng)的極限分辨率，但系統(tǒng)的通帶寬度不變。3.3光學傳遞函數(shù)在fx= fy =0處都等于1，這是為什么？光學傳遞函數(shù)的值可能大于1嗎？如果光學系統(tǒng)真的實現(xiàn)了點物成點像，這時的光學傳遞函

21、數(shù)怎樣？（1）在（3.4.5）式中，令 為歸一化強度點擴散函數(shù)，因此（3.4.5）式可寫成 而 即不考慮系統(tǒng)光能損失時，認定物面上單位強度點源的總光通量將全部彌漫在像面上，這便是歸一化點擴散函數(shù)的意義（2）不能大于1（3）對于理想成像，歸一化點擴散函數(shù)是函數(shù)，其頻譜為常數(shù)1，即系統(tǒng)對任何頻率的傳遞都是無損的。3.4當非相干成像系統(tǒng)的點擴散函數(shù)hI（xi，yi）成點對稱時，則其光學傳遞函數(shù)是實函數(shù)。解：由于是實函數(shù)并且是中心對稱的，即有，應(yīng)用光學傳遞函數(shù)的定義式（3.4.5）易于證明，即為實函數(shù)。3.5 非相干成像系統(tǒng)的出瞳是由大量隨機分布的小圓孔組成。小圓孔的直徑都為2a，出瞳到像面的距離為d

22、i，光波長為，這種系統(tǒng)可用來實現(xiàn)非相干低通濾波。系統(tǒng)的截止頻率近似為多大？解：用公式（3.4.15）來分析。首先，由于出瞳上的小圓孔是隨機排列的，因此無論沿哪個方向移動出瞳計算重疊面積，其結(jié)果都一樣，即系統(tǒng)的截止頻率在任何方向上均相同。其次，作為近似估計，只考慮每個小孔自身的重疊情況，而不計及和其它小孔的重疊，這時N個小孔的重疊面積除以N個小孔的總面積，其結(jié)果與單個小孔的重疊情況是一樣的，即截止頻率約為，由于很小，所以系統(tǒng)實現(xiàn)了低通濾波。3.6試用場的觀點證明在物的共軛面上得到物體的像解：如圖圖 3.6題設(shè)是透過率函數(shù)為的物平面，是與共軛的像平面，即有式中f 為透鏡的焦距，設(shè)透鏡無像差，成像過

23、程分兩步進行：（1） 射到物面上的平面波在物體上發(fā)生衍射，結(jié)果形成入射到透鏡上的光場；（2） 這個入射到透鏡上的光場經(jīng)透鏡作位相變換后，在透鏡的后表面上形成衍射場，這個場傳到像面上形成物體的像。為了計算光場，我們用菲涅耳近似，透鏡前表面的場為這里假定只在物體孔徑之內(nèi)不為零，所以積分限變?yōu)椋朔e分可以看成是函數(shù)的傅立葉變換，記為，其中在緊靠透鏡后表面處這個被透鏡孔徑所限制的場，在孔徑上發(fā)生衍射，在用菲涅耳近似，便可得到像面上的光場 由題設(shè)知， 并且假定透鏡孔徑外的場等于零，且忽略透鏡孔徑的限制，所以將上式中的積分限寫成無窮，于是上述積分為注意 于是得再考慮到和之間的關(guān)系得到即得到像平面上倒立的，

24、放大倍的像。3.7試寫出平移模糊系統(tǒng)，大氣擾動系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解：在照相系統(tǒng)的曝光期間，因線性平移使點變成小線段而造成圖像模糊，這種系統(tǒng)稱為平移模糊系統(tǒng)，它的線擴散函數(shù)為一矩形函數(shù) 其傳遞函數(shù)為 對于大氣擾動系統(tǒng)，設(shè)目標物為一細線，若沒有大氣擾動，則理想成像為一條細線。由于大氣擾動，使在爆光期間內(nèi)細線的像作隨機晃動，按照概率理論，可以把晃動的線像用高斯函數(shù)描述。設(shè)晃動擺幅的均方根值為a，細線的線擴散函數(shù)為對上式作傅立葉變換，就得到大氣擾動系統(tǒng)的傳遞函數(shù)3.8有一光楔（即薄楔形棱鏡），其折射率為n，頂角很小，當一束傍軸平行光入射其上時，出射光仍為平行光，只是光束方向向底邊偏轉(zhuǎn)了一角度（n-1），

