晶體學(xué)之晶體的宏觀(guān)對(duì)稱(chēng)PPT課件

1、材料的結(jié)構(gòu)材料的結(jié)構(gòu)參考書(shū)：材料的結(jié)構(gòu) 余永寧 毛衛(wèi)民編著 冶金工業(yè)出版社晶體晶體( (結(jié)晶結(jié)晶) )學(xué)概述學(xué)概述結(jié)晶學(xué)：是以晶體為研究對(duì)象的一門(mén)自然科學(xué)是以晶體為研究對(duì)象的一門(mén)自然科學(xué)。螢石經(jīng)典晶體學(xué) 1669年，丹麥斯泰諾發(fā)現(xiàn)晶體面角守恒定律。 1801年，法國(guó)赫羽依發(fā)現(xiàn)了晶體學(xué)基本定律，即有理指數(shù)定律。 1809年，沃拉斯通設(shè)計(jì)出反射測(cè)角儀，使測(cè)量精度得到提高，從而開(kāi)始了大量測(cè)量晶體外形以推斷內(nèi)部結(jié)構(gòu)的工作。 18051809年，德國(guó)韋斯總結(jié)出晶體對(duì)稱(chēng)定律。 1830年，德國(guó)黑薩爾推導(dǎo)出了經(jīng)典晶體學(xué)描述晶體外形對(duì)稱(chēng)性的32種點(diǎn)群。 18851890年，俄國(guó)費(fèi)德羅夫，德國(guó)熊夫利斯推導(dǎo)出了描

2、述晶體結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)性的230種空間群。 19世紀(jì)末期，晶體結(jié)構(gòu)的點(diǎn)陣?yán)碚撘鸦境墒?，為后?lái)的晶體結(jié)構(gòu)分析奠定了理論基礎(chǔ)。這些理論至今仍然成立。近代晶體學(xué) 1895年，德國(guó)物理學(xué)家倫琴發(fā)現(xiàn)了X射線(xiàn)。 1912年，德國(guó)勞埃用X射線(xiàn)作光源，用晶體作光柵，進(jìn)行照射實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)了X射線(xiàn)在晶體中的衍射現(xiàn)象。這是一個(gè)具有劃時(shí)代意義的實(shí)驗(yàn)。首先它證實(shí)了晶體結(jié)構(gòu)點(diǎn)陣?yán)碚摰恼_性，其次它確定了X射線(xiàn)的本質(zhì)，即X射線(xiàn)是電磁波，同時(shí)它奠定了近代晶體學(xué)基礎(chǔ)，使X射線(xiàn)成為認(rèn)識(shí)晶體結(jié)構(gòu)的重要手段并形成了X射線(xiàn)晶體學(xué)。 1913年，英國(guó)布拉格父子和俄國(guó)吳里夫推導(dǎo)出了X射線(xiàn)衍射的最基本公式，即布拉格公式，極大地推動(dòng)了晶體結(jié)構(gòu)的分析工

3、作。 20年代以后，人們收集X射線(xiàn)衍射譜，測(cè)量各種有代表性無(wú)機(jī)物和結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的有機(jī)物的晶體結(jié)構(gòu)。 60年代，人們已能測(cè)定蛋白質(zhì)大分子的晶體結(jié)構(gòu)。(1)晶體生成學(xué)：研究天然及人工晶體的發(fā)生，成長(zhǎng)和變化的過(guò)程與機(jī)理，研究天然及人工晶體的發(fā)生，成長(zhǎng)和變化的過(guò)程與機(jī)理，以及控制和影響它們的因素。以及控制和影響它們的因素。(2)幾何結(jié)晶學(xué)：研究晶體外表幾何多面體的形狀以及其間的規(guī)律性。研究晶體外表幾何多面體的形狀以及其間的規(guī)律性。(3)晶體結(jié)構(gòu)學(xué)：研究晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)中質(zhì)點(diǎn)排布的規(guī)律性，以及晶體結(jié)構(gòu)研究晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)中質(zhì)點(diǎn)排布的規(guī)律性，以及晶體結(jié)構(gòu)的不完善性的不完善性( (如晶體的對(duì)稱(chēng)性，原子在晶體點(diǎn)陣中的位置

4、及晶體缺陷等如晶體的對(duì)稱(chēng)性，原子在晶體點(diǎn)陣中的位置及晶體缺陷等) )。(4)晶體化學(xué)：研究晶體的化學(xué)組成與晶體結(jié)構(gòu)及晶體的物理、化學(xué)性質(zhì)研究晶體的化學(xué)組成與晶體結(jié)構(gòu)及晶體的物理、化學(xué)性質(zhì)間關(guān)系的規(guī)律性。間關(guān)系的規(guī)律性。(5)晶體物理學(xué)：研究晶體的各項(xiàng)物理性質(zhì)及其產(chǎn)生的機(jī)理。研究晶體的各項(xiàng)物理性質(zhì)及其產(chǎn)生的機(jī)理。結(jié)晶學(xué)分為5部分：結(jié)晶學(xué)研究手段和方法(1)(1)研究晶體化學(xué)成分一般采用化學(xué)分析、光譜分析和電子探針?lè)治鲅芯烤w化學(xué)成分一般采用化學(xué)分析、光譜分析和電子探針?lè)治?2)(2)研究晶體結(jié)構(gòu)的基本方法是研究晶體結(jié)構(gòu)的基本方法是X X射線(xiàn)衍射分析，透射電鏡，紅外光譜射線(xiàn)衍射分析，透射電鏡，紅外

5、光譜和穆斯堡爾譜等各種譜學(xué)方法和穆斯堡爾譜等各種譜學(xué)方法(3)(3)對(duì)晶體形貌的研究，傳統(tǒng)的測(cè)角術(shù)仍是基本方法。研究晶體表面對(duì)晶體形貌的研究，傳統(tǒng)的測(cè)角術(shù)仍是基本方法。研究晶體表面形貌，還需要進(jìn)行電子顯微鏡研究。形貌，還需要進(jìn)行電子顯微鏡研究。(4)(4)對(duì)晶體生長(zhǎng)的研究，除對(duì)天然晶體的觀(guān)測(cè)外，主要是通過(guò)人工晶對(duì)晶體生長(zhǎng)的研究，除對(duì)天然晶體的觀(guān)測(cè)外，主要是通過(guò)人工晶體的培養(yǎng)，研究晶體生長(zhǎng)機(jī)理，并合成所需的各種晶體。體的培養(yǎng)，研究晶體生長(zhǎng)機(jī)理，并合成所需的各種晶體。(5)(5)對(duì)晶體的各種物理性能的研究和物理常數(shù)的測(cè)定，常采用電子顯對(duì)晶體的各種物理性能的研究和物理常數(shù)的測(cè)定，常采用電子顯微鏡，波

