混沌閾值確定

1、基于Melnikov方法的混沌閾值確定學院：通信工程學院學生姓名：程遠林 指導教師：李月教授中文摘要:本文介紹了混沌理論及其研究歷史。混沌系統(tǒng)對噪聲免疫，對小信號敏感的特 性，這使得混沌系統(tǒng)在微弱信號檢測領域具有很大的應有潛力。混沌振子檢測微弱信號具有傳統(tǒng)檢測方法無法比擬的優(yōu)越性，取得了很大的成就。如何準確的確定混沌系統(tǒng)的閾值成為 混沌振子檢測微弱信號的關鍵問題。在眾多的混沌系統(tǒng)中，本文主要研究的是Duffing方程所描述的混沌系統(tǒng)。本文應用相軌跡圖法和功率譜熵的方法來確定混沌系統(tǒng)的閾值，并對兩種方法的效率和實際效果進行了比較。本文用這兩種方法對非線性項含x3和x3 x5的Duffing方程進

2、行分析，并確定了在頻率：三(0.5,200 )上系統(tǒng)對應的的閾值。實驗表明，兩 種方法所得出的結果基本吻合。從實驗過程和最后的結果中，我們可以看出：功率譜熵的方法 作為判別混沌系統(tǒng)運動狀態(tài)的方法，具有較高的精度和效率。關鍵詞：混沌系統(tǒng) 閾值duffing方程功率譜熵Abstract： The paper introduces the research history and theory of chaos. The immunity to noise and the sensibility to weak signal make the chaos system very useful in

3、weak signal detecting. Compari ng to traditi onal methods, the chaos system has its capacity in weak sig nal detect ion, and also has get great achievement. But h ow to determine the accuracy threshold of chaos system is the key problems of the use of chaos oscillator in weak sig nal detect ion. In

4、many chaos systems, this paper mainly studied the chaos systems described by Duffing equation. In this paper, we use phase track and power spectral en tropy to detect the threshold of the chaos system, and make a comparis on betwee n the two methods. We use the two methods to study the Duffing equat

5、i on that335the nonlinear term include x or xx , and get the threshold of the chaos systemwhen the frequency '(0.5,200 ) . From the test, we get the conclusion that the results of twomethods are coincident. From the process of the test and the final data, we learn that the power spectral entropy

6、 is e ffective and accurate in distinguishing the state of motion of the chaos system.Keyword： Chaos system Threshold Duffing equationPower Spectral Entropy1刖言混沌是一種非線性的確定性行為，揭示了某些復雜系統(tǒng)中貌似不規(guī)則的、異常現(xiàn)象的本質,最早發(fā)現(xiàn)于氣象模型中。混沌系統(tǒng)具有對初始條件敏感，遍歷性，隨機性等性質。本文 主要研究duffing方程所描述的混沌系統(tǒng)的閾值。閾值分為進入混沌狀態(tài)的閾值ac和由混沌狀態(tài)進入大尺度周期狀態(tài)的閾值ad。本

7、文討論的是由混沌狀態(tài)進入大尺度周期狀態(tài)的閾值ad。本文用相軌跡圖法和功率譜熵的方法分別討論了混沌系統(tǒng)的閾值ad，并對兩種方法的性能做了比較。實驗發(fā)現(xiàn)功率譜熵方法比相軌跡圖法具有更高的精度和更快的運算速度。2混沌判據(jù)的推導本文主要研究Duffing方程的如下兩種形式：x ; kx" x=;« a .cos (t)=;*a cos(t)2.1非線性項含x3的系統(tǒng)式（2. 1）可以等價為如下形式x'二 yy' = x _ x3 -； ky ； « a c o s(t)；： 時，方程（2.1 ）為哈密頓系統(tǒng)，哈密頓量為2 24H =y /2x / 2 x

8、/ 4H =0時，可得同宿軌道的表達式為x(t) =+V2 sec hty(t) = - . 2 sec ht «t h tMe In ikov函數(shù)計算可得:M (t°)y(t) _ky(t)亠a *cos ,(t 亠t°)dt一4k_2.asin( t0)3cosh(二 * ./2)(2.1)(2.2)(2.3)(2.4)(2.5)(2.6)令m （t。）=0，又sin（ t°） < 1所以，若式（2.6）對t°有解，則必須滿足一下條件±-4k .cos/2)<1(2.7)根據(jù)Melnikov函數(shù)的相關定理可得:當a/k

