定積分的基本公式

1、3.2 3.2 微積分學(xué)基本公式微積分學(xué)基本公式 3.2.1 變上限積分函數(shù)變上限積分函數(shù) 3.2.2 牛頓牛頓-萊布尼茨公式萊布尼茨公式 3.2.1 變上限的積分函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)變上限的積分函數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上連續(xù)，則對于任意的上連續(xù)，則對于任意的x( )，積分，積分 存在，且對于給定的存在，且對于給定的x( ) 就有一個積分值與之對應(yīng)，所以上限為變量的積分就有一個積分值與之對應(yīng)，所以上限為變量的積分 是上限是上限x的函數(shù)的函數(shù)axb( )dxaf xx axb( )dxaf xx( )d .xaf tt常記為常記為 xaxf t dt稱為稱為“變上限的積分函數(shù)

2、變上限的積分函數(shù)”上具有導(dǎo)數(shù)，且上具有導(dǎo)數(shù)，且在在的積分函數(shù)的積分函數(shù)上連續(xù)，則變上限上連續(xù)，則變上限在區(qū)間在區(qū)間如果函數(shù)如果函數(shù),)( d)()( ,)( babxattfxbaxfxa 定理定理1).( )(d)(dd)( bxaxfttfxxxa. d)1ln(dd12xttx例例1 1 求求221dln(1)dln(1).dxttxx 解解例例2 2 求求.darctanlim200 xxxtt002200darctan darctan ddlim lim()xxxxt tt txx x 解解01(arctan )lim2( )xx x 0arctan lim2xxx201111lim

3、.212xx型型00型型00 sinxtfxdtt txf xt edt xfxtdt例例3 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1) (2) (3) (4) 3sin)(xxtdttxf1 解解 (1) xttxf1dtsin)(;sinxx (2) )()(3xtdttexf )(3xtdtte )(3xtdtte;xxe (3) )1()(202xdttxfdxxdxddttdx)()()1(22022 xx2)(122 412xx 上的任一個原函數(shù)，則在是上連續(xù)，且在區(qū)間設(shè)函數(shù),)()(,)( baxfxfbaxf定理定理2 微積分學(xué)基本定理微積分學(xué)基本定理 ( )d( )( )baf

4、 xxf bf a).()()(d )( afbfxfxxfbaba或記作3.2.2 牛頓牛頓-萊布尼茨公式萊布尼茨公式 牛頓萊布尼茨公式揭示了定積分與不定積牛頓萊布尼茨公式揭示了定積分與不定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系分之間的內(nèi)在聯(lián)系,并提供了計算定積分的簡便并提供了計算定積分的簡便的基本方法，即求定積分的值，只要求出被積的基本方法，即求定積分的值，只要求出被積函數(shù)函數(shù) f(x)的一個原函數(shù)的一個原函數(shù)f(x)，然后計算原函數(shù)在，然后計算原函數(shù)在區(qū)間區(qū)間a,b上的增量上的增量f(b)f(a)即可即可.該公式把計算定積分歸結(jié)為求原函數(shù)的問題，該公式把計算定積分歸結(jié)為求原函數(shù)的問題，.d102xx例例1 求求的一個原函數(shù)，是被積函數(shù)因為xx233 解解.31333d 0133103102xxx萊布尼茨公式，有根據(jù)牛頓例例2 求求.d11112xx萊布尼茨公式，有根據(jù)牛頓的一個原函數(shù)，是被積函數(shù)因為 11arctan 2xx 解解11112arctand11xxx2 例例3 3計算計算20( )df xx，其中2 ,01( )5 ,12xxf xxx解解212001( )d( )d( )df xxf xxf xx12122201015172522xdxxdxxx例例4計算由曲線計算由曲