第三章 矩陣力學(xué)基礎(chǔ)——力學(xué)量和算符

1、第三章 矩陣力學(xué)基礎(chǔ)力學(xué)量和算符復(fù)旦大學(xué) 蘇汝鏗第三章 矩陣力學(xué)基礎(chǔ)力學(xué)量和算符本章目的： 建立另外一套量子化的方案，即通過(guò)算符的對(duì)易關(guān)系進(jìn)行正則量子化的方案 研究量子力學(xué)中的算符的性質(zhì)，特別是線性厄米算符 討論力學(xué)量的測(cè)量，特別是不確定性原理；以及力學(xué)量隨時(shí)間的變化 守恒律3.1 力學(xué)量的平均值力學(xué)量的平均值問(wèn)題： 何謂波函數(shù)完全地描述了一個(gè)量子態(tài)？ 力學(xué)量用算符表示的實(shí)質(zhì)是什么？為什么力學(xué)量可用算符表示？3.1 力學(xué)量的平均值力學(xué)量的平均值坐標(biāo)函數(shù)的平均值：3.1 力學(xué)量的平均值力學(xué)量的平均值3.1 力學(xué)量的平均值力學(xué)量的平均值3.1 力學(xué)量的平均值力學(xué)量的平均值3.1 力學(xué)量的平均值力學(xué)

2、量的平均值3.1 力學(xué)量的平均值力學(xué)量的平均值3.1 力學(xué)量的平均值力學(xué)量的平均值結(jié)論：平均值公式3.2 算符的運(yùn)算規(guī)則算符的運(yùn)算規(guī)則定義3.2 算符的運(yùn)算規(guī)則算符的運(yùn)算規(guī)則算符運(yùn)算規(guī)則3.2 算符的運(yùn)算規(guī)則算符的運(yùn)算規(guī)則3.2 算符的運(yùn)算規(guī)則算符的運(yùn)算規(guī)則3.2 算符的運(yùn)算規(guī)則算符的運(yùn)算規(guī)則3.2 算符的運(yùn)算規(guī)則算符的運(yùn)算規(guī)則3.2 算符的運(yùn)算規(guī)則算符的運(yùn)算規(guī)則3.2 算符的運(yùn)算規(guī)則算符的運(yùn)算規(guī)則3.2 算符的運(yùn)算規(guī)則算符的運(yùn)算規(guī)則3.2 算符的運(yùn)算規(guī)則算符的運(yùn)算規(guī)則3.2 算符的運(yùn)算規(guī)則算符的運(yùn)算規(guī)則3.2 算符的運(yùn)算規(guī)則算符的運(yùn)算規(guī)則3.2 算符的運(yùn)算規(guī)則算符的運(yùn)算規(guī)則3.2 算符的運(yùn)算

3、規(guī)則算符的運(yùn)算規(guī)則3.2 算符的運(yùn)算規(guī)則算符的運(yùn)算規(guī)則算符的矩陣形式二維矢量空間二維矢量空間3.2 算符的運(yùn)算規(guī)則算符的運(yùn)算規(guī)則3.2 算符的運(yùn)算規(guī)則算符的運(yùn)算規(guī)則3.2 算符的運(yùn)算規(guī)則算符的運(yùn)算規(guī)則3.2 算符的運(yùn)算規(guī)則算符的運(yùn)算規(guī)則3.2 算符的運(yùn)算規(guī)則算符的運(yùn)算規(guī)則3.2 算符的運(yùn)算規(guī)則算符的運(yùn)算規(guī)則結(jié)論： 體系的一個(gè)量子態(tài)希爾伯特空間中一個(gè)向量 給定一組基矢，即給定一個(gè)表象，量子態(tài)波函數(shù) 一個(gè)算符一個(gè)矩陣3.3 厄米算符的本征值和本征函數(shù)厄米算符的本征值和本征函數(shù)厄米算符的引入3.3 厄米算符的本征值和本征函數(shù)厄米算符的本征值和本征函數(shù)3.3 厄米算符的本征值和本征函數(shù)厄米算符的本征值

