電磁場(chǎng)6.1-6.3

1、第6章 電磁波的傳播本章敘述電磁波的基本傳播規(guī)律，下一章敘述電磁波的輻射即電磁波的產(chǎn)生。所謂波是一種向外傳播的擾動(dòng)(或振動(dòng))，使能量從一點(diǎn)傳播到另一點(diǎn)。在電磁波傳播過(guò)程中物質(zhì)沒(méi)有位移。從電磁波的發(fā)生次序上看，只有先輻射出來(lái)，然后才能傳播，似乎應(yīng)該先敘述電磁波的輻射。但從歷史的發(fā)展順序看恰恰相反，1873年麥克斯韋首先提出了光的電磁學(xué)說(shuō)，研究了平面波及其在結(jié)晶介質(zhì)中的傳播，而15年后的1888年才由赫茲做出電磁波輻射實(shí)驗(yàn)。本書(shū)大體是按歷史發(fā)展順序敘述的。本章由三部分組成：第一部分為電磁波在理想介質(zhì)中的傳播規(guī)律，包括理想介質(zhì)中電磁波方程、均勻平面電磁波的基本特點(diǎn)與偏振、均勻平面電磁波在介質(zhì)交界面上

2、的反射和折射；第二部分為電磁波在導(dǎo)電介質(zhì)中的基本傳播規(guī)律；第三部分為電磁波的定向傳播，主要討論電磁波在矩形金屬波導(dǎo)管中的傳播規(guī)律。6.1 理想介質(zhì)中的時(shí)諧電磁波方程理想介質(zhì)（電導(dǎo)率）是指沒(méi)有能量損耗的介質(zhì)。真空是一種理想介質(zhì)。電導(dǎo)率很小的介質(zhì)可以近似看作是理想介質(zhì)。6.1.1 時(shí)諧電磁波的約束方程以下使用相量法導(dǎo)出復(fù)有效值矢量和分別滿足的方程。設(shè)電磁波的角頻率為，場(chǎng)量隨時(shí)間的變化規(guī)律為， 當(dāng)電磁波離開(kāi)波源后，它在電容率和磁導(dǎo)率都是常量的理想介質(zhì)中的運(yùn)動(dòng)服從以下兩個(gè)旋度方程 (6-1-1) (6-1-2)兩個(gè)散度方程和不必再列出。在方程(6-1-2)兩端取旋度并利用式(6-1-1)，得由，從而時(shí)

3、諧電場(chǎng)滿足的約束方程組為 (6-1-3) (6-1-4)式中 (6-1-5)同理，可寫(xiě)出時(shí)諧磁場(chǎng)滿足的約束方程組為 (6-1-6) (6-1-7)已知時(shí)諧電場(chǎng)后，可由式(6-1-2)得到時(shí)諧磁場(chǎng)： (6-1-8)已知時(shí)諧磁場(chǎng)后，可由式(6-1-1)得到時(shí)諧電場(chǎng)： (6-1-9)6.1.2 時(shí)諧電磁波的分類時(shí)諧電磁波是正弦波。設(shè)標(biāo)量形式的時(shí)諧波為 (6-1-10)為了看清時(shí)諧波在空間的變化情況，可以觀察任意固定時(shí)刻的等幅面和等相面的形狀。等幅面是指時(shí)諧波的振幅為常量的曲面，它的方程是(常量) (6-1-11)等相面是指時(shí)諧波的相角為常量的曲面，它的方程是(常量) (6-1-12)等相面又稱為波陣

4、面。我們把等相面是平面、柱面和球面的波分別稱為平面波、柱面波和球面波。當(dāng)?shù)确媾c等相面重合時(shí)，稱為均勻波，反之稱為非均勻波。也可以這樣說(shuō)，在等相面上振幅處處相等的波是均勻波，反之是非均勻波。6.2 均勻平面電磁波的基本概念本節(jié)研究線性、各向同性、均勻、定常、無(wú)限大理想介質(zhì)中的平面波解。平面波是電磁波的一種最重要的傳播形式，例如圖6-2-1 是頻率為20MHz的電流元（電偶極子）天線所輻射電磁波的等相面，可以看出距離波源越遠(yuǎn)，等相面越接近平面。因此研究平面波的傳播規(guī)律具有重要意義。圖6-2-1 電磁波（頻率20MHz）的等相面6.2.1 基本波函數(shù)在直角坐標(biāo)系中，時(shí)諧電磁場(chǎng)的復(fù)有效值矢量和可分別

