大學(xué)數(shù)學(xué)：ch3-習(xí)題課(3)定積分應(yīng)用

1、微微 元元 法法定積分應(yīng)用中的常用公式定積分應(yīng)用中的常用公式1 1、理論依據(jù)、理論依據(jù).)1()2()(,)()(,)()1()()(,)(定積分定積分的微分的的微分的分就是分就是這表明連續(xù)函數(shù)的定積這表明連續(xù)函數(shù)的定積于是于是即即的一個(gè)原函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)是是則它的變上限積分則它的變上限積分上連續(xù)上連續(xù)在在設(shè)設(shè)UdUdxxfdxxfxdUxfdttfxUbaxfbabaxa 2 2、名稱釋譯、名稱釋譯(2),( )():( )( ).baUdUf x dxabUf x dxf x dx 由理論依據(jù)知 所求總量就是其微分由理論依據(jù)知 所求總量就是其微分從到的無限積累 積分從到的無限積累 積分這種

2、取微元計(jì)算積分或原函的這種取微元計(jì)算積分或原函的方法稱方法稱元素法元素法數(shù)數(shù)3.3.解題步驟解題步驟 badxxfU無限積累無限積累3這個(gè)方法通常叫做這個(gè)方法通常叫做元素法元素法:的的積積分分表表達(dá)達(dá)式式的的步步驟驟是是寫寫量量U ,1bax它它的的變變化化區(qū)區(qū)間間確確定定選選取取適適當(dāng)當(dāng)積積分分變變量量如如根根據(jù)據(jù)具具體體問問題題 dxxxxxnbaii ,21記記為為一一個(gè)個(gè)把把其其中中任任個(gè)個(gè)小小區(qū)區(qū)間間分分成成設(shè)設(shè)想想把把 的元素的元素稱為量稱為量UdUdxxfU yydyyySdcdycyyxyxdc 所圍面積所圍面積與與曲線曲線)(, xgxfdxxgxfSbabxaxxgyxfy

3、ba 所所圍圍面面積積與與曲曲線線,一、幾何應(yīng)用一、幾何應(yīng)用 :1 直角坐標(biāo)系下直角坐標(biāo)系下1.面積（平面圖形的面積）面積（平面圖形的面積） dA2)(21xo d )( r xo)(2 r)(1 r dA)()(212122極坐標(biāo)情形極坐標(biāo)情形( )Ax 體積為體積為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的軸旋轉(zhuǎn)一周所得的軸和軸和圖形分別繞圖形分別繞軸所圍平面軸所圍平面與與旋轉(zhuǎn)體體積旋轉(zhuǎn)體體積yxxbxaxxfy,)(2 badxxAVbxaxA)(),)(1則則立立體體體體積積為為已已知知的的立立體體體體積積平平行行截截面面面面積積可可以以求求得得2.2.求兩種特殊立體的體積求兩種特殊立體的體積 drrsrrc2

4、2:3 極坐標(biāo)下極坐標(biāo)下 dtttsttytxc 22:2 參數(shù)方程下參數(shù)方程下 badxxfsbxaxfyc)(1)(:12直角坐標(biāo)系下直角坐標(biāo)系下3.3.平面曲線的弧長平面曲線的弧長1.變速直線運(yùn)動(dòng)的路程變速直線運(yùn)動(dòng)的路程3.引力問題引力問題2.變力沿直線所作的功變力沿直線所作的功二、物理應(yīng)用二、物理應(yīng)用如，萬有引力如，萬有引力,電場力作功等電場力作功等,抽液克服重力所作的功等抽液克服重力所作的功等.4.靜壓力靜壓力例例1問答題問答題 2141222212212241142321?. 1xydxVdyxVdyxVdxyVVy 問問下下面面所所列列式式子子哪哪個(gè)個(gè)對(duì)對(duì)所所得得的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體

