第八章6微分法在幾何上的應(yīng)用

1、微分法在幾何上的應(yīng)用微分法在幾何上的應(yīng)用一、空間曲線的切線和法平面一、空間曲線的切線和法平面定義定義設(shè)設(shè) m 是空間曲線是空間曲線 l 上的一個(gè)定點(diǎn)上的一個(gè)定點(diǎn), m*是是 l 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn), 當(dāng)當(dāng)m* 沿曲線沿曲線 l 趨于趨于m 時(shí)時(shí) , 割線割線mm* 的極限位置的極限位置 mt （如果極（如果極限存在）限存在） 稱為曲線稱為曲線 l 在在 m 處的切線處的切線下面我們來(lái)導(dǎo)出空間曲線的切線方程下面我們來(lái)導(dǎo)出空間曲線的切線方程。設(shè)空間曲線的方程。設(shè)空間曲線的方程)1()()()( tztytx (1)式中的三個(gè)函數(shù)均可導(dǎo)式中的三個(gè)函數(shù)均可導(dǎo).且且導(dǎo)數(shù)不同時(shí)為零導(dǎo)數(shù)不同時(shí)為零;)

2、,(0000ttzyxm 對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于設(shè)設(shè).),(0000*tttzzyyxxm 對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于ozyxm*.m的的方方程程割割線線*mmzzzyyyxxx 000ozyxm*.m考察割線趨近于極限位置考察割線趨近于極限位置切線的過(guò)程切線的過(guò)程上式分母同除以上式分母同除以, t ,000zzzyyyxxx t t t ,0,*時(shí)時(shí)即即當(dāng)當(dāng)tmm 曲線在曲線在m處的切線方程處的切線方程.)()()(000000tzztyytxx 切向量：切線的方向向量稱為曲線的切向量切向量：切線的方向向量稱為曲線的切向量. )(),(),(000tttt 法平面：過(guò)法平面：過(guò) m0 點(diǎn)且與切線垂直的平面點(diǎn)且與切線

3、垂直的平面.0)()()(000000 zztyytxxt 例例1 1 求曲線求曲線: tuuduex0cos，tysin2 tcos ,tez31 在在0 t處的切線和法平面方程處的切線和法平面方程.解解當(dāng)當(dāng)0 t時(shí)，時(shí)，, 2, 1, 0 zyx,costext ,sincos2tty ,33tez , 1)0( x, 2)0( y, 3)0( z切線方程切線方程,322110 zyx法平面方程法平面方程, 0)2(3)1(2 zyx. 0832 zyx即即?？臻g曲線方程。空間曲線方程,)()( xzxy 取取 x 為參數(shù)為參數(shù),),(000處處在在zyxm切線方程為切線方程為,)()(1

4、00000 xzzxyyxx 法平面方程為法平面方程為. 0)()()(00000 zzxyyxxx ?？臻g曲線方程?？臻g曲線方程,0),(0),( zyxgzyxf切向量切向量 yxyxxzxzzyzyggffggffggfft,切線方程切線方程,000000yxyxxzxzzyzyggffzzggffyyggffxx 法平面方程為法平面方程為0)()()(000000 zzggffyyggffxxggffyxyxxzxzzyzy例例 2 2 求曲線求曲線6222 zyx，0 zyx在在點(diǎn)點(diǎn))1, 2, 1( 處的切線及法平面方程處的切線及法平面方程.解解 1 1 直直接接利利用用公公式式;

5、解解2 2 將將所所給給方方程程的的兩兩邊邊對(duì)對(duì)x求求導(dǎo)導(dǎo)并并移移項(xiàng)項(xiàng)，得得 1dxdzdxdyxdxdzzdxdyy,zyxzdxdy ,zyyxdxdz , 0) 1, 2, 1 ( dxdy, 1)1, 2, 1( dxdz由由此此得得切切向向量量,1, 0, 1 t所求切線方程為所求切線方程為,110211 zyx法平面方程為法平面方程為, 0)1()2(0)1( zyx0 zx二、曲面的切平面與法線二、曲面的切平面與法線。設(shè)曲面方程為。設(shè)曲面方程為0),( zyxf在曲面上任取一條通在曲面上任取一條通過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)m的曲線的曲線,)()()(: tztytx ntm曲線在曲線在m處的切向量