6、譜分析和電學(xué)、磁學(xué)、熱學(xué)、力學(xué)等各種方法。微鏡，波譜分析和電學(xué)、磁學(xué)、熱學(xué)、力學(xué)等各種方法。晶體的概念 對(duì)晶體的認(rèn)識(shí)始于外部形態(tài)的觀(guān)察影響晶體外形的主要因素有兩個(gè)：(1)(1)晶體的內(nèi)部結(jié)構(gòu)晶體的內(nèi)部結(jié)構(gòu)(2)(2)晶體生長(zhǎng)的物理化學(xué)條件晶體生長(zhǎng)的物理化學(xué)條件 一個(gè)單晶體的規(guī)則幾何外形一定是一個(gè)凸多面體正八面體結(jié)構(gòu)金剛石石榴子石的正十二面體結(jié)構(gòu)理想形態(tài)方解石多晶冰糖黃鐵礦非理想形態(tài)晶體：是結(jié)構(gòu)單元是結(jié)構(gòu)單元( (原子，離子，分子等原子，離子，分子等) )具有三維長(zhǎng)程有序排列具有三維長(zhǎng)程有序排列的一切固體物質(zhì)。的一切固體物質(zhì)。晶體的特征(1)晶體的不完整性(2)晶體存在的普遍性(3)晶體的基本共

7、性: 如均勻性，各向異性，對(duì)稱(chēng)性，固定的熔點(diǎn)(4)晶體的轉(zhuǎn)化(5)晶態(tài)的穩(wěn)定性對(duì)晶體本質(zhì)的揭示始于19121912年應(yīng)用X X射線(xiàn)對(duì)晶體構(gòu)造進(jìn)行研究非晶體非晶質(zhì)狀態(tài)是物質(zhì)結(jié)構(gòu)的一種狀態(tài)，也稱(chēng)為非晶態(tài)、無(wú)定型態(tài)非晶質(zhì)狀態(tài)是物質(zhì)結(jié)構(gòu)的一種狀態(tài)，也稱(chēng)為非晶態(tài)、無(wú)定型態(tài)或玻璃態(tài)。非晶態(tài)的固體物質(zhì)的結(jié)構(gòu)基元僅具有短程有序的排或玻璃態(tài)。非晶態(tài)的固體物質(zhì)的結(jié)構(gòu)基元僅具有短程有序的排列，即一個(gè)結(jié)構(gòu)基元在較小的范圍內(nèi)與其近鄰的幾個(gè)結(jié)構(gòu)基元列，即一個(gè)結(jié)構(gòu)基元在較小的范圍內(nèi)與其近鄰的幾個(gè)結(jié)構(gòu)基元間保持著有序的排列，而沒(méi)有長(zhǎng)程有序的排列。這些固體物質(zhì)間保持著有序的排列，而沒(méi)有長(zhǎng)程有序的排列。這些固體物質(zhì)被稱(chēng)為非晶體。

8、被稱(chēng)為非晶體。晶體與非晶體的區(qū)別在于其內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)排列是否具有周期性專(zhuān)題一專(zhuān)題一晶體的宏觀(guān)對(duì)稱(chēng)晶體的宏觀(guān)對(duì)稱(chēng) 對(duì)稱(chēng)的概念對(duì)稱(chēng)的概念 晶體的對(duì)稱(chēng)要素晶體的對(duì)稱(chēng)要素 對(duì)稱(chēng)要素的組合規(guī)律對(duì)稱(chēng)要素的組合規(guī)律 對(duì)稱(chēng)型對(duì)稱(chēng)型(點(diǎn)群點(diǎn)群)及其符號(hào)及其符號(hào) 晶體的對(duì)稱(chēng)分類(lèi)晶體的對(duì)稱(chēng)分類(lèi)主要內(nèi)容一、對(duì)稱(chēng)的概念對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng)：物體物體( (或圖形或圖形) )中，其相同部分之間的有規(guī)律重復(fù)。中，其相同部分之間的有規(guī)律重復(fù)。對(duì)稱(chēng)的條件對(duì)稱(chēng)的條件: (1)物體或物體或( (圖形圖形) )必須包含有若干個(gè)彼此相同的部分或者必須包含有若干個(gè)彼此相同的部分或者本身可以被劃分為若干個(gè)彼此相同的部分。本身可以被劃分為若干個(gè)彼此相同的部分。

9、(2)這些相同的部分之間還必須能借助于某種特定的動(dòng)作這些相同的部分之間還必須能借助于某種特定的動(dòng)作而發(fā)生有規(guī)律的重復(fù)。為此，要求各個(gè)相同部分之間，而發(fā)生有規(guī)律的重復(fù)。為此，要求各個(gè)相同部分之間，必須相對(duì)于一定的幾何要素必須相對(duì)于一定的幾何要素( (點(diǎn)、線(xiàn)、面等點(diǎn)、線(xiàn)、面等) )作某種有規(guī)作某種有規(guī)律的分布，即對(duì)稱(chēng)分布。律的分布，即對(duì)稱(chēng)分布。對(duì)稱(chēng)操作對(duì)稱(chēng)操作(對(duì)稱(chēng)變換對(duì)稱(chēng)變換)：能夠使對(duì)稱(chēng)物體能夠使對(duì)稱(chēng)物體( (或圖形或圖形) )中中的各個(gè)相同部分作有規(guī)律重復(fù)的變換動(dòng)作的各個(gè)相同部分作有規(guī)律重復(fù)的變換動(dòng)作。物體在經(jīng)過(guò)對(duì)稱(chēng)變換后，其各個(gè)相同部分便可以相互發(fā)生重復(fù)，相應(yīng)地整個(gè)物體的位象復(fù)原。亦即物體