25、試根據(jù)這一事實，導出光束的位相變換函數(shù)t。(x,y)=-(n-1)解：如圖所示，設(shè)入射平行光與Z軸成角入射，按傍軸條件，角很小，入射到光楔上的光場為通過光楔后的出射光場為其中 (n-1)表示偏轉(zhuǎn)是順時針方向，即向底邊偏轉(zhuǎn)，又根據(jù)出射光場，入射光場和光楔變換函數(shù)三者的關(guān)系 有 于是有 。第四章 習題解答4.1 若光波的波長寬度為，頻率寬度為，試證明：。設(shè)光波波長為，試計算它的頻寬。若把光譜分布看成是矩形線型，那么相干長度證明：赫，4.2 設(shè)邁克爾遜干涉儀所用的光源為，的鈉雙線，每一譜線的寬度為。（1）試求光場的復(fù)自相干度的模。（2）當移動一臂時，可見到的條紋總數(shù)大約為多少？（3）可見度有幾個變化

26、周期？每個周期有多少條紋？答：假設(shè)每一根譜線的線型為矩形，光源的歸一化功率譜為 (1)光場的復(fù)相干度為式中，復(fù)相干度的模為 由于，故第一個因子是的慢變化非周期函數(shù)，第二個因子是的快變化周期函數(shù)。相干時間由第一個因子決定，它的第一個零點出現(xiàn)在的地方，為相干時間，故相干長度。（2）可見到的條紋總數(shù)（3）復(fù)相干度的模中第二個因子的變化周期，故可見度的變化周期數(shù)每個周期內(nèi)的條紋數(shù)4.3假定氣體激光器以個等強度的縱模振蕩，其歸一化功率譜密度可表示為 式中，是縱模間隔，為中心頻率并假定為奇數(shù)。（1）證明復(fù)自相干度的模為 (2)若，且，畫出與的關(guān)系曲線。證明：（1），復(fù)相干度與歸一化功率譜密度即光源的光譜特

27、性間具有下列關(guān)系：將（4.3.1）式帶入得到其中因而 =復(fù)相干度的包絡(luò)則為 （2），當N=3時， 其曲線如圖1所示。圖1 多模激光復(fù)相干度包絡(luò)曲線（N=3）4.4 在衍射實驗中采用一個均勻非相干光源，波長，緊靠光源之前放置一個直徑1mm的小圓孔，若希望對遠處直徑為1mm的圓孔產(chǎn)生近似相干的照明，求衍射孔徑到光源的最小距離。答：用做衍射實驗的相干度應(yīng)當用上題中提到的沃爾夫用的閾值，由理想值1下降到0.88為最大容許偏離值，因而相干面積直徑與光源半徑之間滿足下列關(guān)系： 則 即光源小孔與衍射小孔之間最小相距5.68m才能在衍射實驗中較好地滿足相干照明的要求。4.5 用邁克爾遜測星干涉儀測量距離地面1

28、光年(約1016m) 的一顆星的直徑.當反射鏡與之間距離調(diào)到6m時,干涉條紋消失.若平均波長，求這顆星的直徑。答：。4.6 在楊氏雙孔干涉實驗中(圖4.17),用縫寬為的準單色非相干縫光源照明,其均勻分布的輻射光強為，中心波長.(1)寫出距照明狹縫處的間距為的雙孔和（不考慮孔的大?。┲g的復(fù)相干因子表達式。（2）若，求觀察屏上的楊氏干涉條紋的對比度。（3）若和仍然取上述值，要求觀察屏上干涉條紋的對比度為0.41, 縫光源的寬度應(yīng)為多少?(4)若縫光源用兩個相距為的準單色點光源代替, 如何表達和兩點之間的復(fù)相干因子? 圖 題4.6 答：根據(jù)范西特-澤尼克定理，當光源本身線度以及觀察區(qū)域線度都比二

