小學(xué)五年級奧數(shù)講義(學(xué)生版)30講全

1、五年級奧數(shù)第1講數(shù)字迷（一）第16講 巧算24第2講 數(shù)字謎(二)第17講 位置原則第3講 定義新運算(一)第18講 最大最小第4講 定義新運算(二)第19講 圖形的分割及拼接第5講 數(shù)的整除性(一)第20講 多邊形的面積第6講 數(shù)的整除性(二)第21講 用等量代換求面積第7講 奇偶性（一）第22 用割補法求面積第8講 奇偶性（二）第23講 列方程解應(yīng)用題第9講 奇偶性（三）第24講 行程問題（一）第10講 質(zhì)數(shù)及合數(shù)第25講 行程問題（二）第11講 分解質(zhì)因數(shù)第26講 行程問題（三）第12講 最大公約數(shù)及最小公倍數(shù)（一）第27講 邏輯問題（一）第13講最大公約數(shù)及最小公倍數(shù)（二）第28講 邏

2、輯問題（二）第14講 余數(shù)問題第29講 抽屜原理(一)第15講 孫子問題及逐步約束法第30講 抽屜原理(二) 第1講 數(shù)字謎（一）例1 把+，-，×，÷四個運算符號，分別填入下面等式的內(nèi)，使等式成立（每個運算符號只準(zhǔn)使用一次）：（5137）（179）=12。例2 將19這九個數(shù)字分別填入下式中的中，使等式成立：×=×=5568。例3 在443后面添上一個三位數(shù)，使得到的六位數(shù)能被573整除。例4 已知六位數(shù)3344是89的倍數(shù)，求這個六位數(shù)。例5 在左下方的加法豎式中，不同的字母代表不同的數(shù)字，相同的字母代表相同的數(shù)字，請你用適當(dāng)?shù)臄?shù)字代替字母

3、，使加法豎式成立。FORTY TEN+ TEN SIXTY例6 在左下方的減法算式中，每個字母代表一個數(shù)字，不同的字母代表不同的數(shù)字。請你填上適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使豎式成立。 練習(xí)11.在一個四位數(shù)的末尾添零后，把所得的數(shù)減去原有的四位數(shù)，差是621819，求原來的四位數(shù)。2.在下列豎式中，不同的字母代表不同的數(shù)字，相同的字母代表相同的數(shù)字。請你用適當(dāng)?shù)臄?shù)字代替字母，使豎式成立： （1） A B (2) A B A B + B C A - A C A A B C B A A C3.在下面的算式中填上括號，使得計算結(jié)果最大：1÷2÷3÷4÷5÷

4、6÷7÷8÷9。4.在下面的算式中填上若干個（ ），使得等式成立：1÷2÷3÷4÷5÷6÷7÷8÷9=2.8。5.將19分別填入下式的中，使等式成立：×=×=3634。6.六位數(shù)391是789的倍數(shù)，求這個六位數(shù)。7.已知六位數(shù)7888是83的倍數(shù)，求這個六位數(shù)。第2講 數(shù)字謎（二）    這一講主要講數(shù)字謎的代數(shù)解法及小數(shù)的除法豎式問題。例1 在下面的算式中，不同的字母代表不同的數(shù)字，相同的字母代表相例2 在內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使左下方

5、的乘法豎式成立。× 8 1 例3 左下方的除法豎式中只有一個8，請在內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使除法豎式成立。8 )0例4 在內(nèi)填入適當(dāng)數(shù)字，使小數(shù)除法豎式成立。 例4圖 例5圖例5 一個五位數(shù)被一個一位數(shù)除得到右上圖豎式（1），這個五位數(shù)被另一個一位數(shù)除得到右上圖的豎式（2），求這個五位數(shù)。 練習(xí)21.下面各算式中，相同的字母代表相同的數(shù)字，不同的字母代表不同的數(shù)字，求出abcd及abcxyz(1)1abcd×3=abcd5 (2)7×abcxyz=6×xyzabc2.用代數(shù)方法求解下列豎式： 3.在內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使下列小數(shù)除法豎式成立： 8 7

6、 .).) .) . 8 0 0 0第3講 定義新運算（一）例1 對于任意數(shù)a，b，定義運算“*”：a*b=a×b-a-b。求12*4的值。例2 已知ab表示a的3倍減去b的，例如根據(jù)以上的規(guī)定，求106的值3，x>=2，求x的值。例6 對于任意自然數(shù)，定義：n！=1×2××n。例如 4！=1×2×3×4。那么1！+2！+3！+100！的個位數(shù)字是幾？例7 如果m，n表示兩個數(shù)，那么規(guī)定：m¤n=4n-（m+n）÷2。求3¤（4¤6）¤12的值。練習(xí)31.對于任意的兩個

7、數(shù)a和b，規(guī)定a*b=3×a-b÷3。求8*9的值。2.已知ab表示a除以3的余數(shù)再乘以b，求134的值。3.已知ab表示（a-b）÷（a+b），試計算：（53）（106）。4.規(guī)定ab表示a及b的積及a除以b所得的商的和，求82的值。5.假定mn表示m的3倍減去n的2倍，即mn=3m-2n。（2）已知x（41）=7，求x的值。7.對于任意的兩個數(shù)P， Q，規(guī)定 PQ=（P×Q）÷4。例如：28=（2×8）÷4。已知x（85）=10，求x的值。8.定義： ab=ab-3b，ab=4a-b/a。計算：（43）（2b）。9.已知

8、： 23=2×3×4，45=4×5×6×7×8，求（44）÷（33）的值。第4講 定義新運算（二）例1 已知ab=（a+b）-（a-b），求92的值。例2 定義運算：ab=3a+5ab+kb，其中a，b為任意兩個數(shù)，k為常數(shù)。比如：27=3×2+5×2×7+7k。（1）已知52=73。問：85及58的值相等嗎？（2）當(dāng)k取什么值時，對于任何不同的數(shù)a，b，都有ab=ba，即新運算“”符合交換律？例3 對兩個自然數(shù)a和b，它們的最小公倍數(shù)及最大公約數(shù)的差，定義為ab，即ab=a，b-（a，b）。比