10、在經(jīng)過(guò)對(duì)稱(chēng)變換后的形象及其所處的方位，都與變換前的狀況完全相同，就好像沒(méi)有進(jìn)行過(guò)變換一樣。對(duì)稱(chēng)要素對(duì)稱(chēng)要素：在進(jìn)行對(duì)稱(chēng)變換時(shí)所憑借的幾何要素在進(jìn)行對(duì)稱(chēng)變換時(shí)所憑借的幾何要素點(diǎn)、線(xiàn)、面等。一定的對(duì)稱(chēng)要素均有一定的對(duì)稱(chēng)變換點(diǎn)、線(xiàn)、面等。一定的對(duì)稱(chēng)要素均有一定的對(duì)稱(chēng)變換與之相對(duì)應(yīng)。與之相對(duì)應(yīng)。必須注意：有的對(duì)稱(chēng)變換可以用相應(yīng)的實(shí)際行動(dòng)來(lái)具體進(jìn)行，例如旋轉(zhuǎn)，就可以使物體繞某一直線(xiàn)為軸具體進(jìn)行轉(zhuǎn)動(dòng)；但有的對(duì)稱(chēng)變換，例如反映，以及還有所謂的倒反，卻是無(wú)法用某種實(shí)際的行動(dòng)來(lái)具體進(jìn)行的，而只能設(shè)想按相應(yīng)的對(duì)稱(chēng)變換關(guān)系來(lái)變換物體中每一個(gè)點(diǎn)的位置。二、晶體的對(duì)稱(chēng)要素宏觀(guān)晶體中所可能出現(xiàn)的對(duì)稱(chēng)要素包括宏觀(guān)晶體中所可

11、能出現(xiàn)的對(duì)稱(chēng)要素包括: (1)對(duì)稱(chēng)中心對(duì)稱(chēng)中心( (Center of symmetry, , 符號(hào)符號(hào)C) )(2)對(duì)稱(chēng)面對(duì)稱(chēng)面(symmetry plane, 符號(hào)符號(hào)P)(3)對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)軸(symmetry axis, 符號(hào)符號(hào)Ln)(4)倒轉(zhuǎn)軸倒轉(zhuǎn)軸(rotoinversion axis, 符號(hào)符號(hào)Lin)(5)映轉(zhuǎn)軸映轉(zhuǎn)軸(rotoreflection axis, 符號(hào)符號(hào)Lsn)為一假想的幾何點(diǎn)，相應(yīng)的對(duì)稱(chēng)變換是對(duì)于這個(gè)點(diǎn)的倒反(反伸)。對(duì)稱(chēng)中心的作用相似于一個(gè)照相機(jī)鏡頭，由對(duì)稱(chēng)中心聯(lián)系起來(lái)的兩個(gè)相同部分，分別相當(dāng)于物體和像，兩者互為上下、左右、前后均顛倒相反的關(guān)系。但在此，相當(dāng)于

12、物體與象的兩個(gè)相同的部分，其大小相等，且各對(duì)應(yīng)點(diǎn)至對(duì)稱(chēng)中心的距離也都相等。對(duì)稱(chēng)中心對(duì)稱(chēng)中心(center of symmetry，符號(hào)符號(hào)C)所謂反伸操作就是將圖形與對(duì)稱(chēng)中心做連線(xiàn)，該連線(xiàn)延長(zhǎng)到對(duì)稱(chēng)中心等距離的地方形成相同的圖形。晶體如具有對(duì)稱(chēng)中心時(shí)，它必定位于晶體的幾何中心；晶體如具有對(duì)稱(chēng)中心時(shí)，它必定位于晶體的幾何中心；晶體上所有的晶面必定全都成對(duì)地呈反向平行的關(guān)系，晶體上所有的晶面必定全都成對(duì)地呈反向平行的關(guān)系，同形等大。同形等大。為一假想的平面，相應(yīng)的對(duì)稱(chēng)變換為對(duì)此平面的反映。對(duì)稱(chēng)面的作用就好像一面鏡子，由對(duì)稱(chēng)面聯(lián)系起來(lái)的兩個(gè)相同部分，分別相當(dāng)于物體與象，兩者互成鏡象反映的關(guān)系。對(duì)稱(chēng)面

13、對(duì)稱(chēng)面(symmetry plane，符號(hào)符號(hào)P)m如果垂直于對(duì)稱(chēng)面作任意直線(xiàn)時(shí)，則在此直線(xiàn)上，位于對(duì)稱(chēng)面的兩側(cè)，且距對(duì)稱(chēng)面等距離的地方，必可找到性質(zhì)完全相同的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。P1、P2為對(duì)稱(chēng)面，為對(duì)稱(chēng)面，AD不是不是 立方體的九個(gè)對(duì)稱(chēng)面立方體的九個(gè)對(duì)稱(chēng)面 a a b b對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)軸(symmetry axis, 符號(hào)符號(hào)Ln)為一假想的直線(xiàn)，相應(yīng)的對(duì)稱(chēng)變換為圍繞此直線(xiàn)的旋轉(zhuǎn)：每為一假想的直線(xiàn)，相應(yīng)的對(duì)稱(chēng)變換為圍繞此直線(xiàn)的旋轉(zhuǎn)：每轉(zhuǎn)過(guò)一定角度，各個(gè)相同部分就發(fā)生一次重復(fù)，亦即整個(gè)物轉(zhuǎn)過(guò)一定角度，各個(gè)相同部分就發(fā)生一次重復(fù)，亦即整個(gè)物體復(fù)原一次體復(fù)原一次 。step 366step 1step2666s

14、tep 1step 2step 3軸次(n)：在旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，物體復(fù)原的次數(shù)，稱(chēng)在旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，物體復(fù)原的次數(shù)，稱(chēng)為該對(duì)稱(chēng)軸的軸次。為該對(duì)稱(chēng)軸的軸次。晶體中所能出現(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，其基轉(zhuǎn)角以及軸次不能是任晶體中所能出現(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，其基轉(zhuǎn)角以及軸次不能是任意的，它們受到晶體對(duì)稱(chēng)定律的制約。意的，它們受到晶體對(duì)稱(chēng)定律的制約。基轉(zhuǎn)角()：為使物體復(fù)原所需要的最小轉(zhuǎn)角則稱(chēng)為基為使物體復(fù)原所需要的最小轉(zhuǎn)角則稱(chēng)為基轉(zhuǎn)角。轉(zhuǎn)角。66666666666666661-fold2-fold3-fold4-fold6-fold晶體對(duì)稱(chēng)定律晶體對(duì)稱(chēng)定律在晶體中，只可能出現(xiàn)軸次為一次、二次、三次、四次在晶體中，只可能出

