2[1]2拉普拉斯變換

1、西華大學(xué)交通與汽車工學(xué)院機(jī)電控制工程基礎(chǔ)機(jī)電控制工程基礎(chǔ)2. 數(shù)學(xué)模型與傳遞函數(shù)拉普拉斯變換拉普拉斯變換主講：唐主講：唐 嵐嵐 西華大學(xué)交通與汽車工學(xué)院2.2 拉普拉斯變換拉普拉斯變換 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型以微分方程的形式表達(dá)輸出與輸入的關(guān)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型以微分方程的形式表達(dá)輸出與輸入的關(guān)系。經(jīng)典控制理論的系。經(jīng)典控制理論的：時(shí)域法、頻域法。：時(shí)域法、頻域法。2. 數(shù)學(xué)模型與傳遞函數(shù) 頻域分析法是經(jīng)典控制理論的核心，被廣泛采用，該方頻域分析法是經(jīng)典控制理論的核心，被廣泛采用，該方法間接地運(yùn)用系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性分析閉環(huán)響應(yīng)。法間接地運(yùn)用系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性分析閉環(huán)響應(yīng)。西華大學(xué)交通與汽車工學(xué)院2.2.1

2、復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù) 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) （有一個(gè)實(shí)部（有一個(gè)實(shí)部 和一個(gè)虛部和一個(gè)虛部 ， 和和 均為實(shí)數(shù)）均為實(shí)數(shù)） 兩個(gè)復(fù)數(shù)相等：當(dāng)且僅當(dāng)它們的實(shí)部和虛部分別相等。兩個(gè)復(fù)數(shù)相等：當(dāng)且僅當(dāng)它們的實(shí)部和虛部分別相等。 一個(gè)復(fù)數(shù)為零：當(dāng)且僅當(dāng)它的實(shí)部和虛部同時(shí)為零。一個(gè)復(fù)數(shù)為零：當(dāng)且僅當(dāng)它的實(shí)部和虛部同時(shí)為零。 2.2 拉普拉普拉斯變換拉斯變換1j稱為稱為西華大學(xué)交通與汽車工學(xué)院 對(duì)于復(fù)數(shù)對(duì)于復(fù)數(shù) ：以：以為橫坐標(biāo)為橫坐標(biāo)(實(shí)軸實(shí)軸)、 為縱坐標(biāo)為縱坐標(biāo)(虛軸虛軸)所構(gòu)成所構(gòu)成的平面稱為復(fù)平面或的平面稱為復(fù)平面或 平面。復(fù)數(shù)平面。復(fù)數(shù) 可在復(fù)平面可在復(fù)平面 中用中用點(diǎn)點(diǎn)()表示：一個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)于復(fù)

3、平面上的一個(gè)點(diǎn)。表示：一個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)于復(fù)平面上的一個(gè)點(diǎn)。 2.2.1 復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù) o復(fù)平面復(fù)平面 1 2j 1 2s1= 1+j 1s2= 2+j 2西華大學(xué)交通與汽車工學(xué)院 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) 可以用從原點(diǎn)指向點(diǎn)可以用從原點(diǎn)指向點(diǎn)()的向量表示。的向量表示。 向量的長(zhǎng)度稱為復(fù)數(shù)的模：向量的長(zhǎng)度稱為復(fù)數(shù)的模： 2.2.1 復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù) o 1 2j s1s2r1=|s1|r2=|s2|22 rs 向量與向量與軸的夾角軸的夾角稱稱為復(fù)數(shù)為復(fù)數(shù) 的復(fù)角：的復(fù)角：)/arctan(西華大學(xué)交通與汽車工學(xué)院 根據(jù)復(fù)平面的圖示可得：根據(jù)復(fù)平面的圖示可得：，2.2.1 復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)

