多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用21164

1、 第八章第八章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用引引 言言 上冊中討論的函數(shù)是一元函數(shù)問題上冊中討論的函數(shù)是一元函數(shù)問題. .但在許多但在許多實際問題中往往涉及到多方面的因素，反應(yīng)在實際問題中往往涉及到多方面的因素，反應(yīng)在數(shù)學(xué)上就是多元函數(shù)以及多元函數(shù)的微分和積數(shù)學(xué)上就是多元函數(shù)以及多元函數(shù)的微分和積分問題分問題. . 多元函數(shù)微積分的基本概念、理論和多元函數(shù)微積分的基本概念、理論和方法是一元函數(shù)微積分中相應(yīng)概念、理論和方方法是一元函數(shù)微積分中相應(yīng)概念、理論和方法的推廣與發(fā)展，它們既有許多相似之處，又法的推廣與發(fā)展，它們既有許多相似之處，又有很多本質(zhì)上的不同有很多本質(zhì)上的不同. .

2、 學(xué)習(xí)時注意比較和區(qū)分學(xué)習(xí)時注意比較和區(qū)分. .為主，討論多元函數(shù)的微分法及其應(yīng)用為主，討論多元函數(shù)的微分法及其應(yīng)用. .本章將在一元微分學(xué)的基礎(chǔ)上，以二元函數(shù)本章將在一元微分學(xué)的基礎(chǔ)上，以二元函數(shù)一、準(zhǔn)備知識一、準(zhǔn)備知識二、多元函數(shù)的概念二、多元函數(shù)的概念三、多元函數(shù)的極限三、多元函數(shù)的極限四、多元函數(shù)的連續(xù)性四、多元函數(shù)的連續(xù)性第一節(jié)第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念1. 1. 平面點集平面點集 n 維空間維空間二元有序數(shù)組（二元有序數(shù)組（x,y）或點的全體，即）或點的全體，即 2rr r( , ),x y x yr表示坐標(biāo)平面表示坐標(biāo)平面. .坐標(biāo)平面上具有某種性質(zhì)坐標(biāo)平面上具

3、有某種性質(zhì)p的點的集合的點的集合, ,稱為稱為平面點集平面點集, ,記作記作 ( , ) ( , )ex yx yp 具具有有的的性性質(zhì)質(zhì) 222),(ryxyxc 例例 圓圓 內(nèi)所有點的集合：內(nèi)所有點的集合：222xyr roppc 或或一、準(zhǔn)備知識一、準(zhǔn)備知識定義了線性運算和距離的集合定義了線性運算和距離的集合 稱為二維空間稱為二維空間. .2rn 元有序數(shù)組元有序數(shù)組12(,)nx xx12(,)nx xxn 維空間中的每一個元素維空間中的每一個元素kx數(shù)數(shù)稱為該點的第稱為該點的第k個個的全體稱為的全體稱為n維空間維空間,記作記作r ,n即即rr rrn 12(,)r,1,2,nkx x

4、xxkn稱為空間中的一個稱為空間中的一個點點, 坐標(biāo)坐標(biāo) .(0,0,0)0.稱為零元，記為稱為零元，記為定義了線性運算和距離的集合定義了線性運算和距離的集合 稱為二維空間稱為二維空間.2r推廣：推廣：2. 2. 鄰域鄰域 0(,) ,u pp 在平面上在平面上, , 22000(, )( , )()()u px yxxyy( (圓鄰域圓鄰域) )在空間中在空間中, , ,2220000()( , , )()()()u px y zxxyyzz ( (球鄰域球鄰域) )0pp 000(,)p xy 中點中點 的的 鄰域鄰域為為rn 00(, )u xx xx0 x x0p o0() u pp

5、00pp1.1.若不需要強調(diào)鄰域半徑若不需要強調(diào)鄰域半徑 , ,也可寫成也可寫成0().u p2.2.點點p p0 0 的的去心鄰域去心鄰域記為記為說明說明：0p 在討論實際問題中也常使用方鄰域在討論實際問題中也常使用方鄰域, ,因為方鄰因為方鄰域與圓鄰域可以互相包含域與圓鄰域可以互相包含. .平面上的平面上的方鄰域方鄰域為為 0u(,)( , ) px y 0,xx 0yy 。0p3. 3. 區(qū)域區(qū)域(1) 內(nèi)點、外點、邊界點內(nèi)點、外點、邊界點設(shè)有點集設(shè)有點集 e 及一點及一點 p : 若存在點若存在點 p 的某鄰域的某鄰域 u(p) e , 若存在點若存在點 p 的某鄰域的某鄰域 u(p)

