高等數(shù)學(xué)基本概念基本公式

1、 . 目 錄 一、函數(shù)與極限 ···············································

2、83;················································ 2 1、集合的概

3、念 ·················································

4、3;·········································· 2 2、常量與變量 ······

5、;··················································

6、;···································· 3 2、函數(shù) ············

7、83;·················································

8、83;······································ 4 3、函數(shù)的簡單性態(tài) ·········&#

9、183;·················································&#

10、183;·························· 4 4、反函數(shù) ······················

11、;··················································

12、;·························· 5 5、復(fù)合函數(shù) ······················&

13、#183;·················································&

14、#183;······················ 6 6、初等函數(shù) ·························

15、83;·················································

16、83;··················· 6 7、雙曲函數(shù)及反雙曲函數(shù)····························

17、················································· 7 8、數(shù)

18、列的極限 ·················································&

19、#183;·········································· 9 9、函數(shù)的極限 ·····&#

20、183;·················································&#

21、183;·································· 10 10、函數(shù)極限的運算規(guī)則 ············

22、83;·················································

23、83;············· 12 . 一、函數(shù)與極限 1、集合的概念 一般地我們把研究對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫集合（簡稱集）。集合具有確定性（給定集合的元素必須是確定的）和互異性（給定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材較高的人”不能構(gòu)成集合，因為它的元素不是確定的。 我們通常用大字拉丁字母A、B、C、表示集合，用小寫拉丁字母a、b、c表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就說a屬于A，記作：aA，否則就說a不屬于A，記作：a?A。 、全體

24、非負(fù)整數(shù)組成的集合叫做非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集）。記作N 、所有正整數(shù)組成的集合叫做正整數(shù)集。記作N+或N+。 、全體整數(shù)組成的集合叫做整數(shù)集。記作Z。 、全體有理數(shù)組成的集合叫做有理數(shù)集。記作Q。 、全體實數(shù)組成的集合叫做實數(shù)集。記作R。 集合的表示方法 、列舉法：把集合的元素一一列舉出來，并用“”括起來表示集合 、描述法：用集合所有元素的共同特征來表示集合。 集合間的基本關(guān)系 、子集：一般地，對于兩個集合A、B，如果集合A中的任意一個元素都是集合B的元素，我們就說A、B有包含關(guān)系，稱集合A為集合B的子集，記作A ?B（或B ?A）。 相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此

25、時集合A中的元素與集合B中的元素完全一樣，因此集合A與集合B相等，記作AB。 、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一個元素屬于B但不屬于A，我們稱集合A是集合B的真子集。 、空集：我們把不含任何元素的集合叫做空集。記作 ?，并規(guī)定，空集是任何集合的子集。 、由上述集合之間的基本關(guān)系，可以得到下面的結(jié)論： 、任何一個集合是它本身的子集。即A ?A 、對于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，則A是C的子集。 、我們可以把相等的集合叫做“等集”，這樣的話子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本運算 、并集：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合稱為A與B的并集。記作

26、AB。（在求并集時，它們的公共元素在并集中只能出現(xiàn)一次。） 即ABx|xA，或xB。 、交集：一般地，由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合稱為A與B的交集。記作AB。 即ABx|xA，且xB。 、補集： 全集：一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集。通常記作U。 . 補集：對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集。簡稱為集合A的補集，記作CUA。 即CUAx|xU，且x ?A。 集合中元素的個數(shù) 、有限集：我們把含有有限個元素的集合叫做有限集，含有無限個元素的集合叫做無限集。 、用card來表示有限

27、集中元素的個數(shù)。例如Aa,b,c，則card(A)=3。 、一般地，對任意兩個集合A、B，有 card(A)+card(B)=card(AB)+card(AB) 我的問題： 1、學(xué)校里開運動會，設(shè)Ax|x是參加一百米跑的同學(xué)，Bx|x是參加二百米跑的同學(xué)，Cx|x是參加四百米跑的同學(xué)。學(xué)校規(guī)定，每個參加上述比賽的同學(xué)最多只能參加兩項，請你用集合的運算說明這項規(guī)定，并解釋以下集合運算的含義。、AB；、AB。 2、在平面直角坐標(biāo)系中，集合C(x,y)|y=x表示直線yx，從這個角度看，集合D=(x,y)|方程組：2x-y=1,x+4y=5表示什么？集合C、D之間有什么關(guān)系？請分別用集合語言和幾何語

28、言說明這種關(guān)系。 3、已知集合A=x|1x3，Bx|(x-1)(x-a)=0。試判斷B是不是A的子集？是否存在實數(shù)a使AB成立？ 4、對于有限集合A、B、C，能不能找出這三個集合中元素個數(shù)與交集、并集元素個數(shù)之間的關(guān)系呢？ 5、無限集合A1，2，3，4，n，B2，4，6，8，2n，你能設(shè)計一種比較這兩個集合中元素個數(shù)多少的方法嗎？ 2、常量與變量 、變量的定義：我們在觀察某一現(xiàn)象的過程時，常常會遇到各種不同的量，其中有的量在過程中不起變化，我們把其稱之為常量；有的量在過程中是變化的，也就是可以取不同的數(shù)值，我們則把其稱之為變量。注：在過程中還有一種量，它雖然是變化的，但是它的變化相對于所研究的