29、者距離小得多時，觀察區(qū)域上復(fù)相干因子正比于光源強度分布的歸一化傅里葉變換。本題的條件能夠滿足這個要求。因而有 (4.75)式中 ，而和分別為和兩點到光軸的距離。（2）當，有 觀察屏上的楊氏干涉條紋的對比度為0.637。（1） 若和仍然取上述值，觀察屏上干涉條紋的對比度為0.41, 縫光源的寬度應(yīng)為 （2） 若縫光源用兩個相距為的準單色點光源代替, 和兩點之間的復(fù)相干因子可以表達為兩個復(fù)指數(shù)函數(shù)之和，因而隨著和兩點之間的距離按照余弦函數(shù)方式變化。4.7一準單色光源照明與其相距為的平面上任意兩點和，試問在傍軸條件下這兩點之間的復(fù)相干因子幅值為多大？答： 圖 題4.7解：首先建立如上圖的坐標系，光源

30、位于-坐標原點，-與x-y兩平面間距為z，P1與P2兩點坐標分別為(x1,y1)與(x2,y2)，并滿足如下近軸條件：做為準單色點光源，其光源可表示為其中為狄拉克函數(shù)。直接利用范西特-澤尼克定理計算復(fù)相干系數(shù)如下：因為，由點光源發(fā)出的準單色是完全相干的，或者說x-y面上的相干面積趨于無限大4.8在圖4-18所示的記錄全息圖的光路中,非相干光源的強度在直徑為的圓孔內(nèi)是均勻的。為使物體漫反射光與反射鏡的參考光在面上的復(fù)相干因子不小于0.88,光源前所加的小孔的最大允許直徑是多少（）？答：小孔的最大允許直徑。圖 題4.8第五章 習題解答51兩束夾角為 q = 450的平面波在記錄平面上產(chǎn)生干涉，已知

31、光波波長為632.8nm，求對稱情況下（兩平面波的入射角相等）該平面上記錄的全息光柵的空間頻率。答：已知：q = 450，= 632.8nm，根據(jù)平面波相干原理，干涉條紋的空間分布滿足關(guān)系式 2 d sin（q/2）= 其中d 是干涉條紋間隔。由于兩平面波相對于全息干板是對稱入射的，故記錄 在干板上的全息光柵空間頻率為 fx = （1/d）= （1/）·2 sin（q/2）= 1209.5 l/mm故全息光柵的空間頻率為1209.5 l/mm。52 如圖5.33所示，點光源A（0，-40，-150）和B（0，30，-100）發(fā)出的球面波在記錄平面上產(chǎn)生干涉： x A O z y B圖

32、5.33 （5.2題圖）（1） 寫出兩個球面波在記錄平面上復(fù)振幅分布的表達式；答：設(shè)：點源A、B發(fā)出的球面波在記錄平面上的復(fù)振幅分布分別為UA和UB， 則有 其中: xA = xB = 0, yA = -40, zA = -150, yB = 30, zB = -100; aA、aB分別是球面波的振幅；k為波數(shù)。（2） 寫出干涉條紋強度分布的表達式； I = |UA+UB|2 = UA ·UA* + UB ·UB* +UA*·UB+ UA·UB*（3）設(shè)全息干板的尺寸為100 × 100 mm2，l = 632.8nm，求全息圖上最高和最低空間

33、頻率；說明這對記錄介質(zhì)的分辨率有何要求？解答：設(shè)全息干板對于坐標軸是對稱的，設(shè)點源A與點源B到達干板的光線的最大和最小夾角分別為max和min，A、B發(fā)出的到達干板兩個邊緣的光線與干板的夾角分別為A、B、A和B，如圖所示，它們的關(guān)系為 A A max B 0 z B A B min y A = tg-1zA/（-yA - 50） ，B = tg-1zB/（-yB - 50） A= tg-1zA/（yA - 50） ，B = tg-1zB/（yB - 50） max=A -B ， min=B -A根據(jù)全息光柵記錄原理，全息圖上所記錄的 最高空間頻率 fmax= （2/l）sin（max/2）&#