15、現(xiàn)軸次為一次、二次、三次、四次和六次的對(duì)稱(chēng)軸，而不可能存在五次及高于六次的對(duì)稱(chēng)和六次的對(duì)稱(chēng)軸，而不可能存在五次及高于六次的對(duì)稱(chēng)軸。軸。 設(shè)設(shè)B1ABA1是晶體中某一晶是晶體中某一晶面上的一個(gè)晶列，面上的一個(gè)晶列，AB為這一晶為這一晶列上相鄰的兩個(gè)格點(diǎn)列上相鄰的兩個(gè)格點(diǎn)。A1ABB1 AB 若晶體繞通過(guò)格點(diǎn)若晶體繞通過(guò)格點(diǎn)A并并垂直于紙面的垂直于紙面的u軸順時(shí)針轉(zhuǎn)軸順時(shí)針轉(zhuǎn) 角后能自身重合，則由于晶角后能自身重合，則由于晶體的周期性，通過(guò)格點(diǎn)體的周期性，通過(guò)格點(diǎn)B也也有一轉(zhuǎn)軸有一轉(zhuǎn)軸u。, ,ABBA2cos11 ,21, 0cos ,23,212,62,42BA AB是是 的整數(shù)倍，的整數(shù)倍，

16、 相反若相反若逆時(shí)針轉(zhuǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn) 角后能自身重合，則角后能自身重合，則A1ABB1 AB, ,ABBA2cos1BA AB是是 的整數(shù)倍，的整數(shù)倍， 1,21, 0cos ,32,222,32,42 643212, , , , ,n,n晶體中允許的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)軸只能是晶體中允許的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)軸只能是1，2，3，4，6度軸。度軸。綜合上述證明得：綜合上述證明得：對(duì)稱(chēng)軸在晶體中可能出現(xiàn)的位置是：對(duì)稱(chēng)軸在晶體中可能出現(xiàn)的位置是：有幾何中心時(shí)有幾何中心時(shí)(1)(1)兩個(gè)相對(duì)晶面的連線(xiàn)兩個(gè)相對(duì)晶面的連線(xiàn)(2)(2)兩個(gè)相對(duì)晶棱兩個(gè)相對(duì)晶棱中點(diǎn)的連線(xiàn)中點(diǎn)的連線(xiàn)(3)(3)相對(duì)的兩個(gè)角頂?shù)倪B線(xiàn)相對(duì)的兩個(gè)角頂?shù)倪B線(xiàn)無(wú)幾

17、何中心時(shí)可能是某一晶面的中心、晶棱的中點(diǎn)及角無(wú)幾何中心時(shí)可能是某一晶面的中心、晶棱的中點(diǎn)及角頂三者中任意兩者之間的連線(xiàn)。頂三者中任意兩者之間的連線(xiàn)。倒轉(zhuǎn)軸倒轉(zhuǎn)軸(rotoinversion axis, 符號(hào)符號(hào)Lin)亦稱(chēng)旋轉(zhuǎn)反伸軸，反軸或反演軸亦稱(chēng)旋轉(zhuǎn)反伸軸，反軸或反演軸是一種復(fù)合的對(duì)稱(chēng)要素。它的輔助幾何要素有兩個(gè)：一根假是一種復(fù)合的對(duì)稱(chēng)要素。它的輔助幾何要素有兩個(gè)：一根假想的直線(xiàn)和此直線(xiàn)上的一個(gè)定點(diǎn)。相應(yīng)的對(duì)稱(chēng)變換就是圍繞想的直線(xiàn)和此直線(xiàn)上的一個(gè)定點(diǎn)。相應(yīng)的對(duì)稱(chēng)變換就是圍繞此直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一定的角度及對(duì)于此定點(diǎn)的倒反此直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一定的角度及對(duì)于此定點(diǎn)的倒反( (反伸反伸) )。這兩個(gè)變換動(dòng)作是構(gòu)成

18、整個(gè)對(duì)稱(chēng)變換的不可分割的兩個(gè)組成部分。無(wú)論是先旋轉(zhuǎn)后倒反，或是先倒反后旋轉(zhuǎn)，兩者的效果完全相同，但都是在兩個(gè)變換動(dòng)作連續(xù)完成以后而使晶體復(fù)原。因此，就一般情況而言，一個(gè)倒轉(zhuǎn)軸并不等于一個(gè)對(duì)稱(chēng)軸與對(duì)稱(chēng)中心兩者的聯(lián)合。同對(duì)稱(chēng)軸的情況一樣，倒轉(zhuǎn)軸也有一定的軸次和基轉(zhuǎn)角。同對(duì)稱(chēng)軸的情況一樣，倒轉(zhuǎn)軸也有一定的軸次和基轉(zhuǎn)角。Li1 = CLi2 = PLi3 = L3 +CLi4 Li6 = L3 +P除除Li4是一種獨(dú)立的復(fù)合對(duì)稱(chēng)要素之外，其余四種倒轉(zhuǎn)軸都各自與一定的簡(jiǎn)是一種獨(dú)立的復(fù)合對(duì)稱(chēng)要素之外，其余四種倒轉(zhuǎn)軸都各自與一定的簡(jiǎn)單對(duì)稱(chēng)要素或某兩個(gè)簡(jiǎn)單對(duì)稱(chēng)要素的聯(lián)合存在著等效關(guān)系。單對(duì)稱(chēng)要素或某兩個(gè)簡(jiǎn)單對(duì)