29、對象是極其微小的，我們則把它看作常量。 、變量的表示：如果變量的變化是連續(xù)的，則常用區(qū)間來表示其變化范圍。在數(shù)軸上來說，區(qū)間是指介于某兩點之間的線段上點的全體。 區(qū)間的名稱 區(qū)間的滿足的不等式 區(qū)間的記號 區(qū)間在數(shù)軸上的表示 閉區(qū)間 axb a，b 開區(qū)間 axb （a，b） 半開區(qū)間 axb或axb （a，b或a，b） 以上我們所述的都是有限區(qū)間，除此之外，還有無限區(qū)間： a，+)：表示不小于a的實數(shù)的全體，也可記為：ax+； (-，b)：表示小于b的實數(shù)的全體，也可記為：-xb； . (-，+)：表示全體實數(shù)，也可記為：-x+ 注：其中-和+，分別讀作負(fù)無窮大和正無窮大,它們不是數(shù),僅僅是

30、記號。 、鄰域：設(shè)與是兩個實數(shù)，且0.滿足不等式x-的實數(shù)x的全體稱為點的鄰域，點稱為此鄰域的中心，稱為此鄰域的半徑。 2、函數(shù) 、函數(shù)的定義：如果當(dāng)變量x在其變化范圍內(nèi)任意取定一個數(shù)值時，量y按照一定的法則f總有確定的數(shù)值與它對應(yīng)，則稱y是x的函數(shù)。變量x的變化范圍叫做這個函數(shù)的定義域。通常x叫做自變量，y叫做函數(shù)值（或因變量），變量y的變化范圍叫做這個函數(shù)的值域。注：為了表明y是x的函數(shù)，我們用記號y=f(x)、y=F(x)等等來表示。這里的字母f、F表示y與x之間的對應(yīng)法則即函數(shù)關(guān)系,它們是可以任意采用不同的字母來表示的。如果自變量在定義域內(nèi)任取一個確定的值時，函數(shù)只有一個確定的值和它對

31、應(yīng)，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫做多值函數(shù)。這里我們只討論單值函數(shù)。 、函數(shù)相等 由函數(shù)的定義可知，一個函數(shù)的構(gòu)成要素為：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域。由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，我們就稱兩個函數(shù)相等。 、域函數(shù)的表示方法 a)：解析法：用數(shù)學(xué)式子表示自變量和因變量之間的對應(yīng)關(guān)系的方法即是解析法。例：直角坐標(biāo)系中，半徑為r、圓心在原點的圓的方程是：x2+y2=r2 b)：表格法：將一系列的自變量值與對應(yīng)的函數(shù)值列成表來表示函數(shù)關(guān)系的方法即是表格法。例：在實際應(yīng)用中，我們經(jīng)常會用到的平方表，三角函數(shù)表等都是用表格法表示的函數(shù)。 c)：圖示法：用坐標(biāo)

32、平面上曲線來表示函數(shù)的方法即是圖示法。一般用橫坐標(biāo)表示自變量，縱坐標(biāo)表示因變量。例：直角坐標(biāo)系中，半徑為r、圓心在原點的圓用圖示法表示為： 3、函數(shù)的簡單性態(tài) 、函數(shù)的有界性：如果對屬于某一區(qū)間I的所有x值總有f(x)M成立，其中M是一個與x無關(guān)的常數(shù)，那么我們就稱f(x)在區(qū)間I有界，否則便稱無界。 注：一個函數(shù)，如果在其整個定義域內(nèi)有界，則稱為有界函數(shù) 例題：函數(shù)cosx在(-,+)內(nèi)是有界的. 、函數(shù)的單調(diào)性：如果函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)隨著x增大而增大，即：對于(a,b)內(nèi)任意兩點x1及x2，當(dāng)x1x2時，有 ，則稱函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是單調(diào)增加的。如果函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)隨著x增大

33、而減小，即：對于(a,b)內(nèi)任意兩點x1及x2，當(dāng)x1x2時，有，則稱函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是單調(diào)減小的。 . 例題： 函數(shù)=x2在區(qū)間(-,0)上是單調(diào)減小的，在區(qū)間(0,+)上是單調(diào)增加的。 、函數(shù)的奇偶性 如果函數(shù)對于定義域內(nèi)的任意x 都滿足 =， 則叫做偶函數(shù)； 如果函數(shù)對于定義域內(nèi)的任意x 都滿足 =- ，則叫做奇函數(shù)。 注：偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對稱，奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點對稱。 、函數(shù)的周期性 對于函數(shù)，若存在一個不為零的數(shù)l ，使得關(guān)系式對于定義域內(nèi)任何x值都 成立，則叫做周期函數(shù)，l 是的周期。 注：我們說的周期函數(shù)的周期是指最小正周期。 例題： 函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù)；函數(shù)

