高中基本不等式經(jīng)典例題教案設(shè)計

1、實用文檔 文案大全 全方位教學(xué)輔導(dǎo)教案 姓 名 性 別 女 年 級 高二 總課時： 第 次課 教 學(xué) 內(nèi) 容 均值不等式應(yīng)用（技巧） 教 學(xué) 目 標(biāo) 1、熟悉均值不等式的應(yīng)用題型 2、掌握各種求最值的方法 重 點 難 點 重點是掌握最值應(yīng)用的方法 難點是不等式條件的應(yīng)用 教 學(xué) 過 程 課前檢查與交流 作業(yè)完成情況： 交流與溝通 針 對 性 授 課 一均值不等式 1.（1）若Rba?,，則abba222? (2)若Rba?,，則222baab?（當(dāng)且僅當(dāng)ba?時取“=”） 2. (1)若*,Rba?，則abba?2 (2)若*,Rba?，則abba2?（當(dāng)且僅當(dāng)ba?時取“=”） (3)若*,

2、Rba?，則22?baab (當(dāng)且僅當(dāng)ba?時取“=”） 3.若0x?，則12xx? (當(dāng)且僅當(dāng)1x?時取“=”）;若0x?，則12xx? (當(dāng)且僅當(dāng)1x?時取“=”） 若0x?，則11122-2xxxxxx?即或 (當(dāng)且僅當(dāng)ba?時取“=”） 3.若0?ab，則2?abba (當(dāng)且僅當(dāng)ba?時取“=”） 若0ab?，則22-2abababbababa?即或 (當(dāng)且僅當(dāng)ba?時取“=”） 4.若Rba?,，則2)2(222baba?（當(dāng)且僅當(dāng)ba?時取“=”） 注：（1）當(dāng)兩個正數(shù)的積為定植時，可以求它們的和的最小值，當(dāng)兩個正數(shù)的和為定植時，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最

3、大” （2）求最值的條件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實際問題方面有廣泛的應(yīng)用 學(xué)科： 數(shù)學(xué) 任課教師： 授課時間： 2012 年11 月 3 日 星期 實用文檔 文案大全 應(yīng)用一：求最值 例1：求下列函數(shù)的值域 （1）y3x 212x 2 （2）yx1x 解題技巧： 技巧一：湊項 例1：(2)12,33yxxx?。 變式：已知54x?，求函數(shù)14245yxx?的最大值 。 技巧二：湊系數(shù) 例1. 當(dāng)時，求(82)yxx?的最大值。 解析：由知，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式，但其和不是定值。注

4、意到2(82)8xx?為定值，故只需將(82)yxx?湊上一個系數(shù)即可。 評注：本題無法直接運用均值不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用均值不等式求最大值。 變式：1、設(shè)230?x，求函數(shù))23(4xxy?的最大值。并求此時x的值 實用文檔 文案大全 2已知01x?，求函數(shù)(1)yxx?的最大值.； 3203x?，求函數(shù)(23)yxx?的最大值. 技巧三： 分離 例3. 求2710(1)1xxyxx?的值域。 技巧四：換元 解析二：本題看似無法運用均值不等式，可先換元，令t=x1，化簡原式在分離求最值。 22(1)7(1+10544=5ttttytttt?） 當(dāng),即t=時,4259

5、ytt?（當(dāng)t=2即x1時取“”號）。 評注：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開再利用不等式求最值。即化為()(0,0)()AymgxBABgx?，g(x)恒正或恒負(fù)的形式，然后運用均值不等式來求最值。 變式 (1) 231,(0)xxyxx? 實用文檔 文案大全 技巧五：注意：在應(yīng)用最值定理求最值時，若遇等號取不到的情況，應(yīng)結(jié)合函數(shù)()afxxx?的單調(diào)性。 例：求函數(shù)2254xyx?的值域。 解：令24(2)xtt?，則2254xyx?22114(2)4xtttx? 因10,1ttt?，但1tt?解得1t?不在區(qū)間?2,?，故等號不成立，考慮單調(diào)性。 因

6、為1ytt?在區(qū)間?1,?單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間?2,?為單調(diào)遞增函數(shù)，故52y?。 所以，所求函數(shù)的值域為5,2?。 條件求最值 1.若實數(shù)滿足2?ba，則ba33?的最小值是 . 變式：若44loglog2xy?，求11xy?的最小值.并求x,y的值 技巧六：整體代換： 2：已知0,0xy?，且191xy?，求xy?的最小值。 。 變式： （1）若?Ryx,且12?yx，求yx11?的最小值 (2)已知?Ryxba,且1?ybxa，求yx?的最 實用文檔 文案大全 技巧七、已知x，y為正實數(shù)，且x 2y 22 1，求x1y 2 的最大值. 技巧八：已知a，b為正實數(shù)，2baba30，求函