9、如，10和14的最小公倍數(shù)是70，最大公約數(shù)是2，那么1014=70-2=68。（1）求1221的值；（2）已知6x=27，求x的值。例4 a表示順時針旋轉(zhuǎn)90°，b表示順時針旋轉(zhuǎn)180°，c表示逆時針旋轉(zhuǎn)90°，d表示不轉(zhuǎn)。定義運算“”表示“接著做”。求：ab；bc；ca。例5 對任意的數(shù)a，b，定義：f（a）=2a+1， g（b）=b×b。（1）求f（5）-g（3）的值；（2）求f（g（2）+g（f（2）的值；（3）已知f（x+1）=21，求x的值。練習(xí)42.定義兩種運算“”和“”如下：ab表示a，b兩數(shù)中較小的數(shù)的3倍，ab表示a，b兩數(shù)中較大的數(shù)

10、的2.5倍。比如：45=4×3=12，45=5×2.5=12.5。計算：(0.60.5)+(0.30.8)÷(1.20.7)-(0.640.2)。4.設(shè)m，n是任意的自然數(shù)，A是常數(shù)，定義運算mn=（A×m-n）÷4，并且23=0.75。試確定常數(shù)A，并計算：（57）×（22）÷（32）。5.用a，b，c表示一個等邊三角形圍繞它的中心在同一平面內(nèi)所作的旋轉(zhuǎn)運動：a表示順時針旋轉(zhuǎn)240°，b表示順時針旋轉(zhuǎn)120°，c表示不旋轉(zhuǎn)。運算“”表示“接著做”。試以a，b，c為運算對象做運算表。6.對任意兩個不同的自

11、然數(shù)a和b，較大的數(shù)除以較小的數(shù)，余數(shù)記為ab。比如73=1，529=4，420=0。（1）計算：19982000，（519）19，5（195）；（2）已知11x=4，x小于20，求x的值。7.對于任意的自然數(shù)a，b，定義：f（a）=a×a-1，g（b）=b÷2+1。（1）求f（g（6）-g（f（3）的值；（2）已知f（g（x）=8，求x的值。第5講 數(shù)的整除性（一）1. 整除的定義、性質(zhì).定義：如果a、b、c是整數(shù)并且 ，則稱a能被b整除或者b能整除a，記做，否則稱為a不能被b整除或者b不能整除a，記做b| a.2、性質(zhì)（1）如果甲數(shù)能被乙數(shù)整除，乙數(shù)能被丙數(shù)整除，那么甲

12、數(shù)能被丙數(shù)整除。 （2）如果兩個數(shù)都能被一個自然數(shù)整除，那么這兩個數(shù)的和及差都能被這個自然數(shù)整除。 （3）如果一個數(shù)能分別被幾個兩兩互質(zhì)的自然數(shù)整除，那么這個數(shù)能被這幾個兩兩互質(zhì)的自然數(shù)的乘積整除。（4）如果一個質(zhì)數(shù)能整除兩個自然數(shù)的乘積，那么這個質(zhì)數(shù)至少能整除這兩個自然數(shù)中的一個。 （5）幾個數(shù)相乘，如果其中一個因數(shù)能被某數(shù)整除，那么乘積也能被這個數(shù)整除。整除的數(shù)的特征1、 被2整除特征：個位上是0,2,4,6,8 2、 被5整除特征：個位上是5,03、 能被3或9整除的數(shù)的特征是：各個數(shù)位的數(shù)字之和是3或9的倍數(shù)4、被4、25整除的數(shù)的特征：一個數(shù)的末2位能被4、25整除5、被8、125整

13、除的數(shù)的特征：一個數(shù)的末3位能被8、125整除6、被7整除的數(shù)的特征 ：若一個整數(shù)的個位數(shù)字去掉,再從余下的數(shù)中,減去個位數(shù)的2倍,如果差是7的倍數(shù),則原數(shù)能被7整除。如果數(shù)字仍然太大不能直接觀察出來，就重復(fù)此過程。7、能被11整除的數(shù)的特征： 把一個數(shù)由右邊向左邊數(shù),將奇位上的數(shù)字及偶位上的數(shù)字分別加起來,再求它們的差,如果這個差是11的倍數(shù)(包括0),那么,原來這個數(shù)就一定能被11整除。 例如：判斷491678能不能被11整除。 奇位數(shù)字的和9+6+8=23 偶位數(shù)位的和4+1+7=12   23-12=11 因此,491678能被11整除。這種方法叫“奇偶位差法”。

14、8、能被13整除的數(shù)的特征：把一個整數(shù)的個位數(shù)字去掉，再從余下的數(shù)中，加上個位數(shù)的4倍，如果和是13的倍數(shù)，則原數(shù)能被13整除。如果數(shù)字仍然太大不能直接觀察出來，就重復(fù)此過程。如：判斷1284322能不能被13整除。 128432+2×4=128440 12844+0×4=128441284+4×4=13001300÷13=100 所以，1284322能被13整除。 9、被7、11、13整除特征：末三位及末三位之前的數(shù)之差（大數(shù)小數(shù)）能被7、11、13整除，如果數(shù)字仍然太大不能直接觀察出來，就重復(fù)此過程。例如：判斷556584能不能被7整除 末三位584

15、 末三位之前的數(shù)556， 584-556=28 28能被7整除，所以556584能被7整除10、能被17整除的數(shù)的特征 : 把一個整數(shù)的個位數(shù)字去掉，再從余下的數(shù)中，減去個位數(shù)的5倍，如果差是17的倍數(shù)，則原數(shù)能被17整除。如果數(shù)字仍然太大不能直接觀察出來，就重復(fù)此過程。 11、能被19整除的數(shù)的特征:把一個整數(shù)的個位數(shù)字去掉，再從余下的數(shù)中，加上個位數(shù)的2倍，如果和是19的倍數(shù)，則原數(shù)能被19整除。如果數(shù)字仍然太大不能直接觀察出來，就重復(fù)此過程例1 在里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使得七位數(shù)7358能分別被9，25和8整除。例2 由2000個1組成的數(shù)11111能否被41和271這兩