34、tgx是以為周期的周期函數(shù)。 4、反函數(shù) 、反函數(shù)的定義： 設(shè)有函數(shù)，若變量y在函數(shù)的值域內(nèi)任取一值y0時，變量x在函數(shù)的定義域內(nèi)必有一值x0與之對應(yīng)， 即，那末變量x是變量y的函數(shù). 這個函數(shù)用來表 示，稱為函數(shù)的反函數(shù). 注： 由此定義可知，函數(shù) 也是函數(shù)的反函數(shù)。 、反函數(shù)的存在定理：若在(a，b)上嚴(yán)格增(減)，其值域為 R，則它的反函數(shù)必然在R上確定，且嚴(yán)格增(減). 注：嚴(yán)格增(減)即是單調(diào)增(減) 例題：y=x2，其定義域為(-,+)，值域為0,+).對于y取定的非負(fù)值,可求得x=±.若我們不加條件，由y的值就不能唯一確定x的值，也就是在區(qū)間(-,+)上，函數(shù)不是嚴(yán)格增

35、(減)，故其沒有反函數(shù)。如果我們加上條件，要求x0，則對y0、x=就是y=x2在要求x0時的反函數(shù)。即是：函數(shù)在此要求下嚴(yán)格增(減). 、反函數(shù)的性質(zhì)：在同一坐標(biāo)平面內(nèi)，與的圖形是關(guān)于直線y=x對稱的。 . 例題： 函數(shù) 與函數(shù)互為反函數(shù)，則它們的圖形在同一直角坐標(biāo)系中是關(guān)于直線y=x對稱的。如右圖所示： 5、復(fù)合函數(shù) 復(fù)合函數(shù)的定義：若y是u 的函數(shù)：，而u又是x 的函數(shù)：，且的函數(shù)值的全部或部分在的定義域內(nèi)，那末，y通過u的聯(lián)系也是x的函數(shù)，我們稱后一個函數(shù)是由函數(shù)及 復(fù)合而成的函數(shù)，簡稱復(fù)合函數(shù)，記作，其中u叫做中間變量。 注：并不是任意兩個函數(shù)就能復(fù)合；復(fù)合函數(shù)還可以由更多函數(shù)構(gòu)成。

36、例題：函數(shù)與函數(shù)是不能復(fù)合成一個函數(shù)的。 因為對于的定義域(-,+)中的任何x值所對應(yīng)的u值（都大于或等于2），使都沒有定義。 6、初等函數(shù) 、基本初等函數(shù)：我們最常用的有五種基本初等函數(shù)，分別是：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)及反三角函數(shù)。下面我們用表格來把它們總結(jié)一下： 函數(shù)名稱 函數(shù)的記號 函數(shù)的圖形 函數(shù)的性質(zhì) 指數(shù)函數(shù) a):不論x為何值,y總為正數(shù); b):當(dāng)x=0時,y=1. . 對數(shù)函數(shù) a):其圖形總位于y軸右側(cè),并過(1,0)點 b):當(dāng)a1時,在區(qū)間(0,1)的值為負(fù)；在區(qū)間(-,+)的值為正；在定義域內(nèi)單調(diào)增. 冪函數(shù) a為任意實數(shù) 這里只畫出部分函數(shù)圖形的一部分

37、。 令a=m/n a):當(dāng)m為偶數(shù)n為奇數(shù)時,y是偶函數(shù); b):當(dāng)m,n都是奇數(shù)時,y是奇函數(shù); c):當(dāng)m奇n偶時,y在(-,0)無意義.角函數(shù)正弦函) 這里只寫出了正弦函數(shù) a)正弦函數(shù)是2為周期的周函 b):正弦函數(shù)是奇函數(shù)且 反三角函數(shù) (反正弦函數(shù)) 這里只寫出了反正弦函數(shù) a):由于此函數(shù)為多值函數(shù),因此我們此函數(shù)值限制在-/2,/2上,并稱其為反正弦函數(shù)的主值. 、初等函數(shù)：由基本初等函數(shù)與常數(shù)經(jīng)過有限次的有理運算及有限次的函數(shù)復(fù)合所產(chǎn)生并且能用一個解析式表出的函數(shù)稱為初等函數(shù). 例題：是初等函數(shù)。 7、雙曲函數(shù)及反雙曲函數(shù) 、雙曲函數(shù)：在應(yīng)用中我們經(jīng)常遇到的雙曲函數(shù)是：(用表

38、格來描述) 函數(shù)的名稱 函數(shù)的表達式 函數(shù)的圖形 函數(shù)的性質(zhì) . 雙曲正 弦 a)：其定義域為:(-,+)； b)：是奇函數(shù)； c)：在定義域內(nèi)是單調(diào)增 雙曲余弦 a)：其定義域為:(-,+)； b)：是偶函數(shù)； c)：其圖像過點(0,1)； 雙曲正切 a)：其定義域為:(-,+)； b)：是奇函數(shù)； c)：其圖形夾在水平直線y=1及y=-1之間；在定域內(nèi)單調(diào)增； 我們再來看一下雙曲函數(shù)與三角函數(shù)的區(qū)別： 雙曲函數(shù)的性質(zhì) 三角函數(shù)的性質(zhì) shx與thx是奇函數(shù)，chx是偶函數(shù) sinx與tanx是奇函數(shù)，cosx是偶函數(shù) 它們都不是周期函數(shù) 都是周期函數(shù) 雙曲函數(shù)也有和差公式： 、反雙曲函數(shù)：

