曲線曲面建模PPT課件

1、一、自由曲線與自由曲面基本概念一、自由曲線與自由曲面基本概念第1頁/共50頁不能用簡單的數(shù)學(xué)方程進(jìn)行描述的曲線曲面稱為自由曲線（Free Form Curves）和自由曲面（Free Form Surfaces），通常用參數(shù)方程表示。如汽車、輪船、飛機(jī)、人體的外形等。CAD中可以用數(shù)學(xué)方程式表示的曲線曲面稱為規(guī)則曲線曲面，常用隱函數(shù)或二次方程的顯函數(shù)表示。如圓、拋物線/球、圓柱、圓錐等。曲線曲面按照描述方式的不同可以分為兩類：第2頁/共50頁自由曲線曲面的計(jì)算機(jī)內(nèi)部描述有一個(gè)特征就是它具有插補(bǔ)性，或稱作近似性 。為此產(chǎn)生了許多不同的自由曲面描述方法，如Bezier逼近、Coons曲面、B樣條插

2、補(bǔ)以及NURBS描述等都通過參數(shù)多項(xiàng)式近似表示，目前曲面多采用NURBS樣條表達(dá)。自由曲線可以是由一系列的小曲線段連接而成，自由曲面可以是由無數(shù)個(gè)小的曲面片拼合而成。因此，曲線曲面的研究重點(diǎn)是曲線段或曲面片的描述及其連接拼合方法。第3頁/共50頁型值點(diǎn)：用于確定曲線或曲面的位置與形狀并且經(jīng)過該點(diǎn)。在自由曲線和曲面描述中常用幾種類型的點(diǎn)：Degree 3, 5 poles, 2 segmentsKnotpoints: Pole: 1Defining points: +112345123Segment 1由pole 1 pole 4描述Segment 2由pole 2 pole 5描述+特征點(diǎn)（控

3、制頂點(diǎn)）：用來確定曲線曲面的形狀位置，但曲線或曲面不一定經(jīng)過該點(diǎn)。節(jié)點(diǎn)控制點(diǎn)型值點(diǎn)第4頁/共50頁(1)常用術(shù)語 插值（interpolate）：給定一組精確的數(shù)值點(diǎn)，要求構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，使之嚴(yán)格地依次通過全部型值點(diǎn)，且滿足光順的要求。 逼近（approach）：對于一組給定的數(shù)值點(diǎn)，要求構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，使之在整體上最接近這些點(diǎn)而不一定通過這些點(diǎn)。 擬合（fit）：指已知某函數(shù)的若干離散函數(shù)值f1,f2,fn，通過調(diào)整該函數(shù)中若干待定系數(shù)f(1, 2,3), 使得該函數(shù)與已知點(diǎn)集的差別(最小二乘意義)最小。第5頁/共50頁光滑(smooth)：從數(shù)學(xué)意義上講，光滑是指曲線或曲面具有至少一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)

4、。光順(fair)：指曲線的拐點(diǎn)不能太多。如平面曲線光順條件：具有二階幾何連續(xù)；不存在多余的拐點(diǎn)；曲率變化較小。 第6頁/共50頁連續(xù)性描述分段邊界處的曲線與曲面的行為。 C0： 零階參數(shù)連續(xù)，指兩曲線段共點(diǎn) 。 C1：一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，指兩曲線段在共點(diǎn)處具有相同的一階導(dǎo)數(shù)；即切矢量方向相同，大小相等。 C2： 二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，指兩曲線段在共點(diǎn)處一階、二階導(dǎo)數(shù)的方向相同，大小相等，即等曲率。 Cn： n階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。(2)連續(xù)性1）參數(shù)連續(xù)性在CAD中通常使用的兩種連續(xù)性：1）參數(shù)連續(xù)性(用Cn 表示，其中 n 是某個(gè)整數(shù))；2）幾何連續(xù)性(用Gn 表示) 。第7頁/共50頁2）幾何連續(xù)性 G0：零階