6、處的切向量),(),(),(000tttt 令令),(),(),(000000000zyxfzyxfzyxfnzyx 由由于于曲曲線線是是曲曲面面上上通通過(guò)過(guò)m的的任任意意一一條條曲曲線線，它它們們?cè)谠趍的的切切線線都都與與同同一一向向量量n垂垂直直，故故曲曲面面上上通通過(guò)過(guò)m的的一一切切曲曲線線在在點(diǎn)點(diǎn)m的的切切線線都都在在同同一一平平面面上上，這這個(gè)個(gè)平平面面稱稱為為曲曲面面在在點(diǎn)點(diǎn)m的的切切平平面面.則則,tn 切平面方程為切平面方程為0)(,()(,()(,(000000000000 zzzyxfyyzyxfxxzyxfzyx 通通過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)),(000zyxm而而垂垂直直于于切切平平面

7、面的的直直線線稱稱為為曲曲面面在在該該點(diǎn)點(diǎn)的的法法線線.法線方程為法線方程為),(),(),(000000000000zyxfzzzyxfyyzyxfxxzyx 垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量.曲面在曲面在m處的法向量即處的法向量即),(),(),(000000000zyxfzyxfzyxfnzyx 。空間曲面方程形為?？臻g曲面方程形為),(yxfz 令令,),(),(zyxfzyxf 曲面在曲面在m處的切平面方程為處的切平面方程為,)(,()(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx 曲面在曲面在m處的法線方程為處的法線方程為.1),(

8、),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx全微分的幾何意義全微分的幾何意義因?yàn)榍嬖谝驗(yàn)榍嬖趍處的切平面方程為處的切平面方程為)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx 切平面切平面上點(diǎn)的上點(diǎn)的豎坐標(biāo)豎坐標(biāo)的增量的增量的全微分的全微分在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)),(),(00yxyxfz ),(yxfz 在在),(00yx的的全全微微分分，表表示示曲曲面面),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(000zyx處處的的切切平平面面上上的的點(diǎn)點(diǎn)的的豎豎坐坐標(biāo)標(biāo)的的增增量量. 若若 、 、 表示曲面的法向量的方向角，表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，即使得它與并假定法向量的方

9、向是向上的，即使得它與z軸軸的正向所成的角的正向所成的角 是銳角， 則法向量的是銳角， 則法向量的方向余弦方向余弦為為 ,1cos22yxxfff ,1cos22yxyfff .11cos22yxff ),(00yxffxx ),(00yxffyy 其中其中例例 3 3 求旋轉(zhuǎn)拋物面求旋轉(zhuǎn)拋物面122 yxz在點(diǎn)在點(diǎn))4 , 1 , 2(處的切平面及法線方程處的切平面及法線方程.解解, 1),(22 yxyxf)4, 1 ,2()4, 1 ,2(1,2,2 yxn,1, 2, 4 切平面方程為切平面方程為, 0)4()1(2)2(4 zyx, 0624 zyx法線方程為法線方程為.142142

10、 zyx例例 4 4 求曲面求曲面32 xyezz在點(diǎn)在點(diǎn))0 , 2 , 1(處的處的切平面及法線方程切平面及法線方程.解解令令, 32),( xyezzyxfz, 42)0,2, 1()0,2, 1( yfx, 22)0,2, 1()0,2, 1( xfy, 01)0,2, 1()0,2, 1( zzef切平面方程切平面方程, 0)0(0)2(2)1(4 zyx, 042 yx法線方程法線方程.001221 zyx例例 5 5 求曲面求曲面2132222 zyx平行于平面平行于平面064 zyx的各切平面方程的各切平面方程. 解解設(shè)設(shè) 為曲面上的切點(diǎn)為曲面上的切點(diǎn),),(000zyx切平面