39、雙曲函數(shù)的反函數(shù)稱為反雙曲函數(shù). a)：反雙曲正弦函數(shù) 其定義域為：(-,+)； . b)：反雙曲余弦函數(shù) 其定義域為：1,+)； c)：反雙曲正切函數(shù) 其定義域為：(-1,+1)； 8、數(shù)列的極限 我們先來回憶一下初等數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)的數(shù)列的概念。 、數(shù)列：若按照一定的法則，有第一個數(shù)a1，第二個數(shù)a2，依次排列下去，使得任何一個正整數(shù)n對應(yīng)著一個確定的數(shù)an，那末，我們稱這列有次序的數(shù)a1，a2，an，為數(shù)列.數(shù)列中的每一個數(shù)叫做數(shù)列的項。第n項an叫做數(shù)列的一般項或通項. 注：我們也可以把數(shù)列an看作自變量為正整數(shù)n的函數(shù)，即：an =，它的定義域是全體正整數(shù) 、極限：極限的概念是求實際問題的

40、精確解答而產(chǎn)生的。 例：我們可通過作圓的內(nèi)接正多邊形，近似求出圓的面積。 設(shè)有一圓，首先作圓內(nèi)接正六邊形，把它的面積記為A1；再作圓的內(nèi)接正十二邊形，其面積記為A2；再作圓的內(nèi)接正二十四邊形，其面積記為A3；依次循下去(一般把內(nèi)接正6×2n-1邊形的面積記為An)可得一系列內(nèi)接正多邊形的面積：A1，A2，A3，An，它們就構(gòu)成一列有序數(shù)列。我們可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時，An也無限接近某一確定的數(shù)值(圓的面積)，這個確定的數(shù)值在數(shù)學(xué)上被稱為數(shù)列A1，A2，A3，An， 當(dāng)n(讀作n趨近于無窮大)的極限。 注：上面這個例子就是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽(公元三世紀(jì))的割圓術(shù)。 、

41、數(shù)列的極限 ：一般地，對于數(shù)列來說，若存在任意給定的正數(shù)(不論其多么小)，總存在正整數(shù)N，使得對于nN 時的一切 不等式都成立，那末就稱常數(shù)a 是數(shù)列的極限 ，或者稱數(shù)列收斂于a . 記作： 或 注：此定義中的正數(shù) 只有任意給定，不等式 才能表達出與a無限接近的意思。且定義中的正整數(shù)N與任意給定的正數(shù)是有關(guān)的，它是隨著的給定而選定的。 、數(shù)列的極限的幾何解釋：在此我們可能不易理解這個概念，下面我們再給出它的一個幾何解釋， 以使我們能理解它。數(shù)列極限為a的一個幾何解釋：將常數(shù)a 及數(shù)列在數(shù)軸上用它們的對應(yīng)點表示出來，再在數(shù)軸上作點a的鄰域即開區(qū)間(a-，a+)，如下圖所示： . 因不等式 與不等

42、式等價，故當(dāng)nN 時，所有的點都落在開區(qū)間(a-，a+)內(nèi)，而只有有限個(至多只有N個)在此區(qū)間以外。 注：至于如何求數(shù)列的極限，我們在以后會學(xué)習(xí)到，這里我們不作討論。 、數(shù)列的有界性： 對于數(shù)列，若存在著正數(shù)M ，使得一切 都滿足不等式M，則稱數(shù) 列是有界的，若正數(shù)M 不存在，則可說數(shù)列是無界的。 定理： 若數(shù)列 收斂，那末數(shù)列一定有界。 注：有界的數(shù)列不一定收斂，即：數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件，但不是充分條件。例：數(shù)列 1，-1，1，-1，(-1)n+1， 是有界的，但它是發(fā)散的。 9、函數(shù)的極限 前面我們學(xué)習(xí)了數(shù)列的極限，已經(jīng)知道數(shù)列可看作一類特殊的函數(shù)，即自變量取 1內(nèi)的正整數(shù)，若自

43、變量不再限于正整數(shù)的順序，而是連續(xù)變化的，就成了函數(shù)。下面我們來學(xué)習(xí)函數(shù)的極限. 函數(shù)的極值有兩種情況：a)：自變量無限增大；b)：自變量無限接近某一定點x0，如果在這時，函數(shù)值無限接近于某一常數(shù)A，就叫做函數(shù)存在極值。我們已知道函數(shù)的極值的情況，那么函數(shù)的極限如何呢 ? 下面我們結(jié)合著數(shù)列的極限來學(xué)習(xí)一下函數(shù)極限的概念! 、函數(shù)的極限(分兩種情況) a):自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限 定義 ：設(shè)函數(shù)，若對于任意給定的正數(shù)(不論其多么小)，總存在著正數(shù)X，使得對于適合不等式 的一切x ，所對應(yīng)的函數(shù)值都滿足不等式 那末常數(shù)A 就叫做函數(shù)當(dāng)x時的極限 ，記作： 下面我們用表格把函數(shù)的極限與數(shù)列的