5、幾何連續(xù)，與零階參數(shù)連續(xù)C0相同，指兩曲線段共點(diǎn) 。 G1：一階幾何連續(xù)，指兩曲線段在共點(diǎn)處切矢量方向相同，但大小不等。 G2： 二階幾何連續(xù)，指兩曲線段在共點(diǎn)處其一階、二階導(dǎo)數(shù)方向相同，但大小不等。 。 Gn： n階幾何連續(xù)。第8頁/共50頁下面討論兩條曲線下面討論兩條曲線P(t)與與Q(t)在參數(shù)在參數(shù)t0,1的連續(xù)問的連續(xù)問題題: 1）若要求在結(jié)合處達(dá)到G0或C0連續(xù)，即在結(jié)合處位置連續(xù)： P(1)=Q(0)2）若要求在結(jié)合處達(dá)到C1連續(xù)，即在連接點(diǎn)處有相同的一階導(dǎo)數(shù)。若要求在結(jié)合處達(dá)到G1連續(xù)，即在連接點(diǎn)處滿足G0連續(xù)的條件下，有公共的切矢： Q(1)=P(0) （ 0）當(dāng) =1時(shí)，

6、G1連續(xù)就成為C1連續(xù)。第9頁/共50頁3）若要求在結(jié)合處達(dá)到C2連續(xù)，即兩相鄰曲線段的連接點(diǎn)處有相同的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)。若要求在結(jié)合處達(dá)到G2連續(xù)，即在連接點(diǎn)處滿足G1連續(xù)的條件下，有公共的曲率矢： 這里為任意常數(shù)。當(dāng)=1， =0時(shí)， G2連續(xù)就成為C2連續(xù)。從上面的討論可以看到： C1連續(xù)保證G1連續(xù)，C2連續(xù)能保證G2連續(xù)；但反過來不行，也即Cn連續(xù)的條件比Gn連續(xù)的條件要苛刻。第10頁/共50頁第11頁/共50頁一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)三階導(dǎo)數(shù)連續(xù)第12頁/共50頁2、曲線、曲面的表達(dá)、曲線、曲面的表達(dá)（1）顯式表達(dá)坐標(biāo)值y可利用等號右側(cè)的x的計(jì)算式直接計(jì)算得到。 曲線: y=f(x

7、),如y=x，y=2x 曲面: z=f(x,y)（2）隱式表達(dá) x、y的關(guān)系是“隱含”在曲線的表達(dá)式中的。 曲線: f(x,y)=0; 如:x2+y2-r2=0 曲面: f(x,y,z)=0; 曲線曲面可以用顯函數(shù)、隱函數(shù)或參數(shù)方程表示。第13頁/共50頁隱函數(shù)、顯函數(shù)表示的缺點(diǎn)： 用隱函數(shù)表示不直觀，作圖不方便（如ax+by+c=0）； 用顯函數(shù)表示存在多值性（如x2+y2=r2）和斜率無窮大（如y=mx+b）等問題。 此外，隱函數(shù)和顯函數(shù)只適合表達(dá)簡單、規(guī)則的曲線曲面。自由曲線曲面多用參數(shù)方程表示，相應(yīng)地稱為參數(shù)曲線或參數(shù)曲面。第14頁/共50頁（3）參數(shù)表達(dá)x、y間的關(guān)系是通過一個(gè)“t”

8、來間接地反映出來的，t即稱為參數(shù)。 曲線: x=f(t) t為參數(shù),在01之間變化。 y=g(t) 曲面: x=f(u,v) u,v為參數(shù),通常規(guī)定在01之間變化。 y=g(u,v) z=h(u,v)第15頁/共50頁P(yáng)(u,v)=P( x(u,v),y(u,v),z(u,v) ， (u,v) 的范圍是 0,10,1空間的一條曲線可以表示成隨參數(shù)t變化的運(yùn)動點(diǎn)的軌跡，其矢量函數(shù)為： P(t)=P(x(t),y(t),z(t) ， t 的范圍是 0,1同理，空間中的一張曲面可用參數(shù)(u,v)表示為：第16頁/共50頁參數(shù)表達(dá)的重要特點(diǎn)：參數(shù)表達(dá)的重要特點(diǎn)：X=t2Y=t2X=tY=t 一條曲線可

