第三節(jié)泰勒公式(改)

1、2021-11-221二、幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式二、幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式 第三節(jié)第三節(jié)一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立三、泰勒公式的應(yīng)用三、泰勒公式的應(yīng)用 應(yīng)用應(yīng)用用多項式近似表示函數(shù)用多項式近似表示函數(shù)理論分析理論分析近似計算近似計算泰勒泰勒(taylor)公式公式 第三章第三章 目錄 上頁 下頁 返回 2021-11-222在近似計算和理論分析中在近似計算和理論分析中, 對于復(fù)雜函數(shù)對于復(fù)雜函數(shù)f (x). 常希望用一個多項式常希望用一個多項式p(x) = a0+a1x+a2x2 + anxn 來近似表示來近似表示 f (x).比如比如, 當當|x|很小時很小時, ex 1+

2、x, sin x.111xnxn都是用一次函數(shù)表示函數(shù)都是用一次函數(shù)表示函數(shù) f (x)的例子的例子.一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立 目錄 上頁 下頁 返回 2021-11-223缺陷缺陷: (1) 精度不高精度不高, 誤差僅為誤差僅為o(x)(2) (2) 誤差不明確，即誤差不明確，即沒有誤差估計式?jīng)]有誤差估計式. .從幾何上看從幾何上看, 缺陷缺陷(1)是由于我們在是由于我們在x=0附近用附近用直線代替曲線直線代替曲線, 精度當然不高精度當然不高.設(shè)想：設(shè)想：能否改用二次曲線能否改用二次曲線, 三次曲線三次曲線, , 代替代替? 精度精度是否能提高是否能提高, , 即：曲線的吻合程度

3、是否會更好些呢即：曲線的吻合程度是否會更好些呢? ? 目錄 上頁 下頁 返回 2021-11-224y=ex1y=1+x2211xxy看圖看圖. .1x0y21 目錄 上頁 下頁 返回 2021-11-2251. 試求一個關(guān)于試求一個關(guān)于xx0的的n次多項式次多項式pn(x) = a0+a1(xx0)+a2 (xx0)2+ an (xx0)n使使pn(x)能在能在x0的附近近似表示的附近近似表示 f (x).要求：要求：需要解決兩個問題需要解決兩個問題: 00()(),nf xpx00()(),nfxpx( )( )00()().nnnfxpx2. 誤差誤差 f (x) pn(x)的表達式（誤

4、差估計）的表達式（誤差估計）.設(shè)設(shè)f (x)在在 的某鄰域內(nèi)有直到的某鄰域內(nèi)有直到n+1階導數(shù)階導數(shù).0 xx 目錄 上頁 下頁 返回 2021-11-2261. 求求 n 次近似多項式次近似多項式要求要求:( ),npx)(0!212xpan , )(0 xf ,)(0)(!1xpannnn)(0)(xfn故故)(xpn)(0 xf)(00 xxxf!21!1nnnxxxf)(00)(!1n200)(xxxf !21令令)(xpn則則)(xpn )(xpnnan!)()(xpnn)(00 xpan, )(0 xf, )()(00 xfxpn)(01xpan, )(0 xf 1a)(202xx

5、a10)(nnxxan2!2 a20)() 1(nnxxann, )()(00 xfxpn)()(,0)(0)(xfxpnnn0annxxaxxaxxa)()()(020201 目錄 上頁 下頁 返回 2021-11-227)0(之間與在nx )( )(10nnxxxr )(2) 1( )(0)(xnrnnnn2. 余項估計余項估計)()()(xpxfxrnn令令(稱為余項稱為余項) ,)(0 xrn)(0 xrn0)(0)(xrnn10)()(nnxxxrnnxnr)(1()(011 )(1( )(011nnxnr1022)() 1()( nnxnnr! ) 1()()1(nrnn則有則有)

6、(0 xrn0)(0 xrn0)(0)(xrnn0 x)01(之間與在xx)102(之間與在x 目錄 上頁 下頁 返回 2021-11-228)()()(xpxfxrnn10)()(nnxxxr! ) 1()()1(nrnn)0(之間與在xx,0)()1(xpnn10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxr)()()1()1(xfxrnnn時的某鄰域內(nèi)當在mxfxn)() 1(0)0(之間與在xx10! ) 1()(nnxxnmxr)()()(00 xxxxoxrnn 目錄 上頁 下頁 返回 2021-11-229公式公式 稱為稱為 的的 n 階泰勒公式階泰勒公式 .)(xf公式公式