4、復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù) o 1 2j s1s2r1=|s1|r2=|s2|歐拉公式：歐拉公式：sinjcosje：jres 西華大學(xué)交通與汽車工學(xué)院 以復(fù)數(shù)以復(fù)數(shù)為自變量構(gòu)成的函數(shù)為自變量構(gòu)成的函數(shù)稱為復(fù)變函數(shù)：稱為復(fù)變函數(shù)： ：分別為復(fù)變函數(shù)的實(shí)部和虛部。分別為復(fù)變函數(shù)的實(shí)部和虛部。2.2.1 復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)(a) 當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，則，則稱為稱為的的 ； 通常，在線性控制系統(tǒng)中，復(fù)變函數(shù)通常，在線性控制系統(tǒng)中，復(fù)變函數(shù)是復(fù)數(shù)是復(fù)數(shù) 的單值的單值函數(shù)。即：對(duì)應(yīng)于函數(shù)。即：對(duì)應(yīng)于 的一個(gè)給定值，的一個(gè)給定值，就有一個(gè)唯一確定的就有一個(gè)唯一確定的值與之相對(duì)應(yīng)。值與之相對(duì)應(yīng)。)()()(jipsz

5、sksg 當(dāng)復(fù)變函數(shù)表示成當(dāng)復(fù)變函數(shù)表示成(b) 當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，則，則稱為稱為的的 。西華大學(xué)交通與汽車工學(xué)院當(dāng)當(dāng)時(shí)，求復(fù)變函數(shù)時(shí)，求復(fù)變函數(shù) 的實(shí)部的實(shí)部 和虛部和虛部 。2.2.1 復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)的實(shí)部復(fù)變函數(shù)的實(shí)部122u復(fù)變函數(shù)的虛部復(fù)變函數(shù)的虛部2v： 西華大學(xué)交通與汽車工學(xué)院2.2.2 拉普拉斯變換的定義拉普拉斯變換的定義 拉氏變換是控制工程中的一個(gè)基本數(shù)學(xué)方法，其優(yōu)點(diǎn)是能拉氏變換是控制工程中的一個(gè)基本數(shù)學(xué)方法，其優(yōu)點(diǎn)是能將時(shí)間函數(shù)的導(dǎo)數(shù)經(jīng)拉氏變換后，變成復(fù)變量將時(shí)間函數(shù)的導(dǎo)數(shù)經(jīng)拉氏變換后，變成復(fù)變量 的乘積，將時(shí)的乘積，將時(shí)間表示的微分方程，變成以間表示的微分

6、方程，變成以 表示的代數(shù)方程。表示的代數(shù)方程。2.2 拉普拉普拉斯變換拉斯變換0d)()()(tetftflsfst復(fù)變量復(fù)變量原函數(shù)原函數(shù)象函數(shù)象函數(shù)拉氏變換符號(hào)拉氏變換符號(hào)：在一定條件下，把實(shí)數(shù)域中的實(shí)變函數(shù)：在一定條件下，把實(shí)數(shù)域中的實(shí)變函數(shù) f(t) 變變換到復(fù)數(shù)域內(nèi)與之等價(jià)的復(fù)變函數(shù)換到復(fù)數(shù)域內(nèi)與之等價(jià)的復(fù)變函數(shù) f(s) 。 設(shè)有時(shí)間函數(shù)設(shè)有時(shí)間函數(shù) f(t)，當(dāng)，當(dāng) t a的所有復(fù)數(shù)的所有復(fù)數(shù)s (res表示表示s的實(shí)部的實(shí)部)都都使積分式絕對(duì)收斂，故使積分式絕對(duì)收斂，故res a是拉普拉斯變換的定義域，是拉普拉斯變換的定義域， a稱稱為收斂坐標(biāo)。為收斂坐標(biāo)。：m、a為實(shí)常數(shù)。為

