2022年2021高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)橢圓、雙曲線、拋物線,推薦文檔

1、1 橢圓、雙曲線、拋物線高考對(duì)本節(jié)知識(shí)的考查主要有以下兩種形式：1. 以選擇、 填空的形式考查，主要考查圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、性質(zhì)( 特別是離心率) ，以及圓錐曲線之間的關(guān)系，突出考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，屬于基礎(chǔ)題.2. 以解答題的形式考查，主要考查圓錐曲線的定義、性質(zhì)及標(biāo)準(zhǔn)方程的求解， 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，常常在知識(shí)的交匯點(diǎn)處命題，有時(shí)以探究的形式出現(xiàn)，有時(shí)以證明題的形式出現(xiàn)該部分題目多數(shù)為綜合性問(wèn)題，考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，綜合運(yùn)用知識(shí)的能力等，屬于中、高檔題，一般難度較大圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)名稱橢圓雙曲線拋物線定義|pf1| |pf2| 2a(2a|f1f2|

2、) |pf1| |pf2| 2a(2ab0) x2a2y2b2 1(a0，b0) y22px(p0) 圖形幾何性質(zhì)范圍|x| a， |y| b|x| ax0頂點(diǎn)( a,0) ，(0 ，b) ( a,0) (0,0)對(duì)稱性關(guān)于x軸，y軸和原點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于x軸對(duì)稱焦點(diǎn)( c,0) (p2，0) 軸長(zhǎng)軸長(zhǎng) 2a， 短軸長(zhǎng) 2b實(shí)軸長(zhǎng) 2a， 虛軸長(zhǎng) 2b離心率eca1b2a2(0e1) e1 準(zhǔn)線xp2漸近線ybax精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁(yè)，共 17 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - -

3、 - - - - - - - - - - - 第 1 頁(yè)，共 17 頁(yè) - - - - - - - - -2 考點(diǎn)一圓錐曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程例 1 (1) 設(shè)橢圓x22y2m1 和雙曲線y23x21 的公共焦點(diǎn)分別為f1、f2，p為這兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn)，則|pf1| |pf2| 的值等于 _(2) 已知直線yk(x2)(k0) 與拋物線c：y28x相交于a、b兩點(diǎn)，f為c的焦點(diǎn) 若|fa| 2|fb| ，則k_. 答案(1)3 (2)223解析(1) 焦點(diǎn)坐標(biāo)為 (0，2)，由此得m24，故m6. 根據(jù)橢圓與雙曲線的定義可得|pf1| |pf2| 26，|pf1| |pf2| 23，兩式平方相

4、減得4|pf1|pf2| 43， 所以|pf1| |pf2| 3. (2) 方法一拋物線c：y28x的準(zhǔn)線為l：x 2，直線yk(x2)(k 0)恒過(guò)定點(diǎn)p( 2,0) 如圖，過(guò)a、b分別作aml于點(diǎn)m，bnl于點(diǎn)n. 由|fa| 2|fb| ，則 |am| 2|bn| ，點(diǎn)b為ap的中點(diǎn)連接ob，則 |ob| 12|af| ，|ob| |bf| ，點(diǎn)b的橫坐標(biāo)為1，故點(diǎn)b的坐標(biāo)為 (1,22)k22 012223. 方法二如圖，由圖可知，bbbf，aaaf，又|af| 2|bf| ，|bc|ac|bb|aa|12，即b是ac的中點(diǎn)2xbxa2，2ybya與y2a8xa，y2b8xb，精品學(xué)習(xí)

5、資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁(yè)，共 17 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁(yè)，共 17 頁(yè) - - - - - - - - -3 聯(lián)立可得a(4,42) ，b(1,22) kab422241223. (1) 對(duì)于圓錐曲線的定義不僅要熟記，還要深入理解細(xì)節(jié)部分：比如橢圓的定義中要求|pf1| |pf2| |f1f2| ，雙曲線的定義中要求|pf1| |pf2| |f1f2| ，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離相等的轉(zhuǎn)化(2) 注意

6、數(shù)形結(jié)合，提倡畫(huà)出合理草圖(1)(2012 山東 ) 已知橢圓c：x2a2y2b21(ab0) 的離心率為32. 雙曲線x2y21 的漸近線與橢圓c有四個(gè)交點(diǎn)，以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16，則橢圓c的方程為( ) a.x28y221 b.x212y261 c.x216y241 d.x220y251 (2) 如圖，過(guò)拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)f的直線交拋物線于點(diǎn)a，b，交其準(zhǔn)線l于點(diǎn)c，若 |bc| 2|bf| ，且 |af| 3，則此拋物線的方程為( ) ay29xby26xcy23xdy23x答案(1)d (2)c 解析(1) 橢圓的離心率為32，caa2b2a32，a2b.

