高數(shù)同濟書課件

1、目錄目錄上頁上頁下頁下頁第七節(jié)第七節(jié) 初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性與與 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)一、連續(xù)函數(shù)的運算性質(zhì)一、連續(xù)函數(shù)的運算性質(zhì)二、初等函數(shù)的連續(xù)性二、初等函數(shù)的連續(xù)性三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)第一章第一章函數(shù)與極限函數(shù)與極限目錄目錄上頁上頁下頁下頁一、連續(xù)函數(shù)的運算性質(zhì)一、連續(xù)函數(shù)的運算性質(zhì)四則運算性質(zhì)四則運算性質(zhì)定理定理1 若函數(shù)若函數(shù)f(x),g(x)在點在點x0皆連續(xù)，那么函數(shù)皆連續(xù)，那么函數(shù)在點在點x0也是連續(xù)的也是連續(xù)的0 ( ()0)ffgfgg xg ，利用連續(xù)函數(shù)的定義及函利用連續(xù)函數(shù)的定義及函數(shù)極限的四則運算性質(zhì)很數(shù)極限的四則運

2、算性質(zhì)很容易得到容易得到例例1 由于函數(shù)由于函數(shù)y=sinx，y=cosx在在 整個實數(shù)范圍內(nèi)都是連整個實數(shù)范圍內(nèi)都是連續(xù)的，因此三角函數(shù)續(xù)的，因此三角函數(shù) 在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的xxxxxxxxxx sincos11tan, cot, sec, csccossincossin 所有的三角函數(shù)在其定所有的三角函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的義域內(nèi)都是連續(xù)的.目錄目錄上頁上頁下頁下頁2反函數(shù)的連續(xù)性反函數(shù)的連續(xù)性定理定理2 若函數(shù)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間Ix上單調(diào)增加上單調(diào)增加 且連續(xù)且連續(xù),那么它的反函數(shù)那么它的反函數(shù)x=f-1(y)在區(qū)間在區(qū)間Iy上單調(diào)增加上單調(diào)增加

3、且且連續(xù)，其中連續(xù)，其中Iy =y|y=f(x), xIx.xOy( )yf x xOyxfy1( ) xIyI由此我們有下面的由此我們有下面的(或單調(diào)減少或單調(diào)減少)(或單調(diào)減少或單調(diào)減少)目錄目錄上頁上頁下頁下頁例例2 由于函數(shù)由于函數(shù)y=sinx在在 內(nèi)單調(diào)增加且連續(xù)，由內(nèi)單調(diào)增加且連續(xù)，由定理定理2，它的反函數(shù)，它的反函數(shù)y=arcsinx在閉區(qū)間在閉區(qū)間- -1,1上也是單調(diào)增上也是單調(diào)增加且連續(xù)的加且連續(xù)的,22 以此類推以此類推,所有的反三角函數(shù)在其所有的反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的定義域內(nèi)都是連續(xù)的.Oxysinyx Oxyyxarcsin 1 12 2 目錄目錄上頁上頁下

4、頁下頁由于對任意的由于對任意的x0， ，即指數(shù)函數(shù)，即指數(shù)函數(shù) 在定義域內(nèi)在定義域內(nèi)是連續(xù)的，同時，它也是單調(diào)的是連續(xù)的，同時，它也是單調(diào)的因此，由定理因此，由定理2 2，它的反函數(shù)，它的反函數(shù) 在在 內(nèi)也是連內(nèi)也是連續(xù)的且單調(diào)的續(xù)的且單調(diào)的00limxxxxaa xya logayx (0,)所有的指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)在其所有的指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的定義域內(nèi)都是連續(xù)的.Oxylogayx Oxyxya 目錄目錄上頁上頁下頁下頁3復合函數(shù)的連續(xù)性復合函數(shù)的連續(xù)性定理定理3 (1)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=fg(x)是由函數(shù)是由函數(shù)y=f(u)與函數(shù)與函數(shù)u=g(x)復合而復合而成成, 且