4、和本征函數(shù)3.3 厄米算符的本征值和本征函數(shù)厄米算符的本征值和本征函數(shù)3.3 厄米算符的本征值和本征函數(shù)厄米算符的本征值和本征函數(shù)3.3 厄米算符的本征值和本征函數(shù)厄米算符的本征值和本征函數(shù)厄米算符的性質(zhì) 厄米算符的平均值是實(shí)數(shù)(充分性)3.3 厄米算符的本征值和本征函數(shù)厄米算符的本征值和本征函數(shù) 厄米算符的平均值是實(shí)數(shù)(必要性)3.3 厄米算符的本征值和本征函數(shù)厄米算符的本征值和本征函數(shù) 厄米算符的平均值是實(shí)數(shù)(必要性)3.3 厄米算符的本征值和本征函數(shù)厄米算符的本征值和本征函數(shù) 厄米算符的本征值為實(shí)數(shù)3.3 厄米算符的本征值和本征函數(shù)厄米算符的本征值和本征函數(shù) 厄米算符屬于不同本征值的本征

5、函數(shù)正交3.3 厄米算符的本征值和本征函數(shù)厄米算符的本征值和本征函數(shù)3.3 厄米算符的本征值和本征函數(shù)厄米算符的本征值和本征函數(shù) 厄米算符的簡(jiǎn)并本征函數(shù)經(jīng)重新組合后可以正交歸一3.3 厄米算符的本征值和本征函數(shù)厄米算符的本征值和本征函數(shù)3.3 厄米算符的本征值和本征函數(shù)厄米算符的本征值和本征函數(shù) 厄米算符的本征函數(shù)有完備性3.3 厄米算符的本征值和本征函數(shù)厄米算符的本征值和本征函數(shù) 厄米算符的本征函數(shù)有封閉性3.3 厄米算符的本征值和本征函數(shù)厄米算符的本征值和本征函數(shù)3.3 厄米算符的本征值和本征函數(shù)厄米算符的本征值和本征函數(shù)結(jié)論 厄米算符的本征函數(shù)系：正交、歸一、完備、封閉 厄米算符的本征值

6、、平均值均為實(shí)數(shù) 量子力學(xué)中的力學(xué)量對(duì)應(yīng)線性厄米算符3.4 連續(xù)譜本征函數(shù)連續(xù)譜本征函數(shù)線性厄米算符的本征函數(shù)示例3.4 連續(xù)譜本征函數(shù)連續(xù)譜本征函數(shù)3.4 連續(xù)譜本征函數(shù)連續(xù)譜本征函數(shù)3.4 連續(xù)譜本征函數(shù)連續(xù)譜本征函數(shù)連續(xù)譜本征函數(shù)歸一化 無(wú)窮空間：歸delta函數(shù)，連續(xù)譜 箱歸一化：引入周期性邊界條件，分立譜3.4 連續(xù)譜本征函數(shù)連續(xù)譜本征函數(shù) 周期性邊界條件3.4 連續(xù)譜本征函數(shù)連續(xù)譜本征函數(shù)3.4 連續(xù)譜本征函數(shù)連續(xù)譜本征函數(shù)3.4 連續(xù)譜本征函數(shù)連續(xù)譜本征函數(shù)3.4 連續(xù)譜本征函數(shù)連續(xù)譜本征函數(shù)3.4 連續(xù)譜本征函數(shù)連續(xù)譜本征函數(shù)3.5 量子力學(xué)中力學(xué)量的測(cè)量值量子力學(xué)中力學(xué)量的測(cè)

7、量值在f的本征態(tài)中測(cè)量f有準(zhǔn)確值3.5 量子力學(xué)中力學(xué)量的測(cè)量值量子力學(xué)中力學(xué)量的測(cè)量值3.5 量子力學(xué)中力學(xué)量的測(cè)量值量子力學(xué)中力學(xué)量的測(cè)量值在非f的本征態(tài)中測(cè)量f，有可能值及平均值3.5 量子力學(xué)中力學(xué)量的測(cè)量值量子力學(xué)中力學(xué)量的測(cè)量值不同力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件若f, g = 0 必有共同本征函數(shù)系 充要條件 有簡(jiǎn)并時(shí)可重新組合3.5 量子力學(xué)中力學(xué)量的測(cè)量值量子力學(xué)中力學(xué)量的測(cè)量值 注意：如果f和g不對(duì)易，必?zé)o共同本征函數(shù)系，但不排除在某些特殊態(tài)中測(cè)量時(shí)有確定值，例如lx和ly不對(duì)易，但在 中測(cè)量lx,ly均得到零3.5 量子力學(xué)中力學(xué)量的測(cè)量值量子力學(xué)中力學(xué)量的測(cè)量值完全集如px,

