華師統(tǒng)計(jì)與概率

1、第六章 參數(shù)估計(jì)一、參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)1. 矩估計(jì)法矩估計(jì)法：用樣本矩代替總體矩，從而得到未知參數(shù)的估計(jì)。注： 1）總體均值的矩估計(jì)是樣本均值；總體方差的矩估計(jì)是樣本二階中心矩；2）矩估計(jì)法簡(jiǎn)便；估計(jì)總體均值和總體方差時(shí)不必知道總體的分布.3）矩估計(jì)法需要總體的原點(diǎn)矩存在.2最大似然估計(jì)法（1）似然函數(shù)：設(shè)為取自含未知參數(shù)的總體的樣本觀測(cè)值.對(duì)離散隨機(jī)變量總體，似然函數(shù)定義為；這就是樣本出現(xiàn)的（聯(lián)合）概率.對(duì)密度為的連續(xù)隨機(jī)變量總體，似然函數(shù)定義為。（2）最大似然估計(jì)：選取參數(shù)的取值，使樣本觀測(cè)值出現(xiàn)的概率最大,即使得似然函數(shù)達(dá)到最大值.求參數(shù)的最大似然估計(jì)值，就是求似然函數(shù)的最大值點(diǎn)。在可導(dǎo)時(shí)可以

2、通過求解似然方程: 得到.3衡量點(diǎn)估計(jì)量好壞的標(biāo)準(zhǔn)（1）無偏性稱為未知參數(shù)的無偏估計(jì)，如果.注：1）用無偏估計(jì)代替未知參數(shù)不產(chǎn)生系統(tǒng)誤差；2）樣本均值是總體均值的無偏估計(jì)；樣本方差是總體方差的無偏估計(jì)。3）無偏估計(jì)不唯一，當(dāng)然應(yīng)選方差較小者為好.2. 有效性設(shè)與都是未知參數(shù)的無偏估計(jì)，稱比有效，如果.如，時(shí)，總體均值的無偏估計(jì)比有效，因?yàn)椤?. 一致性稱是未知參數(shù)的一致估計(jì)，如果對(duì)任意，有 .注： 樣本均值是總體均值的一致估計(jì)；樣本方差是總體方差的一致估計(jì)。典型例題例6.1 設(shè)總體，。求參數(shù)的矩估計(jì)和最大似然估計(jì)，并說明它們是否為參數(shù)的無偏估計(jì).解: 因?yàn)?，故有矩法方程：

3、。解之得的矩估計(jì)是 。設(shè)樣本觀測(cè)值為，則似然函數(shù)為故 ，有似然方程: ，解之得的最大似然估計(jì)值為 ，最大似然估計(jì)是。 因?yàn)椋詤?shù)的矩估計(jì)和最大似然估計(jì)都是無偏估計(jì)。例6.2 設(shè)總體，求未知參數(shù)的矩估計(jì)及最大似然估計(jì)，并說明矩估計(jì)是否為無偏估計(jì).解: 因?yàn)?，所以有矩法方程：.解之得的矩估計(jì)為 。因?yàn)?，所以參?shù)的矩估計(jì)是無偏估計(jì)。設(shè)樣本觀測(cè)值為，則似然函數(shù)為其中，為示性函數(shù)。當(dāng)時(shí)，；而當(dāng)時(shí)，為的嚴(yán)格單調(diào)遞減正函數(shù)，故的最大似然估計(jì)值為 ，最大似然估計(jì)是。例6.3 設(shè)和是的兩個(gè)相互獨(dú)立的無偏估計(jì)，且方差。（1） 試證明：對(duì)任意常數(shù)，都是的無偏估計(jì)；（2） 在所有這些無偏估計(jì)中，試求方差最小的無

4、偏估計(jì)。 解: （1）因?yàn)樗?，?duì)任意常數(shù)，都是的無偏估計(jì)。（2）故方差最小的無偏估計(jì)是。第七章 假設(shè)檢驗(yàn)一、假設(shè)檢驗(yàn)的基本概念1. 假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想及推理方法對(duì)總體的概率分布或分布參數(shù)作某種假設(shè)，然后根據(jù)抽樣得到的樣本觀測(cè)值，運(yùn)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的分析方法，檢驗(yàn)這種假設(shè)是否正確，從而決定接受或拒絕假設(shè). 這樣的統(tǒng)計(jì)推斷過程就是假設(shè)檢驗(yàn)。為了從樣本觀測(cè)值取得對(duì)上述假設(shè)的強(qiáng)有力支持，我們常把這一假設(shè)的否定作為原假設(shè)（記為），而把假設(shè)本身作為備擇假設(shè)（記為）。假設(shè)檢驗(yàn)的目的就是要在原假設(shè)與備擇假設(shè)之間選擇其一：若拒絕原假設(shè)，則接受備擇假設(shè)；否則就接受.為此，必須先從樣本出發(fā)，構(gòu)造一個(gè)合適的檢驗(yàn)