7、實(shí)常數(shù)。西華大學(xué)交通與汽車工學(xué)院2.2.3 典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換 (1) 單位階躍函數(shù)定義：?jiǎn)挝浑A躍函數(shù)定義：2.2 拉普拉普拉斯變換拉斯變換0, 10, 0)( 1ttt0001dd)( 1)( 1stststestetettl：sesesstt111lim0西華大學(xué)交通與汽車工學(xué)院 單位脈沖函數(shù)定義：?jiǎn)挝幻}沖函數(shù)定義：2.2.3 典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換1d)(tt且：且：0, 00,)(ttt(0)d)()(fttft：1d)()(00tststetettl西華大學(xué)交通與汽車工學(xué)院 單位速度函數(shù)定義：?jiǎn)挝凰俣群瘮?shù)定義：2.2.3

8、 典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換0,00)(ttttf： 00d1dststetsttetl2020011d11sestese tsststst西華大學(xué)交通與汽車工學(xué)院 指數(shù)函數(shù)表達(dá)式：指數(shù)函數(shù)表達(dá)式：2.2.3 典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換atetf)(式中：式中：a是常數(shù)。是常數(shù)。：asteteeeltasstatat1dd0)(0西華大學(xué)交通與汽車工學(xué)院 正弦信號(hào)函數(shù)定義：正弦信號(hào)函數(shù)定義：2.2.3 典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換0,sin00)(ttttf由歐拉公式，正弦函數(shù)表達(dá)為：由歐拉公式，正弦函數(shù)表達(dá)為：tjt

9、jj21sin-eetttesinjcostjtte-sinjcostj兩式相減兩式相減：0tjtj0dj21dsinsinteeetettlst-st220t )j(t )j(j1j1j21dj21sss-tees-s-西華大學(xué)交通與汽車工學(xué)院 余弦信號(hào)函數(shù)定義：余弦信號(hào)函數(shù)定義：2.2.3 典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換0,cos00)(ttttf由歐拉公式，余弦函數(shù)表達(dá)為：由歐拉公式，余弦函數(shù)表達(dá)為：tjtj21cos-eetttesinjcostjtte-sinjcostj兩式相加兩式相加：0tjtj0d21dcoscosteeetettlst-st220t )j

10、(t )j(j1j121d21ssss-tees-s-西華大學(xué)交通與汽車工學(xué)院2.2.3 典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換序號(hào)序號(hào)原函數(shù)原函數(shù) f(t) (t 0)象函數(shù)象函數(shù) f(s)=lf(t)11 (單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù))1s2 (t) (單位脈沖函數(shù)單位脈沖函數(shù))13k (常數(shù)常數(shù))ks4t (單位斜坡函數(shù)單位斜坡函數(shù))1s2西華大學(xué)交通與汽車工學(xué)院2.2.3 典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換序號(hào)序號(hào)原函數(shù)原函數(shù) f(t) (t 0)象函數(shù)象函數(shù) f(s) = lf(t)5t n (n=1, 2, )n!s n+16e -at1s + a7t

11、n e -at (n=1, 2, )n!(s+a) n+18 1 t1ts + 1tte西華大學(xué)交通與汽車工學(xué)院2.2.3 典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換序號(hào)序號(hào)原函數(shù)原函數(shù) f(t) (t 0)象函數(shù)象函數(shù) f(s) = lf(t)9sin t s2+ 210cos tss2+ 211e -at sin t (s+a)2+ 212e -at cos ts+a(s+a)2+ 2西華大學(xué)交通與汽車工學(xué)院2.2.3 典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換序號(hào)序號(hào)原函數(shù)原函數(shù) f(t) (t 0)象函數(shù)象函數(shù) f(s) = lf(t)13 (1- -e -at )

12、1s(s+a)14 (e -at - -e -bt )1(s+a) (s+b)15 (b be -bt - -ae at )s(s+a) (s+b)16sin( t + ) cos + s sin s2+ 21a1b- -a1b- -a西華大學(xué)交通與汽車工學(xué)院2.2.3 典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換序號(hào)序號(hào)原函數(shù)原函數(shù) f(t) (t 0)象函數(shù)象函數(shù) f(s) = lf(t)17 e -nt sin n 1- - 2 t n2s2+2ns+ n218 e -nt sin n 1- - 2 t1s2+2ns+ n219 e -nt sin( n 1- - 2 t - -