5、的的體體積積軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)形形繞繞圖圖中中陰陰影影部部分分的的平平面面圖圖) 1 , 1 ()4 , 2(oxy1 x x+dxyy+dyy=f(x) babababadxxgxfxgxfmddxxgxfxgxfmcdxxgxfxgxfmbdxxgxfxgxfmamybxaxxgyxfymmxfxgbaxgxf)()()()()(;)()()()()(;)()()()(2)(;)()()()(2)(,),(),(),()()(,),(),(. 2 為為旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而而成成的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體體體積積所所圍圍平平面面圖圖形形繞繞直直線線及及則則曲曲線線為為常常數(shù)數(shù)且且上上連連續(xù)續(xù)在在設(shè)設(shè)y=f(x)y=g

6、(x)abxx+dxy=mxyo.)()( ,)()()()()(2)()()()(,2222均均不不對(duì)對(duì)是是正正確確的的因因此此體體體體積積為為旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而而成成的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)線線從從而而所所圍圍平平面面圖圖形形繞繞直直的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積為為的的一一窄窄條條繞繞取取dcabdxxgxfxgxfmdxxfmxgmVmydxxfmdxxgmdVmydxxxbaba 解解y=f(x)y=g(x)abxx+dxy=mxyo )0 ,(),0 , 0( :cossincosaarar兩兩曲曲線線的的交交點(diǎn)點(diǎn)為為 )0 ,2(,2222的的部部分分包包含含點(diǎn)點(diǎn)所所圍圍圖圖形形面面積積求求aMaya

7、xyxaxyx 222848aaa 20220228cossin212221cossin2144adaadaA 4, 1220 xyayayyx例例2解解)0 ,2(aM)2,2(aaxy22516xyxV把繞 軸旋轉(zhuǎn)計(jì)算所得旋轉(zhuǎn)體的體積 44224422165165dxxdxxV 例例3解法一解法一240244216016401620 dxxdxxoxyoxy= 4 , 4 為為積積分分變變量量選選擇擇xoxy-44 旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)的的體體積積軸軸繞繞為為積積分分變變量量選選擇擇xdyyyy ,解法二解法二 dyyyxdyydV2516422 oxy19yy+dyyy+dy 22220454sin

8、4cos8 16 5costtdttdt 9221445Vyydy 5 4sinyt 令令2218 16 516022 .)cos1()sin(體積體積對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)而成的立體對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)而成的立體軸圍成的圖形繞圖形的軸圍成的圖形繞圖形的與與求擺線一拱求擺線一拱xtayttax 的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積為為的的一一窄窄條條繞繞對(duì)對(duì)稱稱軸軸取取積積分分區(qū)區(qū)間間為為為為積積分分變變量量取取axdxxxax , 0,例例4解解而而成成的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體體體積積為為旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)線線從從而而整整個(gè)個(gè)平平面面圖圖形形繞繞直直ax oxy2aa 2ax dxxyxadV)()(2 x x+dxdttttattdat

9、attaadxxyxaVa20300)cos1)(sin(2)sin()cos1()sin(2)()(2 32320033333033333332()(1cos )2sin (1cos )3182 (1cos ) 2331638823()32attdtattdtaaataaaaa 注注443sincos 4)sin1(sin2)sin1(2)sin1()sin1(2)sin1)(2()cos1)(,22020222202222222222222 uuuduuuduuduuduuuduuduuudtttdudtut令令注注例例5.,)2(4, 2,ln)1(42,)ln,(,lnbacxxbax

10、yxyccccbaxyxy和和求求值值對(duì)對(duì)于于所所求求的的所所圍圍成成的的面面積積最最小小的的值值使使求求其其中中相相切切處處點(diǎn)點(diǎn)在在與與直直線線曲曲線線 24y=lnxxyc解解切切線線方方程程為為的的在在點(diǎn)點(diǎn)曲曲線線)42(ln ccxxy),(1lncxccy 由相切的條件知由相切的條件知1ln,1 cbca. 13ln,31,3)2( bac時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)2ln6ln26)ln()()1(42 ccdxxbaxcs所所求求面面積積所所圍圍面面積積最最小小時(shí)時(shí)則則當(dāng)當(dāng)又又為為唯唯一一駐駐點(diǎn)點(diǎn)得得由由,30)3( ,3212)( 026)( 232 csccccscccs24y=lnxxyc 3