5、表示為 (6-2-1) (6-2-2)將以上兩式分別代入方程和中，得以下分量方程：，以上六個(gè)場(chǎng)量分量的方程可統(tǒng)一表示為 (6-2-3)下面用分離變量法求解方程(6-2-3)的非零解。設(shè)函數(shù)是以下三個(gè)單變量函數(shù)的乘積： (6-2-4)代入方程(6-2-3)，整理后得到 (6-2-5)要使以上三項(xiàng)共處于一個(gè)表達(dá)式中，只能是每項(xiàng)都分別等于某個(gè)常量，即 (6-2-6) (6-2-7) (6-2-8)其中 (6-2-9)三個(gè)常量所處的位置對(duì)稱，根據(jù)式(6-2-9)可知，這三個(gè)常量都應(yīng)是實(shí)數(shù)。不失一般性，可設(shè),，以上三個(gè)方程的通解可分別表示為 (6-2-10) (6-2-11) (6-2-12)觀察以上、

6、的表達(dá)式可知，它們都分別由兩個(gè)復(fù)指數(shù)函數(shù)之和所組成，這兩個(gè)復(fù)指數(shù)函數(shù)都有明確的物理意義。我們以為例來(lái)討論。先把它寫(xiě)成瞬時(shí)式：它是距離和時(shí)間的二元函數(shù)。這種隨著時(shí)間的增長(zhǎng)而不斷向方向移動(dòng)的波，我們稱它為入射波或正向行波。入射波的一般表達(dá)式是同理，的瞬時(shí)式表示以速度沿軸的方向勻速直線運(yùn)動(dòng)的行波，我們稱它為反射波或反向行波。反射波的一般表達(dá)式是同樣，和分別表示沿方向和方向傳播的入射波，和分別表示沿方向和方向傳播的反射波。而無(wú)限大均勻介質(zhì)中不可能有反射波，所以應(yīng)取，。于是方程的基本解函數(shù)為 (6-2-13)式中，k是傳播矢量： (6-2-14)它的模。利用式(6-2-13)，場(chǎng)矢量可寫(xiě)成 (6-2-1

7、5) (6-2-16)式中和均為與空間坐標(biāo)無(wú)關(guān)的常矢量。以上兩個(gè)表達(dá)式分別是方程和的基本解。6.2.2 均勻平面電磁波的性質(zhì)線性、各向同性、均勻、定常、無(wú)限大理想介質(zhì)中的場(chǎng)量隨時(shí)間按正弦規(guī)律變化時(shí)，電場(chǎng)強(qiáng)度在直角坐標(biāo)系中可以表示成 (6-2-17)于是場(chǎng)量沿x，y，z軸的三個(gè)瞬時(shí)值分量為 (6-2-18) (6-2-19) (6-2-20)這三個(gè)分量都具有相同的變化規(guī)律，所不同的是振幅與初相角。在任意固定時(shí)刻，以上三個(gè)分量的等相面方程都具有相同的數(shù)學(xué)表達(dá)式 (6-2-21)這是一個(gè)關(guān)于坐標(biāo)變量x，y，z的一次方程，它所表示的圖形是平面。利用解析幾何知識(shí)可知，在直角坐標(biāo)系中，平面方程的一次項(xiàng)系數(shù)

8、是這個(gè)平面的一個(gè)法向矢量的坐標(biāo)。因此，和都是等相面的法向矢量。這里取 (6-2-22)為直角坐標(biāo)系中任意電場(chǎng)分量的等相面的單位法向矢量，如圖6-2-2所示。圖6-2-2 平面電磁波的等相面根據(jù)時(shí)諧電磁波的分類，是均勻平面波。同樣，分量和也都是均勻平面波。根據(jù)均勻平面波表達(dá)式和，可得出特點(diǎn)如下。(1) 橫波特性 利用矢量微分公式 和 可得 (6-2-23) (6-2-24) (6-2-25)式中?？梢?jiàn)，k互相垂直，并構(gòu)成右手螺旋關(guān)系。矢量k的方向代表了波的傳播方向，這就是把叫做傳播矢量的原因。定義波的振動(dòng)方向與波的傳播方向相垂直的波為橫波。均勻平面電磁波是橫波。例如，設(shè)電場(chǎng)的振動(dòng)方向是，磁場(chǎng)的振