9、以有不同的參數(shù)表達(dá)方式； 參數(shù)的等間距分布不一定導(dǎo)致曲線上對應(yīng)點(diǎn)的等間距分布，即參數(shù)域的等間距分割不等價(jià)于曲線的等間距分割。第17頁/共50頁1）具有幾何不變性。某些幾何性質(zhì)不隨坐標(biāo)變換而變化的性質(zhì)稱為幾何不變性。曲線形狀本質(zhì)上與坐標(biāo)系的選取無關(guān)。2）可以處理無窮大的斜率。dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)3) 參數(shù)方程將自變量和因變量完全分開，使得參數(shù)變化對各因變量的影響可以明顯地表示出來。4）可以處理多值曲線。5）規(guī)格化參數(shù)變量，使其相應(yīng)的幾何分量是有界的。 由于參數(shù)限制在0到1的閉區(qū)間之內(nèi)，因而所表示的曲線總是有界的，不需另設(shè)其他數(shù)據(jù)來定義其邊界。用參數(shù)表示曲線曲面的優(yōu)點(diǎn)：第18

10、頁/共50頁dcxbxaxy23dctbtatx23hgtftety23 7） 易于用矢量和矩陣表示幾何量，從而簡化了計(jì)算。 其中只有4個(gè)系數(shù)可控制曲線的形狀，而對于其參數(shù)表示為： 其中有8個(gè)系數(shù)可用來控制曲線的形狀。6）對曲線曲面形狀控制的自由度更大。如一條二維三次曲線的顯式表示為：第19頁/共50頁1、Hermite曲線/三次參數(shù)樣條曲線2、Bezier曲線3、B樣條曲線4、非均勻有理B樣條（NURBS）曲線第20頁/共50頁Hermite曲線是給定曲線段的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)以及兩端點(diǎn)處的切線矢量來描述的一條三次曲線?？臻g一條三次參數(shù)曲線可以表示為： 332333322222312111tdtc

11、tbaztdtctbaytdtctbax該曲線的矢量表達(dá)式為： 32)(tttt3210kkkkpp應(yīng)用端點(diǎn)P0和P1，以及端點(diǎn)切矢P0和P1,可得：) 1t0(第21頁/共50頁32113210110003k2kkpkkkkpkpkp于是，32)(tttt3210kkkkpp1031020100ppppkppppkpkpk)(22)(30101第22頁/共50頁231230231230ttp) tt2t (pt 3t2p) 1t 3t2(p) t (pp101023pppp0001010012331122 1 t t t) t (pp矩陣表達(dá)式為 ：于是，32)(tttt3210kkkkpp

12、10013100120100pp)pp(2kpp2)pp(3kpkpk) 1t0(第23頁/共50頁令：F1=2t3-3t2 1F2=-2t3 3t2 F3=t3-2t2 t F4=t3 - t20p14031201pFpFpFpF) t (pp則：F1、 F2、 F3、 F4稱為調(diào)和函數(shù)，也稱Hermite基函數(shù)。它表示幾何系數(shù)p0 、p1 、 、 對曲線形狀的影響程度。1p231230231230ttp) tt2t (pt 3t2p) 1t 3t2(p) t (pp第24頁/共50頁已知P0(-2,2), P1(2,2), P0(1,2), P1(1,-1)，試?yán)肏ermite曲線方法計(jì)

13、算P(0.3) (即參數(shù)t=0.3）點(diǎn)的坐標(biāo)。例題：P0(-2,2)P1(2,2)P0P1xy0第25頁/共50頁1 1）HermiteHermite曲線方程：曲線方程：)yx (122211220101000012331122 1 0.3 0.3 0.3)3 . 0p(p23101023pppp0001010012331122 1 t t t) t (pp) 1t0(2）將參數(shù)t=0.3以及起始端點(diǎn)坐標(biāo)、切矢代入曲線方程：第26頁/共50頁三次參數(shù)樣條曲線三次參數(shù)樣條曲線樣條曲線： 強(qiáng)迫曲線通過一組離散有序的型值點(diǎn)的光滑曲線。三次樣條曲線： 保證每一曲線段為三次，且曲線上各點(diǎn)的切線斜率、曲率