5、在且在x0的某鄰域的某鄰域U(x0)內(nèi)有定義內(nèi)有定義(2) 函數(shù)函數(shù)u=g(x)在點在點x0連續(xù)連續(xù),(3) 函數(shù)函數(shù)y=f(u)在點在點u0連續(xù)，連續(xù)，其中其中g(shù)(x0)=u0.則復合函數(shù)則復合函數(shù)y=fg(x)在點在點x0也連續(xù)也連續(xù).即有即有00lim ( ) ().xxf g xf g x y ()0f g xx0 xu()0g x0 xx0uu0 ()yf g x ( )ug x ( )yf u ( )f g xy 目錄目錄上頁上頁下頁下頁例例3 證函數(shù)證函數(shù)y=sin(x+1),y=cos(x-2)2在實數(shù)范圍內(nèi)都是連續(xù)的在實數(shù)范圍內(nèi)都是連續(xù)的證明證明 函數(shù)函數(shù)y=sin(x+1)

6、是由是由y=sinu和和u=x+1復合而成的復合而成的函數(shù)函數(shù)y=cos(x-2)2是由是由y=cosu和和u=v2及及v=x-2復合而成的復合而成的由復合函數(shù)的連續(xù)性，它們都是連續(xù)的由復合函數(shù)的連續(xù)性，它們都是連續(xù)的.定理定理3的簡單表述的簡單表述對復合函數(shù)對復合函數(shù)fg(x)，若，若g在在x0點連續(xù)，點連續(xù)，f在點在點u0=g(x0)連續(xù)，則有連續(xù)，則有0limxx ( )f g x0(lim)xxfg x 0lim ()xxf gx 0 ()f g x f連續(xù)連續(xù)g連續(xù)連續(xù)目錄目錄上頁上頁下頁下頁該如何利用該如何利用前面的結(jié)論前面的結(jié)論來說明冪函來說明冪函數(shù)的連續(xù)性？數(shù)的連續(xù)性？ 例例4

7、 冪函數(shù)冪函數(shù)y=x在在(0,+)是連續(xù)的是連續(xù)的y=x=e lnx由指數(shù)函數(shù)由指數(shù)函數(shù)y=eu及對數(shù)及對數(shù)函數(shù)函數(shù)u= lnx復合而成復合而成.證明證明 而而y=eu及及u=lnx都是連續(xù)的都是連續(xù)的, 由定理由定理3,冪函數(shù)冪函數(shù)y=x在在區(qū)間區(qū)間(0,+)內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)0sinlimlnxxx討論討論 求極限求極限能利用定理能利用定理3 3嗎？嗎？該函數(shù)由該函數(shù)由lnu和和 復合而成，復合而成，lnu是連續(xù)的，但是連續(xù)的，但 在在x=0處是不連續(xù)的，因而不能直接使用定理處是不連續(xù)的，因而不能直接使用定理3下面的定下面的定理理4是定理是定理3的推廣的推廣.sin xux sin xux )(

8、)(lim00ufxgfxx 定理定理4 設(shè)有復合函數(shù)設(shè)有復合函數(shù)y=fg(x)，函數(shù)，函數(shù)g(x)在在x0點的某去心鄰域點的某去心鄰域內(nèi)有定義，且內(nèi)有定義，且 ，而函數(shù)，而函數(shù)f在點在點y0連續(xù)則有連續(xù)則有0)(lim0uxgxx 目錄目錄上頁上頁下頁下頁定理定理4的簡單表述的簡單表述 您看出來定理您看出來定理3與與定理定理4的區(qū)別了嗎的區(qū)別了嗎?觀察兩定理的簡觀察兩定理的簡述中的式子述中的式子,您看您看它們有什么特點它們有什么特點?您有何考慮您有何考慮?它們的區(qū)別在于對內(nèi)層函它們的區(qū)別在于對內(nèi)層函數(shù)的要求不同數(shù)的要求不同,定理定理3中要求中要求內(nèi)層函數(shù)連續(xù)內(nèi)層函數(shù)連續(xù),而定理而定理4中僅中

9、僅要求內(nèi)層函數(shù)極限存在要求內(nèi)層函數(shù)極限存在.從兩個式子可以看出若函從兩個式子可以看出若函數(shù)連續(xù)數(shù)連續(xù),則極限號可以移到則極限號可以移到函數(shù)符號里面函數(shù)符號里面.0 ( )limxxf g x當當“外外”函數(shù)連續(xù)時，有函數(shù)連續(xù)時，有 f連續(xù)連續(xù)0(lim)xxfg x 00sinsinlimlnlnlimln10.xxxxxx 于是于是 g不一定連續(xù)不一定連續(xù)).(0uf 0limxx ( )f g x0(lim)xxfg x 0lim ()xxf gx 0 ()f g x f連續(xù)連續(xù)g連續(xù)連續(xù)目錄目錄上頁上頁下頁下頁解解 分析分析 函數(shù)函數(shù) 是如是如何復合的何復合的,它們都連續(xù)嗎它們都連續(xù)嗎?