9、 . 0時,解得閾值為a 4cosh(d： / 2)k 3.2 *!'.：RC J4cosh( = , / 2)(2.8)當a/k :：: 0時,解得4 cosh(心 / 2)a 4cosh( ：；.-; /2)*r=k 3 i 2 ，(2.9)由于a/k ：: 0 ,所以此時解得區(qū)域應在X軸以下，即4 cosh( z： / 2)3.2*7.4cosh(心 /2)3、2 * r2.2非線性項含x3 x5的系統(tǒng)式（2.2）可等價為x' =y35y'二 x .xk.y；.a 4cos' t）由2.1的推導過程可得本系統(tǒng)的同宿軌道表達式如下：(2.10)混沌閾值范圍:

10、當-.0時, k可得623t - 4,l工3佰y°(t)3(3t2 +4)2Xo(t)-(2.11)3256 -二(2.12)a .2(3二2 - 16 -2)2 _ >k即閾值R()3.2(3 二2 16 ,2)2(2.13)256 二當-:0時, k32 (3 二2 16. ,2)2a <_ 256k32 (3 二2 16. ,2 )2(2.14)256 -二由于里:：.0時，所以此時解得區(qū)域應在kX軸以下，即3(2.15)a .2(3 二2 76.256 -二->k此時閾值為3R（，- 2（3"佃審256 -二(2.16)綜合推導，得到混沌區(qū)域如下：

11、I區(qū)：不等式混沌解（2.12）; n區(qū)：不等式混沌解（2.15）3實驗結果及分析在確定出的混沌閾值區(qū)域內,3.1相軌跡圖所確定的閾值我們用相軌跡圖和功率譜熵方法分別確定混沌的閾值。方程：x " - 0.5X ' x - x3二acos（t ）所描述的混沌系統(tǒng)閾值如下:表格 1k- -0.5,即=0.5二©0.50.811.21.523a0.82600.82610.82610.82590.82580.82550.8257©45678910a0.82560.82570.82570.82570.82560.82560.8256©203040506070

12、80a0.82560.82550.82560.82570.82550.82540.8256©90100110120130140150a0.82560.82570.82520.82550.82570.82540.8256©160170180190200210220a0.82560.82560.82560.82560.82570.82560.8252表格2 k =_0.5, ® = 0©0.50.811.21.523a0.82670.82680.82680.82680.82670.82640.8266©45678910a0.82640.82650.

13、82650.82630.82640.82660.8266©20304050607080a0.82640.82650.82650.82660.82640.82650.8265©90100110120130140150a0.82660.82640.82660.82640.82650.82650.8265©160170180190200210220a0.82650.82640.82650.82640.82640.82640.82650.8270.82620.8260.82580.82560.82540.82520.82640.82680.8266圖3-1=0和 =0.5

14、二時，閾值比較圖從表1、表2,以及圖3-1可以看出，在(0.5,220)上，隨，的變化，a呈現(xiàn)出無規(guī)律變化，這表明：混沌運動是一個類周期的隨機運動。但是在(0.5,220)上，a大體上穩(wěn)定在一定的范圍內。隨著 值的增大，閾值 a的取值會略微變大。方程：x "-0.5X ' X3 -X5二acos( 江：:)所描述的混沌系統(tǒng)閾值如下:表 3 k 二 _0.5，：護=0.5二0.50.811.52510a0.72560.72580.72580.72550.72530.72650.7257©20304050607080a0.72550.72570.72550.72710.

15、72570.72580.7255CO90100110120130140150a0.72560.72710.72540.72600.72600.72580.7258CO160170180190200210220a0.72550.72570.72560.72580.72710.72570.7254表 4 k = 0 .5，半 _o 4j0.50.811.52510a0.72960.72970.72960.72950.72950.73140.7301O20304050607080a0.73010.72980.73010.73020.72960.73000.7300O90100110120130140

16、150a0.72960.72990.72970.73040.72950.73300.7298O160170180190200210220a0.72950.73150.72980.73010.73050.73000.7302表 5 k =-一0.5，中=0.3nO0.50.811.52510a0.73460.73460.73420.73360.73390.73380.7322O20304050607080a0.73260.73250.73210.73250.73240.73250.7327O90100110120130140150a0.73200.73230.73260.73240.73270.