7、稱為稱為n 階泰勒公式的階泰勒公式的拉格朗日余項拉格朗日余項 .泰勒中值定理泰勒中值定理 :內(nèi)具有的某開區(qū)間在包含若),()(0baxxf1n直到階的導數(shù)階的導數(shù) ,),(bax時時, 有有)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xrn其中其中10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxr則當則當)0(之間與在xx 目錄 上頁 下頁 返回 2021-11-2210公式公式 稱為稱為n 階泰勒公式的階泰勒公式的佩亞諾佩亞諾(peano) 余項余項 .在不需要余項的精確表達式時在不需要余項的精確表達式時 , 泰勒公式可寫為泰勒公式

8、可寫為)()(0nnxxoxr注意到注意到* 可以證明可以證明: 階的導數(shù)有直到在點nxxf0)( 式成立式成立 目錄 上頁 下頁 返回 )(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(0nxxo2021-11-2211特例特例:(1) 當當 n = 0 時時, 泰勒公式變?yōu)樘├展阶優(yōu)?(xf)(0 xf)(0 xxf(2) 當當 n = 1 時時, 泰勒公式變?yōu)樘├展阶優(yōu)榻o出拉格朗日中值定理給出拉格朗日中值定理)(xf)(0 xf)(00 xxxf20)(!2)(xxf 可見可見)(xf)(0 xf)(00 xxxf201)(!2)(

9、)(xxfxr 誤差誤差)(xf)(0 xf)(00 xxxf10) 1()(! ) 1()(nnxxnf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)(fd)0(之間與在xx)0(之間與在xx)0(之間與在xx)0(之間與在xx 目錄 上頁 下頁 返回 2021-11-2212稱為稱為麥克勞林（麥克勞林（ maclaurin ）公式）公式 ., ) 10(,00 xx則有則有)(xf)0(fxf)0( 1) 1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()(在泰勒公式中若取在泰勒公式中若取)(xf)(0 xf)(00 xxxf10)1()(! ) 1()(n

10、nxxnf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()0(之間與在xx)(xf)0(fxf)0( ,)()1(mxfn則有誤差估計式則有誤差估計式2!2)0(xf nnxnf!)0()(若在公式成立的區(qū)間上若在公式成立的區(qū)間上由此得近似公式由此得近似公式 目錄 上頁 下頁 返回 1! ) 1()(nnxnmxr2021-11-2213二、幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式二、幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式xexf)() 1 (,)()(xkexf),2, 1(1)0()(kfkxe1x!33x!nxn)(xrn!22x其中其中)(xrn! ) 1( n) 10(1nxxe 目錄 上頁 下

11、頁 返回 2021-11-2214)sin( xxxfsin)()2()()(xfkxsinx!33x!55x! ) 12(12mxm)(2xrm其中其中)(2xrm)sin(212mx2k2sin)0()(kfkmk2,012 mk,) 1(1m),2, 1(m1) 1(m) 10(12mx! ) 12(m)cos() 1(xm 目錄 上頁 下頁 返回 2021-11-2215! )2(2mxmxxfcos)()3(類似可得類似可得xcos1!22x!44x)(12xrm其中其中)(12xrm! )22(m)cos() 1(1xm) 10(m) 1(22mx 目錄 上頁 下頁 返回 2021

12、-11-2216) 1()1 ()()4(xxxf)()(xfk)1 (x1x2xnx)(xrn其中其中)(xrn11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnn) 10(kxk)1)(1() 1() 1() 1()0()(kfk),2, 1(k!2 ) 1(! n) 1() 1(n 目錄 上頁 下頁 返回 2021-11-2217) 1()1ln()()5(xxxf已知已知)1ln(xx22x33xnxn)(xrn其中其中)(xrn11)1 (1) 1(nnnxxn) 10(1) 1(n類似可得類似可得)()(xfkkkxk)1 (! ) 1() 1(1),2, 1(k 目錄 上頁 下頁 返

13、回 2021-11-2218三、泰勒公式的應(yīng)用三、泰勒公式的應(yīng)用1. 在近似計算中的應(yīng)用在近似計算中的應(yīng)用 誤差誤差1! ) 1()(nnxnmxrm 為為)() 1(xfn在包含在包含 0 , x 的某區(qū)間上的上界的某區(qū)間上的上界.需解問題的類型需解問題的類型:1) 已知已知 x 和誤差限和誤差限 , 要求確定項數(shù)要求確定項數(shù) n ;2) 已知項數(shù)已知項數(shù) n 和和 x , 計算近似值并估計誤差計算近似值并估計誤差;3) 已知項數(shù)已知項數(shù) n 和誤差限和誤差限 , 確定公式中確定公式中 x 的適用范圍的適用范圍.)(xf)0(fxf)0( 2!2)0(xf nnxnf!)0()( 目錄 上頁