8、py, pz, h, l2, lz等等簡(jiǎn)并來(lái)自不完全測(cè)量3.6 不確定性原理不確定性原理問(wèn)題： 若算符a, b不對(duì)易，在a本征態(tài)中測(cè)a有確定值，測(cè)b如何? 在非a，非b的本征態(tài)中測(cè)a及b，結(jié)果如何?3.6 不確定性原理不確定性原理3.6 不確定性原理不確定性原理3.6 不確定性原理不確定性原理3.6 不確定性原理不確定性原理3.6 不確定性原理不確定性原理討論： 不確定性原理是波粒二象性的反映，與是否測(cè)量無(wú)關(guān) 單縫衍射實(shí)驗(yàn) 零點(diǎn)能3.6 不確定性原理不確定性原理3.6 不確定性原理不確定性原理3.6 不確定性原理不確定性原理3.6 不確定性原理不確定性原理 角動(dòng)量算符3.6 不確定性原理不確定

9、性原理 互補(bǔ)原理及其哲學(xué)探討3.7 力學(xué)量隨時(shí)間的變化、守恒量力學(xué)量隨時(shí)間的變化、守恒量和運(yùn)動(dòng)積分和運(yùn)動(dòng)積分算符的運(yùn)動(dòng)方程式3.7 力學(xué)量隨時(shí)間的變化、守恒量力學(xué)量隨時(shí)間的變化、守恒量和運(yùn)動(dòng)積分和運(yùn)動(dòng)積分3.7 力學(xué)量隨時(shí)間的變化、守恒量力學(xué)量隨時(shí)間的變化、守恒量和運(yùn)動(dòng)積分和運(yùn)動(dòng)積分3.7 力學(xué)量隨時(shí)間的變化、守恒量力學(xué)量隨時(shí)間的變化、守恒量和運(yùn)動(dòng)積分和運(yùn)動(dòng)積分3.7 力學(xué)量隨時(shí)間的變化、守恒量力學(xué)量隨時(shí)間的變化、守恒量和運(yùn)動(dòng)積分和運(yùn)動(dòng)積分若f不顯含t， 且f, h0，則f守恒 守恒量在任何態(tài)下的平均值與t無(wú)關(guān) 在任何態(tài)下，測(cè)f可能值，出現(xiàn)各種可能值的幾率分布與t無(wú)關(guān) 若t0時(shí)，f有確定值tt

10、時(shí)也有確定值 若t0時(shí)，f無(wú)確定值tt時(shí)也無(wú)確定值 守恒量對(duì)應(yīng)好量子數(shù) 若f與g不對(duì)易，且f、g均為守恒量能級(jí)簡(jiǎn)并3.7 力學(xué)量隨時(shí)間的變化、守恒量力學(xué)量隨時(shí)間的變化、守恒量和運(yùn)動(dòng)積分和運(yùn)動(dòng)積分宇稱(chēng)算符p 直角坐標(biāo) x-x, y-y, z-z 球坐標(biāo) r不變, -, - 宇稱(chēng)算符既是厄米的，又是么正的3.7 力學(xué)量隨時(shí)間的變化、守恒量力學(xué)量隨時(shí)間的變化、守恒量和運(yùn)動(dòng)積分和運(yùn)動(dòng)積分宇稱(chēng)算符p 本征值為+1或-1 若體系的哈密頓量h在空間反演下不變，則宇稱(chēng)算符p與h對(duì)易：p，h0 宇稱(chēng)守恒：若初態(tài)有確定宇稱(chēng)，則以后任何時(shí)刻，體系的狀態(tài)均有相同宇稱(chēng)3.7 力學(xué)量隨時(shí)間的變化、守恒量力學(xué)量隨時(shí)間的變化、守恒量和運(yùn)動(dòng)積分和運(yùn)動(dòng)積分宇稱(chēng)算符p 3.7 力學(xué)量隨時(shí)間的變化、守恒量力學(xué)量隨時(shí)間的變化、守恒量和運(yùn)動(dòng)積分和運(yùn)動(dòng)積分宇稱(chēng)算符p 偶宇稱(chēng)算符 奇宇稱(chēng)算符