16、個質(zhì)數(shù)整除？例3 有四個數(shù)：76550，76551，76552，76554。能不能從中找出兩個數(shù)，使它們的乘積能被12整除？例4 在所有五位數(shù)中，各位數(shù)字之和等于43且能夠被11整除的數(shù)有哪些？例5 能不能將從1到10的各數(shù)排成一行，使得任意相鄰的兩個數(shù)之和都能被3整除？練習(xí)51.已知4205和2813都是29的倍數(shù)，1392和7018是不是29的倍數(shù)？2.如果兩個數(shù)的和是64，這兩個數(shù)的積可以整除4875，那么這兩個數(shù)的差是多少？3.173是個四位數(shù)。數(shù)學(xué)老師說：“我在這個中先后填入3個數(shù)字，所得到的 3個四位數(shù)，依次可以被9，11，6整除?！眴枺簲?shù)學(xué)老師先后填入的3個數(shù)字之和是多少4、用1

17、6六個數(shù)字組成一個六位數(shù)abcdef期中不同的字母代表1-6中不同的數(shù)字。要求ab能被2整除，abc能被3整除，abcd能被4整除，abcde是5的倍數(shù)，abcdef是6的倍數(shù)。這樣的六位數(shù)有幾個？各是多少？5.紅光小學(xué)五年級二班期末數(shù)學(xué)考試平均分是90分，總分A95B,這個班有多少名學(xué)生？6.能不能將從1到9的各數(shù)排成一行，使得任意相鄰的兩個數(shù)之和都能被3整除？第6講 數(shù)的整除性（二）特殊的數(shù)1001。因為1001=7×11×13，所以凡是1001的整數(shù)倍的數(shù)都能被7，11和13整除。例2 判斷306371能否被7整除？能否被13整除？例3 已知108971能被13整除，

18、求中的數(shù)。例4說明12位數(shù)abbaabbaabba一定是3、7、13的倍數(shù)。例5 如果41位數(shù)555999能被7整除，那么中間方格內(nèi)的數(shù)字是幾？ 20個 20個判斷一個數(shù)能否被27或37整除的方法：對于任何一個自然數(shù)，從個位開始，每三位為一節(jié)將其分成若干節(jié)，然后將每一節(jié)上的數(shù)連加，如果所得的和能被27（或37）整除，那么這個數(shù)一定能被27（或37）整除；否則，這個數(shù)就不能被27（或37）整除。例6 判斷下列各數(shù)能否被27或37整除：（1）2673135；（2）8990615496。判斷一個數(shù)能否被個位是9的數(shù)整除的方法：為了敘述方便，將個位是9的數(shù)記為 k9（= 10k+9），其中k為自然數(shù)。

19、對于任意一個自然數(shù)，去掉這個數(shù)的個位數(shù)后，再加上個位數(shù)的（k+1）倍。連續(xù)進行這一變換。如果最終所得的結(jié)果等于k9，那么這個數(shù)能被k9整除；否則，這個數(shù)就不能被k9整除。例7 （1）判斷18937能否被29整除；（2）判斷296416及37289能否被59整除。 練習(xí)61.下列各數(shù)哪些能被7整除？哪些能被13整除？88205， 167128， 250894， 396500，675696， 796842， 805532， 75778885。2.六位數(shù)17562是13的倍數(shù)。中的數(shù)字是幾？ 3、已知七位數(shù)132A679是7的倍數(shù)，求A？ 4、六位數(shù)ababab能否被7和13整除？ 5、1

20、2位數(shù)aabbaabbaabb能否被7和13整除？ 6、333888能被13整除，求中間中的數(shù)？ 20個 20個7.九位數(shù)87654321能被21整除，求中間中的數(shù)。8.在下列各數(shù)中，哪些能被27整除？哪些能被37整除？1861026， 1884924， 2175683， 2560437，11159126，131313555，266117778。9.在下列各數(shù)中，哪些能被19整除？哪些能被79整除？55119， 55537， 62899， 71258，186637，872231，5381717。第7講 奇偶性（一）整數(shù)按照能不能被2整除，可以分為兩類：（1）能被2整除的自然數(shù)叫偶數(shù)，例如0，

21、2， 4， 6， 8， 10， 12， 14， 16，（2）不能被2整除的自然數(shù)叫奇數(shù)，例如1，3，5，7，9，11，13，15，17，整數(shù)由小到大排列，奇、偶數(shù)是交替出現(xiàn)的。相鄰兩個整數(shù)大小相差1，所以肯定是一奇一偶。因為偶數(shù)能被2整除，所以偶數(shù)可以表示為2n的形式，其中n為整數(shù)；因為奇數(shù)不能被2整除，所以奇數(shù)可以表示為2n+1的形式，其中n為整數(shù)。每一個整數(shù)不是奇數(shù)就是偶數(shù)，這個屬性叫做這個數(shù)的奇偶性。奇偶數(shù)有如下一些重要性質(zhì)：（1）兩個奇偶性相同的數(shù)的和（或差）一定是偶數(shù)；兩個奇偶性不同的數(shù)的和（或差）一定是奇數(shù)。反過來，兩個數(shù)的和（或差）是偶數(shù)，這兩個數(shù)奇偶性相同；兩個數(shù)的和（或差）是

22、奇數(shù)，這兩個數(shù)肯定是一奇一偶。（2）奇數(shù)個奇數(shù)的和（或差）是奇數(shù)；偶數(shù)個奇數(shù)的和（或差）是偶數(shù)。任意多個偶數(shù)的和（或差）是偶數(shù)。（3）兩個奇數(shù)的乘積是奇數(shù)，一個奇數(shù)及一個偶數(shù)的乘積一定是偶數(shù)。（4）若干個數(shù)相乘，如果其中有一個因數(shù)是偶數(shù)，那么積必是偶數(shù)；如果所有因數(shù)都是奇數(shù)，那么積就是奇數(shù)。反過來，如果若干個數(shù)的積是偶數(shù)，那么因數(shù)中至少有一個是偶數(shù)；如果若干個數(shù)的積是奇數(shù)，那么所有的因數(shù)都是奇數(shù)。（5）在能整除的情況下，偶數(shù)除以奇數(shù)得偶數(shù)；偶數(shù)除以偶數(shù)可能得偶數(shù)，也可能得奇數(shù)。奇數(shù)肯定不能被偶數(shù)整除。（6）偶數(shù)的平方能被4整除；奇數(shù)的平方除以4的余數(shù)是1。因為（2n）2=4n2=4×

