第7章 參數(shù)估計(jì)

1、第7章 參數(shù)估計(jì)主要內(nèi)容：1 了解評(píng)估點(diǎn)估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)2 了解點(diǎn)估計(jì)的優(yōu)缺點(diǎn)3 了解區(qū)間估計(jì)的思想、推導(dǎo)過(guò)程4 掌握各種情況區(qū)間估計(jì)的算法7.1 參數(shù)估計(jì)的一般問(wèn)題7.1.1 估計(jì)量與估計(jì)值參數(shù)估計(jì)：就是用樣本統(tǒng)計(jì)量去估計(jì)總體的參數(shù)符號(hào)： 總體參數(shù)統(tǒng)計(jì)量即如何用來(lái)估計(jì)估計(jì)量：在參數(shù)估計(jì)中，用來(lái)估計(jì)總體參數(shù)的統(tǒng)計(jì)量的名稱稱為估計(jì)量。 如：樣本均值、樣本比例、樣本方差等。估計(jì)值：根據(jù)一個(gè)具體樣本計(jì)算出來(lái)的估計(jì)量的數(shù)值。7.1.2 點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)1 點(diǎn)估計(jì)就是用樣本統(tǒng)計(jì)量的某個(gè)取值直接作為總體參數(shù)的估計(jì)值。具體方法：矩估計(jì)法、最大似然估計(jì)、最小二乘法、順序統(tǒng)計(jì)量法例 已知某企業(yè)生產(chǎn)的燈泡壽命,均未知。

2、現(xiàn)隨機(jī)抽取4只，測(cè)得其壽命分別為1502，1453，1367，1650小時(shí)，請(qǐng)估計(jì)。解：2 點(diǎn)估計(jì)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)A 一致性是指隨著樣本量的增大，點(diǎn)估計(jì)量的值越來(lái)越接近被估計(jì)的總體參數(shù)樣本均值、方差、比例分別為總體均值、方差、比例的一致估計(jì)。B無(wú)偏性是指估計(jì)量抽樣分布的數(shù)學(xué)期望等于被估計(jì)的總體參數(shù)。設(shè)總體參數(shù)為，所選擇的估計(jì)量為如果則稱為的無(wú)偏估計(jì)?？梢宰C明：即樣本均值、方差、比例分別為總體均值、方差、比例的無(wú)偏估計(jì)。C 有效性是指對(duì)同一個(gè)總體參數(shù)的兩個(gè)無(wú)偏估計(jì)量，標(biāo)準(zhǔn)差小的估計(jì)量更有效。即與均為總體參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)，若則稱是比更有效的一個(gè)估計(jì)量。也可以證明，樣本均值、方差、比例分別為總體均值、方差、

3、比例的有效估計(jì)2 區(qū)間估計(jì) 定義：是在點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)上，給出總體參數(shù)估計(jì)的一個(gè)區(qū)間范圍。該區(qū)間通常由樣本統(tǒng)計(jì)量加減抽樣誤差得到。即可以根據(jù)樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布對(duì)樣本統(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)的接近程度給出一個(gè)概率度量。 統(tǒng)計(jì)思想A 例：為了考察某廠生差的水泥構(gòu)件的平均抗壓強(qiáng)度（單位：千克力/平方厘米），隨機(jī)抽取了25件樣本進(jìn)行測(cè)試，得到25個(gè)數(shù)據(jù)，并由此計(jì)算得。由歷史數(shù)據(jù)知，該廠生產(chǎn)的水泥構(gòu)件的抗壓強(qiáng)度，其中未知，現(xiàn)希望抽樣所獲得的信息給出的一個(gè)區(qū)間估計(jì)。B 思路：由于是的一個(gè)較優(yōu)的點(diǎn)估計(jì)，因此一個(gè)合理的區(qū)間估計(jì)應(yīng)該是問(wèn)題：取多大比較合理 這樣給出的區(qū)間估計(jì)的可靠程度如何矛盾：越大，可靠程度越高；但區(qū)間過(guò)