10、252x - x+例例5 5 求求 20lim25.xxx 顯然該函數(shù)是由兩個連續(xù)函數(shù)顯然該函數(shù)是由兩個連續(xù)函數(shù) 與與 復合而成的，復合而成的，yu 225uxx 這里用的是哪個這里用的是哪個定理？為什么？定理？為什么？2200lim25lim(25)5.xxxxxx 因此因此注注 把定理把定理4 4中的中的 換為換為 ，而其他不變，而其他不變，結(jié)論仍成立，結(jié)論仍成立，0)(limuxgx ).(lim)()(lim0 xgfufxgfxx 0)(lim0uxgxx 目錄目錄上頁上頁下頁下頁例例6 6 求求 并求并求 0log (1)limaxxx 01lim.xxax 分析分析 第一個式子分

11、母中的第一個式子分母中的x應如何處理應如何處理? 第二題與第一題之間有何聯(lián)系？第二題與第一題之間有何聯(lián)系？解解 100log (1)limlimlog (1)axaxxxxx10log lim(1) log.xaaxxe0limxxax10limlog (1)tatt01limln .log (1)taatt對對 令令ax-1=t， 01limxxax 則則x=loga(1+t),并且并且x00時時t00 ,于是于是 這里用的是哪個這里用的是哪個定理？為什么？定理？為什么？目錄目錄上頁上頁下頁下頁解解分析分析 該式可通過適當該式可通過適當?shù)淖冃螌⑵浜偷诙€的變形將其和第二個重要極限聯(lián)系起來重要

12、極限聯(lián)系起來.例例7 求求 1sin0lim(1)xxx 11sinsin00lim(1)lim(1)xxxxxxxx 是由是由 復合而得復合而得 11ln(1)sinsin(1)xxxxxxxxe 1,ln(1)sinvxxevxx 因此因此 11ln(1)sinsin00lim(1)limxxxxxxxxxxe11000limln lim(1)limln(1)sinsinxxxxxxxxxxxee 這里用的是哪個這里用的是哪個定理？為什么？定理？為什么？1 ln.eee 目錄目錄上頁上頁下頁下頁一般地，對形如一般地，對形如 的函數(shù)的函數(shù) （通常稱為（通常稱為冪指函數(shù)冪指函數(shù)），如果），如果

13、( )( )v xu x( ( )0, ( )1)u xu xlim ( )0,lim ( ),u xav xb那么那么 ( )lim ( ).v xbu xa其中其中 都是自變量的同都是自變量的同一變化過程中的極限一變化過程中的極限( )lim ( ),lim ( ),lim ( )v xu xv xu x目錄目錄上頁上頁下頁下頁二、初等函數(shù)的連續(xù)性二、初等函數(shù)的連續(xù)性 基本初等函數(shù)在其基本初等函數(shù)在其定義域定義域內(nèi)都是連續(xù)的內(nèi)都是連續(xù)的 一切初等函數(shù)在其一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的內(nèi)都是連續(xù)的 例如例如 上面的例上面的例5，求，求 ，根據(jù)復合函數(shù)的連續(xù)性，根據(jù)復合函數(shù)的連續(xù)

14、性，我們知道我們知道 在在 點是連續(xù)的，而且點是連續(xù)的，而且 ，因此有，因此有xxx20lim25 xx225 x0 xxx20255 xxxxxx2200lim25255. 利用連續(xù)的定義，若利用連續(xù)的定義，若y=f(x)在在x0點連續(xù)，如果要求函數(shù)點連續(xù)，如果要求函數(shù)y=f(x)在在xx0時的極限，那么由時的極限，那么由 ,就把求極限的問題就把求極限的問題就轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值的問題了就轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值的問題了xxf xf x00lim( )() 目錄目錄上頁上頁下頁下頁例例9的整個解題的整個解題過程過程,可以認為分可以認為分兩步兩步,您看是哪兩您看是哪兩步步?通過本題的通過本題的解法解法,有何體