19、稱(chēng)要素的聯(lián)合存在著等效關(guān)系。對(duì)稱(chēng)要素間的等效關(guān)系是指對(duì)稱(chēng)要素間的等效關(guān)系是指：如果某一對(duì)稱(chēng)要素：如果某一對(duì)稱(chēng)要素E1E1所施行的對(duì)稱(chēng)變換，能所施行的對(duì)稱(chēng)變換，能由另一對(duì)稱(chēng)要素由另一對(duì)稱(chēng)要素E2E2的對(duì)稱(chēng)變換來(lái)代替的對(duì)稱(chēng)變換來(lái)代替( (或者由另二對(duì)稱(chēng)要素或者由另二對(duì)稱(chēng)要素E3E3和和E4E4的聯(lián)合的聯(lián)合變換來(lái)代替變換來(lái)代替) )，且最后能使物體，且最后能使物體( (或圖形或圖形) )達(dá)到完全相同的復(fù)原效果時(shí)，則達(dá)到完全相同的復(fù)原效果時(shí)，則對(duì)稱(chēng)要素對(duì)稱(chēng)要素E1E1與與E2E2等效等效( (或者或者E1E1等效于等效于E3E3和和E4E4兩者的聯(lián)合兩者的聯(lián)合) )。以四次倒轉(zhuǎn)軸以四次倒轉(zhuǎn)軸Li4為例

20、，相應(yīng)的對(duì)稱(chēng)變換為圍繞該軸線(xiàn)旋為例，相應(yīng)的對(duì)稱(chēng)變換為圍繞該軸線(xiàn)旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)90和對(duì)于其上一個(gè)定點(diǎn)進(jìn)行倒反兩者的復(fù)合。和對(duì)于其上一個(gè)定點(diǎn)進(jìn)行倒反兩者的復(fù)合。32以四次倒轉(zhuǎn)軸以四次倒轉(zhuǎn)軸Li4為例，相應(yīng)的對(duì)稱(chēng)變換為圍繞該軸線(xiàn)旋為例，相應(yīng)的對(duì)稱(chēng)變換為圍繞該軸線(xiàn)旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)90和對(duì)于其上一個(gè)定點(diǎn)進(jìn)行倒反兩者的復(fù)合。和對(duì)于其上一個(gè)定點(diǎn)進(jìn)行倒反兩者的復(fù)合。33以四次倒轉(zhuǎn)軸以四次倒轉(zhuǎn)軸Li4為例，相應(yīng)的對(duì)稱(chēng)變換為圍繞該軸線(xiàn)旋為例，相應(yīng)的對(duì)稱(chēng)變換為圍繞該軸線(xiàn)旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)90和對(duì)于其上一個(gè)定點(diǎn)進(jìn)行倒反兩者的復(fù)合。和對(duì)于其上一個(gè)定點(diǎn)進(jìn)行倒反兩者的復(fù)合。3434Step 1: Rotate 360/4以四次倒轉(zhuǎn)軸以四次倒轉(zhuǎn)軸Li4為

21、例，相應(yīng)的對(duì)稱(chēng)變換為圍繞該軸線(xiàn)旋為例，相應(yīng)的對(duì)稱(chēng)變換為圍繞該軸線(xiàn)旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)90和對(duì)于其上一個(gè)定點(diǎn)進(jìn)行倒反兩者的復(fù)合。和對(duì)于其上一個(gè)定點(diǎn)進(jìn)行倒反兩者的復(fù)合。353535Step 1: Rotate 360/4Step 2: Invert以四次倒轉(zhuǎn)軸以四次倒轉(zhuǎn)軸Li4為例，相應(yīng)的對(duì)稱(chēng)變換為圍繞該軸線(xiàn)旋為例，相應(yīng)的對(duì)稱(chēng)變換為圍繞該軸線(xiàn)旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)90和對(duì)于其上一個(gè)定點(diǎn)進(jìn)行倒反兩者的復(fù)合。和對(duì)于其上一個(gè)定點(diǎn)進(jìn)行倒反兩者的復(fù)合。36363636Step 1: Rotate 360/4Step 2: Invert以四次倒轉(zhuǎn)軸以四次倒轉(zhuǎn)軸Li4為例，相應(yīng)的對(duì)稱(chēng)變換為圍繞該軸線(xiàn)旋為例，相應(yīng)的對(duì)稱(chēng)變換為圍繞該軸線(xiàn)旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)9

22、0和對(duì)于其上一個(gè)定點(diǎn)進(jìn)行倒反兩者的復(fù)合。和對(duì)于其上一個(gè)定點(diǎn)進(jìn)行倒反兩者的復(fù)合。3737373737Step 1: Rotate 360/4Step 2: InvertStep 3: Rotate 360/4 以四次倒轉(zhuǎn)軸以四次倒轉(zhuǎn)軸Li4為例，相應(yīng)的對(duì)稱(chēng)變換為圍繞該軸線(xiàn)旋為例，相應(yīng)的對(duì)稱(chēng)變換為圍繞該軸線(xiàn)旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)90和對(duì)于其上一個(gè)定點(diǎn)進(jìn)行倒反兩者的復(fù)合。和對(duì)于其上一個(gè)定點(diǎn)進(jìn)行倒反兩者的復(fù)合。383838383838Step 1: Rotate 360/4Step 2: InvertStep 3: Rotate 360/4 Step 4: Invert以四次倒轉(zhuǎn)軸以四次倒轉(zhuǎn)軸Li4為例，相應(yīng)的對(duì)稱(chēng)變

23、換為圍繞該軸線(xiàn)旋為例，相應(yīng)的對(duì)稱(chēng)變換為圍繞該軸線(xiàn)旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)90和對(duì)于其上一個(gè)定點(diǎn)進(jìn)行倒反兩者的復(fù)合。和對(duì)于其上一個(gè)定點(diǎn)進(jìn)行倒反兩者的復(fù)合。39393939393939Step 1: Rotate 360/4Step 2: InvertStep 3: Rotate 360/4 Step 4: Invert以四次倒轉(zhuǎn)軸以四次倒轉(zhuǎn)軸Li4為例，相應(yīng)的對(duì)稱(chēng)變換為圍繞該軸線(xiàn)旋為例，相應(yīng)的對(duì)稱(chēng)變換為圍繞該軸線(xiàn)旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)90和對(duì)于其上一個(gè)定點(diǎn)進(jìn)行倒反兩者的復(fù)合。和對(duì)于其上一個(gè)定點(diǎn)進(jìn)行倒反兩者的復(fù)合。4040404040404040Step 1: Rotate 360/4Step 2: InvertStep 3: R