34、183;cos 1 最低空間頻率 fmin= （2/l）sin（min/2）·cos 2其中角表示全息干板相對于對稱記錄情況的偏離角，由幾何關(guān)系可知 cos 1 = sin（A +B）/2 ， cos 2 = sin（A+B）/2將數(shù)據(jù)代入公式得 fmax= 882 l/mm ，fmin= 503 l/mm故全息圖的空間頻率最高為882 l/mm，最低為503 l/mm，要求記錄介質(zhì)的分辨率不得低于900 l/mm。 5.3 請依據(jù)全息照相原理說明一個漫反射物體的菲涅耳全息圖。 （1）為什么不能用白光再現(xiàn)？試證明如圖5.7所記錄和再現(xiàn)的菲涅耳全息圖的線模糊和色模糊的表達式（5.26）

35、和（5.28）； （2）為什么全息圖的碎片仍能再現(xiàn)出物體完整的像？碎片尺寸的大小對再現(xiàn)像質(zhì)量有哪些影響？ （3）由全息圖再現(xiàn)的三維立體像與普通立體電影看到的立體像有何本質(zhì)區(qū)別？答：（1）首先證明（5.26）式，當。即記錄光與再現(xiàn)光波長相同時，（5.21）式變?yōu)椋寒斣佻F(xiàn)光源沒有展寬，即，一個點光源的像的展寬，與參考光源的展寬，成正比，即：同樣，當參考光源沒有展寬，再現(xiàn)光源的展寬也與像的展寬成正比參考光源與再現(xiàn)光源同時存在微小展寬其最后結(jié)果展寬是兩者之和為： 此即式（5.26）。對于色模糊，由圖5.8可以看出：色散角與波長成一定函數(shù)關(guān)系，由于波長范圍產(chǎn)生的色散角為：因而有該式即為書上（5.27）式

36、，根據(jù)書上P132以后分析即可證明（5.28）式。（2）由于全息圖上每一點都記錄了物體上所有點發(fā)出的波的全部信息，故每一點都可以在再現(xiàn)光照射下再現(xiàn)出像的整體，因而全息圖的碎片仍能再現(xiàn)出物體完整的像。不過對再現(xiàn)像有貢獻的點越多，像的亮度越高。每個點都在不同角度再現(xiàn)像，因而點越多，再現(xiàn)像的孔徑角也越大，像的分辨率越高，這就是碎片大小對再現(xiàn)像質(zhì)量的兩個方面影響。54 用波長 l0= 632.8nm 記錄的全息圖，然后用 l= 488.0nm的光波再現(xiàn)，試問：（1）若lo = 10cm，lc = lr = ，像距l(xiāng)i =？ 解：根據(jù)菲涅耳全息圖物像距關(guān)系式（521C），像距l(xiāng)i由下式確定 原始像： 共

37、軛像： 其中 µ = l / l0 ， 將lc = lr = 代入得 原始像距為 共軛像距為 （2）若lo = 10cm，lr = 20cm，lC = ，li =？； 解：同理,原始像距為 26 cm共軛像距為 lI - 26 cm（3） 第二種情況中，若lC改為lC = -50cm，li =？； 解：同理,原始像距為 lI 54 cm 共軛像距為 lI - 17 cm （4）若再現(xiàn)波長與記錄波長相同，求以上三種情況像的放大率M = ？解：當l = l0 時 µ = 1 ，由成像放大率公式（525）可知 上述三種情況的放大率分別為（1）M = 1 ； （2）M = 2 ；

38、（3）M = 33 55 如圖5.34所示，用一束平面波R和會聚球面波A相干，記錄的全息圖稱為同軸全息透鏡（HL），通常將其焦距f定義為會聚球面波點源A的距離zA。 R A z HL圖5.34 （5.5題圖）（1）試依據(jù)菲涅耳全息圖的物像關(guān)系公式（5.21）（5.22），證明該全息透鏡的成像公式為 式中di為像距，d0為物距，f為焦距，m = l / l0（l0為記錄波長，l為再現(xiàn)波長），等號右邊的正號表示正透鏡，負號表示它同時又具有負透鏡的功能。證明：根據(jù)菲涅耳全息圖的物像關(guān)系公式（5.21c）和（5.22c）有 根據(jù)題意，已知 di = li ，d0 = lc ，lr = ；焦距f是指當