13、 )ss2+2ns+ n2 = arctan n1- - 21 n 1- - 211- - 21- - 2 西華大學(xué)交通與汽車工學(xué)院2.2.3 典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換序號(hào)序號(hào)原函數(shù)原函數(shù) f(t) (t 0)象函數(shù)象函數(shù) f(s) = lf(t)20 1- - e -nt sin( n 1- - 2 t + + ) n2s(s2+2ns+ n2) = arctan211- -cos t 2s(s2+ 2)22 t - - sin t 2s(s2+ 2)23 t sin t2 s(s2+ 2)211- - 21- - 2 西華大學(xué)交通與汽車工學(xué)院2.2.4 拉普拉斯

14、變換的基本性質(zhì)拉普拉斯變換的基本性質(zhì) (1) 若若 、 是任意兩個(gè)是任意兩個(gè)，且：，且：2.2 拉普拉普拉斯變換拉斯變換,)()(11sftfl)()(22sftfl：02121d)()()()(tetftftftflst0201d)(d)(tetftetfstst)()(21sfsf則：則：)()()()(2121sfsftftfl西華大學(xué)交通與汽車工學(xué)院 若：若：2.2.4 拉普拉斯變換的基本性質(zhì)拉普拉斯變換的基本性質(zhì))()(asftfelat：則：則：)()(sftfl0d)()(teetftfelstatat0)(d)(tetftas)(asf西華大學(xué)交通與汽車工學(xué)院 若：若：2.2.

15、4 拉普拉斯變換的基本性質(zhì)拉普拉斯變換的基本性質(zhì))0()(d)(dfssfttfl：則：則：)()(sftflf(0)是是 t =0 時(shí)的時(shí)的 f(t) 值值00)(ddd)(dd)(dtfetettfttflstst)0()(d)()(00fssftetfstfestst同理，對(duì)于二階導(dǎo)數(shù)的拉普拉斯變換：同理，對(duì)于二階導(dǎo)數(shù)的拉普拉斯變換：tfsfsfsttfld)0(d)0()(d)(d222西華大學(xué)交通與汽車工學(xué)院 推廣到推廣到n階導(dǎo)數(shù)的拉普拉斯變換：階導(dǎo)數(shù)的拉普拉斯變換：2.2.4 拉普拉斯變換的基本性質(zhì)拉普拉斯變換的基本性質(zhì)如果：函數(shù)如果：函數(shù) f(t) 及其各階導(dǎo)數(shù)的初始值均為零，即

16、及其各階導(dǎo)數(shù)的初始值均為零，即)0()0()(d)(d21fsfssfsttflnnnnn)0()0(1)(2)(n-n-fsf0)0()0()0()0()0()1()2( nnfffff則：則：)(d)(dsfsttflnnn西華大學(xué)交通與汽車工學(xué)院 若：若：2.2.4 拉普拉斯變換的基本性質(zhì)拉普拉斯變換的基本性質(zhì)則：則：tfssfsttfld)0(1)(1d)()()(sftfl函數(shù)函數(shù) f(t) 積分的初始值積分的初始值 00d1d)(dd)(d)(ststesttftettfttfl00d)(d)(ttfsesettfstst)(1d)0(1sfstfs西華大學(xué)交通與汽車工學(xué)院 同理，

17、對(duì)于同理，對(duì)于n重積分的拉普拉斯變換：重積分的拉普拉斯變換：2.2.4 拉普拉斯變換的基本性質(zhì)拉普拉斯變換的基本性質(zhì)tfssfsttflnnnd)0(1)(1d)()(tfstfsnnd)0(1d)0(1)()2(1：函數(shù)：函數(shù) f(t) 各重積分的初始值均為零，則有各重積分的初始值均為零，則有)(1d)()(sfsttflnn：利用積分定理，可以求時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換；利：利用積分定理，可以求時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換；利用微分定理和積分定理，可將微分用微分定理和積分定理，可將微分-積分方程變?yōu)榇鷶?shù)方程。積分方程變?yōu)榇鷶?shù)方程。西華大學(xué)交通與汽車工學(xué)院 若：若：2.2.4 拉普拉斯變換的基本性質(zhì)