24、otate 360/4 Step 4: InvertStep 5: Rotate 360/4 以四次倒轉(zhuǎn)軸以四次倒轉(zhuǎn)軸Li4為例，相應(yīng)的對(duì)稱(chēng)變換為圍繞該軸線(xiàn)旋為例，相應(yīng)的對(duì)稱(chēng)變換為圍繞該軸線(xiàn)旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)90和對(duì)于其上一個(gè)定點(diǎn)進(jìn)行倒反兩者的復(fù)合。和對(duì)于其上一個(gè)定點(diǎn)進(jìn)行倒反兩者的復(fù)合。414141414141414141Step 1: Rotate 360/4Step 2: InvertStep 3: Rotate 360/4 Step 4: InvertStep 5: Rotate 360/4 Step 6: Invert以四次倒轉(zhuǎn)軸以四次倒轉(zhuǎn)軸Li4為例，相應(yīng)的對(duì)稱(chēng)變換為圍繞該軸線(xiàn)旋為例，相應(yīng)的對(duì)稱(chēng)

25、變換為圍繞該軸線(xiàn)旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)90和對(duì)于其上一個(gè)定點(diǎn)進(jìn)行倒反兩者的復(fù)合。和對(duì)于其上一個(gè)定點(diǎn)進(jìn)行倒反兩者的復(fù)合。424242424242424242424-fold rotoinversion ( 4 )倒轉(zhuǎn)軸對(duì)稱(chēng)操作之圖解PLi2 Li3 L3Li6 L3PL3 應(yīng)用時(shí)，只考慮應(yīng)用時(shí)，只考慮Li4和和Li6。v 在晶體中，獨(dú)立的在晶體中，獨(dú)立的Li4和和Li6出現(xiàn)的可能情況是：一個(gè)晶體，如沒(méi)有出現(xiàn)的可能情況是：一個(gè)晶體，如沒(méi)有C,但有一但有一L3，且垂直此還有一個(gè)，且垂直此還有一個(gè)P時(shí)，則在此時(shí)，則在此L3的方向上肯定有一的方向上肯定有一Li6存在，而且由存在，而且由Li6可以完全取代此可以完全取代此

26、L3 +P的聯(lián)合。的聯(lián)合。v 一個(gè)晶體，如沒(méi)有一個(gè)晶體，如沒(méi)有C，但有但有L2時(shí)，則此時(shí)，則此L2有可能是一個(gè)有可能是一個(gè)Li4 ，但并，但并非必定就是一個(gè)非必定就是一個(gè)Li4 ；若確為；若確為L(zhǎng)i4時(shí)，則此時(shí)，則此L2將被包含在將被包含在Li4之內(nèi)而不之內(nèi)而不再獨(dú)立存在。再獨(dú)立存在。映轉(zhuǎn)軸映轉(zhuǎn)軸(rotoreflection axis, 符號(hào)符號(hào)Lsn)亦稱(chēng)旋轉(zhuǎn)反映軸亦稱(chēng)旋轉(zhuǎn)反映軸是一種復(fù)合的對(duì)稱(chēng)要素。它的輔助幾何要素有兩個(gè)：一根假是一種復(fù)合的對(duì)稱(chēng)要素。它的輔助幾何要素有兩個(gè)：一根假想的直線(xiàn)和垂直此直線(xiàn)的一個(gè)平面。相應(yīng)的對(duì)稱(chēng)變換就是圍想的直線(xiàn)和垂直此直線(xiàn)的一個(gè)平面。相應(yīng)的對(duì)稱(chēng)變換就是圍繞此直

27、線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一定的角度及對(duì)于此平面反映的復(fù)合。在晶體繞此直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一定的角度及對(duì)于此平面反映的復(fù)合。在晶體中，只能有一次、二次、三次、四次及六次的映轉(zhuǎn)軸中，只能有一次、二次、三次、四次及六次的映轉(zhuǎn)軸L2s = L1i = CL1s =L2i = PL6s = L3i = L3 + CL4s = L4iL3s = L6i = L3 + P每一個(gè)映轉(zhuǎn)軸都可以由與之等效的倒轉(zhuǎn)軸來(lái)代替它。映轉(zhuǎn)軸對(duì)稱(chēng)操作之圖解綜上所述，在晶體的外部形態(tài)上可綜上所述，在晶體的外部形態(tài)上可能存在而且具有獨(dú)立意義的對(duì)稱(chēng)要能存在而且具有獨(dú)立意義的對(duì)稱(chēng)要素只有九種：素只有九種：對(duì)稱(chēng)中心：對(duì)稱(chēng)中心：C對(duì)對(duì) 稱(chēng)稱(chēng) 面：面：P對(duì)對(duì) 稱(chēng)稱(chēng) 軸：

28、軸：L1、L2、L3、L4、L6旋轉(zhuǎn)反伸軸：旋轉(zhuǎn)反伸軸：L4i、L6i對(duì)稱(chēng)要素對(duì)稱(chēng)要素對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)中心對(duì)稱(chēng)中心對(duì)稱(chēng)面對(duì)稱(chēng)面倒轉(zhuǎn)軸倒轉(zhuǎn)軸 一次一次 二次二次 三次三次 四次四次 六次六次 三次三次 四次四次 六次六次輔助幾何要輔助幾何要素素直直 線(xiàn)線(xiàn)點(diǎn)點(diǎn)平面平面直線(xiàn)和直線(xiàn)上的點(diǎn)直線(xiàn)和直線(xiàn)上的點(diǎn)對(duì)稱(chēng)變換對(duì)稱(chēng)變換圍圍 繞繞 直直 線(xiàn)線(xiàn) 的的 旋旋 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)對(duì)于點(diǎn)的倒對(duì)于點(diǎn)的倒反反對(duì)于平面的對(duì)于平面的反映反映圍繞直線(xiàn)的旋轉(zhuǎn)及對(duì)于定點(diǎn)圍繞直線(xiàn)的旋轉(zhuǎn)及對(duì)于定點(diǎn)的倒反的倒反基轉(zhuǎn)角基轉(zhuǎn)角36018012090601209060習(xí)慣符號(hào)習(xí)慣符號(hào)L L1 1L L2 2L L3 3L L4 4L L6 6C CP