5、統(tǒng)計(jì)量與拒絕域，然后根據(jù)樣本觀測(cè)值作判斷：當(dāng)時(shí)拒絕原假設(shè)，從而接受備擇假設(shè)；否則接受原假設(shè)。例7.1 某工廠在正常情況下生產(chǎn)電燈泡的使用壽命（單位：小時(shí)）服從正態(tài)分布。某天從該廠生產(chǎn)的一批燈泡中隨機(jī)抽取10個(gè)，測(cè)得它們的壽命均值小時(shí)。如果燈泡壽命的標(biāo)準(zhǔn)差不變，能否認(rèn)為該天生產(chǎn)的燈泡的壽命均值小時(shí)？解：已知總體，且，要求檢驗(yàn)下面的假設(shè)稱假設(shè)為原假設(shè)（或零假設(shè)），稱假設(shè)為備擇假設(shè)。假設(shè)檢驗(yàn)的目的就是要在原假設(shè)與備擇假設(shè)之間選擇其一：若拒絕原假設(shè)，則接受備擇假設(shè)；否則就接受.為此，必須先從樣本出發(fā)，構(gòu)造一個(gè)合適的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量與拒絕域，然后根據(jù)樣本觀測(cè)值作判斷：當(dāng)時(shí)拒絕原假設(shè)，接受備擇假設(shè)；否則接受原假

6、設(shè)。我們知道，樣本均值是總體均值的“好”的估計(jì)，可以選取作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量；根據(jù)備擇假設(shè)，拒絕域應(yīng)該形如，其中臨界值由下式確定：，為給定的顯著性水平.由定理5.1（1）知，于是，因此，故。取顯著性水平，拒絕域?yàn)?，其中?，F(xiàn)在抽樣檢查的結(jié)果是，即樣本觀測(cè)值落入拒絕域，因此，應(yīng)當(dāng)拒絕原假設(shè)，接受備擇假設(shè)，即認(rèn)為該天生產(chǎn)的燈泡的壽命均值小時(shí)。注：（1） 假設(shè)檢驗(yàn)是根據(jù)小概率事件的實(shí)際不可能性原理來進(jìn)行推斷的。在原假設(shè)成立時(shí)，是小概率事件。若這樣的小概率事件竟然發(fā)生，我們就有理由懷疑前提假設(shè)，從而作出拒絕原假設(shè)的判斷。（2） 假設(shè)檢驗(yàn)的結(jié)論與選取的顯著性水平有關(guān)。上例中，若改取顯著性水平，則拒絕域變?yōu)?，此時(shí)

7、沒有充分理由拒絕原假設(shè)，即可以認(rèn)為該天生產(chǎn)的燈泡的壽命均值小時(shí). 2. 假設(shè)檢驗(yàn)可能犯的兩類錯(cuò)誤總體樣本第一類錯(cuò)誤ÖÖ第二類錯(cuò)誤 (1) 第一類錯(cuò)誤 “棄真” ，即原假設(shè)實(shí)際是正確的，但卻錯(cuò)誤地拒絕了。犯第一類錯(cuò)誤的概率為；(2) 第二類錯(cuò)誤“取偽”，即原假設(shè)實(shí)際是不正確的，但卻錯(cuò)誤地接受了，犯第二類錯(cuò)誤的概率記為.犯兩類錯(cuò)誤的概率當(dāng)然是越小越好，但當(dāng)樣本容量固定時(shí)，不可能同時(shí)把都減得很小。在實(shí)際問題中，一般總是控制犯第一類錯(cuò)誤的概率。3. 假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟(1) 根據(jù)實(shí)際問題提出原假設(shè)與備擇假設(shè)，即說明要檢驗(yàn)的假設(shè)的內(nèi)容；(2) 選取適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量，并

8、在原假設(shè)成立的條件下確定該統(tǒng)計(jì)量的分布；(3) 根據(jù)問題的需要適當(dāng)選取顯著性水平(的值一般比較小)，確定拒絕域；(4) 根據(jù)樣本觀測(cè)值計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的值，從而對(duì)拒絕或接受原假設(shè)作出判斷。二、單個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)設(shè)取自總體的樣本的均值及樣本方差分別為，.關(guān)于正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)（，）原假設(shè)備擇假設(shè)在顯著性水平下的拒絕域已知未知例7.2 已知某種電子元件的平均壽命為3000小時(shí)。采用新技術(shù)后抽查20個(gè)，測(cè)得電子元件壽命的樣本均值小時(shí)，樣本標(biāo)準(zhǔn)差小時(shí)。設(shè)電子元件的壽命服從正態(tài)分布，試問采用新技術(shù)后電子元件的平均壽命是否有顯著提高？(取顯著性水平)解: 設(shè)電子元件的壽命，依題意，要檢驗(yàn)