模糊集與模糊系統(tǒng)

1、模糊集與模糊系統(tǒng)Yuehui ChenComputational Intelligence Lab«School of Information Science and EngineeringJinan University, Jinan 250022, P.R.ChinaEmail: aHttpWdiab.ujrCWdli模糊理論(1J)3S集合與特征函數(shù)#1、論域處理某一問(wèn)題時(shí)對(duì)有關(guān)議題的限制范圍稱為該問(wèn)題 的論域#、集合在論域中，具有某種屬性的事物的全體稱為集合。3、特征函數(shù)設(shè)A是論域U上的一個(gè)集合，對(duì)任何ueU,令1當(dāng)UWA Ca(u)= /1 0 當(dāng)

2、 u A則稱Ca(u)為集合A的特征函數(shù)。顯然有：A= u | CA(u>1i隸屬度特征函數(shù)Ca(u)在u=Uo處的值CA(U0)稱為u°對(duì)A 的隸屬度。例1、設(shè)有論域:U=X2,3,4,5, A= 1,3,5 b 求其 特征函數(shù)。，解；特征函數(shù)如下：1當(dāng) T35Ca(uA f0)當(dāng)42,4二、模糊集與隸屬函數(shù)1、隸屬函數(shù)設(shè)U是論域，Ua是將任何UWU映射為0, 1上某個(gè) 值的函數(shù)，即；咲 UT0. 11uPa（u）則稱Pa為定義在U上的一個(gè)隸屬函數(shù)2模糊集設(shè)A= MA(u)|ueU則稱A為論域U上的一個(gè)模糊集。3、隸屬度Pa (u)稱為u對(duì)模糊集A的隸屬度。例2、設(shè)有論域:U

3、H 1爲(wèi)3怎5 h用模糊集表示出模 糊概念“大數(shù)初.解：設(shè)A表示“大數(shù)”的模糊集，皿為其隸屬函數(shù)。 則有；A= 0, 0.1 0 5, 0,8.1其中：皿=0, Ma(2)=0.1K ma(3)=0,5. |Ja(4)=0& Pa(5R例3、設(shè)有論域：U叫編山劉水秦聲確定一個(gè)模糊集A»以表示他們分別對(duì) 隸屬程度解：假設(shè)他們的平均成績(jī)分別為：98分，72分, 分，設(shè)映射為平均成績(jī)除以100。則有隸屬度：皿（纟高山）=0.98,皿（劉水）=0-72,山（秦聲"86模糊集A= 0.98, 0.72, 0.86 三、模糊集表示法扎德表示法1設(shè)論域U是離散的且為有限集: u=

4、 u十 u劃unl模糊集為:A=Pa（uJ，Pa（U2）' 則可將A表示為；A=|Ja(u J/ W*Pa(u$ u2+ +|JA(un)/ un或A珂 Pa(W” U" Ua(U/ U護(hù)一» MA(Un)/ Un 或A= n Pa(U)/ Uj或 si=lA戶 Pa(u”u19MA(Uj)/ Uj表示Uj對(duì)模糊集A的隸屬度。當(dāng)某個(gè)隸屬度為 0時(shí)引以略去不寫©如；A=1 / 比+0.7/ u24- 0/ U3+O u4B=1/ w+07/ ua+0.5/ u4它們是相同的模糊集。、扎德表示法2設(shè)論域U是連續(xù)的，則其模糊集可用實(shí)函數(shù)表示。設(shè)有人的年齡論域UH

5、OJOO),求其 年輕初這兩個(gè)模糊概念的隸屬函數(shù)°00<u<50P年老(u) =(1+(5/(u-50)2)150<u<100解；(110<u<25(1+(u-25)/5)2)'125<u<100#A心）模糊集運(yùn)算U上所有模糊集的全體記為6(U),即:6(UH A I ma： U0> 11>包含運(yùn)算設(shè)A,BwO(U),若對(duì)任意ueU,都有:Mb(u)<|ja(u)則稱A包含B»記為：B A#、并、交、補(bǔ)運(yùn)算設(shè)A,Be6(U),分別稱AUB, ACIB為A與B的并集、 交集,稱A為A的補(bǔ)亀。它們的隸屬函