29、 PL Li i3 3L Li i4 4L Li i6 6國(guó)際符號(hào)國(guó)際符號(hào)1 12 23461 1m m3 34 46 6等效的對(duì)稱(chēng)等效的對(duì)稱(chēng)要素要素L Li i1 1L Li i2 2L L3 3+ +C CL L3 3+ +P P圖示記號(hào)圖示記號(hào)或或C C雙線(xiàn)或粗線(xiàn)雙線(xiàn)或粗線(xiàn)宏觀(guān)晶體的對(duì)稱(chēng)要素三、對(duì)稱(chēng)要素的組合 晶體中，究竟有哪些對(duì)稱(chēng)要素和對(duì)稱(chēng)操作可以同時(shí)存在？ 它們的組合方式有多少種？晶體多面體外形是有限圖形，故對(duì)稱(chēng)元素組合時(shí)必通過(guò)質(zhì)心，即通過(guò)一個(gè)公共點(diǎn)。任何對(duì)稱(chēng)元素組合的結(jié)果不允許產(chǎn)生與點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)不相容的對(duì)稱(chēng)元素。約束條件：約束條件：定理一 對(duì)稱(chēng)面的交線(xiàn)恒為對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)軸的基轉(zhuǎn)角等于對(duì)稱(chēng)

30、面的交線(xiàn)恒為對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)軸的基轉(zhuǎn)角等于相鄰對(duì)稱(chēng)面夾角的二倍。相鄰對(duì)稱(chēng)面夾角的二倍。推理1 有有n個(gè)對(duì)稱(chēng)面等角度的相交于同一條直線(xiàn)，則此個(gè)對(duì)稱(chēng)面等角度的相交于同一條直線(xiàn)，則此直線(xiàn)必為直線(xiàn)必為n次對(duì)稱(chēng)軸次對(duì)稱(chēng)軸。推理2 如果有一個(gè)對(duì)稱(chēng)面包含如果有一個(gè)對(duì)稱(chēng)面包含n次對(duì)稱(chēng)軸，則必有次對(duì)稱(chēng)軸，則必有n個(gè)對(duì)個(gè)對(duì)稱(chēng)面同時(shí)包含稱(chēng)面同時(shí)包含n次對(duì)稱(chēng)軸。次對(duì)稱(chēng)軸。定理二 如果有一根二次對(duì)稱(chēng)軸垂直于如果有一根二次對(duì)稱(chēng)軸垂直于n次對(duì)稱(chēng)軸時(shí)，則次對(duì)稱(chēng)軸時(shí)，則必有必有n根二次對(duì)稱(chēng)軸垂直于根二次對(duì)稱(chēng)軸垂直于n次對(duì)稱(chēng)軸。次對(duì)稱(chēng)軸。具有具有L33L2的的 -石英晶體石英晶體定理三 對(duì)稱(chēng)軸與垂直它的對(duì)稱(chēng)面的組合，當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸的軸對(duì)稱(chēng)

31、軸與垂直它的對(duì)稱(chēng)面的組合，當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸的軸次為偶數(shù)時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸與對(duì)稱(chēng)面的交點(diǎn)必為對(duì)稱(chēng)中心。次為偶數(shù)時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸與對(duì)稱(chēng)面的交點(diǎn)必為對(duì)稱(chēng)中心。推理1 對(duì)稱(chēng)面和對(duì)稱(chēng)中心的組合，必有一垂直于對(duì)稱(chēng)面的對(duì)稱(chēng)面和對(duì)稱(chēng)中心的組合，必有一垂直于對(duì)稱(chēng)面的偶次對(duì)稱(chēng)軸偶次對(duì)稱(chēng)軸。推理2 偶次偶次對(duì)稱(chēng)軸和對(duì)稱(chēng)中心的組合，必有一通過(guò)對(duì)稱(chēng)中對(duì)稱(chēng)軸和對(duì)稱(chēng)中心的組合，必有一通過(guò)對(duì)稱(chēng)中心并垂直于偶次對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)面。心并垂直于偶次對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)面。推理3 晶體對(duì)稱(chēng)要素中有對(duì)稱(chēng)中心存在時(shí)，偶次對(duì)稱(chēng)軸的晶體對(duì)稱(chēng)要素中有對(duì)稱(chēng)中心存在時(shí)，偶次對(duì)稱(chēng)軸的總數(shù)必等于對(duì)稱(chēng)面的總數(shù)?？倲?shù)必等于對(duì)稱(chēng)面的總數(shù)。具有具有L2PC的的正長(zhǎng)石晶體正長(zhǎng)石晶體定理四 如果

32、一個(gè)對(duì)稱(chēng)面如果一個(gè)對(duì)稱(chēng)面P P包含倒轉(zhuǎn)軸包含倒轉(zhuǎn)軸Lin，或有一條二次，或有一條二次對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)軸L L2 2垂直于倒轉(zhuǎn)軸垂直于倒轉(zhuǎn)軸Lin( (兩種情況將產(chǎn)生相同的結(jié)果兩種情況將產(chǎn)生相同的結(jié)果) )，當(dāng)?shù)罐D(zhuǎn)軸軸次當(dāng)?shù)罐D(zhuǎn)軸軸次n為奇數(shù)時(shí)，必有為奇數(shù)時(shí)，必有n個(gè)個(gè)L L2 2垂直于垂直于Lin ，并同時(shí)，并同時(shí)有有n個(gè)個(gè)P P包含包含Lin ；當(dāng)?shù)罐D(zhuǎn)軸軸次；當(dāng)?shù)罐D(zhuǎn)軸軸次n為偶數(shù)時(shí)，則必有為偶數(shù)時(shí)，則必有n/2個(gè)個(gè)L L2 2垂直于垂直于Lin ，同時(shí)有，同時(shí)有n/2個(gè)個(gè)P P包含包含Lin ，而且，對(duì)稱(chēng)面的法，而且，對(duì)稱(chēng)面的法線(xiàn)與相鄰二次對(duì)稱(chēng)軸的交線(xiàn)必均為線(xiàn)與相鄰二次對(duì)稱(chēng)軸的交線(xiàn)必均為360/2n