17、73290.7325O160170180190200210220a0.73200.73300.73290.73280.73210.73260.7327相位為0.5*pi相位為0.4*pi 相位為0.3*pi0.7360.7340.732I閾 0.730.7280.72450100w 頻 率150200250圖3-2當取不同值時的閾值a瀕率，曲線圖0.726的減小，閾值a也會逐漸增大。每從上面的表格和曲線圖中，我們可以看出隨著相位個相位所對應的閾值a大致穩(wěn)定在一個范圍內，且呈現(xiàn)出不規(guī)律分布，這體現(xiàn)了混沌運 動的內在隨機性。3.2用功率譜熵判別得到的閾值方程：x -0.5x'x_x3 =

18、acos（ .t亠仃）所描述的混沌系統(tǒng)閾值如下:0.8270.8260.82651相1相-相相位 位 位 位為0為 0.5*pi為 為00.5*pi亠* 亠 4-h-一0.8250.8255050100150w 頻率200250表 6 k 二 _0.5,：護=00.50.811.52510a0.82630.82630.82670.82660.82690.82630.826320304050607080a0.82610.82630.82640.82640.82630.82650.8261©90100110120130140150a0.82640.82620.82640.82620.82

19、620.82620.8262©160170180190200210220a0.82650.82640.82630.82640.82640.82630.8264表 7k- -0.5,=0.5-0.50.811.52510a0.82600.82610.82610.82580.82550.82550.8256co20304050607080a0.82560.82550.82550.82570.82550.82540.8256Q90100110120130140150a0.82540.82550.82520.82510.82530.82540.8256o1601701801902002102

20、20a0.82520.82520.82520.82510.82550.82530.82520.8275圖3-3兩種方法確定的閾值比較圖從上圖中我們可以看出，用功率譜熵的方法確定的閾值大體上與用相軌跡圖法確定的閾值相同，一些頻率點上的閾值比相軌跡法得出的閾值稍小。這可能是由于在使用相軌跡圖法進行測量的時候，產(chǎn)生的觀察誤差造成的。方程：x'J0.5x x3 -x5 = a cos（ *t ）所描述的混沌系統(tǒng)閾值如下:表 8 k 一 _0.5，中=0.5-0.50.811.52510a0.72560.72580.72580.72550.72530.72650.7257203040506070

21、80a0.72550.72570.72550.72710.72570.72580.7255o90100110120130140150a0.72560.72710.72540.72600.72600.72580.7258o160170180190200210220a0.72550.72570.72560.72580.72710.72570.7254表 9 k 二0.5 ,=0.4二0.50.811.52510a0.72960.72970.72960.72950.72950.73140.7301O20304050607080a0.73010.72980.73010.73020.72960.7300

22、0.7300O90100110120130140150a0.72960.72990.72970.73040.72950.73290.7298O160170180190200210220a0.72950.73150.72980.73010.73010.73000.73020.50.811.52510a0.73460.73460.73420.73360.73390.73380.7322Q20304050607080a0.73260.73250.73210.73250.73240.73250.7327o90100110120130140150a0.73200.73230.73260.73240.73

23、270.73290.7325O160170180190200210220a0.73200.73300.73290.73280.73210.73260.73270.736為 為 為 為 為 為0.5*pi0.4*pi0.3*pi0.5*pi0.4*pi0.3*pia0.7340.732位 位 位 位 位 位表 10 k 二-0.5 ,=0.3：2502500.7280.726050100150200w頻率0.724圖3-4兩種方法確定的閾值比較圖從上圖中可以看出，兩種方法所得出的閾值幾乎完全吻合。2503.3兩種方法比較相軌跡圖法：直觀法簡單易行，可直接觀察相軌跡圖，從而確定閾值。操作簡單，不需

24、要編寫復雜的程序。但耗時長，且容易出現(xiàn)誤判。功率譜熵的方法：該方法屬于定量分析的方法，準確性高，任何時域微小的變化都能通過功率管譜熵反應出來，所以具有較高的準確性。且用功率譜熵的方法，進行仿真時，我們可 以把一些含相同參數(shù)的模塊集成，這樣便于修改參數(shù)，提高仿真效率。由于在用simuli nk模塊進行仿真時，無需復雜的計算和畫圖，所以仿真運行速度比直觀法提高了數(shù)倍。用此方法需要注意的是：對功率譜進行N點的FFT變換的時候，N的取值應當適當?shù)拇笠恍?。圖3-5（ a）集成后的系統(tǒng)框圖Scope圖3-5（ b）（ a）中subsystem 的內部結構圖3-6相軌跡圖法框圖從圖3-5和3-6中可以看出，