7、橢圓方程為x24y24b2. 雙曲線x2y2 1的漸近線方程為xy0，漸近線xy0 與橢圓x2 4y24b2在第一象限的交點(diǎn)為255b，255b，由圓錐曲線的對(duì)稱性得四邊形在第一象限部分的面積為255b255b4，b25，a24b220. 橢圓c的方程為x220y251. (2) 如圖，分別過(guò)a，b作aa1l于a1，bb1l于b1，由拋物線的定義知， |af| |aa1| ，|bf| |bb1| ，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁(yè)，共 17 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - -

8、 - - - - - - - - - 第 3 頁(yè)，共 17 頁(yè) - - - - - - - - -4 |bc| 2|bf| ，|bc| 2|bb1| ，bcb130，afx60.連接a1f，則aa1f為等邊三角形，過(guò)f作ff1aa1于f1，則f1為aa1的中點(diǎn)，設(shè)l交x軸于n，則 |nf| |a1f1| 12|aa1| 12|af| ，即p32，拋物線方程為y2 3x，故選 c. 考點(diǎn)二圓錐曲線的幾何性質(zhì)例 2 (1)(2013 遼寧 ) 已知橢圓c：x2a2y2b21(ab0)的左焦點(diǎn)為f，c與過(guò)原點(diǎn)的直線相交于a，b兩點(diǎn)，連接af，bf. 若|ab| 10， |bf| 8， cosabf4

9、5， 則c的離心率為 ( ) a.35b.57c.45d.67(2) 已知雙曲線x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)分別為f1、f2，點(diǎn)p在雙曲線的右支上，且 |pf1| 4|pf2| ，則雙曲線的離心率e的最大值為 _答案(1)b (2)53解析(1) 在abf中，由余弦定理得|af|2|ab|2|bf|22|ab| |bf|cos abf，|af|210064 12836，|af| 6，從而 |ab|2 |af|2|bf|2，則afbf. c|of| 12|ab| 5，利用橢圓的對(duì)稱性，設(shè)f為右焦點(diǎn)，則|bf| |af| 6，2a|bf| |bf| 14，a7. 因此橢圓的離心率e

10、ca57. (2) 設(shè)f1pf2，由|pf1| |pf2| 2a，|pf1| 4|pf2|得|pf1| 83a，|pf2| 23a，由余弦定理得cos 17a2 9c28a217898e2. 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁(yè)，共 17 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁(yè)，共 17 頁(yè) - - - - - - - - -5 (0,180 ，cos 1,1) ，117898e21，10，b0)的左焦點(diǎn)f作圓x2y2a24的切線，切點(diǎn)

11、為e，延長(zhǎng)fe交雙曲線右支于點(diǎn)p，若e為pf的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為_(kāi)答案(1)33(2)102解析(1) 設(shè)橢圓c的焦點(diǎn)在x軸上，如圖，b(0 ，b) ，f(c,0)，d(xd，yd) ，則bf(c，b)，fd(xdc，yd) ，bf 2f d，c2xdc，b2yd，xd3c2，ydb2.又點(diǎn)d在橢圓c上，3c22a2b22b2 1，即e213. e33. (2) 設(shè)ca2b2，雙曲線的右焦點(diǎn)為f.則|pf| |pf| 2a，|ff| 2c. e為pf的中點(diǎn)，o為ff的中點(diǎn)，oepf，且 |pf| 2|oe|. oepf，|oe| a2，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - -

