《環(huán)流量與旋度》PPT課件

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 *三、環(huán)流量與旋度三、環(huán)流量與旋度 斯托克斯公式 *環(huán)流量與旋度環(huán)流量與旋度 第七節(jié)一、斯托克斯公式一、斯托克斯公式*二、空間曲線積分與途徑無關(guān)的條件二、空間曲線積分與途徑無關(guān)的條件 第十一章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 yzxO一、一、 斯托克斯公式斯托克斯公式 定理定理1. 設(shè)光滑曲面設(shè)光滑曲面 的邊境的邊境 是分段光滑曲線是分段光滑曲線, yxyPxQxzxRzPzyzQyRddddddzRyQxPddd (斯托克斯公式斯托克斯公式)個(gè)空間域內(nèi)具有延續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù), 的側(cè)與 的正向符合右手法那么, RQP,在包含 在內(nèi)的一證證:情形情形1. 與平行與平行 z

2、 軸的直線只交于軸的直線只交于 一點(diǎn), 設(shè)其方程為yxDyxyxfz),(, ),(:n為確定起見, 無妨設(shè) 取上側(cè) (如圖).yxDC那么有簡介 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 那么xPdCxyxzyxPd),(,(利用格林公式) yxyxzyxPyyxDdd),(,(yxyzzPyPyxDddSfzPyPydcos,cos2211yxff ,cos221yxyfffcoscosyfyzxOnyxDC定理1 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 因此SzPyPxPdcoscoscosdSyPzPdcoscosyxyPxzzPdddd同理可證yQdzyzQyxxQddddxRdxzxRzyyRdddd三

3、式相加, 即得斯托克斯公式 ;定理1 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 情形情形2 曲面曲面 與平行與平行 z 軸的直線交點(diǎn)多于一個(gè)軸的直線交點(diǎn)多于一個(gè), 那么可經(jīng)過作輔助線把 分成與z 軸只交于一點(diǎn)的幾部分,在每一部分上運(yùn)用斯托克斯公式, 然后相加, 由于沿輔助曲線方向相反的兩個(gè)曲線積分相加剛好抵消,所以對這類曲面斯托克斯公式仍成立. 留意留意: 假設(shè)假設(shè) 是是 xOy 面上的一塊平面區(qū)域面上的一塊平面區(qū)域, 那么斯托克斯 公式就是格林公式, 故格林公式是斯托克斯公式的特例. 證畢定理1 yxyPxQxzxRzPzyzQyRddddddzRyQxPddd 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 為便于記憶

4、, 斯托克斯公式還可寫作:RQPzyxyxxzzyddddddzRyQxPddd 或用第一類曲面積分表示:SRQPzyxdcoscoscoszRyQxPddd 定理1 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 zxy111Oyxzyxxzzyzyxdddddd例例1. 利用斯托克斯公式計(jì)算積分利用斯托克斯公式計(jì)算積分zyyxxzddd其中 為平面 x+ y+ z = 1 被三坐標(biāo)面所截三角形的整解解: 記三角形域?yàn)橛浫切斡驗(yàn)?, 取上側(cè)取上側(cè),那么個(gè)邊境, 方向如下圖. zyyxxzdddyxxzzydddddd利用對稱性yxDyxdd323yxD目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 z2xyO例例2. 為柱面

5、為柱面與平面 y = z 的交線, 從 z 軸正向看為順時(shí)針, .ddd2zxzyxyxyI解解: 設(shè)設(shè) 為平面為平面 z = y 上被上被 所圍橢圓域所圍橢圓域 ,且取下側(cè),0cos利用斯托克斯公式得SIdSzyd)(210那么其法線方向余弦,21cos21coscoscoscoszyxzxyxy2yyx222公式其他方式 計(jì)算目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 zRyQxPudddd*二、空間曲線積分與途徑無關(guān)的條件二、空間曲線積分與途徑無關(guān)的條件定理定理2. 設(shè) G 是空間一維單連通域, 內(nèi)在函數(shù)GRQP,具有延續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),那么以下四個(gè)條件相互等價(jià): (1) 對G內(nèi)任一分段光滑閉曲線 , 有

6、0dddzRyQxP(2) 對G內(nèi)任一分段光滑曲線 , zRyQxPddd與途徑無關(guān)(3) 在G內(nèi)存在某一函數(shù) u, 使(4) 在G內(nèi)處處有zPxRyRzQxQyP,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 zRyQxPudddd(2) 對G內(nèi)任一分段光滑曲線 , zRyQxPddd與途徑無關(guān)(3) 在G內(nèi)存在某一函數(shù) u, 使),(),(000ddd),(zyxzyxzRyQxPzyxu證證:) 1 ()4(由斯托克斯公式可知結(jié)論成立;)2() 1 (自證) )3()2(設(shè)函數(shù) 那么xu),(),(0ddd1limzyxxzyxxzRyQxPx0limxxzyxuzyxxu),(),(xxxxxPxd1