23、n2，所以（2n）2能被4整除；因為（2n+1）2=4n2+4n+1=4×（n2+n）+1，所以（2n+1）2除以4余1。（7）相鄰兩個自然數(shù)的乘積必是偶數(shù)，其和必是奇數(shù)。（8）如果一個整數(shù)有奇數(shù)個約數(shù)（包括1和這個數(shù)本身），那么這個數(shù)一定是平方數(shù)；如果一個整數(shù)有偶數(shù)個約數(shù)，那么這個數(shù)一定不是平方數(shù)。整數(shù)的奇偶性能解決許多及奇偶性有關(guān)的問題。有些問題表面看來似乎及奇偶性一點關(guān)系也沒有，例如染色問題、覆蓋問題、棋類問題等，但只要想辦法編上號碼，成為整數(shù)問題，便可利用整數(shù)的奇偶性加以解決。例1下式的和是奇數(shù)還是偶數(shù)？1+2+3+4+1997+1998。例2 能否在下式的中填上“+”或“-

24、”，使得等式成立？123456789=36。例3 任意給出一個五位數(shù)，將組成這個五位數(shù)的5個數(shù)碼的順序任意改變，得到一個新的五位數(shù)。那么，這兩個五位數(shù)的和能不能等于99999？例4 在一次校友聚會上，久別重逢的老同學(xué)互相頻頻握手。請問：握過奇數(shù)次手的人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？請說明理由。例5 五（2）班部分學(xué)生參加鎮(zhèn)里舉辦的數(shù)學(xué)競賽，每張試卷有50道試題。評分標(biāo)準(zhǔn)是：答對一道給3分，不答的題，每道給1分，答錯一道扣1分。試問：這部分學(xué)生得分的總和能不能確定是奇數(shù)還是偶數(shù)？練習(xí)71.能否從四個3、三個5、兩個7中選出5個數(shù)，使這5個數(shù)的和等于22？2.任意交換一個三位數(shù)的數(shù)字，得一個新的三位數(shù)，一位同

25、學(xué)將原三位數(shù)及新的三位數(shù)相加，和是999。這位同學(xué)的計算有沒有錯？3.甲、乙兩人做游戲。任意指定七個整數(shù)（允許有相同數(shù)），甲將這七個整數(shù)以任意的順序填在下圖第一行的方格內(nèi)，乙將這七個整數(shù)以任意的順序填在圖中的第二行方格里，然后計算出所有同一列的兩個數(shù)的差（大數(shù)減小數(shù)），再將這七個差相乘。游戲規(guī)則是：若積是偶數(shù)，則甲勝；若積是奇數(shù)，則乙勝。請說明誰將獲勝。4.某班學(xué)生畢業(yè)后相約彼此通信，每兩人間的通信量相等，即甲給乙寫幾封信，乙也要給甲寫幾封信。問：寫了奇數(shù)封信的畢業(yè)生人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？5.A市舉辦五年級小學(xué)生“春暉杯”數(shù)學(xué)競賽，競賽題30道，記分方法是：底分15分，每答對一道加5分，不答的題

26、，每道加1分，答錯一道扣1分。如果有333名學(xué)生參賽，那么他們的總得分是奇數(shù)還是偶數(shù)？6.把下圖中的圓圈任意涂上紅色或藍色。是否有可能使得在同一條直線上的紅圈數(shù)都是奇數(shù)？試講出理由。7.紅星影院有1999個座位，上、下午各放映一場電影。有兩所學(xué)校各有1999名學(xué)生包場看這兩場電影，那么一定有這樣的座位，上、下午在這個座位上坐的是兩所不同學(xué)校的學(xué)生，為什么？ 第8講 奇偶性（二）例1用09這十個數(shù)碼組成五個兩位數(shù)，每個數(shù)字只用一次，要求它們的和是奇數(shù)，那么這五個兩位數(shù)的和最大是多少？例2 7只杯子全部杯口朝上放在桌子上，每次翻轉(zhuǎn)其中的2只杯子。能否經(jīng)過若干次翻轉(zhuǎn)，使得7只杯子全部杯口朝下？例3

27、有m（m2）只杯子全部口朝下放在桌子上，每次翻轉(zhuǎn)其中的（m-1）只杯子。經(jīng)過若干次翻轉(zhuǎn)，能使杯口全部朝上嗎？例4 一本論文集編入15篇文章，這些文章排版后的頁數(shù)分別是1，2，3，15頁。如果將這些文章按某種次序裝訂成冊，并統(tǒng)一編上頁碼，那么每篇文章的第一面是奇數(shù)頁碼的最多有幾篇？例5 有大、小兩個盒子，其中大盒內(nèi)裝1001枚白棋子和1000枚同樣大小的黑棋子，小盒內(nèi)裝有足夠多的黑棋子。阿花每次從大盒內(nèi)隨意摸出兩枚棋子，若摸出的兩枚棋子同色，則從小盒內(nèi)取一枚黑棋子放入大盒內(nèi)；若摸出的兩枚棋子異色，則把其中白棋子放回大盒內(nèi)。問：從大盒內(nèi)摸了1999次棋子后，大盒內(nèi)還剩幾枚棋子？它們都是什么顏色？例

28、6 一串?dāng)?shù)排成一行：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，到這串?dāng)?shù)的第1000個數(shù)為止，共有多少個偶數(shù)？練習(xí)8 1.在11，111，1111，11111，這些數(shù)中，任何一個數(shù)都不會是某一個自然數(shù)的平方。這樣說對嗎？2.一本書由17個故事組成，各個故事的篇幅分別是1，2，3，17頁。這17個故事有各種編排法，但無論怎樣編排，故事正文都從第1頁開始，以后每一個故事都從新一頁碼開始。如果要求安排在奇數(shù)頁碼開始的故事盡量少，那么最少有多少個故事是從奇數(shù)頁碼開始的？3.桌子上放著6只杯子，其中3只杯口朝上，3只杯口朝下。如果每次翻轉(zhuǎn)5只杯子，那么至少翻轉(zhuǎn)多少次，才能使6只杯子都杯口朝上？4.7