44、極限對比一下： 數(shù)列的極限的定義 函數(shù)的極限的定義 . 存在數(shù)列與常數(shù)A，任給一正數(shù)0，總可找到一正整數(shù)N，對于nN 的所有都滿足 則稱數(shù)列，當(dāng)x時收斂于 A記：。 存在函數(shù)與常數(shù)A， 任給一正數(shù) 0，總可找到一正數(shù)X ，對于適合的一切x，都滿足，函數(shù)當(dāng)x時的極限為 A ，記：。 從上表我們發(fā)現(xiàn)了什么 ？試思考之 b):自變量趨向有限值時函數(shù)的極限。我們先來看一個例子. 例：函數(shù)，當(dāng)x1時函數(shù)值的變化趨勢如何？函數(shù)在x=1處無定義.我們知道對實數(shù)來講，在數(shù)軸上任何一個有限的范圍內(nèi)，都有無窮多個點，為此我們把x1時函數(shù)值的變化趨勢用表列出,如下圖: 從中我們可以看出x1時，2.而且只要x與1有多

45、接近，就與2有多接近.或說：只要與2只差一個微量，就一定可以找到一個，當(dāng)時滿足定義：設(shè)函數(shù)在某點x0的某個去心鄰域內(nèi)有定義，且存在數(shù)A，如果對任意給定的(不論其多么小)，總存在正數(shù)，當(dāng)0時，則稱函數(shù)當(dāng)xx0時存在極限，且極限為A，記：。 注：在定義中為什么是在去心鄰域內(nèi)呢？這是因為我們只討論xx0的過程，與x=x0出的情況無關(guān)。此定義的核心問題是：對給出的，是否存在正數(shù)，使其在去心鄰域內(nèi)的x均滿足不等式。 有些時候，我們要用此極限的定義來證明函數(shù)的極限為 A，其證明方法是怎樣的呢？ a):先任取0； . b): 寫出不等式； c):解不等式能否得出去心鄰域0 ，若能； d):則對于任給的0，總

46、能找出，當(dāng)0 時， 成立，因此 10、函數(shù)極限的運算規(guī)則 前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)列極限的運算規(guī)則，我們知道數(shù)列可作為一類特殊的函數(shù)，故函數(shù)極限的運算規(guī)則與數(shù)列極限的運算規(guī)則相似。 、函數(shù)極限的運算規(guī)則 若已知xx0(或 x)時，. 則： 推論： 在求函數(shù)的極限時，利用上述規(guī)則就可把一個復(fù)雜的函數(shù)化為若干個簡單的函數(shù)來求極限。 例題： 求 解答： 例題：求 此題如果像上題那樣求解，則會發(fā)現(xiàn)此函數(shù)的極限不存在.我們通過觀察可以發(fā)現(xiàn)此分式的分子和分母都沒有極限，像這種情況怎么辦呢？下面我們把它解出來。 解答： . 注：通過此例題我們可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)分式的分子和分母都沒有極限時就不能運用商的極限的運算規(guī)則了，應(yīng)

47、先把分式的分子分母轉(zhuǎn)化為存在極限的情形，然后運用規(guī)則求之。 函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則 學(xué)習(xí)函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則之前，我們先來學(xué)習(xí)一下左、右的概念。 我們先來看一個例子： 例 ：符號函數(shù)為 對于這個分段函數(shù),x從左趨于0和從右趨于0時函數(shù)極限是不相同的.為此我們定義了左、右極限的概念。 定義：如果x僅從左側(cè)(xx0)趨近x0時， 函數(shù)與常量A無限接近，則稱A 為函數(shù) 當(dāng)時的左極限. 記： 如果x僅從右側(cè)(xx0)趨近x0時， 函數(shù)與常量A無限接近，則稱A 為函數(shù) 當(dāng)時的右極限. 記： 注：只有當(dāng)xx0 時，函數(shù) 的左、右極限存在且相等，方稱在xx0時有極限 函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則 準(zhǔn)則一：對于點x0的某一鄰

48、域內(nèi)的一切x，x0點本身可以除外(或絕對值大于某一正數(shù)的一切x) 有，且， 那末存在，且等于A 注：此準(zhǔn)則也就是夾逼準(zhǔn)則. 準(zhǔn)則二：單調(diào)有界的函數(shù)必有極限. 注：有極限的函數(shù)不一定單調(diào)有界 兩個重要的極限 一： 注：其中e為無理數(shù)，它的值為：e=2.718281828459045. 二： . 注：在此我們對這兩個重要極限不加以證明. 注：我們要牢記這兩個重要極限，在今后的解題中會經(jīng)常用到它們. 例題： 求 解答： 令，則x=-2t，因為x，故t， 則 注：解此類型的題時，一定要注意代換后的變量的趨向情況，象x時，若用t代換1/x，則t0. 無窮大量和無窮小量 無窮大量 我們先來看一個例子： 已