11、2)(32)(34)(34)()0(sin)1223dcbaxxxxy體體積積為為軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)所所成成的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的的的圖圖形形繞繞軸軸所所圍圍成成與與曲曲線線 44440200022222)2(cos21)(2cos2)(2cos4)(2cos2)()(2 dddcdbdayxyx示示為為區(qū)區(qū)域域面面積積可可用用定定積積分分表表所所圍圍成成的的）雙雙紐紐線線1.選擇題選擇題dxxxxddxxxxdxxxxcdxxxxdxxxxbdxxxxaxxxxy)2)(1()()2)(1()2)(1()()2)(1()2)(1()()2)(1()()2)(1()3202110211020 的的面面

12、積積可可表表示示為為軸軸所所圍圍成成圖圖形形與與曲曲線線2.應(yīng)用題應(yīng)用題1).,)2求求出出公公共共部部分分的的體體積積相相交交成成直直角角其其中中心心軸軸線線等等于于兩兩個(gè)個(gè)直直圓圓柱柱體體的的半半徑徑都都a 201,0,1,?yxxtt設(shè)定義在上設(shè)定義在上是區(qū)間上的任一點(diǎn)是區(qū)間上的任一點(diǎn)當(dāng) 為何值時(shí) 圖中兩陰影部當(dāng) 為何值時(shí) 圖中兩陰影部分的面積和最小分的面積和最小y = x2t12tyx11S2S4). 求曲線求曲線132xy與與 x 軸圍成的封閉圖形軸圍成的封閉圖形繞直線繞直線 y3 旋轉(zhuǎn)得的旋轉(zhuǎn)體體積旋轉(zhuǎn)得的旋轉(zhuǎn)體體積. ?,1 , 0,102分分的的面面積積和和最最小小圖圖中中兩兩

13、陰陰影影部部為為何何值值時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)上上的的任任一一點(diǎn)點(diǎn)是是區(qū)區(qū)間間上上定定義義在在設(shè)設(shè)ttxxy y = x2t12tyx11S2S 3134332312303212202221 ttxtxxxtdxtxdxxtSSStttt解解1) .2121, 0:10122242時(shí)時(shí)兩兩面面積積和和最最小小當(dāng)當(dāng)駐駐點(diǎn)點(diǎn) ttttttttS.,).2求求出出公公共共部部分分的的體體積積相相交交成成直直角角其其中中心心軸軸線線等等于于兩兩個(gè)個(gè)直直圓圓柱柱體體的的半半徑徑都都a 31638)(0303202222222222axxadxxaVdxxadxxAdVxaxaxayzxAaxxaa 為為積積分分變變量

14、量先先擇擇解解yzyxz解解取取積積分分變變量量為為y,4 , 0 y體積元素為體積元素為dyQMPMdV22 dyyy)43()43(22 ,412dyy dyyV 40412.64 3dyPQMdyPQ另解另解 2,2x 體積元素為體積元素為2 (3)dVx ydx 22 (3)(4)xxdx 2204(123)Vx dx .64 3dyPQxdx Qx4). 求曲線求曲線132xy與與 x 軸圍成的封閉圖形軸圍成的封閉圖形繞直線繞直線 y3 旋轉(zhuǎn)得的旋轉(zhuǎn)體體積旋轉(zhuǎn)得的旋轉(zhuǎn)體體積.解解: 利用對(duì)稱性利用對(duì)稱性 ,y 01x22 ,x 12x24,x 故旋轉(zhuǎn)體體積為故旋轉(zhuǎn)體體積為V 234

