2022年全等三角形的性質(zhì)及判定

1、全等三角形第 1 節(jié) 全等三角形的性質(zhì)和判定【知識(shí)梳理】1、全等圖形：能夠完全重合的兩個(gè)圖形就是全等圖形2、全等三角形的概念與表示：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫作全等三角形能夠相互重合的頂點(diǎn)、邊、角分別叫作對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角全等符號(hào)為“”3、全等三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)邊上的中線相等，對(duì)應(yīng)邊上的高相等，對(duì)應(yīng)角的角平分線相等，面積相等4、全等三角形的判定方法：(1) 邊角邊定理 (sas) ：兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(2) 角邊角定理 (asa) ：兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(3) 邊邊邊定理 (sss) ：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(4)

2、角角邊定理 (aas) ：兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(5) 斜邊、直角邊定理(hl) ：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等【診斷自測】1、 如果abcdbc， 則ab的對(duì)應(yīng)邊是 _，ac的對(duì)應(yīng)邊是 _， dbc 的對(duì)應(yīng)角是 _，dcb的對(duì)應(yīng)角是 _2、如圖，已知abedce，ae2 cm，be1.5 cm ，a25，b48；那么de_cm，ec _cm，c _；d _3、如果 abc和 def這兩個(gè)三角形全等，點(diǎn)c和點(diǎn) e，點(diǎn) b和點(diǎn) d分別是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則另一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)是，對(duì)應(yīng)邊是，對(duì)應(yīng)角是，表示這兩個(gè)三角形全等的式子是精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - -

3、 - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 16 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 16 頁 - - - - - - - - -【考點(diǎn)突破】類型一：全等形例 1、由同一張底片沖洗出來的兩張五寸照片的圖案_全等圖案，而由同一張底片沖洗出來的五寸照片和七寸照片_全等圖形。（填“是”或者“不是”）類型二：全三角形的定義和性質(zhì)例 2、如圖，點(diǎn)e，f 在線段 bc 上， abf 與 dce 全等，點(diǎn)a 與點(diǎn) d，點(diǎn) b 與點(diǎn) c 是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)， af 與 de 交于點(diǎn) m，則 dce=

4、 （）a bb ac emfd afb例 3、如圖， abe 和 adc 是 abc 分別沿著ab、ac 邊翻折 180 形成的， 若 bac ：abc ： bca=28 ：5：3，則 的度數(shù)為（）a90 b85 c80 d75類型三：全等三角形的判定（sss ）例 4、用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于己知角的作圖痕跡如圖所示，則作圖的依據(jù)是（）asss bsas casa daas例 5、已知：如圖21， rpq 中， rprq，m 為 pq 的中點(diǎn)求證： rm 平分 prq分析：要證rm 平分 prq，即 prm _，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - -

5、- - 第 2 頁，共 16 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 16 頁 - - - - - - - - -只要證 _ 證明：m 為 pq 的中點(diǎn)（已知），_ 在 _和 _中，),_(_,),(pmrqrp已知_（）prm_（ _）即 rm例 6已知：如圖，ad bc acbd試證明： cad dbc . 類型四：全等三角形的判定（sas ）例 7. 已知：如圖31，ab、cd 相交于 o 點(diǎn)， ao co，odob求證： d b分析：要證d b，只要證 _ 證明：在 aod 與 cob

6、 中，),_(),_(_),(odcoaoaod _ （）d b（ _）精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 16 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 16 頁 - - - - - - - - -例 8、小紅家有一個(gè)小口瓶（如圖所示），她很想知道它的內(nèi)徑是多少？但是尺子不能伸在里邊直接測，于是她想了想，唉！有辦法了她拿來了兩根長度相同的細(xì)木條，并且把兩根長木條的中點(diǎn)固定在一起，木條可以繞中點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，這樣只要量出ab 的長， 就

7、可以知道玻璃瓶的內(nèi)徑是多少，你知道這是為什么嗎？請(qǐng)說明理由（木條的厚度不計(jì)）例 9、 如圖，將兩個(gè)一大、 一小的等腰直角三角尺拼接（a、 b、 d 三點(diǎn)共線，ab=cb ， eb=db ，abc= ebd=90 ），連接ae、 cd，試確定ae 與 cd 的位置與數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論類型五：全等三角形的判定（aas和 asa ）例 10、 某同學(xué)把一塊三角形的玻璃打碎成了3 塊，現(xiàn)要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，同學(xué)小明知道只要帶 去就行了，你知道其中的道理是（）asas bssa casa dhl例 11. 如圖，已知 abc的六個(gè)元素，則下列甲、乙、丙三個(gè)三角形中和abc全等的圖形是

8、例 12、已知：如圖，pmpn， m n求證： ambn精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 16 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 16 頁 - - - - - - - - -分析： pmpn，要證 ambn，只要證pa _，只要證 _證明：在 _與 _中，),_(_),_(_),_(_ _ （）pa_ （）pmpn （），pm_ pn_，即 am_例 13、已知： ab ae，ad ac， e=b，de=cb 求證：