18、拉普拉斯變換的基本性質(zhì)則：則：)(lim)(lim0ssftfst)()(sftfl：根據(jù)拉普拉斯變換的微分定理，有：根據(jù)拉普拉斯變換的微分定理，有)0()(limdd)(dlim000fssftettfssts由于由于，上式可寫成，上式可寫成1lim0stse)0()(limdd)(d00fssftttfs)0()(lim)0()(lim0fssfftfst西華大學(xué)交通與汽車工學(xué)院 若：若：2.2.4 拉普拉斯變換的基本性質(zhì)拉普拉斯變換的基本性質(zhì)則：則：)(lim)(lim0ssftfst)()(sftfl：根據(jù)拉普拉斯變換的微分定理，有：根據(jù)拉普拉斯變換的微分定理，有)0()(limdd)

19、(dlim0fssftettfssts由于由于，上式可寫成，上式可寫成0limstse)0()(lim0fssfs)(lim)0(ssffs西華大學(xué)交通與汽車工學(xué)院 兩個(gè)時(shí)間函數(shù)兩個(gè)時(shí)間函數(shù) f1(t)、f2(t) 卷積的拉普拉斯變換等于這兩個(gè)卷積的拉普拉斯變換等于這兩個(gè)時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換。時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換。2.2.4 拉普拉斯變換的基本性質(zhì)拉普拉斯變換的基本性質(zhì))()(11sftfl)()(d )()(21021sfsfftfl式中：式中：)()(22sftfl)()(d )()(21021tftfftf稱為函數(shù)稱為函數(shù) f1(t)與與f2(t) 的的而而西華大學(xué)交通與汽車工學(xué)院2

20、.2.5 拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換 將象函數(shù)將象函數(shù)f(s)變換成與之相對(duì)應(yīng)的原函數(shù)變換成與之相對(duì)應(yīng)的原函數(shù)f(t)的過(guò)程，稱之的過(guò)程，稱之為拉普拉斯反變換。其公式：為拉普拉斯反變換。其公式：2.2 拉普拉普拉斯變換拉斯變換 拉氏反變換的求算有多種方法，如果是簡(jiǎn)單的象函數(shù)，拉氏反變換的求算有多種方法，如果是簡(jiǎn)單的象函數(shù)，可直接查拉氏變換表；對(duì)于復(fù)雜的，可利用可直接查拉氏變換表；對(duì)于復(fù)雜的，可利用。jjd)(j21)(aaatsesftf簡(jiǎn)寫為：簡(jiǎn)寫為：)()(1sfltf西華大學(xué)交通與汽車工學(xué)院 如果把如果把 f(t) 的拉氏變換的拉氏變換 f(s) 分成各個(gè)部分之和，即分成各個(gè)部分之和，

21、即2.2.5 拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換)()()()(21sfsfsfsfn 假若假若f1(s)、f2(s)，fn(s)的拉氏反變換很容易由拉氏變的拉氏反變換很容易由拉氏變換表查得，那么換表查得，那么)()()()()(121111sflsflsflsfltfn )()()(21tftftfn 當(dāng)當(dāng) f(s) 不能很簡(jiǎn)單地分解成各個(gè)部分之和時(shí)，可采用部分不能很簡(jiǎn)單地分解成各個(gè)部分之和時(shí)，可采用部分分式展開將分式展開將 f(s) 分解成各個(gè)部分之和，然后對(duì)每一部分查拉氏分解成各個(gè)部分之和，然后對(duì)每一部分查拉氏變換表，得到其對(duì)應(yīng)的拉氏反變換函數(shù)，其和就是要得的變換表，得到其對(duì)應(yīng)的拉氏反變換函數(shù)

