幾何體體積求法

1、幾何體體積常見(jiàn)求法二、等體積轉(zhuǎn)化法：從不同的角度看待原幾何體，通過(guò)改變頂點(diǎn)和底面，利用體積不變的原理，求原幾何體的體積。三、割補(bǔ)法不但是立體幾何中求角、 距離的常用方法， 而且也是求幾何體體積的常用方法 它包括把規(guī)則的幾何體割補(bǔ)成易求體積的幾何體， 也包括把不規(guī)則的幾何體割補(bǔ)成規(guī)則的幾何體， 以便求體積一、直接法一、直接法CPAB解法一：易知AO是PA的射影，且AO是BAC的平分線。故VP-ABC=O.3231POSABC.AOOABCPO連接于點(diǎn)平面作直線直接法.,60, 2, 1,求此三棱錐的體積中在三棱錐BACPACPABACABPAABCP例例1由三余弦定理3330cos60cosco

2、s PAO36sin PAOPAOPPAOBAOPAO coscoscos 30coscos60cosPAO即3sin21 PAOACABSABC而,36sin PAO解法二（換底法）解法二（換底法）PABC.,:,. 360cos21221,222222PBCPAPCPAPBPAPBPAABPBPAB面面故故同同理理即即中中在在 .,PAPBC三三棱棱錐錐的的高高為為則則為為底底面面選選平平面面D.32213131,21322 PAPDBCPDSVBDPBPDPBC又又 （割體法）取AB、AC的中點(diǎn)M、N，解法三：連接PM、PN、MN，則P-AMN是一個(gè)棱長(zhǎng)為1的正四面體。明顯地，VP-AB

3、C=4VP-AMN故VP-ABC=32112243MNPABCPABCOQ解法四： 明顯地，P-ABC是棱長(zhǎng)為2的正四面體，所以，VP-ABC=1/2VQ-ABC （補(bǔ)體法）（補(bǔ)體法）延長(zhǎng)AP至點(diǎn)Q， 連接BQ、CQ，322122213ABCDE練習(xí)1： 正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為AB的中點(diǎn)，將它沿EC、ED折起，使A、B重合為點(diǎn)P，求三棱錐P-ECD的體積。.,為底面選平面提示PCDPDPEPCPE 33V答案PECD例2.已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a,求三棱錐B1AD1C的體積。ABCDA1B1C1D1變式，四面體S-ABC的三組對(duì)棱分別相等，且依次為 ， 求該四體的體

4、積。2 5 13 5，分析：由三條對(duì)棱相等，易聯(lián)想到長(zhǎng)方體的三組相對(duì)的面上的對(duì)角線相等，因此可將四面體補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體來(lái)解。222222222(2 5)4( 13)2354146183DSABxyxyzyzxzVVVVVV四面體長(zhǎng)方體長(zhǎng)方體長(zhǎng)方體長(zhǎng)方體解：設(shè)長(zhǎng)方體的三邊長(zhǎng)分別為x,y,z.則解得：SBDC例3.如圖，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，EF/AB，EF垂直AE，EF=3/2，EF與面AC的距離為2，求該多面體的體積( )。ABCDEF915. .5 .6 .22ABCD法一：分別取AB、CD的中點(diǎn)G、H連EG，GH，EH，把該多面體分割成一個(gè)四棱錐與一個(gè)三棱

5、柱，可求得四棱錐的體積為3，三棱柱的體積 ，整個(gè)多面體的體積為 故選D15292ABCDEFGH法三.由已知條件可知，EF平面ABCD，則F到平面ABCD的距離為2，將幾何體變形如圖，使得EG=AB，三棱錐F-BCG的體積為： 原幾何體的體積為： 11333 23222 13153 2 3222 ABCDEFG解：法三：如下圖所示，連接BE、CE則四棱錐E-ABCD的體積VE-ABCD= 3332=6，又整個(gè)幾何體大于四棱錐E-ABCD的體積，所求幾何體的體積V求VE-ABCD，13ABCDEF例4.三棱錐P-ABC中，已知PABC，PA=BC=a ，EDPA ，EDBC ,ED=h, 求三棱

6、錐的體積。PAD1132P ABCP ABDP ACDB APDC APDBCEDBCBCPAVVVVVah a 解：面，PABCED求體積的求體積的常用方法常用方法所給的是非規(guī)范所給的是非規(guī)范( (或條件比較分散的規(guī)或條件比較分散的規(guī)范的范的) )幾何體時(shí)幾何體時(shí), ,通過(guò)對(duì)圖象的割補(bǔ)或體通過(guò)對(duì)圖象的割補(bǔ)或體積變換積變換, ,化為與已知條件直接聯(lián)系的規(guī)化為與已知條件直接聯(lián)系的規(guī)范幾何體范幾何體, ,并作體積的加、減法。并作體積的加、減法。小結(jié)當(dāng)按所給圖象的方位不便計(jì)算時(shí)當(dāng)按所給圖象的方位不便計(jì)算時(shí), ,可選可選擇條件較集中的面作底面擇條件較集中的面作底面, ,以便計(jì)算底以便計(jì)算底面積和高面積和高. .所給的是