12、- - - - - - - - - 第 5 頁(yè)，共 17 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁(yè)，共 17 頁(yè) - - - - - - - - -6 pfpf， |pf| a，|pf| |pf| 2a3a. |pf|2|pf|2|ff|2，9a2a24c2，ca102. 雙曲線的離心率為102. 考點(diǎn)三直線與圓錐曲線的位置關(guān)系例 3 已知橢圓c：x2a2y2b21(ab0)的離心率e22，點(diǎn)f為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)a、b分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)m為橢圓的上頂點(diǎn)，且滿足mffb21. (1) 求橢圓c

13、的方程；(2) 是否存在直線l，當(dāng)直線l交橢圓 于p、q兩點(diǎn)時(shí)，使點(diǎn)f恰為pqm的垂心？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解(1) 根據(jù)題意得，f(c,0)(c0)，a( a,0) ，b(a,0) ，m(0 ，b) ，mf(c，b) ，fb(ac,0) ，mffbacc221. 又eca22，a2c，2c2c22 1，c21，a2 2，b21，橢圓c的方程為x22y21. (2) 假設(shè)存在滿足條件的直線l. kmf 1，且mfl，kl 1. 設(shè)直線l的方程為yxm，p(x1，y1) ，q(x2，y2) ，由yxm，x22y21消去y得 3x24mx2m2 20，則有16m212(2

14、m22)0，即m2b0 時(shí)，表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓；ba0 時(shí)，表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；ab0) 的焦點(diǎn)弦，f為拋物線的焦點(diǎn)，a(x1，y1) 、b(x2，y2) (1)y1y2p2，x1x2p24；精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁(yè)，共 17 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁(yè)，共 17 頁(yè) - - - - - - - - -9 (2)|ab| x1x2p2psin2(為弦ab的傾斜角 ) ；(3)saobp22sin ；(4)

15、1|fa|1|fb|為定值2p；(5) 以ab為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切. 1 已知點(diǎn)f是雙曲線x2a2y2b21(a0，b0)的左焦點(diǎn)，點(diǎn)e是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)f且垂直于x軸的直線與雙曲線交于a，b兩點(diǎn)，abe是銳角 三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是( ) a(1， ) b(1,2) c(1,1 2) d(2,1 2) 答案b 解析由abx軸，可知abe為等腰三角形，又abe是銳角三角形，所以aeb為銳角，即aef45，于是 |af|ef| ，b2aac，于是c2a2a2ac，即e2e20，解得 1e1，從而 1eb0) 的離心率為e12，右焦點(diǎn)為f(c,0) ，方程ax2bx

16、c 0的兩個(gè)實(shí)根分別為x1和x2，則點(diǎn)p(x1，x2) ( ) a必在圓x2y22 內(nèi)b 必在圓x2y22 上c必在圓x2y22 外d 以上三種情形都有可能答案a 解析x1x2ba，x1x2ca. x21x22(x1x2)22x1x2b2a22cab22aca2. eca12，c12a，b2a2c2a212a234a2. 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁(yè)，共 17 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁(yè)，共 17 頁(yè) - - - -

17、 - - - - -10 x21x2234a22a12aa2740) 的焦點(diǎn)為f，點(diǎn)m在c上， |mf| 5，若以mf為直徑的圓過(guò)點(diǎn)(0,2) ，則c的方程為( ) ay24x或y28xb y22x或y28xcy24x或y216xd y22x或y216x答案c 解析由題意知：fp2，0，拋物線的準(zhǔn)線方程為xp2，則由拋物線的定義知，xm5p2，設(shè)以mf為直徑的圓的圓心為52，ym2，所以圓的方程為x522yym22254，又因?yàn)閳A過(guò)點(diǎn) (0,2) ，所以ym4，又因?yàn)辄c(diǎn)m在c上，所以 162p5p2，解得p 2 或p8，所以拋物線c的方程為y24x或y216x，故選 c. 2 與橢圓x212y

18、2161共焦點(diǎn)，離心率互為倒數(shù)的雙曲線方程是( ) ay2x231 b.y23x21 c.3x243y281 d.3y243x281 答案a 解析橢圓x212y2161 的離心率為16121612，且焦點(diǎn)為 (0，2)，所以所求雙曲線的焦點(diǎn)為 (0 ，2)且離心率為2，所以c2，2a2 得a1，b2c2a23，故所求雙曲線方程是y2x23 1. 3 (2013江西 ) 已知點(diǎn)a(2,0)，拋物線c：x24y的焦點(diǎn)為f，射線fa與拋物線c相交精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁(yè)，共 17 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)