6、數(shù)分別為：Maub（u）= max ®A（u），Mb（U> ueUMAnB（u>min Pa（u）,Ub（u）uUM a（uRa（u）、設(shè)UHA=0.3/ w+0.8/ u2+0.6/ uB=0.6/ 比+0.4/ u2+0.7/ uAOB. A U B 及 AAAB =(0.30.6) / u1+(0.80.4)/ u2+(0.60.7) / u3=0.3 /11+0.4 / u2+0.6 / u3AUB =(0.30.6) / u1+(0.80.4) / u2+(0.60.7) / u.=0.6 / 比+0.8 / u2+0.7 / u3A三仆0.3) / u1+(1

7、>0.8) /u2+(10.6) /u3f =0.7 / 比+0.2 / u2+0.4 / u3模糊理論(2)一、模糊集的入水平戳集1、入水平截集設(shè)Ae6(u Ae0,1,;且 y | ueU,血(哄入則稱A入為A的一個(gè)入水平截集，入稱為閾值或置信水 平。352入水平截集性質(zhì)(1) 設(shè)A,BCO(U則有；(A U B)a= A入 U Ba(ACIB尸AfB入若入常A2e0 1,且入產(chǎn)入2,貝U3、核、支集設(shè)Ae6(U),且1Ker A- u | usll, pA(u)=1Supp A= u | yell, |jA(u)>0則稱Ker A為模糊集A的核,Supp A為模糊集A的支集。

8、4、正規(guī)模糊集若KerA去，則稱A為正規(guī)模糊集。例1、設(shè)有模糊集：A=0.3/u 1 +0.7/u 2+1 /u3+0.6/u4+0 屯且入分別為仏06 0.5 S3,分別求其相應(yīng)的入水平截 集、核及支集9解：(1) 入水平截集A= U3Ao.6= U2，U3,U4 A().5= U2)U3)U4>U5A03=ut)u2)u3Ju4)u5(2) 核、支集KerA= u3SuppA= u1,u2,u3)u4,u535二、模糊度1模糊度定義設(shè)AeO(U), d是定義在O(U)上的一個(gè)實(shí)函數(shù),如果 它滿足如卞條件：(1) 對(duì)任意Ae6(U),有d(A)eO,1l(2) 當(dāng)且僅當(dāng)A是一個(gè)普通集合

9、時(shí)，d(A)=O；若A的隸屬函數(shù)皿山廬0.5,貝iJd(A)=1537(3) 若A5Bg6(U且對(duì)任意uwU,滿足ub(u)<|ja(u)<0.5或Ub(哄Ua(U)R5則有 d(B)Wd(A(4) 對(duì)任意Ae5(U)>有d(A>d( A)則稱d為定義在0(3)上的一個(gè)模糊度，d(A)稱為A的 糊度。2、模糊度計(jì)算公式(1)海明(harming)模糊度2 nd =二-工 |iia(ul)-Wa0 5(Ui) Ii二 1'號(hào)丁、【I疋吃瑕u T丿J系口 r廠姒1 Pa (uQO.5Ma o.5(u Afj<0 Pa (U)VO539(2)歐幾里德(Eucli

10、d)模糊度d(A2 /n府J評(píng)叱叫a I(3) 明可夫斯基(Minkowski)模糊度d (A)二X/n2n|嘰)-后)11=1例2、設(shè)IH叫心山申A= 0.8/u1+0.9/u2+0.1/u3+0.6/u4求A的模糊度解；(11)海明模糊度d(A)v2/4(| 0.& 1|+|0.9-1|+ |0,1-0|+|0.6-1|) =(0.2+0%1+0.1+0.,4)/2 =0.4#(2)歐幾里德(Euclid)模糊度=0.47(0. 8-l)2 + (0. 9-1)三、模糊關(guān)系1、模糊數(shù)如果實(shí)數(shù)域上的模糊集A的隸屬函數(shù)Pa (u)在R上連續(xù)，且具有如下性質(zhì):(1) A是凸模糊集,，即對(duì)

