2022年“數(shù)形結(jié)合”在二次函數(shù)中的應用

1、學習必備歡迎下載“數(shù)形結(jié)合”在二次函數(shù)中的應用數(shù)形結(jié)合是通過 “數(shù)”與“形”的相互轉(zhuǎn)化， 使復雜問題簡單化、抽象問題具體化； 數(shù)形結(jié)合是初中數(shù)學基本思想之一，是用來解決數(shù)學問題的重要思想， 近幾年來各地中考對考生數(shù)形結(jié)合能力的考查越來越大，本文通過實例淺談“數(shù)形結(jié)合”在二次函數(shù)中的應用。1、 “以形解數(shù)”例 1：已知：點（ -1 ，1y） （-3 ，2y）（2，3y）在 y=3x2+6x+2的圖象上，則：1y、2y、3y的大小關(guān)系為（）a. 1y2y3yb. 2y1y3yc. 2y3y1yd. 3y2y1y分析：由 y=3x2+6x+2 =3（x+1）2- 1 畫出圖象 1，由圖象可以看出：拋

2、物線的對稱軸為直線x=-1 圖 1 即：x=-1 時,y 有最小值 , 故排除 a、b，由圖象可以看出： x=2 時y3的值,比 x=-3 時 y2的值大 ,故選 c. 例 2: 已知拋物線 y=2x2+x-2m+1 與 x 軸的兩個交點，在原點的兩側(cè)，則 m 的取值范圍是（）a m12b m12c m-12d m716x y o -1 -1 2 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 5 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共

3、5 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載分析：按常規(guī) ,此題要用判別式、根與系數(shù)的關(guān)系列出不等式組解之，若用數(shù)形結(jié)合的方法，先畫出拋物線 y=2x2+x-2m+1 的草圖，易知當x=0 時，y0, 因此，只要解不等式 -2m+10 即可，即 m12，故選 a 圖 2例 3：二次函數(shù)y=ax2+bx+c 的圖象的頂點在第三象限,且不經(jīng)過第四象限,則此拋物線開口向，c 的取值范圍，b 的取值范圍，b2-4ac的取值范圍。解：由題意畫出圖象，如圖：從而判斷： a0, c0 對稱軸： x=-2ba0 b0 圖象與 x 軸有兩個交點：0 即 b2-4ac0 注：以上各題是“以形助數(shù)”即

4、圖 3將數(shù)量關(guān)系借于圖形及其性質(zhì)，使其直觀化，形象化，從而使問題得以解決。2、 “以數(shù)助形”例 4:已知：二次函數(shù)mxmxy1)1(22的圖像與x軸交于a（1x，0） 、b（2x，0） ，210 xx，與y軸交于點c，且滿足coboao211求：這個二次函數(shù)的解析式；解:210 xxo x y x y o -2m+1 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 5 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 5 頁 - - - - - -

5、 - - -學習必備歡迎下載ao=-x1ob= x2 a=10 co= m+10 m-1coboao211co(ob-oa)=2ao ob 即(m+1)(x1+x2)=-2 x1x2 x1+x2=2（m-1） ，x1x2=-（1+ m）圖 4（m+1）2（m-1）=2（1+ m）解得 m=-1（舍去） ，m=2二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=x2-2x-3 注： 本題是“以數(shù)助形”即將線段長度關(guān)系coboao211轉(zhuǎn)化為點的坐標，通過解方程求出m 的值，從而使問題輕易而舉得以解決。3、 “以數(shù)助形”“以形解數(shù)”例 5：如圖 5，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的圖象過點c（0，53） ， 與 x

6、軸 交 于兩 點 a1,0 x、b221,0 xxx， 且12124 ,5xxx x. 求（1）a、b 兩點的坐標；（2）求二次函數(shù)的解析式和頂點p的坐標；（3）若一次函數(shù) y=kx+m 的圖象的頂點 p，把pab 分成兩個部分，其中一部分的面積不大于pab 面積的13，求 m 的取值范圍。x ob a y c 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 5 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 5 頁 - - - - - - -

7、- -學習必備歡迎下載解： （1）121245xxx x12xx且15x，21x. a、b 兩點的坐標是a（5，0） ，b（-1，0）（2）由 a（5，0） ，b（-1，0） ，c（0，53） ，求得 y=-13（x-2）2+3. 圖 5 頂點 p的坐標為（ 2，3） ；（3）由圖象可知，當直線過點p（2，3）且過點 m（1，0）或 n（3，0）時，就把pab 分成兩部分， 其中一個三角形的面積是pab 的面積的13. 過 n（3，0） ，p（2，3）的一次函數(shù)解析式為y=-3x+9；過點 a（5，0） ，p（2，3）的一次函數(shù)解析式為y=-x+5.又一次函數(shù)y=kx+m，當 x=0 時，y=

8、m，此一次函數(shù)圖象與y 軸的交點的縱坐標為 m，觀察圖形變化，可得m 的取值范圍是 5m9. 過 b（-1，0） ，p（2，3）的一次函數(shù)解析式為y=x+1；過點 m（1，0） ，p（2，3）一次函數(shù)解析式為y=3x-3，觀察圖形變化，得 m 的取值范圍是 -3m1. m 的取值范圍是 -3m1 或 5m9. 注：本題先由數(shù)到形，后由形到數(shù)，用運動變化的觀點去進行觀察分析和化歸， 巧妙地運用了圖形特征來觀察圖形的變化規(guī)律，解答十分巧妙，充分體現(xiàn)了“數(shù)” 、 “形”結(jié)合的解題思想。x o m n a b y p c 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 5 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 5 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載通過以上例子可以看出，正確地利用“數(shù)形結(jié)合”可以使二次函數(shù)問題簡單化、具體化，使復雜問題輕易舉得以解決。精品學習資料 可選擇p