15、122023(2) dxx xxd)1 (2361022xxd) 1(2212222202(1) dxx 44815 在第一象限在第一象限 222123(4) dxx xyo3AB211. 求拋物線求拋物線21yx在在(0,1) 內(nèi)的一條切線內(nèi)的一條切線, 使它與使它與兩坐標(biāo)軸和拋物線所圍圖形的面積最小兩坐標(biāo)軸和拋物線所圍圖形的面積最小.2 3433()YX 2. 設(shè)非負(fù)函數(shù)設(shè)非負(fù)函數(shù)( )0 , 1f x在上滿足在上滿足( )( )xfxf x 曲線曲線( )yf x 與直線與直線及坐標(biāo)軸所圍圖形及坐標(biāo)軸所圍圖形(1) 求函數(shù)求函數(shù)( ) ;f x(2) a 為何值時(shí)為何值時(shí), 所圍圖形繞所

16、圍圖形繞 x 軸一周所得旋轉(zhuǎn)體軸一周所得旋轉(zhuǎn)體232,ax 面積為面積為 2 ,體積最小體積最小 ? 1x 23( )(4)2f xaa x5a 答案答案補(bǔ)充習(xí)題補(bǔ)充習(xí)題3. 為何值才能使為何值才能使) 1( xxy(1).yx xxx 于與及 軸圍成的面積于與及 軸圍成的面積與與 x 軸圍成的面積等軸圍成的面積等0,23211,2143答案答案軸所圍圖及表示xtxxfytV)0(, )()(4. 設(shè)設(shè))(xfy 在在 x0 時(shí)為連續(xù)的非負(fù)函數(shù)時(shí)為連續(xù)的非負(fù)函數(shù), 且且 ,0)0(f形繞直線形繞直線 xt 旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體體積旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體體積 ,證明證明:. )(2)(tftV 1.

17、求拋物線求拋物線21yx在在(0,1) 內(nèi)的一條切線內(nèi)的一條切線, 使它與使它與兩坐標(biāo)軸和拋物線所圍圖形的面積最小兩坐標(biāo)軸和拋物線所圍圖形的面積最小.解解: 設(shè)拋物線上切點(diǎn)為)1 ,(2xxM則該點(diǎn)處的切線方程為)(2)1 (2xXxxY它與 x , y 軸的交點(diǎn)分別為, )0,(212xxA) 1,0(2xB所指面積)(xSxx2) 1(2122102d)1 (xx324) 1(22xx11MBAyx)(xS) 13() 1(22412xxx,33x0)( xS,33x0)( xS且為最小點(diǎn) . 故所求切線為34332XY,0)( xS令得 0 , 1 上的唯一駐點(diǎn)33x11MBAyx, 1

18、 , 0)(33上的唯一極小點(diǎn)在是因此xSx 2. 設(shè)非負(fù)函數(shù)上滿足在 1,0)(xf)()(xfxfx曲線)(xfy 與直線1x及坐標(biāo)軸所圍圖形(1) 求函數(shù); )(xf(2) a 為何值時(shí), 所圍圖形繞 x 軸一周所得旋轉(zhuǎn)體解解: (1)時(shí)，當(dāng)0 x由方程得axxfxfx23)()(2axxf23)(,223xa面積為 2 ,體積最小 ? 即xCxaxf223)(故得又10d)(2xxfxxCxad2321022CaaC 4xaxaxf)4(23)(2(2) 旋轉(zhuǎn)體體積Vxxfd)(1021610132aa,01513aV令5a得又V 5a,0155 a為唯一極小點(diǎn),因此5a時(shí) V 取最小值 .xoy1xoy1分析曲線特點(diǎn)分析曲線特點(diǎn)3. ) 1( xxyoyx解解41)(221 x1A) 1( xxy與與 x 軸所圍面積軸所圍面積1101d) 1(xxxA61,0時(shí)2A12d) 1(xxxA,21AA 由61213123,0)2131(2得0,2321由圖形的對(duì)稱性由圖形的對(duì)稱性 ,211,2143也合于所求也合于所求. 為何值才能使為何值才能使) 1( xxy(1).yx