33、 。推理 若有一若有一L L2 2與與P P斜交，斜交， P P的法線(xiàn)與的法線(xiàn)與L L2 2的交角為的交角為，則必有，則必有平行平行( (包含包含) ) P P并垂直于并垂直于L L2 2的一的一n次倒轉(zhuǎn)軸次倒轉(zhuǎn)軸Lin ，n =360/2 設(shè)有高次對(duì)稱(chēng)軸設(shè)有高次對(duì)稱(chēng)軸Lm和和Ln相交于一點(diǎn)相交于一點(diǎn)O O，由于，由于Ln的作用在的作用在Ln周?chē)卮嬖谥車(chē)卮嬖趎 n個(gè)個(gè)Lm 。在每個(gè)。在每個(gè)Lm對(duì)稱(chēng)軸上距對(duì)稱(chēng)軸上距O O點(diǎn)等距離處取一點(diǎn)，聯(lián)接這些點(diǎn)必可點(diǎn)等距離處取一點(diǎn)，聯(lián)接這些點(diǎn)必可得一正得一正n n邊形，邊形， Ln則露在垂直于正則露在垂直于正n n邊形的中心，而邊形的中心，而Lm對(duì)稱(chēng)軸則

34、出露對(duì)稱(chēng)軸則出露于由于由m m個(gè)正個(gè)正n n邊形面組成的面角處，即每個(gè)角頂必是由邊形面組成的面角處，即每個(gè)角頂必是由m m個(gè)正個(gè)正n n邊形面邊形面圍成的，因此，必然組成由正圍成的，因此，必然組成由正n n邊形組成的正多面體。若邊形組成的正多面體。若Ln為為L(zhǎng)4 ， Lm為為L(zhǎng)3，出現(xiàn)的正多面體必為正方形圍成的立方體。，出現(xiàn)的正多面體必為正方形圍成的立方體。定理五 如果有兩根軸次分別為如果有兩根軸次分別為n n和和m m的對(duì)稱(chēng)軸以的對(duì)稱(chēng)軸以 角斜交角斜交時(shí)，則圍繞時(shí)，則圍繞Ln必共有必共有n個(gè)共點(diǎn)并呈對(duì)稱(chēng)分布的個(gè)共點(diǎn)并呈對(duì)稱(chēng)分布的Lm，同時(shí)，同時(shí)，在在Lm周?chē)脖赜兄車(chē)脖赜衜個(gè)共點(diǎn)呈對(duì)稱(chēng)分布

35、的個(gè)共點(diǎn)呈對(duì)稱(chēng)分布的Ln，且任意兩相鄰，且任意兩相鄰的的Ln和和Lm之間的交角均為之間的交角均為 。定理六 在結(jié)晶多面體上所有對(duì)稱(chēng)要素必有一個(gè)共同點(diǎn)。在結(jié)晶多面體上所有對(duì)稱(chēng)要素必有一個(gè)共同點(diǎn)。四、晶體的三十二種對(duì)稱(chēng)型對(duì)稱(chēng)型 宏觀(guān)晶體中全部對(duì)稱(chēng)要素的總和。宏觀(guān)晶體中全部對(duì)稱(chēng)要素的總和。點(diǎn)群 宏觀(guān)晶體中，由于所有對(duì)稱(chēng)要素都必定通過(guò)晶體宏觀(guān)晶體中，由于所有對(duì)稱(chēng)要素都必定通過(guò)晶體的中心點(diǎn)，因此在施行了全部對(duì)稱(chēng)要素的對(duì)稱(chēng)變換之后，的中心點(diǎn)，因此在施行了全部對(duì)稱(chēng)要素的對(duì)稱(chēng)變換之后，晶體中至少有一個(gè)點(diǎn)是不變的，故對(duì)稱(chēng)型也稱(chēng)為點(diǎn)群。晶體中至少有一個(gè)點(diǎn)是不變的，故對(duì)稱(chēng)型也稱(chēng)為點(diǎn)群。名稱(chēng)名稱(chēng)原始式原始式倒轉(zhuǎn)原始式

36、倒轉(zhuǎn)原始式中心式中心式軸式軸式面式面式倒轉(zhuǎn)面式倒轉(zhuǎn)面式面軸式面軸式晶晶系系晶晶族族對(duì)稱(chēng)要素組對(duì)稱(chēng)要素組合方式合方式LnLinLn CLn L2( )Ln P( )Lin P( )Ln P( ) L2( )對(duì)稱(chēng)要素總對(duì)稱(chēng)要素總和的共同式和的共同式LnLinLnC*LnPC*LnnL2LnnPLnnL2nPC*LnnL2(n+1)PC*n=1L1C三三斜斜低低級(jí)級(jí)L2PL2PC單單斜斜n=2(L2)(L2PC)3L2L22P3L23PC正正交交n=3L3L3CL33L2L33PL33L23PC三三方方中中級(jí)級(jí)n=4L4Li4L4PCL44L2L44PLi42L22PL44L25PC四四方方n=6L

37、6Li6L6PCL66L2L66PLi63L23PL66L27PC六六方方3L24L33L24L33PC3L44L36L23Li44L36P4L33L46L29PC等等軸軸高高級(jí)級(jí)晶體的三十二個(gè)對(duì)稱(chēng)型晶體對(duì)稱(chēng)型的符號(hào)一、國(guó)際符號(hào) N單獨(dú)一個(gè)Ln 單獨(dú)一個(gè)Lin N/mLn和垂直它的P的組合N22或N2Ln和垂直它的L2的組合 Nmm或NmLn和包含它的P的組合，其中對(duì)稱(chēng)型m是N=1時(shí)的特殊情況，而當(dāng)N=2時(shí)，則特別寫(xiě)為mm2 2m或 m2、 mLin和包含它的P以及垂直它的L2的組合 N/mmmLn和包含它的P以及垂直它的L2的組合 X3Y或Y3(X代表 4、 或m，Y代表2或m)凡符號(hào)中第二個(gè)位上為“3”者，均表示為具有四個(gè)對(duì)稱(chēng)型，所列出的各對(duì)稱(chēng)要素間均為斜交關(guān)系。二、 圣佛利斯符號(hào)與國(guó)際符號(hào)的一個(gè)不同之處是，對(duì)于復(fù)合對(duì)稱(chēng)