9、動(dòng)方向是，則波的傳播方向就是方向，圖6-2-3描繪了這種情況下某一時(shí)刻均勻平面波振動(dòng)矢量和在空間的分布情況。圖6-2-3電場(chǎng)方向固定的均勻平面電磁波在某時(shí)刻的空間分布例6.2.1 均勻平面電磁波的電場(chǎng)為（是常矢量），證明電場(chǎng)是橫波。解 因，即和垂直，而的方向是電磁波傳播方向，所以是橫波。(2) 相速 等相面向波的傳播方向移動(dòng)的速度稱為相速。設(shè)是起點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)、終點(diǎn)位于等相面上的位置矢量，則等相面移動(dòng)的速度為 (6-2-26)利用等相面方程，由上式可得相速即 (6-2-27)特別地，真空中均勻平面電磁波的相速為真空中，。(3) 波長(zhǎng) 均勻平面電磁波是正弦波。定義在同一時(shí)刻，相位差為的兩個(gè)等相面

10、之間的距離是波長(zhǎng)。在這個(gè)特定的直角坐標(biāo)系中，根據(jù)波長(zhǎng)的定義，有于是 (6-2-28)(4) 周期 定義在同一場(chǎng)點(diǎn)相位改變所需要的時(shí)間為周期T，則從而 (6-2-29)同一場(chǎng)點(diǎn)波的傳播見(jiàn)兩個(gè)動(dòng)畫(huà)，并判斷電場(chǎng)方向和磁場(chǎng)方向。(5) 波阻抗 波阻抗是指電磁波的橫向電場(chǎng)分量與橫向磁場(chǎng)分量的比值。設(shè)均勻平面電磁波的電場(chǎng)和傳播矢量分別為 和 可得磁場(chǎng) 這樣，均勻平面電磁波的波阻抗為 (6-2-30)真空中的波阻抗。通過(guò)本節(jié)分析可以看到，在線性、各向同性、均勻、定常、無(wú)限大理想介質(zhì)(是正常量)中傳播的電磁波是橫波，波的振幅在傳播過(guò)程中保持不變，電場(chǎng)和磁場(chǎng)同相、方向互相垂直。以上通過(guò)在直角坐標(biāo)系中求解波動(dòng)方程

11、得到了平面波解，如果在圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中分別求解波動(dòng)方程，則會(huì)分別得到柱面波解和球面波解。例6.2.2 無(wú)限大真空中電場(chǎng)有效值為、振動(dòng)方向?yàn)榈木鶆蚱矫骐姶挪?，傳播方向?yàn)椋穷l率為，初相角為，試分別寫(xiě)出電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度的瞬時(shí)表達(dá)式。解 因傳播矢量，從而場(chǎng)量的瞬時(shí)表達(dá)式為 式中。6.3 均勻平面電磁波的偏振波有縱波與橫波之分，縱波的振動(dòng)方向與傳播方向相一致，橫波的振動(dòng)方向與傳播方向相垂直?？v波的振動(dòng)矢量相對(duì)于傳播方向呈對(duì)稱分布，橫波的振動(dòng)矢量相對(duì)于傳播方向呈不對(duì)稱分布。橫波的振動(dòng)矢量呈現(xiàn)的這種不對(duì)稱分布稱為波的偏振。縱波不存在偏振問(wèn)題。均勻平面電磁波是橫波。均勻平面電磁波中的振動(dòng)矢量和振動(dòng)矢

12、量互相垂直，兩者的偏振情況相同。這樣，研究波的偏振只需要研究其中一個(gè)振動(dòng)矢量的偏振情況即可。在電磁場(chǎng)理論中，偏振波的振動(dòng)矢量特指電場(chǎng)強(qiáng)度矢量。本節(jié)討論均勻平面電磁波的偏振及其應(yīng)用。6.3.1 偏振波的參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，時(shí)諧均勻平面電磁波的電場(chǎng)為假設(shè)，根據(jù)均勻平面電磁波的性質(zhì)，必有，。此時(shí)電場(chǎng)強(qiáng)度的瞬時(shí)表達(dá)式為 (6-3-1)式中，。為了形象地表示均勻平面電磁波的振動(dòng)矢量(6-3-1)相對(duì)于傳播方向的分布情況，可用電場(chǎng)強(qiáng)度矢量端點(diǎn)隨時(shí)間的變化軌跡來(lái)表示。在直角坐標(biāo)系中，取軸表示分量，軸表示分量，設(shè)平面波在時(shí)，則以時(shí)間為變量的空間軌跡的參數(shù)方程為 (6-3-2)式中是均勻平面電磁波沿軸正方向