4、寬沒(méi)有實(shí)際的意義 越小，精確程度越高，但可靠的程度會(huì)很低。C 解決辦法：抽樣前，區(qū)間估計(jì)是一個(gè)隨機(jī)區(qū)間，用這個(gè)隨機(jī)區(qū)間覆蓋未知參數(shù)的概率的大小來(lái)度量可靠程度通過(guò)這個(gè)概率的確定來(lái)確定區(qū)間估計(jì)的寬度即先定可靠性，再定精確性取端點(diǎn)整理得此時(shí)就滿足了的要求，D 對(duì)于這個(gè)具體的問(wèn)題，當(dāng)，則表明：從樣本觀測(cè)值提供的數(shù)據(jù)，推斷出以95%的可靠程度，保證該廠生產(chǎn)的水泥構(gòu)件的抗壓強(qiáng)度在407。16422.84（千克力/平方厘米）之間。進(jìn)一步解釋：一旦一個(gè)樣本確定，由其確定的區(qū)間或者包括未知參數(shù)，或者不包括。95%的可靠性是說(shuō)，如果抽樣100次，按照同樣方法構(gòu)造的100個(gè)區(qū)間中，至少有95個(gè)區(qū)間覆蓋/包括了未知參

5、數(shù) 定義的數(shù)學(xué)表述設(shè)是取自總體的一個(gè)樣本，對(duì)于未知參數(shù)，給定，。如果存在兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量和，使得那么，稱為的雙側(cè)的置信區(qū)間；稱為置信水平；為顯著性水平直觀意義：對(duì)同一個(gè)未知參數(shù)反復(fù)使用同一置信區(qū)間盡管不能保證每一次但至少有約次使得成立。置信區(qū)間精確程度置信水平可靠程度顯著性水平不可靠程度 求解置信區(qū)間的一般步驟第1步，求出未知參數(shù)的一個(gè)較優(yōu)的點(diǎn)估計(jì)第2步，以為基礎(chǔ)，尋找一個(gè)隨機(jī)變量 要求：必須包含、也只能包含這個(gè)未知參數(shù) 的分位數(shù)能通過(guò)查表或計(jì)算得到具體數(shù)值 努力的方向：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)、卡方、分布第3步，把的分位數(shù)記為，分位數(shù)記為，于是第4步，把不等式作等價(jià)變形，使它成為這個(gè)便是一個(gè)雙側(cè)的置信區(qū)間對(duì)把平分

6、的解釋：為了置信區(qū)間不要太寬7.2 一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)內(nèi)容正態(tài)總體非正態(tài)總體（大樣本）已知未知已知未知7.2.1總體均值的區(qū)間估計(jì)1 正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)（1）已知尋找一個(gè)點(diǎn)估計(jì)以為基礎(chǔ)構(gòu)造估計(jì)量 ，所以標(biāo)準(zhǔn)化概率形式：整理：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率密度函數(shù)的關(guān)于Y軸對(duì)稱性所以已知時(shí)的雙側(cè)的置信區(qū)間為或者記做 ；或者 注意：置信區(qū)間的構(gòu)造稱為 邊際誤差置信區(qū)間就是 均值邊際誤差邊際誤差兩部分組成：統(tǒng)計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差，總體與樣本容量確定，這個(gè)值就確定下來(lái)決定區(qū)間的寬度，即估計(jì)的精度，越大，區(qū)間約寬，精度越差 例：一家食品生產(chǎn)袋裝食品的企業(yè)，每天的產(chǎn)量大約為8000袋左右。按規(guī)定每袋的重量應(yīng)為100g。