9、ad=ac 例 14、如圖，在 abc中，acb 90，ac bc ，be ce于點(diǎn) ead ce于點(diǎn)d求證： dec cda 類型六：全等三角形的判定（hl）例 15. 已知在 abc和def中, a=d=90 , 則下列條件中不能判定abc和def全等的是 ( ) a.ab=d e,ac=df b.ac=ef,bc=df 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 16 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 16 頁 - - -

10、 - - - - - - c.ab=de,bc=ef d.c= f,bc=ef 例 16、如圖所示，在 abc中， c=90 ，de ab于點(diǎn) d ，bd=bc, 若 ac=6 ，則ae+de=_ 【易錯(cuò)精選】1、如圖所示，abc dec，則不能得到的結(jié)論是（）aab=deb a= d cbc=cdd acd= bce2、如圖，梯形 abcd 中，ad bc ，點(diǎn) m是 ad的中點(diǎn)，且 mb=mc，若 ad=4 ，ab=6 ，bc=8 ，則梯形 abcd 的周長為（）a22 b24 c26 d 28 3、如 圖，有兩 個(gè)長 度相 同的 滑梯（ 即 bc=ef），左 邊滑 梯的 高度 ac與右邊

11、 滑梯 水平 方向 的 長度 df相等， 則 abc+ dfe=_ 度acbed精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 16 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 16 頁 - - - - - - - - -【精華提煉】判定三角形全等的基本思路：sassshlsss找夾角已知兩邊找直角找另一邊aasasasaaassas邊為角的對(duì)邊找任意一角找這條邊上的另一角已知一邊一角邊就是角的一條邊找這條邊上的對(duì)角找該角的另一邊asaaaa

12、as找兩角的夾邊已知兩角找任意一邊備注：尋找對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角，常用到以下方法：(1) 全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊(2) 全等三角形對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角，兩條對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角(3) 有公共邊的，公共邊常是對(duì)應(yīng)邊(4) 有公共角的，公共角常是對(duì)應(yīng)角(5) 有對(duì)頂角的，對(duì)頂角常是對(duì)應(yīng)角(6) 兩個(gè)全等的不等邊三角形中一對(duì)最長邊( 或最大角 ) 是對(duì)應(yīng)邊 ( 或?qū)?yīng)角 ) ， 一對(duì)最短邊 ( 或最小角 ) 是對(duì)應(yīng)邊 ( 或?qū)?yīng)角 ) 要想正確地表示兩個(gè)三角形全等，找出對(duì)應(yīng)的元素是關(guān)鍵全等三角形的圖形歸納起來有以下幾種典型形式： 平移全等型 對(duì)稱全等型 旋轉(zhuǎn)全等型

13、精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 16 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 16 頁 - - - - - - - - -【本節(jié)訓(xùn)練】訓(xùn)練【 1】如圖， e 為線段 bc 上一點(diǎn)， ab bc， abe ecd ，判斷 ae 與 de 的關(guān)系，并證明你的結(jié)論訓(xùn)練【 2】如圖，點(diǎn) a、f、c 、d在同一直線上，點(diǎn) b和點(diǎn) e分別在直線 ad的兩側(cè)，且abde，ad，afdc求證：bcef訓(xùn)練【 3】已知圖中的兩個(gè)三角形全等，

14、則1 等于度精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 16 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 16 頁 - - - - - - - - -【訓(xùn)練 4】如圖， bac= dae ， abd= ace ，ab=ac 求證： bd=ce 基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1、下列說法：有兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等；有斜邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等腰直角三角形全等； 有一條直角邊和斜邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等；有一條邊相等的兩個(gè)等腰直角三

15、角形全等其中正確的有（）a、1 個(gè)b、2 個(gè)c 、3 個(gè)d、4 個(gè)2、如圖， abc是不等邊三角形， de=bc ，以 d 、e 為兩個(gè)頂點(diǎn)作位置不同的三角形，使所作三角形與abc全等，這樣的三角形最多可以畫出 a2 個(gè) b4 個(gè) c6 個(gè) d8 個(gè)精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 16 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 16 頁 - - - - - - - - -3、下列說法正確的是（）a、全等三角形是指周長和面積都

16、一樣的三角形; b、全等三角形的周長和面積都一樣 ; c、全等三角形是指形狀相同的兩個(gè)三角形; d、全等三角形的邊都相等4、下列兩個(gè)三角形中，一定全等的是（）a. 兩個(gè)等邊三角形b. 有一個(gè)角是 40，腰相等的兩個(gè)等腰三角形c. 有一條邊相等，有一個(gè)內(nèi)角相等的兩個(gè)等腰三角形d. 有一個(gè)角是 100，底相等的兩個(gè)等腰三角形5、如圖，abc與bde都是等邊三角形， abcd caecd d無法確定6、如圖，已知 ab=ad ，那么添加下列一個(gè)條件后，仍無法判定abc adc 的是（）acb=cd bbac= dac cbca= dca db=d=90 二、填空題6、如圖 ，在 abc中，adbc于

