D13連續(xù)性間斷點(diǎn)

1、 二、函數(shù)的間斷點(diǎn)二、函數(shù)的間斷點(diǎn) 一、一、 函數(shù)連續(xù)性的定義函數(shù)連續(xù)性的定義 第三節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性 三、初等函數(shù)的連續(xù)性三、初等函數(shù)的連續(xù)性四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)1:增量增量:自變量的增量自變量的增量,0 xxx 函數(shù)的增量函數(shù)的增量)()(0 xfxfy)()(00 xfxxf)()(lim00 xfxfxx)()(lim000 xfxxfx0lim0yx2:一點(diǎn)連續(xù)的定義一點(diǎn)連續(xù)的定義:0 x)(xf0lim0yx一、一、 函數(shù)連續(xù)性的定義函數(shù)連續(xù)性的定義若若在在則稱函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。則稱函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。的某一鄰域內(nèi)有定義，的某一鄰域內(nèi)有定義，設(shè)設(shè)注注 1、函

2、數(shù)、函數(shù))(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x (1) )(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x即即)(0 xf(2) 極限極限)(lim0 xfxx(3). )()(lim00 xfxfxx連續(xù)必須具備下列條件連續(xù)必須具備下列條件: :存在存在 ;有定義有定義 , ,存在存在 ; ; 2、由函數(shù)在一點(diǎn)有極限的充要條件有、由函數(shù)在一點(diǎn)有極限的充要條件有: 一點(diǎn)連續(xù)的充要條件一點(diǎn)連續(xù)的充要條件:)()(lim)(lim)()(lim00000 xfxfxfxfxfxxxxxx在在在在二、二、 函數(shù)的間斷點(diǎn)函數(shù)的間斷點(diǎn)(1) 函數(shù)函數(shù))(xf0 x(2) 函數(shù)函數(shù))(xf0 x)(lim0 xfxx不存在不存在;(3) 函數(shù)函數(shù))

3、(xf0 x)(lim0 xfxx存在存在 , 但但)()(lim00 xfxfxx 不連續(xù)不連續(xù) :0 x設(shè)設(shè)0 x在點(diǎn)在點(diǎn))(xf的某去心鄰域內(nèi)有定義的某去心鄰域內(nèi)有定義 ,則下列情形則下列情形這樣的點(diǎn)這樣的點(diǎn)0 x之一之一函數(shù)函數(shù) f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn)雖有定義雖有定義 , 但但雖有定義雖有定義 , 且且稱為稱為間斷點(diǎn)間斷點(diǎn) . 在在無(wú)定義無(wú)定義 ;間斷點(diǎn)分類間斷點(diǎn)分類: :第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn):)(lim0 xfxx及及)(lim0 xfxx 均存在均存在 , )(lim)(lim00 xfxfxxxx若若 0 x, )(lim)(lim00 xfxfxxxx若若0 x第二類間斷點(diǎn)第

4、二類間斷點(diǎn):)(lim0 xfxx 及及)(lim0 xfxx 中至少一個(gè)不存在中至少一個(gè)不存在 ,稱稱0 x若其中有一個(gè)為振蕩若其中有一個(gè)為振蕩 ,稱稱0 x若其中有一個(gè)為若其中有一個(gè)為,則則 為可去間斷點(diǎn)為可去間斷點(diǎn) .則則 為跳躍間斷點(diǎn)為跳躍間斷點(diǎn) .為無(wú)窮間斷點(diǎn)為無(wú)窮間斷點(diǎn) . .為振蕩間斷點(diǎn)為振蕩間斷點(diǎn) .xytan) 1 (2x為其無(wú)窮間斷點(diǎn)為其無(wú)窮間斷點(diǎn) . .0 x為其振蕩間斷點(diǎn)為其振蕩間斷點(diǎn) .xy1sin) 2(1x為可去間斷點(diǎn)為可去間斷點(diǎn) .11)3(2xxyxoy1例如例如: :xytan2xyoxyxy1sin01) 1 (1)(lim1fxfx顯然顯然1x為其可去間