29、0個數(shù)排成一行，除了兩頭的兩個數(shù)以外，每個數(shù)的3倍都恰好等于它兩邊的兩個數(shù)的和，這一行數(shù)的最左邊的幾個數(shù)是這樣的：0，1，3，8，21，問：最右邊的一個數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？5.學(xué)校組織運動會，小明領(lǐng)回自己的運動員號碼后，小玲問他：“今天發(fā)放的運動員號碼加起來是奇數(shù)還是偶數(shù)？”小明說：“除開我的號碼，把今天發(fā)的其它號碼加起來，再減去我的號碼，恰好是100?！苯裉彀l(fā)放的運動員號碼加起來，到底是奇數(shù)還是偶數(shù)？6.在黑板上寫出三個整數(shù)，然后擦去一個換成所剩兩數(shù)之和，這樣繼續(xù)操作下去，最后得到88，66，99。問：原來寫的三個整數(shù)能否是1，3，5？7.將888件禮品分給若干個小朋友。問：分到奇數(shù)件禮品的小

30、朋友是奇數(shù)還是偶數(shù)？ 第9講 奇偶性（三）例1 在7×7的正方形的方格表中，以左上角及右下角所連對角線為軸對稱地放置棋子，要求每個方格中放置不多于1枚棋子，且每行正好放3枚棋子，則在這條對角線上的格子里至少放有一枚棋子，這是為什么？例2 對于左下表，每次使其中的任意兩個數(shù)減去或加上同一個數(shù)，能否經(jīng)過若干次后（各次減去或加上的數(shù)可以不同），變?yōu)橛蚁卤恚繛槭裁?？? 下圖是一套房子的平面圖，圖中的方格代表房間，每個房間都有通向任何一個鄰室的門。有人想從某個房間開始，依次不重復(fù)地走遍每一個房間，他的想法能實現(xiàn)嗎？例4 下圖是由14個大小相同的方格組成的圖形。能不能剪裁成7個由相鄰

31、兩方格組成的長方形？例5 在右圖的每個中填入一個自然數(shù)（可以相同），使得任意兩個相鄰的中的數(shù)字之差（大數(shù)減小數(shù)）恰好等于它們之間所標(biāo)的數(shù)字。能否辦到？為什么？例6 下頁上圖是半張中國象棋盤，棋盤上已放有一只馬。眾所周知，馬是走“日”字的。請問：這只馬能否不重復(fù)地走遍這半張棋盤上的每一個點，然后回到出發(fā)點？練習(xí)9 1.教室里有5排椅子，每排5張，每張椅子上坐一個學(xué)生。一周后，每個學(xué)生都必須和他相鄰（前、后、左、右）的某一同學(xué)交換座位。問：能不能換成？為什么？2.房間里有5盞燈，全部關(guān)著。每次拉兩盞燈的開關(guān)，這樣做若干次后，有沒有可能使5盞燈全部是亮的？3.左下圖是由40個小正方形組成的圖形，能否

32、將它剪裁成20個相同的長方形？4.一個正方形果園里種有48棵果樹，加上右下角的一間小屋，整齊地排列成七行七列（見右上圖）。守園人從小屋出發(fā)經(jīng)過每一棵樹，不重復(fù)也不遺漏（不許斜走），最后又回到小屋?？梢宰龅絾幔?.紅光小學(xué)五年級一次乒乓球賽，共有男女學(xué)生17人報名參加。為節(jié)省時間不打循環(huán)賽，而采取以下方式：每人只打5場比賽，每兩人之間用抽簽的方法決定只打一場或不賽。然后根據(jù)每人得分決定出前5名。這種比賽方式是否可行？6.如下圖所示，將112順次排成一圈。如果報出一個數(shù)a（在112之間），那么就從數(shù)a的位置順時針走a個數(shù)的位置。例如a=3，就從3的位置順時針走3個數(shù)的位置到達6的位置；a=11，就

33、從11的位置順時針走11個數(shù)的位置到達10的位置。問：a是多少時，可以走到7的位置？ 第10講 質(zhì)數(shù)及合數(shù)自然數(shù)按照能被多少個不同的自然數(shù)整除可以分為三類：第一類：只能被一個自然數(shù)整除的自然數(shù)，這類數(shù)只有一個，就是1。第二類：只能被兩個不同的自然數(shù)整除的自然數(shù)。因為任何自然數(shù)都能被1和它本身整除，所以這類自然數(shù)的特征是大于1，且只能被1和它本身整除。這類自然數(shù)叫質(zhì)數(shù)（或素數(shù)）。例如，2，3，5，7，第三類：能被兩個以上的自然數(shù)整除的自然數(shù)。這類自然數(shù)的特征是大于1，除了能被1和它本身整除外，還能被其它一些自然數(shù)整除。這類自然數(shù)叫合數(shù)。例如，4，6，8，9，15，上面的分類方法將自然數(shù)

34、分為質(zhì)數(shù)、合數(shù)和1，1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。例1 1100這100個自然數(shù)中有哪些是質(zhì)數(shù)？例2 判斷269，437兩個數(shù)是合數(shù)還是質(zhì)數(shù)。例3 判斷數(shù)1111112111111是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)？例4 判定298+1和298+3是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)？例5 已知A是質(zhì)數(shù)，（A+10）和（A+14）也是質(zhì)數(shù)，求質(zhì)數(shù)A。練習(xí)101.現(xiàn)有1，3，5，7四個數(shù)字。（1）用它們可以組成哪些兩位數(shù)的質(zhì)數(shù)（數(shù)字可以重復(fù)使用）？（2）用它們可以組成哪些各位數(shù)字不相同的三位質(zhì)數(shù)？2.a，b，c都是質(zhì)數(shù)，abc，且a×b+c=88，求a，b，c。3.A是一個質(zhì)數(shù)，而且A+6，A+8，A+12，A+14都是質(zhì)數(shù)。試求出

35、所有滿足要求的質(zhì)數(shù)A。5.試說明：兩個以上的連續(xù)自然數(shù)之和必是合數(shù)。6.判斷266+388是不是質(zhì)數(shù)。7.把一個一位數(shù)的質(zhì)數(shù)a寫在另一個兩位數(shù)的質(zhì)數(shù)b后邊，得到一個三位數(shù)，這個三位數(shù)是a的87倍，求a和b。第11講 分解質(zhì)因數(shù)自然數(shù)中任何一個合數(shù)都可以表示成若干個質(zhì)因數(shù)乘積的形式，如果不考慮因數(shù)的順序，那么這個表示形式是唯一的。把合數(shù)表示為質(zhì)因數(shù)乘積的形式叫做分解質(zhì)因數(shù)。例如，60=22×3×5， 1998=2×33×37。例1 一個正方體的體積是13824厘米3，它的表面積是多少？例2 學(xué)區(qū)舉行團體操表演，有1430名學(xué)生參加，分成人數(shù)相等的若干隊，要

