補(bǔ)充題線性代數(shù)習(xí)題(5)

1、習(xí)題二1.假設(shè)一批產(chǎn)品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，從中任取一件，發(fā)現(xiàn)它不是三等品，求它是一等品的概率解設(shè)A= 任取一件是i等品 i=1, 2, ,3所求概率為P(A |A)二P(A_A)P(A3)因?yàn)樗訟3 - AP(入)=P( A 片 P(A)0. 60= 30. 9P( A A)= RAK 0. 6故6 2P(A|AJ932設(shè)10件產(chǎn)品中有4件不合格品，從中任取兩件，已知所取兩件中有一件是不合格品, 求另一件也是不合格品的概率解 設(shè)A二所取兩件中有一件是不合格品Bi二所取兩件中恰有i件不合格i=1, 2.B-iB2P(A)二 P(B) P(B2)c4cC10G20所求概率

2、為P(B2|A)二P(B2)P(A)C4c4c6 +c：3.袋中有5只白球6只黑球，從袋中一次取出 3個(gè)球，發(fā)現(xiàn)都是同一顏色，求這顏色 是黑色的概率解 設(shè)A = 發(fā)現(xiàn)是同一顏色，B = 全是白色，c= 全是黑色，則A = B C ,所求概率為P(C| A) = P(AC) P(C)C；/G31= 2(1 ) P(A) P(B C) C；/G31 C；/G3134從52張樸克牌中任意抽取 5張，求在至少有3張黑桃的條件下，5張都是黑桃的概 率解 設(shè)A='至少有3張黑桃，Bi = 5張中恰有i張黑桃，U 3,4,5 ,則A = B3 +B4+B5 ,所求概率為5.P(AB5)P(B5 |A

3、)-P(A)設(shè) P(A) =0.5, P(B) =0.6,P( A B»= R A) RE)P(B -A) =P(B) _P(AB)P(B5)Cl5332415P( B3 B4 B5)C13C39 C13C39 C13 1686P(B | A)二 0.8求 P(A B)與 P(B - A).R AB 1" P(A)P 冋 A) - 1. 1二 0 = 0.60.4=026.入乙袋，再從乙袋中任取一球，求該球是白球的概率。解 設(shè)A= 從乙袋中取出的是白球，Bi二從甲袋中取出的兩球恰有甲袋中有3個(gè)白球2個(gè)黑球,乙袋中有 4個(gè)白球4個(gè)黑球，今從甲袋中任取2球放i個(gè)白球'i

4、 =0,12由全概公式P(A) =P(B°)P(A|B°) P(BP(A|B1)P(B2)P(A|B2)C； 4 C3C2 1 C3 6 13一 CF10 Cr 2 C5210 一 25.3只，比賽7個(gè)盒子中裝有15個(gè)乒乓球，其中9個(gè)新球，在第一次比賽時(shí)任意抽取在第二次比賽時(shí)同樣地任取3只球，求第二次取出的3個(gè)球均為新球的概后仍放回原盒中; 率。解設(shè)A =Bi ='第二次取出的均為新球，'第一次取出的3個(gè)球恰有i個(gè)新球i =0, 1, 2, 3.由全概公式P(A)= P(B)P(A|°B) R(B)P(A| B) P(B)PGA| B)3 P(B)

5、P(A| B)331 232 1333C6C9C9C6C8C9C6C7C9C6_1 TIT-1 ITI1 T1133333333C15C15C15C15C15C15C15C155280.089.5915&電報(bào)發(fā)射臺(tái)發(fā)出和-'的比例為5:3，由于干擾，傳送（）時(shí)失真的概率為2/5，傳送時(shí)失真的概率為解設(shè)A='收到，1/3,求接受臺(tái)收到B = 發(fā)出 ，時(shí)發(fā)出信號(hào)恰是的概率。由貝葉斯公式5 38 55 3 3 18 5 8 39在第6題中，已知從乙袋中取得的球是白球，求從甲袋中取出的球是一白一黑的概 率.P(B)P(A|B)P(B| A - P(B)P(A|B) P(B)P(