49、知函數(shù)，當(dāng)x0 時，可知 ，我們把這種情況稱為趨向無窮大。為此我們可定義如下：設(shè)有函數(shù) y=，在x=x0的去心鄰域內(nèi)有定義，對于任意給定的正數(shù)N(一個任意大的數(shù))，總可找到正數(shù)，當(dāng) 時， 成立，則稱函數(shù)當(dāng)時為無窮大量。 記為：（表示為無窮大量，實際它是沒有極限的） 同樣我們可以給出當(dāng) x時，無限趨大的定義：設(shè)有函數(shù) y=，當(dāng)x充分大時有定義，對于任意給定的正數(shù)N(一個任意大的數(shù))，總可以找到正數(shù)M ，當(dāng) 時，成立，則稱函數(shù)當(dāng)x時是無窮大量 ，記為： 無窮小量 以零為極限的變量稱為無窮小量。 定義： 設(shè)有函數(shù)，對于任意給定的正數(shù)(不論它多么小)，總存在正數(shù)(或正數(shù)M)，使得對 于適合不等式( 或

50、)的一切x ，所對應(yīng)的函數(shù)值滿足不等式，則稱函 數(shù)當(dāng)(或x)時 為無窮小量. . 記作：( 或) 注意：無窮大量與無窮小量都是一個變化不定的量，不是常量，只有0可作為無窮小量的唯一常量。無窮大量與無窮小量的區(qū)別是：前者無界，后者有界，前者發(fā)散，后者收斂于0.無窮大量與無窮小量是互為倒數(shù)關(guān)系的. 關(guān)于無窮小量的兩個定理 定理一： 如果函數(shù) 在(或x)時有極限A， 則差 是當(dāng)(或x)時的無窮小量，反之亦成立。 定理二：無窮小量的有利運算定理 a)：有限個無窮小量的代數(shù)和仍是無窮小量； b)：有限個無窮小量的積仍是無窮小量；c)：常數(shù)與無窮小量的積也是無窮小量. 無窮小量的比較 通過前面的學(xué)習(xí)我們已

51、經(jīng)知道，兩個無窮小量的和、差及乘積仍舊是無窮小.那么兩個無窮小量的商會是怎樣的呢？好！接下來我們就來解決這個問題，這就是我們要學(xué)的兩個無窮小量的比較。 定義：設(shè)， 都是時的無窮小量，且在x0的去心領(lǐng)域內(nèi)不為零， a) ：如果，則稱是的高階無窮小或是的低階無窮??； b) ：如果，則稱和是同階無窮??； c) ：如果，則稱和是等價無窮小，記作：(與等價) 例： 因為，所以當(dāng)x0時，x與3x是同階無窮??； 因為，所以當(dāng)x0時，x2是3x的高階無窮小； 因為，所以當(dāng)x0時，sinx與x是等價無窮小。 等價無窮小的性質(zhì) 設(shè) ，且 存在，則. 注：這個性質(zhì)表明：求兩個無窮小之比的極限時，分子及分母都可用等價

52、無窮小來代替，因此我們可以利用這個性質(zhì)來簡化求極限問題。 例題：1. 求 . 解答：當(dāng)x0時，sinaxax，tanbxbx ，故： 例題： 2. 求 解答： 注： 注：從這個例題中我們可以發(fā)現(xiàn)，作無窮小變換時，要代換式中的某一項，不能只代換某個因子。 函數(shù)的一重要性質(zhì)連續(xù)性 在自然界中有許多現(xiàn)象，如氣溫的變化，植物的生長等都是連續(xù)地變化著的.這種現(xiàn)象在函數(shù)關(guān)系上的反映，就是函數(shù)的連續(xù)性 在定義函數(shù)的連續(xù)性之前我們先來學(xué)習(xí)一個概念增量 設(shè)變量x從它的一個初值x1變到終值x2，終值與初值的差x2-x1就叫做變量x的增量，記為：x即：x=x2-x1 增量x可正可負(fù). 我們再來看一個例子：函數(shù)在點x

53、0的鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在領(lǐng)域內(nèi)從x0變到x0+x時，函數(shù)y 相應(yīng)地從 變到，其對應(yīng)的增量為： 這個關(guān)系式的幾何解釋如下圖： 現(xiàn)在我們可對連續(xù)性的概念這樣描述：如果當(dāng)x趨向于零時，函數(shù)y對應(yīng)的增量y也趨向于零， 即： ，那末就稱函數(shù)在點x0處連續(xù)。 函數(shù)連續(xù)性的定義： 設(shè)函數(shù)在點x0 的某個鄰域內(nèi)有定義，如果有 稱函數(shù)在點x0處連續(xù)，且稱x0 為函數(shù)的的連續(xù)點. . 下面我們結(jié)合著函數(shù)左、右極限的概念再來學(xué)習(xí)一下函數(shù)左、右連續(xù)的概念： 設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a,b內(nèi)有定義， 如果左極限 存在且等于， 即： =， 那末我們就稱函數(shù)在點b左連續(xù). 設(shè)函數(shù)在區(qū)間a,b) 內(nèi)有定義，如果右極限 存在且等于