15、會有何體會?xxx11lim20) 11() 11)(11(lim2220 xxxxx解解0limx. 01111022xxxxx= =第一步第一步 通過變形通過變形“去掉去掉”可去間斷可去間斷點點;第二步第二步 對連續(xù)函數(shù)對連續(xù)函數(shù)求極限求極限.例例9 求求 xxx2011lim.分析分析 函數(shù)在函數(shù)在x=0點連續(xù)嗎？是否可以將其轉(zhuǎn)化為求連續(xù)函數(shù)的點連續(xù)嗎？是否可以將其轉(zhuǎn)化為求連續(xù)函數(shù)的極限？極限？?目錄目錄上頁上頁下頁下頁三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)有界性與最大值、最小值定理有界性與最大值、最小值定理 從這個圖形可以看從這個圖形可以看到到,在閉區(qū)間上連在閉區(qū)間上連續(xù)

16、的函數(shù)是有界的續(xù)的函數(shù)是有界的,而且能夠取到最大而且能夠取到最大和最小值，這就是和最小值，這就是定理定理5.xOyayf x( )bx2x1f x2()f x1()xOyayf x( ) bx1f a( )f x1()xOyayf x( ) bx2f x2()f a( )定理定理1中的中的“閉區(qū)間閉區(qū)間”,“連續(xù)連續(xù)”兩個條件能不能缺少兩個條件能不能缺少?缺一不可缺一不可!定理定理1 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界，并且在該區(qū)在該區(qū)間上有界，并且在該區(qū)間上，它取得最大值與最小值間上，它取得最大值與最小值.目錄目錄上頁上頁下頁下頁再如，函數(shù)再如，函數(shù)1,011,13,12

17、xxyxxx xOy1212該函數(shù)在該函數(shù)在 x=1 處處不連續(xù)不連續(xù),在定義區(qū)在定義區(qū)間間0, 2上雖有界上雖有界,但取不到最大值但取不到最大值和最小值和最小值.定理定理1 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界，并且在在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界，并且在該區(qū)間上，它取得最大值與最小值該區(qū)間上，它取得最大值與最小值.目錄目錄上頁上頁下頁下頁注：若注：若f(x0)=0，稱，稱x0為函數(shù)為函數(shù) f(x) 的的零點零點.定理定理2(零點定理零點定理) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，上連續(xù)，xOyyf x( ) a( )f a( )f bb 在區(qū)在區(qū)間兩端點上的函數(shù)值分別間

18、兩端點上的函數(shù)值分別f(a)為和為和f(b)，且，且f(a)f(b)0.那么，在區(qū)間那么，在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點內(nèi)至少存在一點 ，使得，使得f()=02零點定理與介值零點定理與介值定理定理 目錄目錄上頁上頁下頁下頁證證 要證方程要證方程f(x)=0在一個區(qū)間在一個區(qū)間上有實根相當于求函數(shù)上有實根相當于求函數(shù)f(x)在這個區(qū)間上有零點。因此在這個區(qū)間上有零點。因此利用零點定理，關(guān)鍵是要找利用零點定理，關(guān)鍵是要找到函數(shù)到函數(shù)f(x)和相應的和相應的(閉閉)區(qū)間區(qū)間.例例10 證明證明x3-x2-1=0在區(qū)間在區(qū)間(0,2)內(nèi)至少有一個根內(nèi)至少有一個根 令令f(x)=x3-x2-1 ,它在它

19、在 0,2上連續(xù)上連續(xù),且且 f(0)=-10.由推論由推論2,在區(qū)間在區(qū)間(0,2)內(nèi)至少存在內(nèi)至少存在一點一點,使得使得f()=0也就是也就是3210. 這說明方程這說明方程x3-x2-1=0在區(qū)間在區(qū)間(0,2)內(nèi)至少有一個根內(nèi)至少有一個根 討論：討論：方程的根與零點有方程的根與零點有關(guān)系嗎？利用零點定理，關(guān)系嗎？利用零點定理，我們需要做是什么？我們需要做是什么？目錄目錄上頁上頁下頁下頁函數(shù)和區(qū)間應該函數(shù)和區(qū)間應該怎么找怎么找?您有何考您有何考慮慮?證明方程證明方程123 xx有一小于有一小于2 2的正根的正根”即要證明函數(shù)即要證明函數(shù)f(x)=x3-x2-1有有一小于一小于2的正零點的正零點,這個閉區(qū)這個閉區(qū)間可以考慮間可以考慮0,2.