36、求每隊人數(shù)在100至200之間，共有幾種分法？例3 1×2×3××40能否被90909整除？例4 求72有多少個不同的約數(shù)。例5 試求不大于50的所有約數(shù)個數(shù)為6的自然數(shù)。練習(xí)11 1.一個長方體，它的正面和上面的面積之和是209分米2，如果它的長、寬、高都是質(zhì)數(shù)，那么這個長方體的體積是多少立方分米？2.爺孫兩人今年的年齡的乘積是693，4年前他們的年齡都是質(zhì)數(shù)。爺孫兩人今年的年齡各是多少歲？3.某車間有216個零件，如果平均分成若干份，分的份數(shù)在5至20之間，那么有多少種分法？4.小英參加小學(xué)數(shù)學(xué)競賽，她說：“我得的成績和我的歲數(shù)以及我得的名次乘起來是

37、3916，滿分是100分?！蹦芊裰佬∮⒌哪挲g、考試成績及名次？5.舉例回答下面各問題：（1）兩個質(zhì)數(shù)的和仍是質(zhì)數(shù)嗎？（2）兩個質(zhì)數(shù)的積能是質(zhì)數(shù)嗎？（3）兩個合數(shù)的和仍是合數(shù)嗎？（4）兩個合數(shù)的差（大數(shù)減小數(shù)）仍是合數(shù)嗎？（5）一個質(zhì)數(shù)及一個合數(shù)的和是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)？6.求不大于100的約數(shù)最多的自然數(shù)。7.同學(xué)們?nèi)ド浼?，?guī)定每射一箭得到的環(huán)數(shù)或者是“0”（脫靶）或者是不超過10的自然數(shù)。甲、乙兩同學(xué)各射5箭，每人得到的總環(huán)數(shù)之積剛好都是1764，但是甲的總環(huán)數(shù)比乙少4環(huán)。求甲、乙各自的總環(huán)數(shù)。第12講 最大公約數(shù)及最小公倍數(shù)（一）如果一個自然數(shù)a能被自然數(shù)b整除，那么稱a為b的倍數(shù)，b為a的約

38、數(shù)。如果一個自然數(shù)同時是若干個自然數(shù)的約數(shù)，那么稱這個自然數(shù)是這若干個自然數(shù)的公約數(shù)。在所有公約數(shù)中最大的一個公約數(shù)，稱為這若干個自然數(shù)的最大公約數(shù)。自然數(shù)a1，a2，an的最大公約數(shù)通常用符號（a1，a2，an）表示，例如，（8，12）=4，（6，9，15）=3。如果一個自然數(shù)同時是若干個自然數(shù)的倍數(shù)，那么稱這個自然數(shù)是這若干個自然數(shù)的公倍數(shù)。在所有公倍數(shù)中最小的一個公倍數(shù)，稱為這若干個自然數(shù)的最小公倍數(shù)。自然數(shù)a1，a2，an的最小公倍數(shù)通常用符號a1，a2，an表示，例如8，12=24，6，9，15=90。常用的求最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的方法是分解質(zhì)因數(shù)法和短除法。例1 用60元錢可以買

39、一級茶葉144克，或買二級茶葉180克，或買三級茶葉240克。現(xiàn)將這三種茶葉分別按整克數(shù)裝袋，要求每袋的價格都相等，那么每袋的價格最低是多少元錢？例2 用自然數(shù)a去除498，450，414，得到相同的余數(shù)，a最大是多少？例3 現(xiàn)有三個自然數(shù)，它們的和是1111，這樣的三個自然數(shù)的公約數(shù)中，最大的可以是多少？例4 在一個30×24的方格紙上畫一條對角線（見下頁上圖），這條對角線除兩個端點外，共經(jīng)過多少個格點（橫線及豎線的交叉點）？例5 甲、乙、丙三人繞操場競走，他們走一圈分別需要1分、1分15秒和1分30秒。三人同時從起點出發(fā)，最少需多長時間才能再次在起點相會？例6 爺爺對小明說：“我

40、現(xiàn)在的年齡是你的7倍，過幾年是你的6倍，再過若干年就分別是你的5倍、4倍、3倍、2倍?！蹦阒罓敔敽托∶鳜F(xiàn)在的年齡嗎？練習(xí)12 1.有三根鋼管，分別長200厘米、240厘米、360厘米?，F(xiàn)要把這三根鋼管截成盡可能長而且相等的小段，一共能截成多少段？2.兩個小于150的數(shù)的積是2028，它們的最大公約數(shù)是13，求這兩個數(shù)。3.用19這九個數(shù)碼可以組成362880個沒有重復(fù)數(shù)字的九位數(shù)，求這些數(shù)的最大公約數(shù)？4.大雪后的一天，亮亮和爸爸從同一點出發(fā)沿同一方向分別步測一個圓形花圃的周長。亮亮每步長54厘米，爸爸每步長72厘米，由于兩個人的腳印有重合，所以雪地上只留下60個腳印。問：這個花圃的周長是多

41、少米？5.有一堆桔子，按每4個一堆分少1個，按每5個一堆分也少1個，按每6個一堆分還是少1個。這堆桔子至少有多少個？6.某公共汽車站有三條線路的公共汽車。第一條線路每隔5分鐘發(fā)車一次，第二、三條線路每隔6分鐘和8分鐘發(fā)車一次。9點時三條線路同時發(fā)車，下一次同時發(fā)車是什么時間？7.四個連續(xù)奇數(shù)的最小公倍數(shù)是6435，求這四個數(shù)。 第13講 最大公約數(shù)及最小公倍數(shù)（二）兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)及最小公倍數(shù)的乘積，等于這兩個自然數(shù)的乘積。即，（a，b）×a，b=a×b。例1 兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)是6，最小公倍數(shù)是72。已知其中一個自然數(shù)是18，求另一個自然數(shù)。例2 兩個自然數(shù)的最

