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1、 四階行列式計(jì)算方法的一些教學(xué)探討 甘媛【摘 要】行列式的計(jì)算是線(xiàn)性代數(shù)中主要的基礎(chǔ)知識(shí)之一,利用倍加性質(zhì)造零是四階行列式的計(jì)算方法中最關(guān)鍵的步驟,也是難點(diǎn)。針對(duì)高職高專(zhuān)學(xué)生的特點(diǎn),總結(jié)出學(xué)生容易理解接受的新技巧找1造0,橫寫(xiě)豎算(豎寫(xiě)橫算),有效地突破這一難點(diǎn),提高教學(xué)效果?!娟P(guān)鍵詞】四階行列式;倍加造零;找1造0;橫寫(xiě)豎算;豎寫(xiě)橫算g642 a2095-3089(2018)32-0014-02一、引言行列式計(jì)算的思想和方法其實(shí)是以行列式的性質(zhì)為工具,把四階行列式化為一些特殊的行列式或是三階行列式來(lái)求解。而數(shù)字行列式一般是降為三階行列式來(lái)進(jìn)
2、行計(jì)算,因此計(jì)算方法離不開(kāi)倍加性質(zhì)和拉普拉斯展開(kāi)式。二、分析探討我們先回憶一下倍加性質(zhì):把行列式的某一行(列)的元素乘以常數(shù)k,再加到另一行(列)的對(duì)應(yīng)元素上,行列式的值不變。這條性質(zhì)主要用于把元素化為零,因此又叫“倍加造零”。但是這條性質(zhì)中學(xué)生最難以理解的是如何造?為了突破這個(gè)教學(xué)難點(diǎn),我們必須明確以下幾點(diǎn):(1)在性質(zhì)中涉及到兩行(列)元素,首先必須知道的是哪一行(列)上的元素發(fā)生變化。(2)“倍加”二字包括乘法和加法兩種運(yùn)算,也就意味著具體計(jì)算是先乘法后加法。(3)常數(shù)k如何取,取什么數(shù)才能合乎題意,這是難點(diǎn)。(4)最終目的是造零,零的個(gè)數(shù)越多,求解就越簡(jiǎn)便,但某一行(列)最多也就是三個(gè)
3、零。對(duì)于四階行列式的求解有兩種辦法,一種是利用拉普拉斯展開(kāi)式,直接降階為三階行列式,這種計(jì)算方法的缺點(diǎn)是計(jì)算量大,至少要計(jì)算兩個(gè)或兩個(gè)以上的三階行列式。而通過(guò)倍加造零后再降階,造零后的四階行列式最終可以直接轉(zhuǎn)化成一個(gè)三階行列式來(lái)計(jì)算。目標(biāo):先把四階行列式的某一行(列)的三個(gè)元素變成零。為了使造零的過(guò)程簡(jiǎn)單些,再根據(jù)高職高專(zhuān)學(xué)生的水平基礎(chǔ),我們一般先找到最多零所在的行或列,最后留住一個(gè)1,造三個(gè)0;找到某一行就是橫寫(xiě),找到某一列就是豎寫(xiě),寫(xiě)啥呢?寫(xiě)一個(gè)1,三個(gè)0,寫(xiě)完以后,記得明確橫寫(xiě),那么造零的過(guò)程只能列與列之間的倍加變換;豎寫(xiě),那么造零的過(guò)程就只能行與行之間的倍加變換。這就是第一個(gè)技巧叫橫寫(xiě)
4、豎算或豎寫(xiě)橫算。以實(shí)際例子來(lái)示范,比如:,我們先找到最多零的第二行(也可以第四行,方法類(lèi)似),寫(xiě)上一個(gè)1,三個(gè)0,;然后分析第二行的第一個(gè)、第二個(gè)元素都沒(méi)有發(fā)生變化,所以代表著第一列和第二列的元素全部保持不變,再接著寫(xiě)完整就是,第一個(gè)步驟完成。接下來(lái)分析,真正要計(jì)算的元素實(shí)際上只有6個(gè),這6個(gè)如何計(jì)算,利用倍加性質(zhì)。先看第三個(gè)元素由變成0,利用倒推法,只有加上1才等于0,找1造0,相當(dāng)于1只要乘以1倍還是1,因此得到第一列乘以常數(shù)1,再加到第三列,;同理可知第四個(gè)元素的造法,由2變成0,只有加上,相當(dāng)于1只要乘以就行,因此是第一列乘以常數(shù),再加到第四列,這就是找1造零。最后再利用拉普拉斯展開(kāi)式
5、,轉(zhuǎn)化成一個(gè)三階行列式來(lái)計(jì)算。綜合起來(lái):這個(gè)解題技巧就是橫寫(xiě)豎算,找1造0.同理我們也可以進(jìn)行豎寫(xiě)橫算,比如我們找到最多零的第二列(也可以第四列,方法類(lèi)似),按上述步驟,先豎寫(xiě)好1和0,對(duì)比原式第一行和第二行沒(méi)有變化,所以;第二步找1造0,第一行乘以加到第三行,第一行乘以加到第四行,;最后再降為三階行列式計(jì)算。綜合起來(lái):利用橫寫(xiě)豎算(豎寫(xiě)橫算)和找1造0這兩個(gè)技巧,高職高專(zhuān)的學(xué)生更容易找到解題的方法和訣竅,計(jì)算起來(lái)也更加準(zhǔn)確清晰,不會(huì)被這么多數(shù)字搞迷糊。當(dāng)然,在倍加造零這條性質(zhì)里,并不僅僅只能找1造0,其實(shí)找任何數(shù)字都可以造0,只不過(guò)按照高職高專(zhuān)學(xué)生的基礎(chǔ)而言,找1造0是最簡(jiǎn)單也是最容易計(jì)算的
6、,這種題型在實(shí)際求解題型中也是最多的。如果找其他數(shù)字造零,倍數(shù)有可能需要的是分?jǐn)?shù),而不是整數(shù),計(jì)算起來(lái)相對(duì)復(fù)雜一些,但原理也是一樣的。比如上題,找0多的所在行(列)展開(kāi)降階,這一分析過(guò)程和前面是一樣的,我們?nèi)砸缘诙姓归_(kāi),第二行的4個(gè)元素1、0、3、1,如果不找1來(lái)造0,我們選擇3來(lái)造0,那么3要把1變成0的話(huà),1依舊加上才能等于0,但倍數(shù)要從3得到的話(huà),只能是3乘以-13.因此是第三行乘以-13,再加到第一行或第四行。具體過(guò)程如下:雖然最后結(jié)果也是6,但明顯計(jì)算過(guò)程比前面復(fù)雜多了,因此我們選擇找1來(lái)造0,是最便捷的選擇。三、結(jié)束語(yǔ)對(duì)于高職高專(zhuān)學(xué)生而言,行列式的計(jì)算特別是高階行列式的計(jì)算,在利用倍加性質(zhì)的過(guò)程中數(shù)字計(jì)算確實(shí)比較容易混淆,有一定的難度,但只要抓住性質(zhì)的本質(zhì),掌握解題的技巧,反復(fù)計(jì)算練習(xí),就能突破難點(diǎn),熟能生巧,解決問(wèn)題。參考文獻(xiàn)1彭玉芳,尹福源,沈亦一.線(xiàn)性代數(shù)(第二版)m.北京:高等教育出版社,2010.課程教育研究·學(xué)法教法研究2018年32期課程教育研究·學(xué)法教法研究的其它文章把培育社會(huì)主義
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