13、傳播的相速。這樣，不同的偏振波對(duì)應(yīng)不同的空間曲線。6.3.2 兩個(gè)垂直電場(chǎng)分量的合成當(dāng)電場(chǎng)的振動(dòng)被限制在一個(gè)平面內(nèi)時(shí)，電場(chǎng)的大小隨時(shí)間和距離按正弦規(guī)律變化，如圖6-2-3所示。這種電場(chǎng)方向固定不變的情況是一種特殊情況。一般情況下，電場(chǎng)具有兩個(gè)相互垂直的振動(dòng)分量，合成后的電場(chǎng)方向隨時(shí)隨地變化，那么此時(shí)的偏振情況如何描述呢？設(shè)，由參數(shù)方程(6-3-2)的第二式，得 (6-3-3)再由參數(shù)方程(6-3-2)的第一式，得 和 把以上兩式代入式(6-3-3)的右端，得移項(xiàng)后，成為上式兩端平方，整理后可得 (6-3-4)由解析幾何理論數(shù)學(xué)手冊(cè). 1979. pp.363-364可知，當(dāng)時(shí)，這是一個(gè)以軸為中

14、心線的長(zhǎng)直橢圓柱面方程，因此兩個(gè)相互垂直的電場(chǎng)振動(dòng)分量的合成運(yùn)動(dòng)軌跡一般為橢圓。利用參數(shù)方程(6-3-2)，可知電場(chǎng)矢量與軸正方向的夾角 (6-3-5)從而，電場(chǎng)矢量端點(diǎn)繞軸旋轉(zhuǎn)的角速度為 (6-3-6)上式右端是時(shí)間的函數(shù)，說(shuō)明電場(chǎng)矢量端點(diǎn)繞軸非勻速旋轉(zhuǎn)。6.3.3 偏振波的三種形式將方程(6-3-4)與參數(shù)方程聯(lián)立，就得到一條空間曲線?？臻g曲線的形狀與相位差相對(duì)應(yīng)，不同的有不同的形狀。下面分別討論。1線偏振波當(dāng)相位差時(shí)，和同相，這兩個(gè)正弦量同時(shí)達(dá)到最大值，同時(shí)過(guò)零點(diǎn)，式(6-3-4)變成線性方程 (6-3-7)此式與參數(shù)方程聯(lián)立，表示位于振動(dòng)方向和傳播方向所決定的平面內(nèi)的一條正弦曲線，如圖

15、6-3-1(a)所示。這條曲線被限制在一個(gè)平面內(nèi)，稱這種偏振波為線偏振波。圖6-2-3所示平面波就是線偏振波。在式(6-3-4)中，當(dāng)時(shí)，和反相，這兩個(gè)正弦量同時(shí)過(guò)零點(diǎn)，一個(gè)是最大值時(shí)另一個(gè)是最小值，式(6-3-4)變成線性方程 (6-3-8)此式與參數(shù)方程聯(lián)立，也表示一條正弦曲線，曲線形狀如圖6-3-1(b)所示。此時(shí)的偏振波也是線偏振波。圖6-3-1 線偏振波2 圓偏振波當(dāng)（相位正交）和(常量)時(shí)，式(6-3-4)變成圓方程 (6-3-9)此式與參數(shù)方程聯(lián)立，表示位于長(zhǎng)直圓柱面上的一條螺旋線，曲線形狀如圖6-3-2所示，平頭螺絲釘?shù)穆菁y就是這樣的空間曲線。這條曲線被限制在一個(gè)長(zhǎng)直圓柱面內(nèi)，