42、大公約數(shù)是7，最小公倍數(shù)是210。這兩個自然數(shù)的和是77，求這兩個自然數(shù)。例3 已知a及b，a及c的最大公約數(shù)分別是12和15，a，b，c的最小公倍數(shù)是120，求a，b，c。要將它們?nèi)糠謩e裝入小瓶中，每個小瓶裝入液體的重量相同。問：每瓶最多裝多少千克？如果若干個分數(shù)（含整數(shù)）都是某個分數(shù)的整數(shù)倍，那么稱這個分數(shù)是這若干個分數(shù)的公約數(shù)。在所有公約數(shù)中最大的一個公約數(shù)，稱為這若干個分數(shù)的最大公約數(shù)。如果某個分數(shù)（或整數(shù)）同時是若干個分數(shù)（含整數(shù)）的整數(shù)倍，那么稱這個分數(shù)是這若干個分數(shù)的公倍數(shù)。在所有公倍數(shù)中最小的一個公倍數(shù)，稱為這若干個分數(shù)的最小公倍數(shù)。練習(xí)131.將72和120的乘積寫成它們的

43、最大公約數(shù)和最最小公倍數(shù)的乘積的形式。2.兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)是12，最小公倍數(shù)是72。滿足條件的自然數(shù)有哪幾組？3.求下列各組分數(shù)的最大公約數(shù)：4.求下列各組分數(shù)的最小公倍數(shù)：部分別裝入小瓶中，每個小瓶裝入液體的重量相同。問：最少要裝多少瓶？于同一處只有一次，求圓形綠地的周長。第14講 余數(shù)問題余數(shù)有如下一些重要性質(zhì)（a，b，c均為自然數(shù)）：（1）余數(shù)小于除數(shù)。（2）被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù)；除數(shù)=（被除數(shù)-余數(shù)）÷商；商=（被除數(shù)-余數(shù)）÷除數(shù)。（3）如果a，b除以c的余數(shù)相同，那么a及b的差能被c整除。例如，17及11除以3的余數(shù)都是2，所以17-11能被3

44、整除。（4）a及b的和除以c的余數(shù)，等于a，b分別除以c的余數(shù)之和（或這個和除以c的余數(shù)）。（5）a及b的乘積除以c的余數(shù)，等于a，b分別除以c的余數(shù)之積（或這個積除以c的余數(shù)）。例1 5122除以一個兩位數(shù)得到的余數(shù)是66，求這個兩位數(shù)。例2 被除數(shù)、除數(shù)、商及余數(shù)之和是2143，已知商是33，余數(shù)是52，求被除數(shù)和除數(shù)。例3 甲、乙兩數(shù)的和是1088，甲數(shù)除以乙數(shù)商11余32，求甲、乙兩數(shù)。例4 有一個整數(shù)，用它去除70，110，160得到的三個余數(shù)之和是50。求這個數(shù)。例5 求478×296×351除以17的余數(shù)。例6 甲、乙兩個代表團乘車去參觀，每輛車可乘36人。兩

45、代表團坐滿若干輛車后，甲代表團余下的11人及乙代表團余下的成員正好又坐滿一輛車。參觀完，甲代表團的每個成員及乙代表團的每個成員兩兩合拍一張照片留念。如果每個膠卷可拍36張照片，那么拍完最后一張照片后，相機里的膠卷還可拍幾張照片？練習(xí)14 1.今天是星期六，再過1000天是星期幾？2.已知兩個自然數(shù)a和b（ab），已知a和b除以13的余數(shù)分別是5和9，求a+b，a-b，a×b，a2-b2各自除以13的余數(shù)。3.2100除以一個兩位數(shù)得到的余數(shù)是56，求這個兩位數(shù)。4.被除數(shù)、除數(shù)、商及余數(shù)之和是903，已知除數(shù)是35，余數(shù)是2，求被除數(shù)。5.用一個整數(shù)去除345和543所得的余數(shù)相同，

46、且商相差9，求這個數(shù)。6.有一個整數(shù)，用它去除312，231，123得到的三個余數(shù)之和是41，求這個數(shù)。7.2000年五月有5個星期三、4個星期四，這個月的一日是星期幾？第15講 孫子問題及逐步約束法例1 一個數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余2。求滿足條件的最小自然數(shù)。例2 求滿足除以5余1，除以7余3，除以8余5的最小的自然數(shù)。例3 在10000以內(nèi)，除以3余2，除以7余3，除以11余4的數(shù)有幾個？例4 求滿足除以6余3，除以8余5，除以9余6的最小自然數(shù)。例5學(xué)校要安排66名新生住宿，小房間可以住4人，大房間可以住7人，需要多少間大、小房間，才能正好將66名新生安排下？例6 求不定方程5

47、x+3y=68的所有整數(shù)解。 練習(xí)15 1.一個數(shù)除以5余4，除以8余3，除以11余2，求滿足條件的最小自然數(shù)。2.有一堆蘋果，3個3個數(shù)余1個，5個5個數(shù)余2個，6個6個數(shù)余4個。這堆蘋果至少有多少個？3.在小于1000的自然數(shù)中，除以4余3，除以5余2，除以7余4的最大的自然數(shù)是幾？4.在5000以內(nèi)，除以3余1，除以5余2，除以7余3的自然數(shù)有多少個？5.有一個兩位數(shù)，除以2及除以3都余1，除以4及除以5都余3，求這個數(shù)。6.用100元錢去買3元一個和7元一個的兩種商品，錢正好用完，共有幾種買法？7.五年級一班的43名同學(xué)去劃船，大船可坐7人，小船可坐5人，需租大、小船各多少條

48、？ 第16講 巧算24游戲規(guī)則：給定四個自然數(shù)，通過+，-，×，÷四則運算，可以交換數(shù)的位置，可以隨意地添括號，但規(guī)定每個數(shù)恰好使用一次，連起來組成一個混合運算的算式，使最后得數(shù)是24?！皵?shù)學(xué)24”游戲通常是用撲克牌進行的，此時，給定的四個自然數(shù)就被限定在113范圍內(nèi)了。“數(shù)學(xué)24”游戲可以1個人玩，也可以多個人玩，比如四個人玩，把撲克牌中的大、小王拿掉，剩下的52張牌洗好后，每人分13張，然后每人出一張牌，每張牌的點數(shù)代表一個自然數(shù)，其中J，Q，K分別代表11，12和13，四張牌表示四個自然數(shù)。誰最先按游戲規(guī)則算出24，就把這四張牌贏走。然后繼續(xù)進行。最后誰的牌最多誰獲勝