14、連續(xù)變化，即保證曲線段的連續(xù)性達(dá)到C2。第27頁/共50頁1962年，Bezier（法國雷諾汽車公司造型工程師）提出了一種自由曲線曲面的設(shè)計(jì)方法，稱為Bezier方法。其具體設(shè)計(jì)過程是：從模型或手繪草圖上取得數(shù)據(jù)后，用繪圖工具繪出曲線圖，然后從這張圖上大致定出Bezier特征多邊形各控制頂點(diǎn)的坐標(biāo)值，并輸入計(jì)算機(jī)進(jìn)行交互的幾何設(shè)計(jì)，調(diào)整特征多邊形頂點(diǎn)的位置，直到得出滿意的結(jié)果為止。用控制多邊形表示的Bezier曲面用控制多邊形定義的Beizer曲線第28頁/共50頁（1）Bezier曲線定義在空間給定n+1個(gè)控制頂點(diǎn)Pi(i=0,1,n)，則稱下列參數(shù)表示的曲線為n次Bezier曲線。) 10

15、 ()()(0,ttBPtPninii 1t0 1,iininnittCtB!ininCin tBni,稱為伯恩斯坦基函數(shù)（Bernstein Basis）。一般稱折線nPPP10為P(t)的控制多邊形；稱nPPP,10各點(diǎn)為P(t)的控制頂點(diǎn)。其中：第29頁/共50頁niiinVuBur0,)()( Bezier曲線表達(dá)式是由控制多邊形頂點(diǎn)位置矢量與Bernstein基函數(shù)線性組合（插值）得到的。) 10()()(0,ttBPtPninii在多數(shù)教科書中Bezier曲線表示為：其中：Vi為控制頂點(diǎn)，u為曲線參數(shù)。10 u第30頁/共50頁1）一次Bezier曲線一次Bezier曲線由兩個(gè)控制

16、頂點(diǎn)確定。此時(shí): n=1 1010PP011 11t tPPt1tP這是一條連接P0和P1的直線段。) 10()()(0,ttBPtPninii相應(yīng)的曲線表達(dá)式為: ttBttB1 , 11 , 0 1 1t0 1,iininnittCtB!ininCin) 1t0(第31頁/共50頁一次一次Bezier曲線的幾何推導(dǎo)曲線的幾何推導(dǎo) 101tPPttP第32頁/共50頁2）二次Bezier曲線 二次Bezier曲線由三個(gè)控制頂點(diǎn)確定。 210 222102PPP0 0 10 2 2-1 2- 11t tPtPt1t2Pt1tP對應(yīng)于一條拋物線。此時(shí)，n=2相應(yīng)的曲線表達(dá)式為 12 122, 2

17、2, 122, 0ttBtttBttB) 10()()(0,ttBPtPninii 1t0 1,iininnittCtB!ininCin) 1t0(第33頁/共50頁二次二次Bezier曲線的幾何推導(dǎo)曲線的幾何推導(dǎo) 22102121PtPttPttP第34頁/共50頁 3）三次Bezier曲線常用的三次Bezier曲線，由4個(gè)控制頂點(diǎn)確定，此時(shí)n=3 33 , 323 , 223 , 133 , 0 1313 1ttBtttBtttBttB相應(yīng)的Bezier 曲線為 3322120313131PtPttPttPttP 32102300010033036313311 t tPPPPttP與其對應(yīng)

18、的4個(gè)Bernstein基函數(shù)為：矩陣表達(dá)式為 ：) 1t0(第35頁/共50頁由同學(xué)們課后自己完成。 三次Bezier曲線的幾何推導(dǎo) 四次Bezier曲線的幾何推導(dǎo)？第36頁/共50頁（2）Bezier曲線的程序設(shè)計(jì)實(shí)際應(yīng)用的主要是三次Bezier曲線。利用它的參數(shù)表達(dá)式在區(qū)間(0,1)內(nèi)取多個(gè)值，例如100，計(jì)算出這100個(gè)值對應(yīng)的坐標(biāo)點(diǎn)，依次連接這些點(diǎn)就得到一條Bezier曲線。為程序設(shè)計(jì)方便，改寫曲線的表達(dá)式為： 33221203332212031313113131ytyttyttyttyxtxttxttxttx第37頁/共50頁321032102101003336333xxxxAxx