19、習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁(yè)，共 17 頁(yè) - - - - - - - - -11 于點(diǎn)m，與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn)n，則 |fm| |mn| 等于( ) a25 b 12 c 15 d 13答案c 解析由拋物線定義知m到f的距離等于m到準(zhǔn)線l的距離mh. 即|fm| |mn| |mh| |mn| |fo| |af| 15. 4 過(guò)雙曲線x2a2y2b21(a0，b0)的右焦點(diǎn)f，作圓x2y2a2的切線fm交y軸于點(diǎn)p，切圓于點(diǎn)m,2omofop，則雙曲線的離心率是( ) a.2 b.3 c2 d.5 答案a 解析由已知條件知， 點(diǎn)m為

20、直三角形ofp斜邊pf的中點(diǎn)， 故of2om，即c2a，所以雙曲線的離心率為2. 5 (2013山東 ) 拋物線c1：y12px2(p0) 的焦點(diǎn)與雙曲線c2：x23y2 1 的右焦點(diǎn)的連線交c1于第一象限的點(diǎn)m. 若c1在點(diǎn)m處的切線平行于c2的一條漸近線， 則p等于 ( ) a.316b.38c.233d.433答案d 解析拋物線c1的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22py，其焦點(diǎn)f為 0，p2，雙曲線c2的右焦點(diǎn)f為(2,0) ，漸近線方程為y33x. 由y1px33得x33p，故m33p，p6. 由f、f、m三點(diǎn)共線得p433. 6 橢圓m：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為f1、f2，p為

21、橢圓m上任一點(diǎn)，且pf1pf2的最大值的取值范圍是c2,3c2 ，其中ca2b2，則橢圓m的離心率e的取值范圍是( ) a14，12 b12，22 c(22， 1) d12，1) 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁(yè)，共 17 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁(yè)，共 17 頁(yè) - - - - - - - - -12 答案b 解析設(shè)p(x，y) ，f1( c,0) ，f2(c,0) ，則pf1( cx，y) ，pf2(cx，y)

22、，pf1pf2x2y2c2. 又x2y2可看作p(x，y) 到原點(diǎn)的距離的平方，所以 (x2y2)maxa2，所以 (pf2pf2)maxb2，所以c2b2a2c23c2，即14e212，所以12e22. 故選 b. 二、填空題7 (2012江蘇 ) 在平面直角坐標(biāo)系xoy中，若雙曲線x2my2m241 的離心率為5，則m的值為 _答案2 解析建立關(guān)于m的方程求解c2mm2 4，e2c2a2mm2 4m5，m24m40，m2. 8 (2013福建 ) 橢圓 ：x2a2y2b2 1(ab0) 的左，右焦點(diǎn)分別為f1，f2，焦距為2c.若直線y3(xc) 與橢圓 的一個(gè)交點(diǎn)m滿足mf1f22mf2

23、f1，則該橢圓的離心率等于_答案31 解析由直線方程為y3(xc) ，知mf1f260，又mf1f22mf2f1，所以mf2f130，mf1mf2，所以 |mf1| c，|mf2| 3c所以 |mf1| |mf2| c3c2a. 即eca31. 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁(yè)，共 17 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁(yè)，共 17 頁(yè) - - - - - - - - -13 9 (2013遼寧 ) 已知f為雙曲線c：x29

24、y216 1 的左焦點(diǎn)，p，q為c上的點(diǎn)若pq的長(zhǎng)等于虛軸長(zhǎng)的2 倍，點(diǎn)a(5,0) 在線段pq上，則pqf的周長(zhǎng)為 _答案44 解析由雙曲線c的方程，知a 3，b4，c5，點(diǎn)a(5,0)是雙曲線c的右焦點(diǎn)，且|pq| |qa| |pa| 4b16，由雙曲線定義，|pf| |pa| 6，|qf| |qa| 6. |pf| |qf| 12|pa| |qa| 28，因此pqf的周長(zhǎng)為|pf| |qf| |pq| 2816 44. 10已知p為橢圓x225y2161 上的一點(diǎn)，m，n分別為圓 (x3)2y21 和圓 (x 3)2y24上的點(diǎn)，則 |pm| |pn| 的最小值為 _答案7 解析由題意知