6、 e = ,e則稱則稱 p 為為 e 的的內(nèi)點內(nèi)點；則稱則稱 p 為為 e 的的外點外點； 若對點若對點p 的任一鄰域的任一鄰域 u(p) 既含既含e中的內(nèi)點中的內(nèi)點顯然顯然, e的內(nèi)點必屬于的內(nèi)點必屬于e , e 的外點必不屬于的外點必不屬于e , e 的邊界點可能屬于的邊界點可能屬于e, 也可能不屬于也可能不屬于e . e也含也含 e 的外點的外點 , 則稱則稱 p 為為 e 的的邊界點邊界點 .(2) 聚點聚點若對任意給定的若對任意給定的 , 點點p 的去心鄰域的去心鄰域( ,)u p e內(nèi)總有內(nèi)總有e 中的點中的點 , 則稱則稱 p 是是 e 的的聚點聚點.聚點可以屬于聚點可以屬于e

7、, 也可以不屬于也可以不屬于e (因為聚點可以為因為聚點可以為e 的邊界點的邊界點 ) 所有聚點所成的點集成為所有聚點所成的點集成為e 的的導(dǎo)集導(dǎo)集 . 若集若集d中任意兩點都可用一完全屬于中任意兩點都可用一完全屬于d的折線的折線d(3) 開區(qū)域及閉區(qū)域開區(qū)域及閉區(qū)域 若點集若點集e的點都是的點都是內(nèi)點內(nèi)點，則稱，則稱e為為開集開集； 若點集若點集e e, 則稱則稱e為為閉集閉集； 開區(qū)域連同它的邊界一起稱為開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域閉區(qū)域.連通的開集稱為連通的開集稱為開區(qū)域開區(qū)域,簡稱簡稱區(qū)域區(qū)域; e的邊界點的全體稱為的邊界點的全體稱為e的的邊界邊界, 記作記作 e ;相連相連 ,則

8、稱則稱d是是連通連通的的 ;例如，例如，在平面上在平面上開區(qū)域開區(qū)域閉區(qū)域閉區(qū)域xyo21xyoxyoxyo21 ( , )0 x yxy 22( , ) 14x yxy ( , )0 x yxy 22( , ) 14x yxy 整個平面是最大的開域整個平面是最大的開域 , 點集點集 ( , )1x yx 也是最大的閉域；也是最大的閉域；是開集，但非區(qū)域是開集，但非區(qū)域 .11oxy 對區(qū)域?qū)^(qū)域d , 若存在正數(shù)若存在正數(shù)k , 使一切點使一切點p d則稱則稱d為為有界域有界域 ,否則稱為否則稱為無界域無界域 .與某定點與某定點a 的距離的距離 ap k ,二、多元函數(shù)的概念二、多元函數(shù)的概

9、念 引例引例: : 圓柱體的體積圓柱體的體積 定量理想氣體的壓強定量理想氣體的壓強2,vr h (,rtprv 為為常常數(shù)數(shù)） ( ,)0,0r hrh 0(,)0,v tvtthr設(shè)非空點集設(shè)非空點集r ,nd ( ),uf p pd或或點集點集d 稱為函數(shù)的稱為函數(shù)的定義域定義域； 數(shù)集數(shù)集 (),u uf ppd稱為函數(shù)的稱為函數(shù)的值域值域 .特別地，當(dāng)特別地，當(dāng)n = 2時時, 有二元函數(shù)有二元函數(shù)2( , ),( , )rzf x yx yd當(dāng)當(dāng)n = 3時時,有三元函數(shù)有三元函數(shù)3( , , ), ( , , )ruf x y zx y zd映射映射:rfd 稱為定義在稱為定義在d

10、上的上的n元函數(shù)元函數(shù)，記作記作12(,)nuf x xx 定義定義點函數(shù)點函數(shù)xzy例如例如, 二元函數(shù)二元函數(shù)221zxy定義域為定義域為圓域圓域 22( , )1dx yxy圖形為中心在原點的上半球面圖形為中心在原點的上半球面.1xyzo,sin(),zxy 又又如如2( , )rx y xyod說明說明: : 二元函數(shù)二元函數(shù) z = f (x, y), (x, y) d的圖形一般為空間曲面的圖形一般為空間曲面 .三元函數(shù)三元函數(shù) 222arcsin()uxyz定義域為定義域為單位閉球單位閉球 222( , , )1x y zxyz圖形為圖形為4r空間中的超曲面空間中的超曲面.d三、多

11、元函數(shù)的極限三、多元函數(shù)的極限設(shè)設(shè)n元函數(shù)元函數(shù)( ),r ,nf ppd0(,),pdu p ( )-,f p a 則稱則稱a為函數(shù)為函數(shù)p0 是是d的聚點，的聚點，若存在常數(shù)若存在常數(shù)a ,對一對一切切記作記作0( ),f ppp當(dāng)當(dāng)時時的的極極限限都有都有對任意正數(shù)對任意正數(shù) ，總存在正數(shù)，總存在正數(shù) ,定義定義(也稱為也稱為 n 重極限重極限)0lim( )=ppf pap0lim( )=xxf xa0p00( , )(,)lim( , )=x yxyf x ya),(),(000yxpyxp其中其中當(dāng)當(dāng)n =2時時, , 記記22000()()ppxxyy 二元函數(shù)的極限可寫作：二元