25、3-5所示模型，即用功率譜熵方法的模型，比用相軌跡方法的模型更便于修改參數(shù)。設置圖3-5中的示波器，使其輸出相應的仿真數(shù)據(jù)到workspace。在仿真結束后調用 M文件，計算功率譜熵，從而根據(jù)功率譜熵的情況確定系統(tǒng)的閾值。由 于在仿真的過程中， 都是用的simulink本身的函數(shù)模塊，且無需畫出相軌跡圖，故能大大縮短仿真時間，提高實驗效率。4總結4.1全文總結本文主要是在用 Melnikov方法確定的混沌區(qū)域內，用相軌跡圖和功率譜熵的方法確定 的混沌系統(tǒng)閾值，在：三（0.5,220）中的一些頻率時，對應的混沌閾值ad。功率譜熵的方法作為定量分析的方法之一比相軌跡圖具有更高的效率和準確性。4.2

26、展望本文用相軌跡圖法和功率譜熵的方法對兩種Duffing方程所描述的混沌系統(tǒng)的閾值進行了分析，至于功率譜熵怎樣應用到其他模型的混沌系統(tǒng)中，還有待進一步的研究。致謝本文的工作是在導師李月教授的關懷和悉心指導下完成的。在這將近一年的時間里，李老師在學習上給了我很大的幫助。對于我在畢業(yè)設計中遇見的問題給予了耐心的指導，讓我獲益匪淺。李老師嚴謹?shù)闹螌W態(tài)度，刻苦的工作精神，一心為了學生著想的工作作風，深 深的感動著我。在此，對李老師給予的關懷和指導表示衷心的感謝，祝愿李老師身體健康， 工作順利。此外，在畢業(yè)設計過程中，我還得到了吉林大學信號處理研究室所有師兄師姐以及06級同仁的關心和幫助。在此一并對他們

27、表示感謝。最后，感謝答辯組各位老師為審閱本文付出的辛勤勞動。參考文獻1李月，楊寶俊混沌振子系統(tǒng)（L-Y）與檢測,2007年.2李月等.微弱正弦信號檢測模型混沌解得判定.地球物理學進展,2002年.3 李亞峻等.用Me In ikov函數(shù)的數(shù)值積分法估計混沌閾值.2004年.4聶春燕等.基于混沌檢測弱信號的混沌特性判別方法的研究 .計量學報,2000年.5李月等.混沌振子用于強噪聲下的微弱正弦信號的檢測吉林大學自然科學報,2000年.6李月等.檢測強噪聲背景下周期信號的混沌系統(tǒng).科學通報,2003年.7李月等.色噪聲背景下微弱信號的混沌檢測 .物理學報,2003年.8張林等.基于Duffing

28、振子的微弱正弦信號檢測研究與仿真?zhèn)鞲屑夹g學報,2009年.9李月等.微弱方波信號信號檢測模型混沌解的判定.地球物理學進展,2002年.10李亞峻等.微弱信號混沌檢測系統(tǒng)混沌閾值的確定.吉林大學報,2004年11 李亞峻.混沌判據(jù)的一一Melnikov算法研究.吉林大學碩士論文，2004年12郭彬.基于Duffing混沌系統(tǒng)的微弱信號檢測方法研究吉林大學碩士論文,2007年路鵬 . 基于 Duffing 振子的微弱信號檢測 . 吉林大學碩士論文 ,2005 年徐凱.基于混沌系統(tǒng)集合特征量的微弱信號檢測 . 吉林大學碩士論文 ,2008 年 胡曄.基于特定混沌系統(tǒng)的微弱信號檢測方法研究. 吉林大學碩士論文 ,2009 年聶春燕 . 混沌系統(tǒng)與微弱信號檢測 .2009 年姚天任 . 數(shù)字信號處理 .劉曾榮 . 混沌的微擾判據(jù) . 上海科技教育出版社 ,1995 年.劉秉正等.非線性動力學 .高等教育出版社 ,2004.X.L.LENG . Bifurcation and Chaos Analysis of Stochastic Duffing System Under Harmonic Excitations. Springer,2005:185-198CHUNBIAO GAN. Noise-Induced Chao