11、方程為切平面方程為0)(6)(4)(2000000 zzzyyyxxx依題意，切平面方程平行于已知平面，得依題意，切平面方程平行于已知平面，得,664412000zyx .2000zyx 因?yàn)橐驗(yàn)?是曲面上的切點(diǎn)，是曲面上的切點(diǎn)，),(000zyx滿足方程滿足方程, 10 x所求切點(diǎn)為所求切點(diǎn)為),2 , 2 , 1(),2, 2, 1( 切平面方程切平面方程(1)0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx切平面方程切平面方程(2)0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx例例6 在橢球面在橢球面 上求一點(diǎn)，上求一點(diǎn)，1222222 czbyax使它的法線與坐標(biāo)軸正向成等角

12、使它的法線與坐標(biāo)軸正向成等角解解令令1),(222222 czbyaxzyxf則則2222,2,2czfbyfaxfzyx 2020202,2,2czbyax注意到法線與坐標(biāo)軸正向的夾角注意到法線與坐標(biāo)軸正向的夾角 ,相等相等故故 coscoscos 202020czbyax1220220220 czbyax解得解得2221cba ),(222222222222cbaccbabcbaa 所求的點(diǎn)為所求的點(diǎn)為),(000zyxp的法線的方向向量為的法線的方向向量為 故橢球面上任一點(diǎn)故橢球面上任一點(diǎn)例例7設(shè)設(shè) z = z ( x , y )由方程由方程0),( czbyczaxf確定，確定， 其中

13、其中f ( u , v )可微可微證明證明 z = z ( x , y ) 表示錐面表示錐面 ),(0cbap記記),(000zyxp為曲面上一點(diǎn)為曲面上一點(diǎn)則連接則連接 pp0 的的直線的方程為直線的方程為tczczbybyaxax 000 )()()(000cztczbytbyaxtax時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)0 t證證)()(,)()(0000ccztcbbytbccztcaaxtaf 0),(0000 czbyczaxf得出直線上的點(diǎn)都在曲面上，所以曲面是以得出直線上的點(diǎn)都在曲面上，所以曲面是以 (a,b,c) 為頂點(diǎn)的錐面。為頂點(diǎn)的錐面。曲面的切平面與法線曲面的切平面與法線（求法向量的方向余弦時(shí)注意

14、（求法向量的方向余弦時(shí)注意符號(hào)符號(hào)）思考題思考題 如如果果平平面面01633 zyx 與與橢橢球球面面163222 zyx相相切切，求求 .三、小結(jié)三、小結(jié)空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面（當(dāng)空間曲線方程為一般式時(shí)，求切向（當(dāng)空間曲線方程為一般式時(shí)，求切向量注意采用量注意采用推導(dǎo)法推導(dǎo)法）思考題解答思考題解答設(shè)切點(diǎn)設(shè)切點(diǎn)),(000zyx,2,2,6000zyxn 依題意知切向量為依題意知切向量為3, 3 32236000 zyx ,00 xy ,300 xz 切點(diǎn)滿足曲面和平面方程切點(diǎn)滿足曲面和平面方程,016930169320202200020 xxxxxx . 2 練練 習(xí)習(xí)

15、 題題一、一、 填空題填空題: :1 1、 曲線曲線2,1,1tzttyttx 再對(duì)應(yīng)于再對(duì)應(yīng)于1 t的點(diǎn)的點(diǎn)處切線方程為處切線方程為_； 法平面方程為法平面方程為_._.2 2、 曲面曲面3 xyzez在點(diǎn)在點(diǎn))0 , 1 , 2(處的切平面方程為處的切平面方程為_； 法線方程為法線方程為_._.二、二、 求出曲線求出曲線32,tztytx 上的點(diǎn)上的點(diǎn), ,使在該點(diǎn)的切使在該點(diǎn)的切線平行于平面線平行于平面42 zyx. .三、三、 求球面求球面6222 zyx與拋物面與拋物面22yxz 的交線的交線在在)2 , 1 , 1(處的切線方程處的切線方程 . .四、求橢球面四、求橢球面12222 zyx上平行于平面上平行