14、 下頁 返回 2021-11-2219已知已知例例1. 計算無理數(shù)計算無理數(shù) e 的近似值的近似值 , 使誤差不超過使誤差不超過.106解解:xe! ) 1( nxe1nx令令 x = 1 , 得得e) 10(! ) 1(!1!2111nen) 10(由于由于, 30ee欲使欲使) 1 (nr!) 1(3n610由計算可知當由計算可知當 n = 9 時上式成立時上式成立 , 因此因此e!91!2111718281. 2xe1x!33x!nxn!22x的麥克勞林公式為的麥克勞林公式為 目錄 上頁 下頁 返回 2021-11-2220例例2. 用近似公式用近似公式!21cos2xx計算計算 cos

15、 x 的近似值的近似值,使其精確到使其精確到 0.005 , 試確定試確定 x 的適用范圍的適用范圍.解解: 近似公式的誤差近似公式的誤差)cos(!4)(43xxxr244x令令005. 0244x解得解得588. 0 x即當即當588. 0 x時時, 由給定的近似公式計算的結(jié)果由給定的近似公式計算的結(jié)果能準確到能準確到 0.005 . 目錄 上頁 下頁 返回 2021-11-22212. 利用泰勒公式求極限利用泰勒公式求極限例例3. 求求.43443lim20 xxxx解解:由于由于x431243 x21)1 (243x 2)(14321x!21) 1(2121243)( x)(2xo用洛

16、必塔法則用洛必塔法則不方便不方便 !2x用泰勒公式將分子展到用泰勒公式將分子展到項項,11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnnnx! n) 1() 1(n)1 (x1x2x!2 ) 1() 10(x3421)1 (243x220 limxx 原式)(2216921xox 329x43)(2216941xox 2x43)(2216941xox 目錄 上頁 下頁 返回 2021-11-222211)1 (! ) 1()() 1(nnxxnnnx! n) 1() 1(n)1 (x1x2x!2 ) 1() 10(3. 利用泰勒公式證明不等式利用泰勒公式證明不等式例例4. 證明證明).0(821

17、12xxxx證證:21)1 (1xx21x2) 121(21!21x325)1)(221)(121(21!31xx) 10(3225)1 (161821xxxx)0(82112xxxx 目錄 上頁 下頁 返回 2021-11-2223內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 泰勒公式泰勒公式余項余項)(0nxxo當當00 x時為時為麥克勞林公式麥克勞林公式 .)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xrn10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxr)0(之間與在xx 目錄 上頁 下頁 返回 2021-11-22242. 常用函數(shù)的麥克勞林公式常

18、用函數(shù)的麥克勞林公式 ( p140 p142 ),xe, )1ln(x,sin x,cosx)1 (x3. 泰勒公式的應(yīng)用泰勒公式的應(yīng)用(1) 近似計算近似計算(3) 其他應(yīng)用其他應(yīng)用求極限求極限 , 證明不等式證明不等式 等等.(2) 利用多項式逼近函數(shù)利用多項式逼近函數(shù) , xsin例如 目錄 上頁 下頁 返回 2021-11-22254224642024612! ) 12() 1(9!917!715!513!311sinnnxxxxxxxn)(2nxo!33xxy!5!353xxxy!7!5!3753xxxxyxysinxy xsin泰勒多項式逼近泰勒多項式逼近 目錄 上頁 下頁 返回

19、2021-11-2226思考與練習思考與練習 計算計算.3cos2lim402xxexx)(!2114422xoxxex)(!4!21cos542xoxxx)()!412!21(3cos2442xoxxex127)(lim4441270 xxoxx解解:原式原式 目錄 上頁 下頁 返回 2021-11-2227, 1 ,0)(上具有三階連續(xù)導數(shù)在設(shè)函數(shù)xf, 0)(,2) 1 (,1)0(21fff,( )24.f使)(xf)(21之間與在其中x, 1,0 x由題設(shè)對由題設(shè)對證證:備用題備用題 1.321)(!31 xf)(21f221)( x)(! 2121f )(2121xf有有)(21f221)( x)(!2121f 321)(!31 xf內(nèi)至少存在證明) 1,0(且且得分別令, 1,0 x 目錄 上頁 下頁 返回 一點一點2021-11-2228112(0, ) )(21f122( ,1) 3211)(! 3)( f3212)(! 3)(f )0(1f)(21f22121)(! 2)( f) 1 (2f22121)(! 2)(f 1下式減上式下式減上式 , 得得211