6、A|B)解事件如第6題所設(shè)，所求概率為P(B |A) =1 1 2 1P(BP(A|B) C3C2/C5 ?=13P(A)10 已知一批產(chǎn)品中96%是合格品，檢查產(chǎn)品時(shí)，一個(gè)合格品被誤認(rèn)為是次品的概率25P(B)P(A|B)=0.96。98 '.998.0.9428等的概率設(shè)a ='第i次取出的零件是一等品，i=1,2.Bi 二取到第 i 箱',i =1,2.(1)(2)1132p(A)二 p(B1)p(a |Bp(B2)p(a |B2-(-2 555P(A | A ) P(AA) P(AAB1 AA2B2) P(A? IA )=P(A)P(A)是0.02,個(gè)次品被誤認(rèn)

7、為是合格品的概率是0.05,求在檢查后認(rèn)為是合格品的產(chǎn)品確是合格品的概率。解 設(shè)A二任取一產(chǎn)品，經(jīng)檢查是合格品，B = 任取一產(chǎn)品確是合格品，則A = BA BAP(A) =P(B)P(A|B) P(B)P(A|B)= 0.96 0.98 0.04 0.05 =0.9428,所求概率為P（A）11.假設(shè)有兩箱同種零件：第一箱內(nèi)裝50件，其中10件一等品；第二箱內(nèi)裝 30件其中18件一等品，現(xiàn)從兩箱中隨意挑出一箱，然后從該箱中先后隨機(jī)取出兩個(gè)零件（取出的 零件均不放回），試求：（1）先取出的零件是一等品的概率；（2）在先取的零件是一等品的條件下，第二次取出的零件仍然是解(1)P(BP(A A2|

8、B+ P(B2)P(AA2|B2)P(A)1 |C10 + C18_ 2 -C50 C30 - _ （_ 2 _5玻璃杯成箱出售，每箱20只，假設(shè)各箱含0, 1, 2只殘次品的概率分別為0.8, 0.1,0.1, 一顧客欲購一箱玻璃杯，售貨員隨意取一箱，顧客開箱隨意地察看四只，若無殘次品，則買下該箱，否則退回。試求：顧客買下該箱的概率:-; 在顧客買下的一箱中，確無殘次品的概率1 .12.(1 )(2)23095149294 =0.4856.設(shè)A二'顧客買下該箱， B -'箱中恰有i件殘次品，i = 0,1,2 ,:二 P(A)二 P(B°)P(A|B。)P(B1)P

9、(A|Bj P(B2)P(A| B2) C4c4= 0.8 0.1 C9 0.1 今:0.94 ；C20C20(2)P(AB。)P(A)0.80.940.85.13.設(shè)有來自三個(gè)地區(qū)的各10名，15名和25名考生的報(bào)名表，其中女生報(bào)名表分別為3份、7份和5份，隨機(jī)地取一個(gè)地區(qū)的報(bào)名表，從中先后取出兩份(1) 求先取到的一份為女生表的概率p ；(2) 已知后取到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q.解 設(shè)A ='先取到的是女生表，B ='后取到的是男生表，G ='取到第i個(gè)地區(qū)的表，i =1,2,3.(1) P 二 P(G)P(A|C ) P(C2)P(A|C2

10、)P(C3)P(A|C3)1 - 3 * 7 * 5 1 293 |H01525902961(2) 因?yàn)橄热〕龅氖桥淼母怕蕿?，所以先取出的是男生表的概率為，按?090鬮問題的道理，后取的是男生表的概率P(B)=90于是(2)q =P(A|B)P(AB)P(B)P(ABG ABC2 ABG)1-P(AB|C1) P(AB|C2)P(AB|C3)3P(B)13 77 85 20310 9 15 14 25 24_ 2061 一 61.9014. 一袋中裝有m枚正品硬幣,n枚次品硬幣(次品硬幣的兩面均印有國徽)從袋中任取一枚，已知將它投擲 r次，每次都得到國徽，問這枚硬幣是正品的概率是多少?解

11、 設(shè)A二'任取一枚硬幣擲r次得r個(gè)國徽，B ='任取一枚硬幣是正品，則A = BA BA ,所求概率為P(B|A)P(B)P(A| B)P(B)P(A|B) P(B)P(A| B)m1 ；I m + n(2 丿_ mm i j 丄 n m + n 2r m n 2 m n0.6和0.5，現(xiàn)已知目標(biāo)15甲、乙兩人獨(dú)立地對(duì)同一目標(biāo)各射擊一次，命中率分別為被擊中，求甲擊中的概率.Bi -'第i個(gè)人擊中i =1,2,解設(shè)A ='目標(biāo)被擊中，所求概率為0.6P(B)P(Bi B2)PQ)-P(BlB2)0.75.1-0.4 0.516 三人獨(dú)立地破譯一個(gè)密碼，他們能譯出的

