第三節(jié)方程與方程組(一)

1、第三節(jié)方程與方程組（一）方程與方程組是初高中數(shù)學(xué)核心板塊之一，有著極其重要的地位.它不僅貫 穿于中學(xué)數(shù)學(xué)的始終，而口是眾多數(shù)學(xué)知識的交匯點(diǎn)同吋，它在整個(gè)高中數(shù)學(xué) 體系屮也占有相當(dāng)重要的位置，如在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們會(huì)遇到二次函數(shù)的零 點(diǎn)、一元二次方程的實(shí)根分布、曲線的方程、曲線的交點(diǎn)、直線與圓錐曲線的位 置關(guān)系，這些函數(shù)與方程、函數(shù)與不等式等相關(guān)內(nèi)容，都要用到方程或方程組的 思想.中學(xué)數(shù)學(xué)的每一知識板塊都或多或少地涉及方程或方程組，需要以此作為 載體、工具來處理問題，從而使解決問題的方法顯得更加簡潔、優(yōu)化.尤為重要 的是，函數(shù)方程思想是十分重要的數(shù)學(xué)思想方法，是我們處理數(shù)學(xué)問題時(shí)使用較 多數(shù)學(xué)

2、思想方法之一.該板塊的重要知識點(diǎn)有：一元一次方程、一元二次方程、分式方程、超越方 程、方程組；核心技巧是方程與方程組的解法.在一元二次方程中，主要把握一 元二次方程的解法、根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系.本節(jié)主要介紹方程與方程組的定義和解法、方程的根與系數(shù)關(guān)系.一、基本概念1. 方程的定義：所謂方程是指含有未知量的等式，其一般形式可寫為尸3，勺,乙）=0,簡記為f二0所有滿足方程的未知量的集合叫做方程的解集.2. 方程的分類：按照方程的函數(shù)形式f,可將方程進(jìn)行如下分類：'有理方程一一整式方程、分式方程；'代數(shù)方程蟲|i無理方程；方程y.超越方程一一指數(shù)、對數(shù)、三角方程等.3方程組的

3、定義：方程組是由若干個(gè)方程片（兀1，勺,£） = 0 ,鬥（旺,兀2,£） = 0 ,代（州,尤2,x“）= 0組成的一組方程，其一般形式可寫為£（兀1，兀2，£）= 0 禺（兀，兀2,，兀”）= 0 v 尤（兀1，兀2,£） = 0 方程組的解是各個(gè)方程的公共解.4.解方程（組）：解方程（組）就是求其解或解集.解方程（組）的過程就是將方程化歸為 簡單方程（組），從而獲得其解集的過程.在此，簡單是相對而言的例如和對 高次方程而言，低次方程就是簡單的方程；相對無理方程而言，有理方程就是簡 單的；相對分式方程而言，整式方程就是簡單的；相對方程組而言

4、，方程就是簡 單的等等.二、解方程（組）常用方法通過消元降次可實(shí)現(xiàn)將方程（組）化歸為簡單的方程（組）的目的，選擇消 元降次的方法需要依據(jù)方程（組）的形式特點(diǎn).消元降次通常的途徑有：恒等變 形，換元法等等.方程組的化歸途徑是消元，消元可用加減法和代入法，即利用 加減法和代入法消去一些變元，或一些項(xiàng)，以使方程組轉(zhuǎn)化為方程來求解.下面我們就實(shí)現(xiàn)化歸的不同方法舉例予以說明.1 恒等變形將一個(gè)代數(shù)式表示成若干個(gè)代數(shù)式的和（差）、或是表示成若干代數(shù)式的積, 分式方程的“整式化”，無理方程的“有理化”都可幫助我們實(shí)現(xiàn)化歸，轉(zhuǎn)化為 熟悉的方程來處理.例1.3.1解關(guān)于兀的一元四次方程%4 3兀彳 + （3 2

5、d）兀-+ （3° l）x + a（6f 1） = 0 分析：從方程的形式上看，兀的最高次數(shù)是4,直接分解有困難.但注意到, 方程所含的文字g的最高次數(shù)為2,因此可將兀和。調(diào)換“位置”，即暫把q看成 未知數(shù)，兀看成常數(shù)，先解出q以實(shí)現(xiàn)問題的化歸.解：把方程整理成關(guān)于。的二次方程ci （2x 3x + v）ci + （兀4 3x" + 3x x） = 0 當(dāng)aho時(shí)，x1 -2x+ = a有兩個(gè)實(shí)根，即4 = 1 ± 4a貝（j 6z （2 兀 2 3x + l）a + （兀 兀）（兀2 2 兀 + 1） = 0所以（ci + x）（a x" -h 2x

