數(shù)學分析數(shù)項級數(shù)95

1、200801109.5 9.5 絕對收斂與條件收絕對收斂與條件收斂斂一、絕對收斂一、絕對收斂 ., 11也收斂也收斂則則收斂收斂若若 nnnnaa證法證法1 1：收斂，收斂， 1nna時，時，nnn , 0 .n,*11成立成立對對 paaapnnkkpnn .1收斂收斂 nna.n,|*11成立成立對對 paaapnnkkpnn , 收斂收斂又又 na.1收斂收斂 nna 稱“條件收斂”稱“條件收斂”發(fā)散發(fā)散如如稱“絕對收斂”稱“絕對收斂”收斂收斂如如收斂收斂設設111,nnnnnnaaa證法證法2 2：),(nnnnaaaa nnnaaa20 .)(也收斂也收斂 nnaa例例1.1. 12

2、!sinnnn21nan 絕對收斂絕對收斂. . 11)11ln()1(nnn條件收斂條件收斂. ,1)11ln( 發(fā)散發(fā)散nann., 收斂收斂知知由萊法由萊法na2)11()21(1nnnn 2)11(21nnnna 12)11(21limlim enannnnn發(fā)散發(fā)散，由于由于00nnaa例例2.2.)1()1()1(111 pnnnpnpnpnnnap1)1(1,11 時時當當絕對收斂絕對收斂nnapnn1)1(1 ,11 時時當當不絕對收斂不絕對收斂但是，但是，11)1()1( nnnna. ,收斂收斂判別法判別法由由 naleibniz.1;1時條件收斂時條件收斂時絕對收斂時絕對

3、收斂 pp122( 1)111nnnn 例例3.3.sin)1(21條件收斂條件收斂證證nnnn 解：解：nnnnan22cos1sin2 收斂；收斂；發(fā)散；發(fā)散；由由 nnn22cos21.發(fā)散發(fā)散 na條件收斂條件收斂. .收斂易見收斂易見二、更序問題二、更序問題（加法交換律推廣）（加法交換律推廣）更序定理：更序定理：的各項的各項任意交換任意交換收斂收斂設設 nnaa,證明：證明： 1nna考慮正項級數(shù)考慮正項級數(shù))(:21nnnbbbbb 的部分和的部分和.,1且和不變且和不變也絕對收斂也絕對收斂的次序所得的次序所得 nnb.1sann 設設,1sann .,sbbn 且其和且其和收斂收

4、斂同樣，同樣，. bsbann 知知更序所得，更序所得，看成是看成是將將bs na對任意級數(shù)對任意級數(shù),0 002 nnnnnnaaaaaa記記正部正部 00 02nnnnnnaaaaaa負部負部顯然：顯然： nnnnnnnnnnaaaaaaaaaa，且，且， 00. , nnnnnnaaaaaa且且. 收斂收斂，收斂收斂 nnnaaa對更序級數(shù)對更序級數(shù) nb, ,11更序所得更序所得分別是由分別是由 nnnnnnaabb.;1111 nnnnnnnnabab收斂且等于收斂且等于收斂且等于收斂且等于. )(11111收斂收斂 nnnnnnnnnnnaaabbb注：注： 絕對收斂的級數(shù)具有交換

5、律絕對收斂的級數(shù)具有交換律 （與結合律）（與結合律） 0lim,:11nnnnnnnaaaa 條件收斂知條件收斂知更序為：更序為： 4322111011012110110121 1212)10110121(kkkk原級數(shù)部分和：原級數(shù)部分和：mmmkkkms33316109121910)10121( 例例4.4. 更序對計算速度的影響：更序對計算速度的影響： 12211)10121(1012110121kkkmmmmssr4266109121 mmmrr266第一種方法收斂要快的多！第一種方法收斂要快的多！誤差：誤差：mmmmssr3366109121 更序后：更序后：mmmkkkkms422

6、12126109121910)10110121( 6 12 30 600.861.04861.110861.1111101（5位）位） 0.9861.0955 1.111107 1.1111111102 （8位）位） 1.0471.10721.111111051.1111111111102 （11位）位）m6 mkkkk21212)10110121( mkkk31)10121( mkkkk21212)1012121(將較大的項向前調整，會使計算加速將較大的項向前調整，會使計算加速. .計算實例：計算實例：111. 1910 s2.2.條件收斂的更序定理（條件收斂的更序定理（riemannrie

7、mann） 條件收斂條件收斂, ,則適當交換各項的次序則適當交換各項的次序, ,可以收斂到任意指定的實數(shù)可以收斂到任意指定的實數(shù)s,s,也可以發(fā)散也可以發(fā)散到到+,-.+,-. na設設例例5.5. 514131211已知已知條條件件收收斂斂 5181613141211 :求求.41241121的和的和 kkk 111)1(nnn2ln )41241121()816131()41211(3mmmsm kkkkkk221)12(2112141241121 由于由于)21121(21kk 解：解：2ln)21121()4131()211(2 mmsm設設2ln21212 ms2ln2141313 mssmm2ln2141241323 mms