高數(shù)習(xí)題課件

1、一、一、 曲線積分的計(jì)算法曲線積分的計(jì)算法二、曲面積分的計(jì)算法二、曲面積分的計(jì)算法機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 線面積分的計(jì)算 第十一章 定積分定積分曲線積分曲線積分重積分重積分曲面積分曲面積分計(jì)算計(jì)算計(jì)算計(jì)算計(jì)算計(jì)算GreenGreen公式公式StokesStokes公式公式GuassGuass公式公式各種積分之間的聯(lián)系各種積分之間的聯(lián)系1. 基本方法曲線積分第一類 ( 對(duì)弧長(zhǎng) )第二類 ( 對(duì)坐標(biāo) ) 積分路徑參數(shù)方程代入法轉(zhuǎn)化定積分一代二換三定限(2) 確定積分上下限第一類: 下小上大第二類: 下始上終機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (1) 利用對(duì)稱性，輪換對(duì)稱性及質(zhì)心公式簡(jiǎn)化

2、計(jì)算 ;(2) 利用積分與路徑無(wú)關(guān)的等價(jià)條件;(3) 利用格林公式 (注意加輔助線的技巧加輔助線的技巧) ; (4) 利用斯托克斯公式 ;(5) 利用兩類曲線積分的聯(lián)系公式 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ,d)(22szyxI其中 為曲線02222zyxazyx解解: 利用輪換對(duì)稱性 , 有szsysxddd222利用重心公式知sysydd0szyxId)(32222sad322334azoyx(的重心在原點(diǎn))機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 解解: : ddLSz sxy s 1(01)L xyx其中 ：其中 ：dLSxy s10(1) 2xxdx1xy被坐標(biāo)面與曲面被坐標(biāo)面與曲面

3、zxy截下的截下的在第一卦限部分的面積。在第一卦限部分的面積。2.6機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 取取 x 為參數(shù)，則：為參數(shù)，則：機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 解解: : d|Lsxy1xy的邊界，計(jì)算積分的邊界，計(jì)算積分d.|Lsxy4 2.dLs解：解：2(2)2Pxxyxyy xyxxxQ2)(42 ,PQyx 即即112400(1)x dxy dy 故故原原式式.1523 xyo11A機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 解解: : 因?yàn)榉e分與路徑無(wú)關(guān)，所以,QPxy 23( )2 ( )( )xLxxxeydxx dy 與路徑無(wú)關(guān)，且與

4、路徑無(wú)關(guān)，且( ) xQx有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)( ).x而而( ),xPy23( )2 ( ),xxxxe即有即有2( )3 ( )2 ( )xxxxxe 這是一個(gè)二階常系數(shù)線性非齊次微分方程這是一個(gè)二階常系數(shù)線性非齊次微分方程. .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2( )3 ( )2 ( )xxxxxe 先求它所對(duì)應(yīng)的齊次微分方程的通解：先求它所對(duì)應(yīng)的齊次微分方程的通解：特征方程為：特征方程為：2320rr特征根為：特征根為：121,2.rr則所求齊次微分方程的通解為：則所求齊次微分方程的通解為：212( )xxxc ec e機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2

5、( )3 ( )2 ( )xxxxxe 再求非齊次微分方程的通解：再求非齊次微分方程的通解：因?yàn)橐驗(yàn)?為特征根，所以設(shè)特解為：為特征根，所以設(shè)特解為：2( )()xxx axb e代入原方程計(jì)算得：代入原方程計(jì)算得：21( )12xxxxe 于是：于是：22121( )12xxxxcec exxe 1. 基本方法曲面積分第一類( 對(duì)面積 )第二類( 對(duì)坐標(biāo) )轉(zhuǎn)化二重積分(1) 統(tǒng)一積分變量 代入曲面方程(2) 積分元素投影第一類: 始終非負(fù)第二類: 有向投影(3) 確定二重積分域 把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (1) 利用對(duì)稱性及重心公式簡(jiǎn)化計(jì)算(2) 利用

6、高斯公式注意公式使用條件添加輔助面的技巧(輔助面一般取平行坐標(biāo)面的平面)(3) 兩類曲面積分的轉(zhuǎn)化機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1) 二重積分是哪一類積分? 答答: 第一類曲面積分的特例.2) 設(shè)曲面,),( ,0:Dyxz問(wèn)下列等式是否成立?DyxyxfSzyxfdd)0 ,(d),( 不對(duì)不對(duì) ! 對(duì)坐標(biāo)的積分與 的側(cè)有關(guān) Dyxyxfyxzyxfdd)0 ,(dd),(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2121I9) 1(16)2(5122yxz23222)(ddddddzyxyxzxzyzyxI2221: zxy解解: 取足夠小的正數(shù), 作曲面取下側(cè) 使其包在 內(nèi), 2為 xo

7、y 平面上夾于之間的部分, 且取下側(cè) ,1與21ozyx取上側(cè), 計(jì)算, )0( z則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 21ozyx)2(133I2121I0 dv1dddddd13yxzxzyzyx232220 d d()xyxy2第二項(xiàng)添加輔助面, 再用高斯公式計(jì)算, 得機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 其,d2)(22SzyzyxI中 是球面.22222zxzyx解解: Szxd)22(32SzyxId )(222zyyx22Syzxd)(2Szxd)(20利用對(duì)稱性用重心公式機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xzoyzyxyxzxzyILd)3(d)2(d)(222222設(shè)L 是

8、平面與柱面1 yx的交線從 z 軸正向看去, L 為逆時(shí)針?lè)较? 計(jì)算 解解: 記 為平面2zyx上 L 所圍部分的上側(cè), D為在 xoy 面上的投影.I3131312zyx223yx Szyxd)324(3222zy 222xz SzyxdLD公式 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 Dyxyxdd)6(2Dxyo11D 的形心0 yxDyxdd1224SzyxId)324(32Dyxzyx),(, 2:1: yxD機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1. 幾何方面面積 ( 平面域或曲面域 ) , 體積質(zhì)量, 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量, 質(zhì)心, 引力 2. 物理方面機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 曲面面積的計(jì)

9、算法曲面面積的計(jì)算法SDxy),(yxfz xyoz dSS xyDyxdxdyzz221dsyxfSBAL ),(),(dxyyxfba 21),(zxoy),(yxfz sLABab機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 曲頂柱體的表面積曲頂柱體的表面積 LDyxdsyxfdffS),()11(22 xzyo),(yxfz LD如圖曲頂柱體，如圖曲頂柱體，機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 解解由對(duì)稱性由對(duì)稱性 LLdsyxzdsS2218, 1:3232 yxL33cos,(0)2sin,xttyt 參參數(shù)數(shù)方方程程為為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ,cossin3)()(22tdttdtyxdstt tdttttScossin3sincos182066 tdttttcossincossin3242022 2022cossin324tdtt.233 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 R個(gè)一邊與直徑等長(zhǎng)的同樣材料的均勻矩形薄片,使整個(gè)的另一邊長(zhǎng)度應(yīng)為多少?22xRyboRyx提示提示: 建立坐標(biāo)系如圖.,0y由對(duì)稱性知Dyxydd022ddxRbRRyyx2332bRR 由此解得Rb32問(wèn)接上去的均勻矩形薄片即有D薄片的重心恰好落在圓心上 ,?b機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ,dd)35(Dyxyx其中D 是由曲044222yxyx所