6、1） 0 9即 x2 -x = a 或 x2 -2x4-1 = tz 當(dāng)“冷吋，宀有兩個(gè)實(shí)根，即二空嚴(yán)例1.3.2解方程（兀一1）（兀一2）（兀一3）（兀一4） = 一1 解：將方程變形為:（x-l）（x-4）（x-2）（x-3） + l = 0,所以（x2-5x+4）（兀 2 _ 5兀+6） +1 = 0(x2 -5x)2+1 0(兀2 -5x) + 25 = o即(x2-5x + 5)2 = 0,所以兀2一5兀 + 5 = 0.解此方程，得兒2=注色例1. 3. 3解方程組兀$ + xy + 兀 + 2y 1 = 0, xj + y2 一 3x-6y + 3 = 0分析：在這個(gè)方程組里，因

7、為兩個(gè)方程中的非二次項(xiàng)的系數(shù)成比例，所以應(yīng) 用加減法可消去各非二次項(xiàng)，得到一個(gè)只有二次項(xiàng)的二元方程.若此方程可以化 為兩個(gè)一次方程，則原方程組即可獲解.解：x3+，得3x2 + 4xy + y2 = 0 ,于是(x+y)(3x+y) = 0 ,所以兀 + y = 0, 3兀 + y = 0原方程組可化為爐+廠+工+2歹-1 = °， x+y = 0；分別用代入消元法解這兩個(gè)方程組,得原方程組的解是x = -1 y = l-5 + 717x =415-3a/17-5-v17x =4 15 + 3v17進(jìn)行恒等變形時(shí)，可能會(huì)引起方程增根或失根的情況.我們通常采用同解變 形或未知數(shù)取值范圍

8、擴(kuò)大的變形（例如有理化）等方式.因?yàn)橥ㄟ^驗(yàn)根就可以去 掉增根，所以在解方程過程中，我們盡量避免導(dǎo)致失根的變形.2.換元法對一些方程來說，其關(guān)系式非常復(fù)雜，為了實(shí)現(xiàn)化歸，可引入一個(gè)或兒個(gè)新 變元來代替原來的某些量（即變量和代數(shù)式），實(shí)行變量代換后，對新變量求出 結(jié)果后，返冋去再求出原變量的結(jié)果，這種方法叫做換元法.通過換元法，可降 高次為低次，化無理為有理，化超越方程為代數(shù)方程（或簡單的超越方程），從 而達(dá)到化歸的目的.例1. 3. 4解無理方程3 兀口 = 2(3 x)刃+ (%-!)解：令彳上£ =),則原方程轉(zhuǎn)變?yōu)?3一對葉口 = 2v x-ly即 (3-工)，-2y +兀-1

9、=0.作為關(guān)于y的二次方程，解出x-y =1，力=-3-x因此，原無理方程的解集就是方程+耳 =1,彳巨二蘭二1的解集的并 v x-1 vx-1 3兀集.分別解出以上兩個(gè)方程，檢驗(yàn)后可得原方程的解集為2 例 1.3.5 解方程4x-6-2a+8 = 0分析：形如a/(x)2+ma/(x)+n = 0 (°>0衛(wèi)工1)的指數(shù)方程，通過換元的思想解出af(x) = b ,再由/(x) = log,b解出原方程的解.解：原方程可變形為(2x)2-6-2x + 8 = 0,令心2“，則原方程變?yōu)槭琠6/ + 8 = 0,解出/嚴(yán)2, t2=4f即2" =2, 2七=4. 所以

10、原方程解為兀=1 , x2 = 2 .例 1. 3. 6 解方程sinx + cosx-2vsinxcosx = 0分析：此方程為三角方程.要解此方程，必須利用三角函數(shù)公式，使其代數(shù) 化或化為簡單的三角方程.觀察sin x + cos x, 2sin xcos x = (sin x + cos x)2 - 1 ,可 引入新變量/ = sinx + cosx，使方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，從而實(shí)現(xiàn)化歸的目的.解：令/= sin無+ cosx ,貝ij 2sin兀cosx =尸一 1原方程變?yōu)閞-v2(r2-l) = 0,即v2r2-r-v2=0,所以t=伍,由此，原方程化為兩個(gè)三角方程sin x + c

11、os x = v2 -與 sin 兀 + cos x -1r分別進(jìn)一步化簡，并如下解出.sinx + cosx = x/2cos(x) = 1 u> x = 2ktv -伙 w z),44sinx + cosx =<=> cos(x-) =<=> x = (2k + i)7t + ± (ke z).v24243所以原方程仰軍集為無|兀=2鳥龍+蘭,ke zux|% = (2)l + l) + -±-, kez.例1.3.7解方程組x+ y + yxy = 14兀2+_/+小=84分析：注意到/ +）,2 +xy =（兀+ y）2 _q,及兀+y