39、l = l0時平行光入射得到的會聚點的距離，即當lc=，m =1時的像距l(xiāng)i ，此時li = f （= zA）。根據(jù)公式可得 于是有 f = + lo （=zA）故：左邊=右邊證明完畢。（2）若已知zA= 20cm，l0 = 632.8nm，物距為d0 = -10cm，物高為hO= 2mm，物波長為 l = 488.0nm，問：能得到幾個像？求出它們的位置和大小，并說明其虛、實和正、倒。解：由已經(jīng)證明了的全息透鏡成像公式可得 根據(jù)題意有f = zA= 20cm，m = l / l0 = 488.0nm / 632.8nm，d0 = -10cm，代入上式 -163 cm 原始像 得 di = -

40、72 cm 共軛像根據(jù)放大率公式（525） 由本題關(guān)系可知，上式中z0 = lo = f = 20cm，zr = lr = ，zc = lc = d0 = -10cm，代入上式得 06 原始像高h = M·h0 = 120cm=028 共軛像高h = M·h0 = 056cm故能得到兩個像，原始像位于 -163cm處，正立虛像，像高120cm；共軛像位于 -72cm處，正立虛像，像高056cm。56 用圖5.33光路制作一個全息透鏡，記錄波長為l0 = 488.0nm，zA= 20cm，然后用白光平面波再現(xiàn)，顯然由于色散效應(yīng)，不同波長的焦點將不再重合。請計算對應(yīng)波長分別為l

41、1= 400.0nm、l2 = 500.0nm、l3 = 600.0nm的透鏡焦距。答：由（523）式可知 于是有 其中l(wèi)O = zA = 20cm，lc = lr = ，µ1 = l1 / l0，µ2 = l2 / l0，µ3 = l3 / l0， 代入數(shù)據(jù)得 f1= 244cm； f2= 195cm； f3= 163cm 故對應(yīng)3個波長的焦距分別為244cm，195cm和163cm。57 用圖5.35所示光路記錄和再現(xiàn)傅里葉變換全息圖。透鏡L1和 L2的焦距分別為f1 和f2，參考光角度為q ，求再現(xiàn)像的位置和全息成像的放大倍率。 O L1 q H H L2

42、P f1 f1 f2 f2圖5.35 （5.7題圖）答：根據(jù)傅里葉變換全息圖再現(xiàn)原理，由公式（533）可知，再現(xiàn)像對稱分布于零級兩側(cè)，且傾角分別為：+q，由幾何關(guān)系可知： + sin q = xp / f2 所以：xp = + f2 sin q 即原始像和共軛像分別位于xp = f2 sin q 和xp = - f2 sin q 處（注：輸出平面坐標已作反轉(zhuǎn)處理）。全息成像的放大倍率為。5.8 根據(jù)布拉格條件式（5.61），試解釋為什么當體全息圖乳膠收縮時，再現(xiàn)像波長會發(fā)生“藍移”現(xiàn)象；當乳膠膨脹時，又會發(fā)生“紅移”現(xiàn)象。答：根據(jù)布拉格條件式，當體全息圖乳膠收縮時，條紋間隔變小，即減小時，由于

43、記錄或再現(xiàn)時夾角不變，因此減小時也減小，再現(xiàn)像的波長隨之減小，發(fā)生“藍移”。 相反，當乳膠膨脹時增大，再現(xiàn)像的波長增大，發(fā)生“紅移”。5.9 說明在用迂回相位法制作計算全息圖時，為什么可用長方形孔的中心離軸樣點的距離來表征物函數(shù)的相位值，應(yīng)滿足怎樣的條件才能保證這一表征的實施。答：圖 5.9題（1）圖 5.9題（2）如圖1所示，迂回相位編碼的基本思想是，在全息圖的每個抽樣單元中，放置一個通光孔徑，通過改變通光孔徑的面積來實現(xiàn)光波場的振幅調(diào)制，而通過改變通光孔徑中心距抽樣單元中心的位置來實現(xiàn)光場相位編碼。而這個思想是從光柵中得到啟發(fā)的。如圖2所示，當用一束平面波垂直照明一柵距d恒定的平面光柵時，