16、稱這種偏振波為圓偏振波。在圖6-3-2(a)和(b)中所描繪的都是圓偏振波，但這兩個(gè)波中的電場(chǎng)矢量端點(diǎn)繞軸的旋轉(zhuǎn)方向不同：當(dāng)時(shí)，即隨著時(shí)間的增加夾角增加，見(jiàn)圖6-3-2(a)；當(dāng)時(shí)，即隨著時(shí)間的增加夾角減少，見(jiàn)圖6-3-2(b)。為區(qū)別這兩種旋轉(zhuǎn)方向，規(guī)定：當(dāng)電場(chǎng)矢量端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)方向與波的傳播方向構(gòu)成右手螺旋關(guān)系時(shí)，稱為右旋圓偏振波；反之，稱為左旋圓偏振波。這個(gè)規(guī)定是國(guó)際電工委員會(huì)(IEC)和國(guó)際電信聯(lián)盟(ITU)所制定的，成為電氣和電信領(lǐng)域的國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)。根據(jù)這個(gè)規(guī)定可知，圖6-3-2(a)是右旋圓偏振波，圖6-3-2(b)是左旋圓偏振波。 （a）右旋 （b）左旋圖6-3-2 圓偏振波例6.3.1

17、無(wú)限大真空中的平面波為式中，。試判斷該平面波的偏振形式。解 因，所以電場(chǎng)的兩個(gè)分量為從而得 這是一個(gè)半徑為、中心軸線為軸的圓柱面方程。接下來(lái)確定偏振波的旋向。如圖6-3-3所示，在紙面上畫(huà)出一個(gè)空間直角坐標(biāo)系，在任意的平面內(nèi)，令時(shí)刻時(shí)，則，電場(chǎng)矢量端點(diǎn)位于點(diǎn)；再令后一個(gè)時(shí)刻()時(shí)，則，電場(chǎng)矢量端點(diǎn)位于點(diǎn)。于是，電場(chǎng)矢量端點(diǎn)的繞向就是從點(diǎn)到點(diǎn)。由因子，可知平面波的傳播方向?yàn)椤＿@樣，伸出左手，將拇指指向方向，四指的指向就與電場(chǎng)矢量端點(diǎn)的繞向相同(從點(diǎn)到點(diǎn))。這說(shuō)明本題所討論的平面波是一個(gè)向方向傳播的左旋圓偏振波，如圖6-3-3所示。圖6-3-3 向軸正方向傳播的左旋圓偏振波3 橢圓偏振波一般情況下

18、，此時(shí)電場(chǎng)矢量端點(diǎn)的變化軌跡是長(zhǎng)直橢圓柱面上的螺旋曲線。這條曲線被限制在一個(gè)長(zhǎng)直橢圓柱面內(nèi)，稱這樣的偏振波為橢圓偏振波。從式(6-3-6)可見(jiàn)，當(dāng)時(shí)，即隨著時(shí)間的增加夾角增加，這是右旋橢圓偏振波；當(dāng)時(shí)，即隨著時(shí)間的增加夾角減少，這是左旋橢圓偏振波。圖6-3-4(a)和(b)分別描繪出了這兩種旋向的橢圓偏振波在平面上的投影曲線。 圖6-3-4 橢圓偏振波的旋向6.3.4 偏振波的應(yīng)用把均勻平面電磁波劃分為線偏振波、圓偏振波和橢圓偏振波，主要是為了波的接收。接收電磁波要使用天線，天線是指能夠輻射或接收電磁波的部件。與三種偏振波對(duì)應(yīng)，根據(jù)天線在遠(yuǎn)場(chǎng)區(qū)最大輻射方向上偏振波的不同，將天線分為線偏振天線、圓偏振天線和橢圓偏振天線。對(duì)稱細(xì)直天線輻射線偏振波、圓螺旋細(xì)天線輻射圓偏振波，所以對(duì)稱細(xì)直天線是線偏振天線，圓螺旋細(xì)天線是圓偏振天線。與地面平行的對(duì)稱細(xì)直天線輻射水平線偏振波，與地面垂直的對(duì)稱細(xì)直天線輻射垂直線偏振波；左旋的圓螺旋細(xì)天線輻射左旋圓偏振波，右旋的圓螺旋細(xì)天線輻射右旋圓偏振波。這里以線偏振波為例，說(shuō)明天線不能接收與其垂直的偏振波。如圖6-3-5所示，T和R分別是一套微波裝置的發(fā)射機(jī)和接收機(jī)。