22、，其和就是要得的 f(s) 的拉氏反變換的拉氏反變換 f(t) 函數(shù)。函數(shù)。西華大學(xué)交通與汽車工學(xué)院 在系統(tǒng)分析問(wèn)題中，在系統(tǒng)分析問(wèn)題中，f(s)常具有如下形式：常具有如下形式：2.2.5 拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換式中式中a(s)和和b(s)是是s的多項(xiàng)式，的多項(xiàng)式， b(s)的階次較的階次較a(s)階次要高。階次要高。 對(duì)于這種稱為有理真分式的象函數(shù)對(duì)于這種稱為有理真分式的象函數(shù) f(s)，分母，分母 b(s) 應(yīng)首先應(yīng)首先進(jìn)行因子分解，才能用部分分式展開法，得到進(jìn)行因子分解，才能用部分分式展開法，得到 f(s) 的拉氏反變的拉氏反變換函數(shù)。換函數(shù)。 )()(sbsasf西華大學(xué)交通與汽

23、車工學(xué)院 將分母將分母 b(s) 進(jìn)行因子分解，寫成：進(jìn)行因子分解，寫成：2.2.5 拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換式中，式中，p1，p2，pn稱為稱為b(s)的根，或的根，或f(s)的極點(diǎn)，它們可以的極點(diǎn)，它們可以是實(shí)數(shù)，也可能為復(fù)數(shù)。如果是復(fù)數(shù)，則一定成對(duì)共軛的。是實(shí)數(shù)，也可能為復(fù)數(shù)。如果是復(fù)數(shù)，則一定成對(duì)共軛的。 當(dāng)當(dāng) a(s) 的階次高于的階次高于 b(s) 時(shí)，則應(yīng)首先用分母時(shí)，則應(yīng)首先用分母b(s)去除分子去除分子a(s)，由此得到一個(gè)，由此得到一個(gè)s的多項(xiàng)式，再加上一項(xiàng)具有分式形式的余的多項(xiàng)式，再加上一項(xiàng)具有分式形式的余項(xiàng)，其分子項(xiàng)，其分子s多項(xiàng)式的階次就化為低于分母多項(xiàng)式的階次就

24、化為低于分母s多項(xiàng)式階次了。多項(xiàng)式階次了。 )()()()()()(21npspspssasbsasf西華大學(xué)交通與汽車工學(xué)院 此時(shí)，此時(shí)，f(s)總可以展成簡(jiǎn)單的部分分式之和。即總可以展成簡(jiǎn)單的部分分式之和。即 )()()()()()(21npspspssasbsasfnnpsapsapsa 2211式中，式中，ak(k=1,2,n)是常數(shù)，系數(shù)是常數(shù)，系數(shù) ak 稱為極點(diǎn)稱為極點(diǎn) s= - -pk 處的留處的留數(shù)。數(shù)。2.2.5 拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換西華大學(xué)交通與汽車工學(xué)院k)()()(kpssbsaps ak 的值可以用的值可以用求出。即求出。即 )()(k22k11pspsap

25、spsa2.2.5 拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換kknnkkkk)()(apspsapspsaps 西華大學(xué)交通與汽車工學(xué)院 在所有展開項(xiàng)中，除去含有在所有展開項(xiàng)中，除去含有 ak 的項(xiàng)外，其余項(xiàng)都消失了，的項(xiàng)外，其余項(xiàng)都消失了，因此留數(shù)因此留數(shù) ak 可由下式得到可由下式得到kpsk)()()(asbsapsk 因?yàn)橐驗(yàn)?f(t) 時(shí)間的實(shí)函數(shù)，如時(shí)間的實(shí)函數(shù)，如 p1 和和 p2 是共軛復(fù)數(shù)時(shí)，則留是共軛復(fù)數(shù)時(shí)，則留數(shù)數(shù) 1 和和 2 也必然是共軛復(fù)數(shù)。這種情況下，上式照樣可以應(yīng)也必然是共軛復(fù)數(shù)。這種情況下，上式照樣可以應(yīng)用。共軛復(fù)留數(shù)中，只需計(jì)算一個(gè)復(fù)留數(shù)用。共軛復(fù)留數(shù)中，只需計(jì)算一個(gè)復(fù)