7、lim0),(lim0zyxxpx),(zyxP定理2 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 zRyQxPudddd(3) 在G內(nèi)存在某一函數(shù) u, 使(4) 在G內(nèi)處處有zPxRyRzQxQyP,同理可證 ),(zyxQyu),(zyxRzu故有zRyQxPudddd)4()3(假設(shè)(3)成立, 那么必有RzuQyuPxu,因P, Q, R 一階偏導(dǎo)數(shù)延續(xù), 故有yxuyP2xQ同理 zPxRyRzQ,證畢定理2 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 zyxyxzxzyd)(d)(d)(與途徑無關(guān), zyxyxzxzyzyxuzyxd)(d)(d)(),(),()0 , 0 , 0(解解: : 令令yxRx

8、zQzyP,1xQyP,1yRzQ1RPxz 積分與途徑無關(guān),),(zyxuzyxxy)( yxyd0zyxzd)(0zxyzxyxzyO),(zyx)0 ,(yx)0 , 0 ,(xxxd00因此例例3. 驗(yàn)證曲線積分驗(yàn)證曲線積分定理2 并求函數(shù)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 *三、三、 環(huán)流量與旋度環(huán)流量與旋度斯托克斯公式y(tǒng)xxzzyyPxQxRzPzQyRdd)(dd)(dd)(zRyQxPddd設(shè)曲面 的法向量為 曲線 的單位切向量為那么斯托克斯公式可寫為 SyPxQxRzPzQyRdcoscoscossRQPd)coscoscos()cos,cos,(cosn)cos,cos,(cos

9、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 yPxQxRzPzQyR,令 , 引進(jìn)一個(gè)向量),(RQPA Ar ro ot t記作向量 rot A 稱為向量場 A 的RQPkjizyx稱為向量場 A 定義定義: sAzRyQxPdddd沿有向閉曲線 的環(huán)流量.sASnAddr ro ot t或 sASAndd)(r ro ot t于是得斯托克斯公式的向量方式 : 旋度旋度. A目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 zxyOl設(shè)某剛體繞定軸 l 轉(zhuǎn)動,M 為剛體上任一點(diǎn), 建立坐標(biāo)系如圖,M那么),(zyxr 角速度為,r), 0, 0(點(diǎn) M 的線速度為rvvrotrotzyxkji00)0,(xy0 xykjiz

10、yx)2, 0, 0(2(此即“旋度一詞的來源)旋度的力學(xué)意義旋度的力學(xué)意義:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 向量場 A 產(chǎn)生的旋度場 穿過 的通量 留意 與 的方向構(gòu)成右手系! sASAndd)(rotrot向量場 A 沿 的環(huán)流量斯托克斯公式的物理意義斯托克斯公式的物理意義:例例4. 求電場強(qiáng)度 rrqE3zyxkjiErotrot的旋度 .解解: )0, 0, 0(除原點(diǎn)外)這闡明, 在除點(diǎn)電荷所在原點(diǎn)外, 整個(gè)電場無旋.3rxq3ryq3rzqn目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 的外法向量,計(jì)算解解: ) 1,0,0(, 4:222zyx例例5. 設(shè)設(shè)),3,2(2zxyA .dSnAIr

11、ro ot t)cos,cos,(cosn為nSIdcos0ddddxyxyDDyxyxyxyxdddd下上zyxkjiAAr ro ot t232zxy目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 斯托克斯公式斯托克斯公式zRyQxPdddRQPyxxzzyzyxddddddSRQPzyxdcoscoscos也可寫成:SAsAnd)(d),(RQPA 其中AnA)(A 的旋度AA在 的切向量 上投影在 的法向量 n 上投影目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 zRyQxPddd在 內(nèi)與途徑無關(guān)在 內(nèi)處處有在 內(nèi)處處有),(RQPr ro ot txQyP,yRzQ,zPxR2. 空間曲線積分與

12、途徑無關(guān)的充要條件空間曲線積分與途徑無關(guān)的充要條件設(shè) P, Q, R 在 內(nèi)具有一階延續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 那么RQPkjizyx0目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 zuyuxu,3. 場論中的三個(gè)度場論中的三個(gè)度設(shè), ),(zyxuu 梯度:uradradg gu,zyxzRyQxPRQPkjizyxArotrotAAdivA散度散度:旋度旋度:那么, ),(RQPA目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思索與練習(xí)思索與練習(xí),222zyxr設(shè)那么.)(;)(divrrr ra ad dg gr ro ot tr ra ad dg g提示提示:rr ra ad dg grzryrx,)(rxx2rrrxx,322rxr )(ryy322ryr )(rzz322rzr )0,0,0(r2)(rr ra ad dg gr ro ot t三式相加即得)(divrr ra ad dg grzryrxzyxkji0目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè)P243 *2 (1),(4) ; *3(1),(3) ; *4(1); *5 (2) ; *7補(bǔ)充題: 證明 0)(A)0)(div(A