54、 ，即： = ，那末我們就稱函數(shù)在點a右連續(xù). 一個函數(shù)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)每點連續(xù),則為在(a,b)連續(xù)，若又在a點右連續(xù)，b點左連續(xù)，則在閉區(qū)間a，b連續(xù)，如果在整個定義域內(nèi)連續(xù)，則稱為連續(xù)函數(shù)。 注：一個函數(shù)若在定義域內(nèi)某一點左、右都連續(xù)，則稱函數(shù)在此點連續(xù)，否則在此點不連續(xù). 注：連續(xù)函數(shù)圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線。 通過上面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道函數(shù)的連續(xù)性了，同時我們可以想到若函數(shù)在某一點要是不連續(xù)會出現(xiàn)什么情形呢？接著我們就來學(xué)習(xí)這個問題：函數(shù)的間斷點 函數(shù)的間斷點 定義：我們把不滿足函數(shù)連續(xù)性的點稱之為間斷點. 它包括三種情形： a) ：在x0無定義； b) ：在xx0時無極限；

55、 c) ：在xx0 時有極限但不等于； 下面我們通過例題來學(xué)習(xí)一下間斷點的類型： 例1： 正切函數(shù) 在 處沒有定義，所以點 是函數(shù) 的間斷點，因 ，我們就稱為函數(shù)的無窮間斷點； 例2：函數(shù)在點x=0處沒有定義；故當(dāng)x0時，函數(shù)值在-1與+1之間變動無限多次，我們就稱點x=0叫做函數(shù)的振蕩間斷點； . 例3： 函數(shù)當(dāng)x0時， 左極限， 右極限，從這我們可以看出函數(shù)左、右極限雖然都存在，但不相等，故函數(shù)在點x=0是不存在極限。我們還可以發(fā)現(xiàn)在點x=0時，函數(shù)值產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象，為此我們把這種間斷點稱為跳躍間斷點；我們把上述三種間斷點用幾何圖形表示出來如下 : 間斷點的分類 我們通常把間斷點分成兩類：如

56、果x0 是函數(shù)的間斷點，且其左、右極限都存在，我們把x0稱為 函數(shù)的第一類間斷點；不是第一類間斷點的任何間斷點，稱為第二類間斷點. 可去間斷點 若x0 是函數(shù) 的間斷點，但極限存在，那末x0是函數(shù)的第一類間斷點。此時函數(shù)不連續(xù)原因是：不存在或者是存在但。我們令，則可使函數(shù)在點x0處連續(xù)，故這種間斷點x0稱為可去間斷點。 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)及初等函數(shù)的連續(xù)性 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 函數(shù)的和、積、商的連續(xù)性 我們通過函數(shù)在某點連續(xù)的定義和極限的四則運算法則，可得出以下結(jié)論： a)：有限個在某點連續(xù)的函數(shù)的和是一個在該點連續(xù)的函數(shù)； b)：有限個在某點連續(xù)的函數(shù)的乘積是一個在該點連續(xù)的函數(shù)； c)：兩個在某點

57、連續(xù)的函數(shù)的商是一個在該點連續(xù)的函數(shù)(分母在該點不為零)； 反函數(shù)的連續(xù)性 若函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)增(或單調(diào)減)且連續(xù)，那末它的反函數(shù)也在對應(yīng)的區(qū)間上單調(diào)增(單調(diào)減)且連續(xù) 例：函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)增且連續(xù)，故它的反函數(shù)在閉區(qū)間-1,1 . 上也是單調(diào)增且連續(xù)的。 復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性 設(shè)函數(shù)當(dāng)xx0時的極限存在且等于a ，即：. 而函數(shù)在點u=a 連續(xù)，那末復(fù)合函數(shù)當(dāng)xx0時的極限也存在 且等于. 即： 例題： 求 解答： 注： 函數(shù) 可看作 與復(fù)合而成， 且函數(shù)在點u=e連續(xù)，因此可得出上述結(jié)論。 設(shè)函數(shù)在點x=x0 連續(xù)，且 ，而函數(shù)在點u=u0 連續(xù)，那末復(fù)合函數(shù)在點x=x0也是連續(xù)的 初等函

58、數(shù)的連續(xù)性 通過前面我們所學(xué)的概念和性質(zhì)，我們可得出以下結(jié)論：基本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的；一切初等函數(shù)在其定義域內(nèi)也都是連續(xù)的. 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)則是在其連續(xù)區(qū)間的左端點右連續(xù)，右端點左連續(xù).對于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有幾條重要的性質(zhì)，下面我們來學(xué)習(xí)一下： 最大值最小值定理：在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值。(在此不作證明) 例：函數(shù)y=sinx在閉區(qū)間0，2上連續(xù)，則在點x=/2處，它的函數(shù)值為1，且大于閉區(qū)間0，2上其它各點出的函數(shù)值；則在點x=3/2處，它的函數(shù)值為-1，且小于閉區(qū)間0，2上其它各點出的函數(shù)值。 介值定理 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定