25、橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)f1，f2分別是兩圓的圓心，且|pf1| |pf2| 10，從而|pm| |pn| 的最小值為 |pf1| |pf2| 127. 三、解答題11(2013課標(biāo)全國(guó) ) 平面直角坐標(biāo)系xoy中，過(guò)橢圓m：x2a2y2b21(ab0)右焦點(diǎn)的直線xy30 交m于a，b兩點(diǎn)，p為ab的中點(diǎn)，且op的斜率為12. (1) 求m的方程；(2)c，d為m上的兩點(diǎn)， 若四邊形acbd的對(duì)角線cdab， 求四邊形acbd面積的最大值解(1) 設(shè)a(x1，y1) ，b(x2，y2)，則x21a2y21b2 1 x22a2y22b2 1 ，得x1x2x1x2a2y1y2y1y2b20. 因?yàn)閥1y2

26、x1x2 1，設(shè)p(x0，y0) ，因?yàn)閜為ab的中點(diǎn)，且op的斜率為12，所以y012x0，即y1y212(x1x2) 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 頁(yè)，共 17 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 頁(yè)，共 17 頁(yè) - - - - - - - - -14 所以可以解得a22b2，即a22(a2c2) ，即a22c2，又因?yàn)閏3，所以a26，所以m的方程為x26y231. (2) 因?yàn)閏dab，直線ab方程為xy30，所以設(shè)直

27、線cd方程為yxm，將xy30 代入x26y231 得：3x243x0，即a(0 ，3) ，b433，33，所以可得 |ab| 463；將yxm代入x26y231 得：3x24mx2m260，設(shè)c(x3，y3) ，d(x4，y4)，則|cd| 2x3x424x3x4223182m2，又因?yàn)?16m212(2m26)0，即 3mb0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)p1，32，離心率e12，直線l的方程為x4. (1) 求橢圓c的方程；(2)ab是經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)f的任一弦 ( 不經(jīng)過(guò)點(diǎn)p) ，設(shè)直線ab與直線l相交于點(diǎn)m，記pa、pb、pm的斜率分別為k1、k2、k3. 問(wèn)：是否存在常數(shù)，使得k1k2k3？若 存在，求的值；

28、若不存在，說(shuō)明理由解(1) 由p1，32在橢圓x2a2y2b21 上，得精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 頁(yè)，共 17 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 頁(yè)，共 17 頁(yè) - - - - - - - - -15 1a294b21，又eca12，得a2 4c2，b23c2，代入得，c21，a24，b23. 故橢圓方程為x24y231. (2) 設(shè)直線ab的方程為yk(x1)，a(x1，y1) ，b(x2，y2) 由ykx 1x24y

29、231得，(4k23)x28k2x4k2120，x1x28k24k23，x1x24k2124k23. k1k2y132x11y232x21kx1132x11kx2132x212k321x111x212k32x1x22x1x2x1x212k328k24k23 24k2124k238k24k2312k1. 又將x4 代入yk(x1) 得m(4,3k) ，k33k323k12，k1k22k3. 故存在常數(shù)2 符合題意精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 頁(yè)，共 17 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 頁(yè)，共 17 頁(yè) - - - - - - - - -16 13已知中心在原點(diǎn)， 焦點(diǎn)在x軸上的橢圓c的離心率為12，其一個(gè)頂點(diǎn)的拋物線x2 43 y的焦點(diǎn)(1) 求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2) 若過(guò)點(diǎn)p(2,1) 的直線l與橢圓c在第一象限相切于點(diǎn)m，求直線l的方程和點(diǎn)m的坐標(biāo)；(3) 是否存在過(guò)點(diǎn)p(2,1) 的直線l1與橢圓c相交于不同的兩點(diǎn)a，b，且滿足papbpm2？若存在，求出直線l1的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解(1) 設(shè)橢圓c的方程為x2a2y2b21