5、斷點(diǎn)為其可去間斷點(diǎn) .1,1,)(21xxxxfy(4)xoy211(5) 0,10,00,1)(xxxxxxfyxyo11, 1)(lim0 xfx1)(lim0 xfx0 x為其跳躍間斷點(diǎn)為其跳躍間斷點(diǎn) .、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則 三、初等函數(shù)的連續(xù)性三、初等函數(shù)的連續(xù)性、初等函數(shù)的連續(xù)性、初等函數(shù)的連續(xù)性 定理定理3： 連續(xù)單調(diào)遞增連續(xù)單調(diào)遞增 函數(shù)的反函數(shù)函數(shù)的反函數(shù)、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則定理定理2：在某點(diǎn)連續(xù)的有限個(gè)函數(shù)經(jīng)有限次和在某點(diǎn)連續(xù)的有限個(gè)函數(shù)經(jīng)有限次和 差差 、積、積 、商商(分母不為分母不為 0) 運(yùn)算運(yùn)算,結(jié)果仍是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)結(jié)

6、果仍是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù) .(遞減遞減).).遞增遞增(遞減遞減)也連續(xù)單調(diào)也連續(xù)單調(diào)定理定理4： 連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)的連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)的.定理定理1：基本初等函數(shù)在其定義區(qū)間上連續(xù)?；境醯群瘮?shù)在其定義區(qū)間上連續(xù)。例例1. 求求.)1 (loglim0 xxax解解: 原式原式xxax1)1 (loglim0ealogaln1例例2. 求求.1lim0 xaxx解解: 令令, 1xat則則, )1 (logtxa原式原式)1 (loglim0ttataln說(shuō)明說(shuō)明: 當(dāng)當(dāng), ea時(shí)時(shí), 有有0 x)1ln(x1xexx、初等函數(shù)的連續(xù)性、初等函數(shù)的連續(xù)性 基本初等函數(shù)在定義區(qū)

7、間內(nèi)連續(xù)基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)一切初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)一切初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)1、最值定理最值定理 2、零點(diǎn)定理（根的存在定理）零點(diǎn)定理（根的存在定理） 推論推論:2、零點(diǎn)定理、零點(diǎn)定理定理定理2( 零點(diǎn)定理零點(diǎn)定理 ), ,)(bacxf至少有一點(diǎn)至少有一點(diǎn), ),( ba且且使使xyoab)(xfy .0)(f0)()(bfaf在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界. 1、最值定理、最值定理定理定理1:在

8、閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù) 在該區(qū)間上一定有最大在該區(qū)間上一定有最大值和最小值值和最小值.例例1. 證明方程證明方程01423 xx一個(gè)根一個(gè)根 . .證證: 顯然顯然, 1 ,014)(23cxxxf又,01)0(f02) 1 (f故據(jù)零點(diǎn)定理故據(jù)零點(diǎn)定理, 至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn), ) 1 , 0 (使使, 0)(f即即01423在區(qū)間在區(qū)間) 1 , 0(內(nèi)至少有內(nèi)至少有內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié))()(lim00 xfxfxx0)()(lim000 xfxxfx)(lim)()(lim000 xfxfxfxxxx左連續(xù)左連續(xù)右連續(xù)右連續(xù))(. 2xf0 x第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)可

9、去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)左右極限都存在左右極限都存在 第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)左右極限至少有一左右極限至少有一個(gè)不存在個(gè)不存在在點(diǎn)在點(diǎn)間斷的類型間斷的類型)(. 1xf0 x在點(diǎn)在點(diǎn)連續(xù)的等價(jià)形式連續(xù)的等價(jià)形式基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算的結(jié)果連續(xù)連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算的結(jié)果連續(xù)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)初等函數(shù)在定初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)義區(qū)間內(nèi)連續(xù) 說(shuō)明說(shuō)明: : 分段函數(shù)在界點(diǎn)處是否連續(xù)需討論分段函數(shù)在界點(diǎn)處是否連續(xù)需討論 其左、右連續(xù)性其左、右連續(xù)性. .、初等函數(shù)的連續(xù)性、初等函數(shù)的連續(xù)性思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 討論函數(shù)討論函數(shù)231)(22xxxxfx = 2 是第二類無(wú)窮間斷點(diǎn)是第二類無(wú)窮間斷點(diǎn) .間斷點(diǎn)的類型間斷點(diǎn)的類型.2. 設(shè)設(shè)時(shí)時(shí)為為連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù).答案答案: x = 1 是第一類可去間斷點(diǎn)是第一類可去間斷點(diǎn) ,4,0)(上連續(xù)在閉區(qū)間xf1