59、取得介于區(qū)間兩端點的函數(shù)值間的任何值。即：，在、之間，則在a，b間一定有一個 ，使 推論： 在閉區(qū)間連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值最小值之間的任何值。 二、導(dǎo)數(shù)與微分 導(dǎo)數(shù)的概念 在學(xué)習(xí)到數(shù)的概念之前，我們先來討論一下物理學(xué)中變速直線運動的瞬時速度的問題。例：設(shè)一質(zhì)點沿x軸運動時，其位置x是時間t 的函數(shù)，求質(zhì)點在t0的瞬時速度？我們知道時間從t0有增 . 量t時，質(zhì)點的位置有增量 ，這就是質(zhì)點在時間段t的位移。因此，在此 段時間內(nèi)質(zhì)點的平均速度為：.若質(zhì)點是勻速運動的則這就是在t0的瞬時速度，若質(zhì)點是非勻速直線運動，則這還不是質(zhì)點在t0時的瞬時速度。我們認(rèn)為當(dāng)時間段t無限地接近于0時，此平均速度

60、會無限地接近于質(zhì)點t0時的瞬時速度，即：質(zhì)點在t0時的瞬時速度 =為此就產(chǎn)生了導(dǎo)數(shù)的定義，如下： 導(dǎo)數(shù)的定義： 設(shè)函數(shù)在點x0的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在x0處有增量x(x+x也在該鄰域內(nèi)) 時，相應(yīng)地函數(shù)有增量，若y與x之比當(dāng)x0時極限存 在，則稱這個極限值為在x0處的導(dǎo)數(shù) 。記為： 還可記為： ， 函數(shù)在點x0 處存在導(dǎo)數(shù)簡稱函數(shù)在點x0處可導(dǎo)，否則不可導(dǎo)。 若函數(shù)在區(qū)間(a,b) 內(nèi)每一點都可導(dǎo)，就稱函數(shù)在區(qū)間(a,b) 內(nèi)可導(dǎo)。這時函數(shù)對于區(qū)間(a,b)內(nèi)的每一個確定的x值，都對應(yīng)著一個確定的導(dǎo)數(shù)，這就構(gòu)成一個新的函數(shù)， 我們就稱這個函數(shù)為原來函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。 注：導(dǎo)數(shù)也就是差商的極

61、限 左、右導(dǎo)數(shù) 前面我們有了左、右極限的概念，導(dǎo)數(shù)是差商的極限，因此我們可以給出左、右導(dǎo)數(shù)的概念。若極限 存在，我們就稱它為函數(shù)在x=x0處的左導(dǎo)數(shù) 。若極限存在，我們就稱它為 函數(shù)在x=x0處的右導(dǎo)數(shù)。 注： 函數(shù)在x0 處的左右導(dǎo)數(shù)存在且相等是函數(shù)在x0處的可導(dǎo)的充分必要條件 函數(shù)的和、差求導(dǎo)法則 函數(shù)的和差求導(dǎo)法則 法則：兩個可導(dǎo)函數(shù)的和(差)的導(dǎo)數(shù)等于這兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(差).用公式可寫為 ：。其中u、v為可導(dǎo)函數(shù)。 . 例題： 已知 ，求 解答： 例題： 已知 ，求 解答： 函數(shù)的積商求導(dǎo)法則 常數(shù)與函數(shù)的積的求導(dǎo)法則 法則：在求一個常數(shù)與一個可導(dǎo)函數(shù)的乘積的導(dǎo)數(shù)時，常數(shù)因子可以提

62、到求導(dǎo)記號外面去。用公式可寫成： 例題： 已知 ，求 解答： 函數(shù)的積的求導(dǎo)法則 法則：兩個可導(dǎo)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)等于第一個因子的導(dǎo)數(shù)乘第二個因子，加上第一個因子乘第二個因子 的導(dǎo)數(shù)。用公式可寫成： 例題： 已知 ，求 解答： 注：若是三個函數(shù)相乘，則先把其中的兩個看成一項。 函數(shù)的商的求導(dǎo)法則 法則：兩個可導(dǎo)函數(shù)之商的導(dǎo)數(shù)等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母導(dǎo)數(shù)乘積減去分母導(dǎo)數(shù)與分子導(dǎo)數(shù)的乘積，在除以分母導(dǎo)數(shù)的平方。用公式可寫成： 例題： 已知 ，求 解答： . 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 在學(xué)習(xí)此法則之前我們先來看一個例子! 例題： 求=? 解答： 由于 ，故 這個解答正確嗎? 這個解答是錯誤的，正確的解答應(yīng)該如下： 我們發(fā)生錯誤的原因是是對自變量x求導(dǎo)，而不是對2x求導(dǎo)。 下面我們給出復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)規(guī)則 規(guī)則：兩個可導(dǎo)函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)乘上中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù)。用公式表示為： ，其中u為中間變量 例題： 已知 ，求 解答： 設(shè), 則 可分解為 ,因此 注：在以后解題中，我們可以中間步驟省去。 例題： 已知 ，