49、。要想算得又快又準(zhǔn)，最重要的有兩條：一是熟悉加法口訣和乘法口訣，二是利用括號。括號既能改變運算順序，也可以改變運算符號。請用下面例題中給出的四個數(shù)，按規(guī)則算出24。例1 3，3，5，6。例2 2，2，4，8。例3 1，4，4，5。例4 6，8，8，9。例5 5，7，12，12。例6 2，2，6，9。例7 2，6，9，9。例8 2，4，10，10。例9 1，5，5，5。例10 3，3，8，8。例11 1，4，5，6。  練習(xí) 16 用給出的四個數(shù)，按規(guī)則算出24。1.（1）1，3，3，7； （2）2，2，5，7；（3）1，4，4，7； （4）1，2，8，8；（5）1，5，6，6； （6

50、）5，8，8，8。2.（1） 2，7，7，10； （2）3，5，5，9；（3）5，5，7，11； （4）2，6，6，12；（5）4，4，5，5； （6）2，5，5，10；（7）4，9，9，12； （8）3，7，9，13。3.（1）1，3，4，6； （2）2，8，9，13；（3）1，6，6，8； （4）2，3，5，12；（5）3，4，6，13； （6）1，8，12，12；（7）3，4，8，13； （8）2，7，12，13。第17講 位值原則同一個數(shù)字，由于它在所寫的數(shù)里的位置不同，所表示的數(shù)也不同。也就是說，每一個數(shù)字除了本身的值以外，還有一個“位置值”。例如“5”，寫在個位上，就表示5個一；寫

51、在十位上，就表示5個十；寫在百位上，就表示5個百；等等。這種把數(shù)字和數(shù)位結(jié)合起來表示數(shù)的原則，稱為寫數(shù)的位值原則。我們通常使用的是十進制計數(shù)法，其特點是“滿十進一”。就是說，每10個某一單位就組成和它相鄰的較高的一個單位，即10個一，叫做“十”，10個十叫做“百”，10個百叫做“千”，等等。寫數(shù)時，從右端起，第一位是個位，第二位是十位，第三位是百位，第四位是千位，等等（見下圖）。用阿拉伯?dāng)?shù)字和位值原則，可以表示出一切整數(shù)。例如，926表示9個百，2個十，6個一，即926=9×100+2×10+6。根據(jù)問題的需要，有時我們也用字母代替阿拉伯?dāng)?shù)字表示數(shù)，如：其中a可以是19中的

52、數(shù)碼，但不能是0，b和c是09中的數(shù)碼。下面，我們利用位值原則解決一些整數(shù)問題。例2有一個兩位數(shù)，把數(shù)碼1加在它的前面可以得到一個三位數(shù)，加在它的后面也可以得到一個三位數(shù)，這兩個三位數(shù)相差666。求原來的兩位數(shù)。例3 a，b，c是19中的三個不同的數(shù)碼，用它們組成的六個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)之和是（a+b+c）的多少倍？例4用2，8，7三張數(shù)字卡片可以組成若干個不同的三位數(shù)，所有這些三位數(shù)的平均值是多少？例5一個兩位數(shù)，各位數(shù)字的和的5倍比原數(shù)大6，求這個兩位數(shù)。例6將一個三位數(shù)的數(shù)字重新排列，在所得到的三位數(shù)中，用最大的減去最小的，正好等于原來的三位數(shù)，求原來的三位數(shù)。練習(xí)17 1.有一個兩位

53、數(shù)，把數(shù)碼1加在它的前面可以得到一個三位數(shù)，加在它的后面也可以得到一個三位數(shù)，這兩個三位數(shù)之和是970。求原來的兩位數(shù)。2.有一個三位數(shù)，將數(shù)碼1加在它的前面可以得到一個四位數(shù)，將數(shù)碼3加在它的后面也可以得到一個四位數(shù)，這兩個四位數(shù)之差是2351，求原來的三位數(shù)。5.從19中取出三個數(shù)碼，用這三個數(shù)碼組成的六個不同的三位數(shù)之和是3330。這六個三位數(shù)中最小的能是幾？最大的能是幾？6.一個兩位數(shù)，各位數(shù)字的和的6倍比原數(shù)小9，求這個兩位數(shù)。7.一個三位數(shù)，抹去它的首位數(shù)之后剩下的兩位數(shù)的4倍比原三位數(shù)大1，求這個三位數(shù)。第18講最大最小例1兩個自然數(shù)的和是15，要使兩個整數(shù)的乘積最大，這兩個整數(shù)

54、各是多少？例2比較下面兩個乘積的大小：a=57128463×，b=57128460×。例3用長36米的竹籬笆圍成一個長方形菜園，圍成菜園的最大面積是多少？例3說明，周長一定的長方形中，正方形的面積最大。例4兩個自然數(shù)的積是48，這兩個自然數(shù)是什么值時，它們的和最??？例5要砌一個面積為72米2的長方形豬圈，長方形的邊長以米為單位都是自然數(shù)，這個豬圈的圍墻最少長多少米？例6把17分成幾個自然數(shù)的和，怎樣分才能使它們的乘積最大？例7把49分拆成幾個自然數(shù)的和，這幾個自然數(shù)的連乘積最大是多少？練習(xí)181. 試求和是91，乘積最大的兩個自然數(shù)。最大的積是多少？之和的最小值是多少？3.比較下面兩個乘積的大?。?23456789×987654321，123456788×987654322。4.現(xiàn)計劃用圍墻圍起一塊面積為5544米2的長方形地面，為節(jié)省材料，要求圍墻最短，那么這塊長方形地的圍墻有多少米長？5.把19分成幾個自然數(shù)的和，怎樣分才能使它們的積最大？6.18這八個數(shù)字各用一次，分別寫成兩個四位數(shù)，使這兩個數(shù)相乘的乘積最大。那么這兩個四位數(shù)各是多少？7.在數(shù)1234