12、概率分別是1 111，求他們將此密碼譯3 4出的概率解1設(shè)A='將密碼譯出，Bj ='第i個(gè)人譯出'i =1, 2,3.P(A)=P(BB2 B3)=P(Bi) P(B2)P(B3P(B-B2P(B-B3)-P(B2Ba) P(B1B2BsH-51111111+X：X：X 45 35 43 4事件如上所設(shè)，則-=0.6.5P(A) =1 _P(A) =1 _P(B B2B3) =1 _4 - -53 417.0.4, 0.5, 0.7。設(shè)飛機(jī)今三人各甲、乙、丙三人向一架飛機(jī)進(jìn)行射擊，他們的命中率分別為中一彈而被擊落的概率為0.2,中兩彈而被擊落的概率為0.6,中三彈必然

13、被擊落,射擊一次，求飛機(jī)被擊落的概率.解設(shè)A二飛機(jī)被擊落，Bi二飛機(jī)中i彈i=1, 2 ,.3 則P(A)=P(B)P(A|B+ P(B2)P(A|B2)+ P(B3)P(A|B3) -0.2P(Bi )0.6P(B2)P(Bs)設(shè) Ci二第i個(gè)人命中，i =1,2,3，則P(BiHP(ClC2C3) PC1C2C3) P(CiC2C3)= 0.4 0.50.30.60.5 0.70.6 0.50.3 = 0.36 ,P(B2)=P(CiC2&3)PQC2C3) P(Ci C2C3)=0.4 0.50.30.40.5 0.70.6 0.50.7 =0.41,P(B3) = P(GC2C

14、3) =0.4 0.5 0.7 =0.14,所以P(A) =0.2 0.36 0.6 0.410.14 =0.458.18某考生想借一本書，決定到三個(gè)圖書館去借，對(duì)每一個(gè)圖書館而言，有無這本書的 概率相等；若有，能否借到的概率也相等，假設(shè)這三個(gè)圖書館采購、出借圖書相互獨(dú)立，求 該生能借到此書的概率.解i設(shè)A二該生能借到此書，Bi - 從第i館借到i =1,2,3.P(Bi ) = P(B2)= P(B3)= P (第i館有此書且能借到)1 1 1=2 24 'P(Bi B2) =P(Bi B3) =P(B2B3)= 11 二14 416于是PQB2B3)：4 4 4164P(A) =P

15、(B1 B2 B3P(Bi) P®) P(B3)-P(BB2)-PQB3)-P(B2B3)P(B1 B2B3)3 31374 166464P(A) =1P(A吩風(fēng)"3764解3事件如解1所設(shè)，則A = B1B1 B2B1 B2 比,故p(a)=p(b)+p®B2)+ p(B1b2B3)13133137= _+ _X_+_X_X_ =44444464 '19設(shè)P(A) 0, P(B) 0，證明A、B互不相容與A、B相互獨(dú)立不能同時(shí)成立. 證 若A、B互不相容，則 AB，于是P(AB) =0 = P(A)P(B) 0所以A、B不相互獨(dú)立若A、B相互獨(dú)立，則 P

16、(ABP(A)P(B) 0，于是 AB =二即卩A、B不是互不 相容的注：從上面的證明可得到如下結(jié)論：1) 若A、B互不相容，則 A、B又是相互獨(dú)立的P(A) = 0或P(B)=0.2) 因 A=BA BA，所以 P(A) P(BA) P(BA)如果P(B)= 1則P(BA) =0，從而P(AB)二 P(A)二 P(A)P(B)可見概率是1的事件與任意事件獨(dú)立，自然，必然事件與任意事件獨(dú)立如果P(B) =0 ,則P(AB) = 0二P(A)P(B)，即概率是零的事件與任意事件獨(dú)立，自然，不可能事件與任何事件獨(dú)立。20 證明若三事件 A,B,C相互獨(dú)立，則 A B及A-B都與C獨(dú)立。證 P (A