11、任意AeO, 1, A的入水平 截集A入是閉區(qū)間；(2) A是正規(guī)模糊集，即存在uwFU使Ma (u)=j則稱A為一個(gè)模糊數(shù)。i452笛卡爾乘積與關(guān)系設(shè)U與V是兩個(gè)集合，則稱UXV= (u,v)| ueu, veV為U與V的笛卡爾乘積。若RUXV,則稱R為從U到V的一個(gè)關(guān)系。例3、設(shè)IH紅桃，方塊黑桃梅花口口VH A» 仏岔 3» 4, 5, 67, 8» 9» 10» Js Q, K求uxv 解：uxv=（紅桃Ab （紅 桃，2） »> （梅花，K）#3、模糊關(guān)系設(shè)Uj是(A12_n)論域R是 XUgXXU. 上的一個(gè)模糊子集

12、，則稱R為U.XU2X.XU,上的 個(gè)n元模糊關(guān)系記為：Rw f mr(uv u2)j un)/(u1p 屯,ujUt汝U2汝XUnMR(U15 U2, Uj是模糊關(guān)系R的隸屬函數(shù)例4、設(shè)有一組學(xué)生U:U=張三李四王五他們對(duì)球類運(yùn)動(dòng)V:Vm（籃球排球足球乒乓球有不同的愛(ài)好，其愛(ài)好程度可以用下面的模糊關(guān)系來(lái) 表示：140.400.80.1 0.2514、模糊關(guān)系的合成設(shè)Ri與R2分別是U x V及V x W上的兩個(gè)模糊關(guān)系,則Ri與R?的合成是指從11到/7的一個(gè)模糊關(guān)系,記其隸屬函數(shù)為Pri r2(u，wA MR1 M Mr2 (v,w) VA53例5、設(shè)有如下兩個(gè)模糊關(guān)系

13、:R1 =R2=求 RfR2解:/ 0.40.5R|'R2 | 0.40.6l 0.30.55253模糊系統(tǒng)nu模糊系統(tǒng)TS Fuzzy rule base:if xx is £ andx2 is Bx then yx - p + pxx + px2X if XisA】 and x2 is B2then y2 =p) + pxx +px2if XisA2 and x2 is Bxthen y3 -p； + pxx +x2if XisA2 and x2 isthen yA-p + p：兀+

14、卩工5353The output of the fuzzysystem:53在線性的情況下，規(guī)則可以寫成:5353Ri： If 乂Xr， Theny = pj + pxr +pLkxki 這是Takagi一Sugeno階模型。要辨識(shí)的內(nèi)容有:1 ）前件變量"的數(shù)目，決定系統(tǒng)的階次，屬于結(jié)構(gòu)辨識(shí)2）隸屬函數(shù)勾一前件參數(shù)3）后件參數(shù) p在前件中，如果坷等于無(wú)的整個(gè)論域，（即A ）,此項(xiàng)可 略去，S無(wú)限定，成為無(wú)條件。譬如：If X、為 small, x2 big, T hen y =+ x2 + 2x3式中兀3即為無(wú)條件滿足。在前提中兀3可不必列出。53在輸入空間已劃分的情況下，的空間下

15、，給出規(guī)則的集合。舉例：用3條規(guī)則逼近原函數(shù)（如 右圖）。輸入-輸出對(duì)的數(shù)據(jù) 已知，這里假定只有1個(gè)輸 入變量，它被劃分為3個(gè)模糊 集合，即大、中、小。可描 述的規(guī)則如下：aY(R1aXy = 0.2x + 94 4.57.08.510R1If x是R2If X是R3If X是07bi410rx. smallThenTheny = 0.6x + 0.2Then y = 1.2x - 355478.5與傳統(tǒng)的辨識(shí)方法帝比，模糊辨識(shí)的特點(diǎn)在于1) 可以用較少的規(guī)則來(lái)逼近函數(shù);12) 可以用語(yǔ)言變量來(lái)表達(dá)。模糊 辨識(shí)的一種 方法及步驟 針對(duì)TakagiSugeno ( TS )模型，辨識(shí)步驟:(1)選擇前件變量前件參數(shù)辨識(shí)(3)后件參數(shù)辨識(shí)搜索法非線性規(guī)劃后件參數(shù)的辨識(shí)算法的框架最小二乘法56Aggregated architectureTasks:分層模糊系統(tǒng)Incremental or cascade architecture(1) Determination of the hierarchical structure(2) Determination of the type of submodel