19、xAxxAxA321032102101003336333yyyyByyyByyByB 1t0 332210332210tBtBtBBtytAtAtAAtx提示：再添加一個(gè)z 坐標(biāo)，就可得到空間Bezier曲線。第38頁/共50頁（3）Bezier曲線的性質(zhì)在Bernstein基函數(shù) 1t0 1,iininnittCtB中， n為基本曲線的次數(shù)， i為基函數(shù)的序號。1）正性（非負(fù)性）： 0,tBni2）權(quán)性： ninitB0,13）對稱性： tBtBninni1,4）導(dǎo)數(shù)性質(zhì)： 11,1, 1,tBtBntBninini5）遞推性質(zhì)： tBtBttBninini1, 11,110 tBernst

20、ein基函數(shù)圖形（n5） 由排列組合和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算規(guī)律可以推導(dǎo)出Bernstein基函數(shù)的性質(zhì)：第39頁/共50頁Bezier曲線的一些性質(zhì)：1）端點(diǎn)性質(zhì)l 曲線經(jīng)過特征多邊形的首末點(diǎn) 1 ,00nPPPPl 曲線P(t)在P0點(diǎn)與邊P0P1相切，在 Pn 點(diǎn)與 相切 1011 ,0nnPPnPPPnP2）對稱性 由Bernstein基函數(shù)的對稱性可知，控制點(diǎn)的次序完全顛倒過來后，曲線的形狀不變，但走向相反。這表明,同一特征多邊形定義的Bezier曲線是惟一的。nnPP1Bernstein基函數(shù)圖形（n5）第40頁/共50頁3） 凸包性 P(t)是P0,P1,Pn凸線性組合。 Bezier曲線完全

21、被包在其特征多邊形的凸包內(nèi)。第41頁/共50頁5）交互能力4） 幾何不變性由給定控制頂點(diǎn)所確定的Bezier曲線的形狀與坐標(biāo)系的選取無關(guān)。幾何不變性對幾何圖形來說是一種很重要的性質(zhì)。在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中經(jīng)常要作坐標(biāo)變換，如果同一表示式在不同坐標(biāo)系下表示不同的曲線，則會給圖形變換帶來很多不便之處?？刂贫噙呅蜳0P1Pn大致地勾畫出Bezier曲線P(t)的形狀。 要改變P(t)的形狀，只要改變P0,P1,Pn的位置即可。第42頁/共50頁6）變差減小性7）保凸性如果Bezier曲線P(t)的控制多邊形P0P1Pn是一平面圖形，則該平面內(nèi)的任意直線與P(t)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不多于該直線與控制多邊形P0P1P

22、n交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，這一性質(zhì)稱為變差減小性。如果平面上的凸控制多邊形能導(dǎo)致所生成的曲線為凸曲線，則稱這個(gè)曲線生成的方法具有保凸性。將Bezier曲線控制多邊形的終點(diǎn)與起點(diǎn)連起來，如果這樣形成一個(gè)閉的凸多邊形，則相應(yīng)的Bezier曲線是一個(gè)凸的平面曲線。 此性質(zhì)說明Bezier曲線比控制多邊形所在的折線更光順。第43頁/共50頁Bezier曲線的次數(shù)是由其控制頂點(diǎn)確定的。常用的三次Bezier曲線由四個(gè)控制頂點(diǎn)確定。多控制點(diǎn)(n4)的三次Bezier曲線存在著幾條曲線的拼接問題，其關(guān)鍵問題是如何保持拼接處的連續(xù)性。 參數(shù)連續(xù): 切矢同向且模長相等。 幾何連續(xù): 切矢同向。1）拼接不同的問題在連接點(diǎn)處對連續(xù)性有不同的要求，常用到的有以下幾種：第44頁/共50頁設(shè): P(t)是Pi(i=0,1,2,3)確定的三次Bezier曲線； Q(t)是Qi(i=0,1,2,3)確定的三次Bezier曲線。P3=Q0,若滿足條件：0=t=1則兩條曲線至少保證G0連續(xù)。第45頁/共50頁根據(jù)以上條件，可以調(diào)整P(t)和Q(t)這兩段曲線，使得在連接點(diǎn)處達(dá)到一階幾何或?qū)?shù)連續(xù)：步驟1：