17、 d，be ac于 e，ad與 be 相交 于點(diǎn) f，若 bf=ac， 則 abc=_ cadeb精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁，共 16 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁，共 16 頁 - - - - - - - - -7、如圖，等腰直角三角形 abc的直角頂點(diǎn) b在直線 pq上，ad pq于 d，ce pq于 e，且 ad=2cm ，db=4cm ，則梯形 adec 的面積是 _8、（動(dòng)手操作實(shí)驗(yàn)題）如圖所示是小明自

18、制對(duì)頂角的“小儀器”示意圖：（1）將直角 三角板 abc的 ac邊延長且使 ac固定；（2）另一個(gè)三角板 cde? 的直角頂點(diǎn)與前一個(gè)三角板直角頂點(diǎn)重合；（3）延長 dc ，pcd 與acf就是一組對(duì)頂角，已知 1=30，acf為多少？三、簡答題9、如圖，已知ab=ac ， 1= 2，ad=ae ，求證： c=b10、如圖，在 abc 中，ad是bac的平分線， de 、df分別是 abd和acd 的高線，求證： ad ef 。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁，共 16 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選

19、擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁，共 16 頁 - - - - - - - - -11、 如圖， 一個(gè)含 45的三角板 hbe 的兩條直角邊與正方形abcd 的兩鄰邊重合，過 e點(diǎn)作 ef ae交dce 的角平分線于 f點(diǎn)， 試探究線段 ae與 ef的數(shù)量關(guān)系，并說明理由。巔峰突破1、如圖，點(diǎn) b、c 、e在同一條直線上， abc 與cde 都是等邊三角形，則下列結(jié)論不一定成立的是（） a. ace bcd b. bgc afc c. dcg ecf d. adb cea 2. 如圖，在 abc 中，ab =ac ，abc acb的平分線 bd

20、 ，ce相交于 o點(diǎn)，且bd交 ac于點(diǎn) d，ce交 ab于點(diǎn) e某同學(xué)分析圖形后得出以下結(jié)論：bcd cbe ； bad bcd ； bda cea ； boe cod ；ace bce ；上述結(jié)論一定正確的是（） abcd精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁，共 16 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁，共 16 頁 - - - - - - - - -3、如圖， abc 中，ab=ac ，bd=ce ，be=cf，若 a=4

21、0 ，則 def 的度數(shù)是（）a75 b70 c65 d604、如圖，在abc 和 def 中， b=def，ab=de ，添加下列一個(gè)條件后，仍然不能證明 abc def，這個(gè)條件是（）a a= d bbc=efc acb= fdac=df5如圖是一個(gè)44 的正方形網(wǎng)格，圖中所標(biāo)示的7 個(gè)角的角度之和等于（）a585b540c270d3156、如圖 1，在 abc 中， acb=90 ，ac=bc ，直線 l 經(jīng)過頂點(diǎn) c，過 a、b 兩點(diǎn)分別作l 的垂線 ae、bf，e、f 為垂足第 1 題圖第 2 題圖精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - -

22、 第 13 頁，共 16 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 頁，共 16 頁 - - - - - - - - -（1）當(dāng)直線l 不與底邊 ab 相交時(shí)，求證：ef=ae +bf（2）如圖 2，將直線l 繞點(diǎn) c 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使l 與底邊 ab 交于點(diǎn) d，請(qǐng)你探究直線l 在如下三種可能的位置時(shí)，ef、ae、bf 三者之間的數(shù)量關(guān)系（直接填空） 當(dāng) ad bd 時(shí)，關(guān)系是： 當(dāng) ad=bd 時(shí)，關(guān)系是： 當(dāng) ad bd 時(shí)，關(guān)系是：7、如圖，已知abc=90 ， d 是直線 ab 上的點(diǎn)， ad

23、=bc （1）如圖 1，過點(diǎn) a 作 afab ，并截取af=bd ，連接 dc、df、cf，判斷 cdf 的形狀并證明；（2）如圖 2，e 是直線 bc 上一點(diǎn)，且ce=bd ，直線 ae、cd 相交于點(diǎn)p， apd 的度數(shù)是一個(gè)固定的值嗎？若是，請(qǐng)求出它的度數(shù)；若不是，請(qǐng)說明理由8、如圖 1，在 abc 中， acb 為銳角，點(diǎn)d 為射線 bc 上一點(diǎn)，連接ad ，以 ad 為一邊且在 ad 的右側(cè)作正方形adef （1）如果 ab=ac ， bac=90 ， 當(dāng)點(diǎn) d 在線段 bc 上時(shí)（與點(diǎn)b 不重合），如圖2，線段 cf、bd 所在直線的位置關(guān)系為，線段 cf、bd 的數(shù)量關(guān)系為； 當(dāng)點(diǎn) d 在線段 bc 的延長線上時(shí)，如圖3， 中的結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；（2）如果 abac ， bac