12、函數(shù)的極限可寫作：0lim( , )f x ya 0lim( )=ppf pa00lim( , )xxyyf x ya(二二重極限重極限)例例1 1 設(shè)設(shè)2222221( , )()sin(0)f x yxyxyxy 求證求證：00lim( , )0.xyf x y 證證: :22221()sin0 xyxy 故故00lim( , )0 xyf x y 0, ( , )0f x y 220 xy 當(dāng)當(dāng)時時, ,22xy2 22xy , 總有總有 要證要證 若當(dāng)點若當(dāng)點( ,p x y）以以不同方式趨于不同方式趨于000(,)p xy時時，函數(shù)趨于函數(shù)趨于不同值不同值或有的極限不存在，則可以斷或

13、有的極限不存在，則可以斷一元函數(shù)：一元函數(shù)：axfxfaxfxxxxxx )(lim)(lim)(lim0001.1.多元函數(shù)極限多元函數(shù)極限0lim()=ppf pa().f pa無無限限接接近近于于常常數(shù)數(shù)因此，有因此，有判定多元函數(shù)極限不存在的方法判定多元函數(shù)極限不存在的方法：定函數(shù)極限定函數(shù)極限不存在不存在 . .注：注：0pp是是指指 以以任任何何方方式式趨趨近近于于 ，解解 設(shè)設(shè)p(x , y)沿直線沿直線 y = k x 趨于點趨于點 (0, 0) ,22( , )xyf x yxy 222200lim( , )limxxy kxkxf x yxk x 在點在點 (0, 0) 的

14、極限的極限.( , )f x y故故21kk k 值不同極限不同值不同極限不同 !在在 (0,0) 點極限不存在點極限不存在 .討論函數(shù)討論函數(shù)例例2則有則有2. 二重極限二重極限00lim( , )xxyyf x y00lim lim( , )yy xxf x y及及不同不同. 例如例如,22( , ),xyf x yxy 顯然顯然00lim lim( , )xxyyf x y與累次極限：與累次極限：00limlim( , )0,xyf x y 00limlim( , )0yxf x y 但由但由例例2 知它在知它在(0,0)點二重極限不存在點二重極限不存在 .四、四、 多元函數(shù)的連續(xù)性多元

15、函數(shù)的連續(xù)性 定義 設(shè)設(shè)n元函數(shù)元函數(shù)( )f p定義在定義在d上上,00lim( )()ppf pf p 0( )f pp在在點點如果函數(shù)在如果函數(shù)在d上上各點處各點處都連續(xù)都連續(xù), 則稱此函數(shù)則稱此函數(shù)0,pd 聚聚點點如果存在如果存在否則稱為否則稱為不連續(xù)不連續(xù),此時此時0p稱為稱為間斷點間斷點 .則稱則稱n元函數(shù)元函數(shù)在在d上連續(xù)上連續(xù).連續(xù)連續(xù), 例如例如, 函數(shù)函數(shù)222222,0( , )0,0 x yxyxyf x yxy 在點在點(0 , 0) 極限不存在極限不存在, 又如又如, 函數(shù)函數(shù)221( , )1f x yxy 上間斷上間斷.221xy 故故 ( 0, 0 )為其間

16、斷點為其間斷點. .在圓周在圓周結(jié)論: 一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).222arcsin(3)( , )xyf x yxy 2231xy2224xy例例3 求函數(shù)求函數(shù)的連續(xù)域的連續(xù)域.20 xy2xy 2oyx2解解只須求出該初等函數(shù)的定義區(qū)域只須求出該初等函數(shù)的定義區(qū)域.定理：定理：若若 f (p) 在有界閉域在有界閉域 d上連續(xù)上連續(xù), 則則0,k,m m ( ),;f pk pd使使( )f p在在d上可取得最大值上可取得最大值m及最小值及最小值m ;對任意對任意,qd( ).f q 使使 有界閉域有界閉域上多元連續(xù)函數(shù)有與一元函數(shù)類似上多元連續(xù)函數(shù)有與一元函數(shù)類似的如下性質(zhì)的如下性質(zhì):2.最值定理最值定理1.有界性定理有界性定理3.介值定理介值定理二、多元函數(shù)極限的概念二、多元函數(shù)極限的概念三、多元函數(shù)連續(xù)的概念三、多元函數(shù)連續(xù)的概念有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（三個）有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（三個）（注意趨近方式的任意性）（注意趨近方式的任意性）一、多元函數(shù)的概念一、多元函數(shù)的概念小結(jié)小結(jié)0lim( )=ppf pa( ),uf p pd00lim( )()ppf pf p rn 二元函數(shù)圖形一般為空間曲面二元函數(shù)圖形