12、 + j亍的結(jié)構(gòu)的相似點(diǎn)，考慮引入兩個(gè)新變元仏二x+y, v =屆,使方程有理化及方程組變元間的關(guān)系 簡化.解：設(shè)x + y = u,yxy = v ,則原方程組變?yōu)榻膺@個(gè)方程組，得解這個(gè)方程組，得w + v = 14u = 10v = 4x = 2y = 8,所以x+ y = 10xy = 16解方程組的過程，可結(jié)合換元法使方程組未知量的關(guān)系簡單化，然后利用消 元法解出新變元，從而獲得方程組的解.三、一元次方程根與系數(shù)的關(guān)系a 設(shè)尢卩x,為一兀二次方程ax2 +hx + c =（）的兩根，則無+也=， ac兀1 g 二 _ a這就是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系一一韋達(dá)定理的內(nèi)容我們還可將其推

13、廣到一元壯次方程：設(shè)一元次方程 anxn+ + % +q（）=0（d“工0）的n個(gè)根為 xi(i = u 2, ,)，則有 a.+ 兀2 + + 兀=粘+心+“”弋 兀兀2兀3 +兀1兀2兀4 +?！?2兀l1兀二一也，應(yīng)用根與系數(shù)關(guān)系，我們可以不求出根的值，直接去求與方程根有關(guān)的代數(shù) 式的值例如一元二次方程w+加+ ()的兩根為勺兀2,與此有關(guān)的代數(shù)式有xj3 +x23 , xj2 +x22 ,丄+丄,兀1-兀2，均可由根與系數(shù)關(guān)系直接求出它x x2們的值在計(jì)算和證明與方程的根有關(guān)的代數(shù)式問題時(shí)，必須結(jié)合具體的代數(shù)式, 并施以相應(yīng)的恒等變形，以求建立已有的代數(shù)式和根與系數(shù)的內(nèi)容或形式上的聯(lián)

14、系.例1. 3. 8已知m, n為一元二次方程x2 + 85% +1 = 0的兩個(gè)根，p, q為亠元二次方程x? +96兀+ 1 = 0白勺兩根,求(加+ /?)(/? + p)(m - q)(n -q)白勺值.分析：將(jn + p)(n + p)(m- q)(n-q)展開，利用根與系數(shù)關(guān)系，求出兩方程 兩根之和兩根之積，并將其代入展開式，求出結(jié)果.解：由條件可得加+ = 一85, m/? = !； p + q = -96, p-q = .所以 (m + pn + p)(m 一 q)(n 一 q)=l(m + p)(n 一 q)(n + p)(m- q)=(jnn + np - mq - p

15、q)(mn + mp -nq- pq)=(np _ mq)(mp - nq)2 ? 2 ?=rnnp- - nr pq - rr pq + mncf=p? + q，+斤2)=(p + qy 一 2pq-(m + ny + 2mn=(-96)2 -(-85)2 =1991.23兀 + ay+ d_z = a,例1. 3. 9解關(guān)于兀，y, z的方程組 <兀+ /?)，+方4 =從73x + cy + cz = c.其中d, b, c是互為不同的數(shù).解：依據(jù)方程組中三個(gè)方程結(jié)構(gòu)的共同點(diǎn)，可以得到a, b, c是關(guān)于/的三 次方程t3 - z-t2 - yt-x = qy,z分別是此三次方程的

16、常數(shù)項(xiàng)、一次項(xiàng)、二次項(xiàng)的系數(shù)，因此利用根與 系數(shù)的關(guān)系很快就可獲得問題的解答.由方程組，得 丄是關(guān)于(的三次方程t3-z-t2-yt-x = 0的三個(gè)根.所以a + b + c = z< ab +be+ ca = -yabc = xx = abc所以 原方程組的解為v y =-(加? + be + ac),z = a + b + c(2)(3)(4)(2)(西 + 1)(*2 +1)(3)丄+丄(4) (xj -x2)2習(xí)題1一3a組1.解下列方程：x3 + (22 1)兀 2 +(1-2冋 x-1 = 0,(2x2 -x-6)4+(2x2-x-8)4 =16,jx? - 2x + 10 + yjx 2x + 2 = 4 ,543|-.x2 +6 + 2 x2 +6 + 8 x2 +6 + 12設(shè)州和勺是方程2兀2+43 = 0的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)關(guān)系求下列各式的值:3.若方程p2x2 +q2x+r