7、為對(duì)產(chǎn)量進(jìn)行監(jiān)測(cè)，企業(yè)質(zhì)檢部門經(jīng)常要進(jìn)行抽檢，以分析每袋質(zhì)量是否符合要求?，F(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機(jī)抽取25袋，測(cè)得每袋重量如下112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.595.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.695.497.8108.6105.0136.8102.8101.598.493.3 已知產(chǎn)品重量服從正態(tài)分布，且總體標(biāo)準(zhǔn)差為10g，試估計(jì)該天產(chǎn)品平均重量的置信區(qū)間，置信水平為95%。解：由題意可知，查表可得所以，即101.44，109.28，該批食品平均重量95%的置信區(qū)間為101.44g109.28g。（2

8、） 未知尋找一個(gè)點(diǎn)估計(jì)以為基礎(chǔ)構(gòu)造估計(jì)量 ，未知，所以概率形式：整理：所以未知的雙側(cè)的置信區(qū)間為或記做例：已知某種燈泡的壽命服從正態(tài)分布，現(xiàn)從一批燈泡中隨機(jī)抽取16只，測(cè)得其使用壽命如下（單位：小時(shí)）1510145014801460152014801490146014801510153014701500152015101470請(qǐng)建立這批燈泡使用壽命95%的置信區(qū)間。解：由題意可得，正態(tài)總體、未知對(duì)的估計(jì)，置信區(qū)間為，查表得計(jì)算得 帶入置信區(qū)間公式即1476.8，1503.2，該種燈泡平均使用壽命的95%的置信區(qū)間為1476.81503.22 非正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)只能解決大樣本（通常）的情況

9、。已知時(shí)，的雙側(cè)的置信區(qū)間為未知時(shí)，的雙側(cè)的置信區(qū)間為7.2.2總體方差的區(qū)間估計(jì)（限于正態(tài)總體）尋找一個(gè)點(diǎn)估計(jì)以為基礎(chǔ)構(gòu)造估計(jì)量 ，所以概率形式：整理：即總體方差的的置信區(qū)間為例：一家食品生產(chǎn)袋裝食品的企業(yè)，每天的產(chǎn)量大約為8000袋左右。按規(guī)定每袋的重量應(yīng)為100g。為對(duì)產(chǎn)量進(jìn)行監(jiān)測(cè)，企業(yè)質(zhì)檢部門經(jīng)常要進(jìn)行抽檢，以分析每袋質(zhì)量是否符合要求。現(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機(jī)抽取25袋，測(cè)得每袋重量如下112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.595.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.695.497.8108.6105.013

10、6.8102.8101.598.493.3 已知產(chǎn)品重量服從正態(tài)分布，試估計(jì)該廠產(chǎn)品重量方差的置信區(qū)間，置信水平為95%。解：總體方差的的置信區(qū)間為由題意可計(jì)算得查表得，所以的置信區(qū)間為，即，相應(yīng)地，總體標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間為 ，說(shuō)明該廠產(chǎn)品重量標(biāo)準(zhǔn)差的95%的置信區(qū)間為7.54g13.43g.7.2.3總體比例的區(qū)間估計(jì)（限于大樣本情況）當(dāng)足夠大（時(shí)，樣本比例近似服從于正態(tài)分布所以所以總體比例的的置信區(qū)間為由于未知，以樣本比例代替，得到 例：某城市想要估計(jì)下崗職工中女性所占比例，隨機(jī)抽取了100為下崗職工，其中65人為女性職工。試以95%的置信水平估計(jì)該城市下崗職工中女性比例的置信區(qū)間。解：已知

11、，置信區(qū)間為即，該該城市下崗職工中女性比例的95%的置信區(qū)間為55.65%74.35%.7.3 兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)7.3.1 兩個(gè)總體均值之差的估計(jì) 1 正態(tài)總體設(shè)相互獨(dú)立的兩個(gè)正態(tài)總體與，樣本容量分別為(1) 與已知點(diǎn)估計(jì) 構(gòu)造估計(jì)量與相互獨(dú)立與相互獨(dú)立所以的的置信區(qū)間為(2) 與未知但=點(diǎn)估計(jì) 構(gòu)造估計(jì)量（推論3） 其中，所以的的置信區(qū)間為 (3) 與未知且，但樣本容量相等的的置信區(qū)間為(4) 與未知且，樣本容量的的置信區(qū)間為其中，2 兩個(gè)非正態(tài)總體均值之差的估計(jì) （限于大樣本情形）的的置信區(qū)間為當(dāng)與已知時(shí)，當(dāng)與未知時(shí)， 3 匹配樣本一個(gè)樣本中的數(shù)據(jù)與另一個(gè)樣本中的數(shù)據(jù)相對(duì)應(yīng)。作用：可