7、數(shù)y1ab 的最小值. 分析：這是一個二元函數(shù)的最值問題，通常有兩個途徑，一是通過消元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題，再用單調(diào)性或基本不等式求解，對本題來說，這種途徑是可行的；二是直接用基本不等式，對本題來說，因已知條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式放縮后，再通過解不等式的途徑進行。 點評：本題考查不等式abba?2）（?Rba,的應(yīng)用、不等式的解法及運算能力；如何由已知不等式230abab?）（?Rba,出發(fā)求得ab的范圍，關(guān)鍵是尋找到abba與?之間的關(guān)系，由此想到不等式abba?2）（?Rba,，這樣將已知條件轉(zhuǎn)換為含ab的不等式，進而解得ab的范圍. 變式：

8、1.已知a>0，b>0，ab(ab)1，求ab的最小值。 2.若直角三角形周長為1，求它的面積最大值。 實用文檔 文案大全 應(yīng) 應(yīng)用二：利用均值不等式證明不等式 技巧九、取平方 5、已知x，y為正實數(shù)，3x2y10，求函數(shù)W3x 2y 的最值. 解法一：若利用算術(shù)平均與平方平均之間的不等關(guān)系，ab2 a 2b 22 ，本題很簡單 3x 2y 2 （3x ）2（2y ）2 2 3x2y 25 解法二：條件與結(jié)論均為和的形式，設(shè)法直接用基本不等式，應(yīng)通過平方化函數(shù)式為積的形式，再向“和為定值”條件靠攏。 W0，W23x2y23x ·2y 1023x ·2y 10(3

9、x )2·(2y )2 10(3x2y)20 W20 25 變式: 求函數(shù)152152()22yxxx?的最大值。 評注：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用均值不等式創(chuàng)造了條件。 總之，我們利用均值不等式求最值時，一定要注意“一正二定三相等”，同時還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用均值不等式。 例6：已知a、b、cR?，且1abc?。求證：1111118abc? 變式： 1已知cba,為兩兩不相等的實數(shù)，求證：cabcabcba?222 2、正數(shù)a，b，c滿足abc1，求證：(1a)(1b)(1c)8abc 應(yīng)用三：均值不等式與恒成立問題 例：已知0,0xy?且191

10、xy?，求使不等式xym?恒成立的實數(shù)m的取值范解：令,0,0,xykxy?191xy?，991.xyxykxky?1091yxkkxky?10312kk? 。16k? ，?,16m? 實用文檔 文案大全 課 堂 檢 測 1：添加項 【例1】已知23?x，求322?xxy的最小值. 2:配系數(shù) 【例2】已知230?x，求)23(xxy?的最大值. 3:分拆項 【例3】已知2?x，求2632?xxxy的最小值. 4:巧用”1”代換 【例4】已知正數(shù)yx,滿足12?yx,求yx21?的最小值. . 【例5】已知正數(shù)zyx,滿足1?zyx，求zyx941?的最小值. 實用文檔 文案大全 5:換元 【

11、例6】已知cba?,求cbcabacaw?的最小值. 【例7】已知1?x,求8512?xxxy的最大值. 7:直接運用化為其它 【例9】已知正數(shù)ba,滿足3?baab,求ab的取值范圍. 課 后 作 業(yè) 1、（1）、已知0x?，0y?，滿足21xy?，求11xy?的最值； （2）、若0x?，0y?，且281xy?，求xy的最值； （3）、若-4x1,求22222?xxx的最大值. 2、函數(shù)f(x)=242?xx(x0)的最大值是 ；此時的x值為 _ 實用文檔 文案大全 3、（2010 山東理）若對任意0x，231xaxx?恒成立，則a的取值范圍是 4、若點(2,1)A?在直線10mxny?上，

12、其中0mn?,則nm21?的最小值為 . 5、（1）、已知x+3y-2=0，則3x+27y+1的最小值為 . （2）、若x,y(0,+)且2x+8y-xy=0，求x+y的最小值 . 6、已知兩個正數(shù),ab滿足4ab?，求使28mab?恒成立的m的范圍. 7函數(shù)y=loga(x+3)1(a>0,a1)的圖象恒過定點A，若點A在直線mx+ny+1=0上，其中mn>0，求nm11?的最小值為。 8(2010年合肥模擬)已知x1·x2··x2009·x20101，且x1，x2，x2009，x2010都是正數(shù)，則()1x1()1x2()1x2010的最小值是_ 9已知直線l過點P(2,1)，且與x軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點，則三角形OAB面積的最小值為_ 實用文檔 文案大全 10(2008年江蘇卷改編)若x、y、zR，x2