17、 B)C P( AC BD P A)C (P -B)C ( p A B C-P(B)P(C) P(B)P(C) -P(A)P(B)P(C)鬥 P(A) P(B) _P(AB)P(C)二 P(A B)P(C)即A B與C獨(dú)立.P(A- B) C= PCAB(CPAPB 啟 0一 rabpc二 P(A -B)P(C)即 A - B與C相互獨(dú)立.21. 個(gè)教室里有4名一年級(jí)男生，6名一年級(jí)女生，6名二年級(jí)男生，若干名二年級(jí) 女生，為要我們?cè)陔S機(jī)地選擇一名學(xué)生時(shí)， 性別和年級(jí)是相互獨(dú)立的， 教室里的二年級(jí)女生 應(yīng)為多少名？解設(shè)還應(yīng)有N名二年級(jí)女生,A ='任選一名學(xué)生為男生'B=

18、9;任選一名學(xué)生為一年級(jí)，則P(A)二10N 16P(B) =10P(AB)=104N 16 104N 1641010N 16 一 N 16 N 16欲性別和年級(jí)相互獨(dú)立，即P(AB) =P(A)P(B)，所以N =9，即教室里的二年級(jí)女生應(yīng)為9名。22. 圖中1, 2，3，4，5表示繼電器接點(diǎn)，假設(shè)每一繼電器接點(diǎn)閉合的概率均為p，且設(shè)各繼電器閉合與否相互獨(dú)立，求L至R是通路的概率.45解 設(shè)A= L-R是通路，Bi二第i個(gè)接點(diǎn)閉合i =1,2,3, 4,5，貝卩A = B1B2 B4B5B1 B3B5B4B3B2HA)=P(BBF P4B5助 P1B3B5B (PBB)B (PBBBB( P

19、 B B)B b-p(b B2B4B5) -P(B1 B2B3B5) -P(B1 B3B4B5) -P(B B2B3B4B5)P(B B2B3B4B5) P(B1 B2B3B4B5) P®B2B3B4B5)2345P(B B2B3B4B5)-P(B1 B2B3B4B5) =2p 2p-5p 2p .23. 一射手對(duì)同一目標(biāo)獨(dú)立地進(jìn)行四次射擊，若至少命中一次的概率為80/81，求該射手的命中率。解 設(shè)該射手的命中率為 p，由題意80 =1 -(1- P)4 , (1-P)4 二丄,1 _P =丄81 8132 所以I/24. 設(shè)一批晶體管的次品率為 0.01,今從這批晶體管中抽取 4個(gè)

20、，求其中恰有一個(gè)次品 和恰有兩個(gè)次品的概率。解 巳= C：(0.01)(0.99)3 =0.0388.巳(2) =C：(0.01)2(0.99)2 =0.000588.25. 考試時(shí)有四道選擇題， 每題附有4個(gè)答案，其中只有一個(gè)是正確的。一個(gè)考生隨意 地選擇每題的答案，求他至少答對(duì)三道題的概率。1答對(duì)每道題的概率為，所求概率為4R(3) P4 (4)二 C：-1325626. 設(shè)在伯努里試驗(yàn)中，成功的概率為p，求第n次試驗(yàn)時(shí)得到第r次成功的概率解 設(shè)A二第n次試驗(yàn)時(shí)得到第r次成功，則A二'前n -1次試驗(yàn)，成功r -1次，第n次試驗(yàn)出現(xiàn)成功'所以P(A) =P (前n -1次試

21、驗(yàn)，成功r -1次)P (第n次試驗(yàn)成功)Cr -1 r -1n-rnP (1 P)p 二cn；pr(1 - p)n-r27 設(shè)一廠家生產(chǎn)的每臺(tái)儀器，以概率0.7可以直接出廠，以概率0.3需進(jìn)一步調(diào)試，經(jīng)調(diào)試后以概率 0.8可以出廠，以概率0.2定為不合格品，不能出廠?，F(xiàn)該廠生產(chǎn)了 n(n_2)臺(tái)儀器(假定各臺(tái)儀器的生產(chǎn)過程相互獨(dú)立)。求(1)全部能出廠的概率:;(2)其中恰有兩臺(tái)不能出廠的概率 1 ; (3)其中至少有兩臺(tái)不能出廠的概率二。解設(shè)A二任取一臺(tái)可以出廠，8='可直接出廠，C ='需進(jìn)一步調(diào)試' 則A = BA CA ,P(A)二 P(B)P(A| B) P(C)P(A|C) =0.70.3 0.8 二 0.94 工 p將n臺(tái)儀器看作n重伯努里試驗(yàn)，成功的概率為p，于是(1) 、=(0.94)n,(2) 1 二C：(0.06)2