12、以消除樣本指定的不公平問(wèn)題設(shè)兩個(gè)總體均值之差為為兩個(gè)匹配樣本對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)的差值為各差值的均值為差值的標(biāo)準(zhǔn)差（1）正態(tài)總體 的的置信區(qū)間為A 已知，B 未知， （2）大樣本A 已知， B 未知， 7.3.2 兩個(gè)總體方差比的區(qū)間估計(jì)（正態(tài)分布）點(diǎn)估計(jì) 構(gòu)造估計(jì)量（推論4）所以，即兩個(gè)總體方差比的的置信區(qū)間為7.3.3 兩個(gè)總體比例之差的區(qū)間估計(jì)（大樣本），所以的的置信區(qū)間為以樣本比例替代總體比例得到7.4 樣本量的確定7.4.1 估計(jì)總體均值時(shí)樣本量的確定設(shè)為所希望達(dá)到的邊際誤差整理得：可見(jiàn)，在其他條件不變的情況下，置信水平越高，的值越大（可靠性越高）； 總體標(biāo)準(zhǔn)差越大（總體的變異性越大）；邊際誤差

13、越?。ň仍礁撸?；所需要的樣本容量越大。例：擁有工商管理學(xué)士學(xué)位的大學(xué)畢業(yè)生年薪的標(biāo)準(zhǔn)差大約為2000元，假定想要估計(jì)年薪95%的置信區(qū)間，希望邊際誤差為400元，應(yīng)抽取多大的樣本量？解：已知，由于即應(yīng)抽取97人作為樣本。說(shuō)明：樣本量的圓整法則就是將小數(shù)點(diǎn)后面的數(shù)值不論大小一律進(jìn)位成整數(shù)。若總體標(biāo)準(zhǔn)差未知，可用樣本標(biāo)準(zhǔn)差代替。7.4.2估計(jì)總體比例時(shí)樣本量的確定估計(jì)總體比例時(shí)，邊際誤差為所以例：根據(jù)以往的生產(chǎn)統(tǒng)計(jì)，某種產(chǎn)品的合格率約為90%，現(xiàn)要求邊際誤差為5%，求在95%的置信區(qū)間時(shí)，應(yīng)抽取多少個(gè)產(chǎn)品作為樣本？解：，即應(yīng)抽取139個(gè)產(chǎn)品作為樣本。說(shuō)明：當(dāng)總體比例未知時(shí)，可用樣本比例代替；或者取，此時(shí)達(dá)到最大值。7.4.3 估計(jì)兩個(gè)總體均值之差時(shí)樣本量的確定估計(jì)兩個(gè)總體均值之差時(shí)，邊際誤差所以當(dāng)時(shí)，例：一所中學(xué)的教務(wù)處想要估計(jì)試驗(yàn)班與普通班考試成績(jī)平均分?jǐn)?shù)的差值的置信區(qū)間。要求置信區(qū)間為95%。預(yù)先估計(jì)兩個(gè)班考試分?jǐn)?shù)的方差分別為：試驗(yàn)班，普通班。如果要求估計(jì)的誤差范圍（邊際誤差）不超過(guò)5分，在兩個(gè)班應(yīng)分別 抽取多少名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查？解：已知，即應(yīng)各抽取33名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查。7.4.4 估計(jì)兩個(gè)總體比例之差時(shí)樣本