導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義課件1北師大版選修2263940

1、導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義先來復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)的概念先來復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)的概念 定義定義：設(shè)函數(shù)：設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處及其附近有定義處及其附近有定義,當(dāng)當(dāng)自變量自變量x在點(diǎn)在點(diǎn)x0處有改變量處有改變量x時函數(shù)有相應(yīng)的改變量時函數(shù)有相應(yīng)的改變量y=f(x0+ x)- f(x0).如果當(dāng)如果當(dāng)x0 時時,y/x的極限存在的極限存在,這個極限就叫做函數(shù)這個極限就叫做函數(shù)f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)(或變化率或變化率)記記作作 即即:,|)(00 xxyxf或00000()()()limlim.xxf xxf xyfxxx )2( ),1( ),( ,)(12ffxfxxf求：設(shè)例的值代入求得導(dǎo)

2、數(shù)值。再將自變量義求思路：先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定),( xfxxxxxxxxxxxfxxfxfxxx2)2(lim)(lim)()(lim)( 02200解：由導(dǎo)數(shù)的定義有422)( )2( 2) 1(2)( ) 1( 21xxxffxff處的導(dǎo)數(shù)。在：求函數(shù)例12xxyxxxyxy1111解：21111lim0 xx211xy111x下面來看導(dǎo)數(shù)的幾何意義: y=f(x)pqmxyoxypy=f(x)qmxyoxy 如圖如圖,曲線曲線c是函數(shù)是函數(shù)y=f(x)的圖象的圖象,p(x0,y0)是曲線是曲線c上的上的任意一點(diǎn)任意一點(diǎn),q(x0+x,y0+y)為為p鄰近一點(diǎn)鄰近一點(diǎn),pq為為c的割線的割線,

3、pm/x軸軸,qm/y軸軸,為為pq的的傾斜角傾斜角.tan,: xyymqxmp則則yx請問：是割線pq的什么?斜率!pqoxyy=f(x)割割線線切線切線t請看當(dāng)點(diǎn)請看當(dāng)點(diǎn)q沿著曲線逐漸向點(diǎn)沿著曲線逐漸向點(diǎn)p接近時接近時,割線割線pq繞著繞著點(diǎn)點(diǎn)p逐漸轉(zhuǎn)動的情況逐漸轉(zhuǎn)動的情況. 我們發(fā)現(xiàn)我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)q沿著曲線無限接近點(diǎn)沿著曲線無限接近點(diǎn)p即即x0時時,割線割線pq有一個極限位置有一個極限位置pt.則我們把直線則我們把直線pt稱為曲線在點(diǎn)稱為曲線在點(diǎn)p處的處的切線切線. 設(shè)切線的傾斜角為設(shè)切線的傾斜角為,那么當(dāng)那么當(dāng)x0時時,割線割線pq的斜率的斜率,稱稱為曲線在點(diǎn)為曲線在點(diǎn)p處的處的

4、切線的斜率切線的斜率.即即:00000()( )( )limlimxxf xxf xykf xxx 切線 這個概念這個概念:提供了求曲線上某點(diǎn)切線的斜率的一種方法提供了求曲線上某點(diǎn)切線的斜率的一種方法;切線斜率的本質(zhì)切線斜率的本質(zhì)函數(shù)在函數(shù)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù).初中平面幾何中圓的切線的定義：直線和圓有唯一公共點(diǎn)時，初中平面幾何中圓的切線的定義：直線和圓有唯一公共點(diǎn)時，叫做直線和圓相切。這時直線叫做圓的切線，唯一的公共點(diǎn)叫做直線和圓相切。這時直線叫做圓的切線，唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)。叫做切點(diǎn)。割線趨近于確定的位置的直線定義為割線趨近于確定的位置的直線定義為切線切線.曲線與直線相切，并不一定只

5、有一個公共點(diǎn)。曲線與直線相切，并不一定只有一個公共點(diǎn)。例例1:求曲線求曲線y=f(x)=x2+1在點(diǎn)在點(diǎn)p(1,2)處的切線方程處的切線方程.qpy=x2+1xy-111ojmyx. 2)(2lim) 11 (1)1 (lim)()(lim:2020000 xxxxxxxfxxfkxxx解解因此因此,切線方程為切線方程為y-2=2(x-1),即即y=2x.求曲線在某點(diǎn)處的切線方程求曲線在某點(diǎn)處的切線方程的基本步驟的基本步驟:先利用切線斜率先利用切線斜率的定義求出切線的斜率的定義求出切線的斜率,然后然后利用點(diǎn)斜式求切線方程利用點(diǎn)斜式求切線方程.練習(xí)練習(xí):如圖已知曲線如圖已知曲線 ,求求:(1)點(diǎn)

6、點(diǎn)p處的切線的斜率處的切線的斜率; (2)點(diǎn)點(diǎn)p處的切線方程處的切線方程.)38, 2(313pxy上上一一點(diǎn)點(diǎn) yx-2-112-2-11234op313yx.)(33lim31)()(33lim3131)(31limlim,31)1(2220322033003xxxxxxxxxxxxxxxxyyxyxxxx 解解：. 42|22 xy即即點(diǎn)點(diǎn)p處的切線的斜率等于處的切線的斜率等于4. (2)在點(diǎn)在點(diǎn)p處的切線方程是處的切線方程是y-8/3=4(x-2),即即12x-3y-16=0.（1）求出函數(shù)在點(diǎn)）求出函數(shù)在點(diǎn)x0處的變化率處的變化率 ，得到曲線，得到曲線 在點(diǎn)在點(diǎn)(x0,f(x0)的切線的斜率。的切線的斜率。)(0 xf （2）根據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式寫出切線方程，即）根據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式寫出切線方程，即).)()(000 xxxfxfy 歸納歸納:求切線方程的步驟求切線方程的步驟 無限逼近的極限思想是建立導(dǎo)數(shù)無限逼近的極限思想是建立導(dǎo)數(shù)概念、用導(dǎo)