26、留數(shù) 1(或或 2)，而另一個(gè)，而另一個(gè)復(fù)留數(shù)復(fù)留數(shù) 2(或或 1)，自然也知道了。，自然也知道了。2.2.5 拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換西華大學(xué)交通與汽車工學(xué)院例題例題1 求求f(s)的拉氏反變換，已知的拉氏反變換，已知 2332ssssf 21)2)(1(3233212sssssssssf由留數(shù)的計(jì)算公式，得由留數(shù)的計(jì)算公式，得2)2)(1(3) 1(11sssss2)2)(1(3)2(22sssss2.2.5 拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換西華大學(xué)交通與汽車工學(xué)院因此因此 2112)(111slslsfltf查拉氏變換表，得查拉氏變換表，得tteetf22)(2.2.5 拉普拉斯反變換拉

27、普拉斯反變換西華大學(xué)交通與汽車工學(xué)院解：解： 分母多項(xiàng)式可以因子分解為分母多項(xiàng)式可以因子分解為)j21(j21522ssss）（進(jìn)行因子分解后，可對(duì)進(jìn)行因子分解后，可對(duì)f(s)展開成部分分式展開成部分分式 2 j12 j152122212ssssssf2.2.5 拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換例題例題2 求求l- -1f(s)，已知，已知 521222ssssf西華大學(xué)交通與汽車工學(xué)院4 j4 j102 j12 j1124 j22.2.5 拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換2j11)2 j1)(2 j1(122)2 j1(sssss2 j1)2 j1(12)2 j1(22j1)2 j1(122sss由

28、留數(shù)的計(jì)算公式，得由留數(shù)的計(jì)算公式，得由于由于 2與與 1共軛，故共軛，故25j1225j144j10 西華大學(xué)交通與汽車工學(xué)院所以所以 2 j125j12 j125j1)(11sslsfltf2 j125j12 j125j111slsl2.2.5 拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換西華大學(xué)交通與汽車工學(xué)院tteetf)2j1()2j1()25j1 ()25j1 ()(25j)2j1()2j1()2j1()2j1(tttteeee)(25j)(2j2j2j2jtttttteeeeeej25j222j2j22j2jtttttteeeeeetetett2sin52cos22.2.5 拉普拉斯反變換拉普拉

29、斯反變換查拉氏變換表，得查拉氏變換表，得西華大學(xué)交通與汽車工學(xué)院 若有三重根，并為若有三重根，并為p1，則，則f(s)的一般表達(dá)式為的一般表達(dá)式為 )()()()(3231npspspspssasf11321123111pspsps式中系數(shù)式中系數(shù) 2, 3, , n仍按照上述無(wú)重根的方法仍按照上述無(wú)重根的方法(留數(shù)計(jì)算公留數(shù)計(jì)算公式式)，而重根的系數(shù)，而重根的系數(shù) 11, 12, 13可按以下方法求得?？砂匆韵路椒ㄇ蟮?。2.2.5 拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換nnpspsps 3322西華大學(xué)交通與汽車工學(xué)院1)()(3111pssfps1)()(dd3112pssfpss1)()(dd21312213pssfpss！2.2.5 拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換 依此類推，當(dāng)依此類推，當(dāng) p1 為為 k 重根時(shí)，其系數(shù)為：重根時(shí)，其系數(shù)為：1)()(dd)!111)1()1(m1pskmmsfpssm（km, 2 , 1西華大學(xué)交通與汽車工學(xué)院例題例題3 已知已知f(s)，求，求l- -1f(s)。 32132）（ ssssf解解 111132s1321231132ssssssf）（p