44、產(chǎn)生的各級衍射光仍為平面波，等相位面為垂直于相應(yīng)衍射方向的平面。根據(jù)光柵方程，光柵的任意兩條相鄰狹縫在第K級衍射方向的光程差為是等相位的。如果某一點的狹縫位置有偏差，如柵距增大，則該處在第K級衍射方向的衍射光的光程差變?yōu)?，從而導致一附加相移：因此，光柵中柵距的變化量和相位成正比?.10 試說明為什么光刻膠只能用來記錄透射體全息圖，而不能用來記錄反射體全息圖，重鉻酸明膠和光致聚合物可以記錄反射體全息圖嗎？請分別說明理由。答：在進行反射體全息記錄時，物光和參考光從介質(zhì)的兩側(cè)相向射入，介質(zhì)內(nèi)干涉面幾乎與介質(zhì)面平行。而光刻膠曝光機理是，曝光部分比未曝光波分溶解速率快，顯影時曝光區(qū)被迅速溶解，產(chǎn)生浮雕

45、型的干涉條紋，只能記錄與干涉面幾乎與介質(zhì)面垂直的干涉條紋。因此光刻膠只能用來記錄透射體全息圖，不能用來記錄反射體全息圖重鉻酸明膠和光致聚合物的記錄原理是產(chǎn)生折射率的變化，折射率的變化是可以記錄在體積內(nèi)的，因此重鉻酸明膠和光致聚合物可以記錄反射體全息圖。第六章 習題解答6-1置于兩正交偏振片中的垂面排列液晶盒，在電控雙折射效應(yīng)中，電壓V=Vc時透過率最大，試從雙折射和干涉角度說明此時對應(yīng)何種情況？為什么透過率最大。解：如果用負型液晶<制成垂面排列液晶盒，并在兩基片外表面鍍上透明導電材料氧化銦與氧化錫的混合物（ITO）作為電極，在液晶盒的前后光路中分別放置起偏器和檢偏器，且使兩者正交。一束光

46、經(jīng)起偏器垂直入射到液晶盒上。當電極上的電壓V=0時，由于線偏振光沿液晶主軸方向傳播，因而偏振方向不變，所以檢偏器上透過的光強為零。當電極上加一定電壓后，液晶發(fā)生形變，大部分分子的指向矢n將轉(zhuǎn)向垂直于E的方向，它平行與基片（但不一定平行與起偏器），此時通過液晶盒的線偏振光將分解成o光和e光，檢偏器上將有光透過，其光強是o光和e光干涉的結(jié)果。當電極上的電壓達到某一閾值電壓Vc時，n平行于液晶盒表面（垂直于E）的分子比例達到最大。此時液晶雙折射效應(yīng)最強，因而，透過率也達到最大值。6-2 P型450扭曲液晶盒在混合場效應(yīng)中，分析液晶分子指向矢的變化是如何改變液晶雙折射的，說明為什么最后能生成橢圓偏振光

47、。解：在P型45°扭曲液晶盒電極上加一個中等電壓時，形成一個中等強度的電場，這時液晶分子出現(xiàn)展曲形變，指向矢并未完全平行于電場E，但已出現(xiàn)傾斜，朝著垂直排列液晶的趨勢變化。同時電場對液晶分子的扭曲形變也有影響。這種中等強度的電場作用的結(jié)果，是使液晶同時出現(xiàn)雙折射效應(yīng)和扭曲效應(yīng)，即混合場效應(yīng)。這時，入射的線偏振光通過液晶后，變成同時含有兩個正交偏振方向的分量（o光和e光）的橢圓偏振光。6-3 在利用混合場效應(yīng)時，為什么采用450扭曲液晶盒，而不采用900扭曲液晶盒？解： 在利用混合場效應(yīng)時，采用450扭曲液晶盒，是為了能在較低電壓下較大的雙折射效應(yīng)。若采用900扭曲液晶，則線偏振光在液晶盒內(nèi)不能分解成兩個偏振方向的分量，也就不能產(chǎn)生橢圓偏振光，而僅使入射線偏振光的偏振方向旋轉(zhuǎn)900，因而通過檢偏器的光功率為零?？梢钥闯觯?50扭曲液晶盒可以產(chǎn)生最大雙折射效應(yīng)。6-4 試寫出KDP晶體的線性電光系數(shù)矩陣、在外電場E=Exi+Eyj+Ezk作用下hij（E）的各分量及其折射率橢球方程。解：已知KDP的系數(shù)矩陣中只有r41、r32、和r63不為零，所以可寫出其電光系數(shù)矩陣為： 在外電場E的作用下，由（