第2章氣體動(dòng)理論

1、第二章 氣體動(dòng)理論思考題2-1 什么是熱運(yùn)動(dòng)？其基本特征是什么？說明微粒做布朗運(yùn)動(dòng)的原因。答：系統(tǒng)中物質(zhì)分子運(yùn)動(dòng)的劇烈程度隨系統(tǒng)溫度的升高而加劇，因此，將大量分子的無規(guī)則運(yùn)動(dòng)叫做分子的熱運(yùn)動(dòng)。分子熱運(yùn)動(dòng)的基本特征是分子的永不停息地運(yùn)動(dòng)和頻繁地相互碰撞。由于氣體分子的熱運(yùn)動(dòng)，即從微觀角度看，氣體分子的無規(guī)則運(yùn)動(dòng)和對微粒的頻繁碰撞，是微粒產(chǎn)生布朗運(yùn)動(dòng)的原因。2-2 何謂理想氣體？從微觀結(jié)構(gòu)來看，它與實(shí)際氣體有何區(qū)別？答： 所謂理想氣體就是指比較稀薄的氣體，即平均間距很大的分子集合。具體地講，理想氣體（1）分子本身線度與分子之間的平均距離相比可以忽略不計(jì)，分子看作質(zhì)點(diǎn)；（2）除碰撞的瞬間外，分子與分

2、子、分子與器壁間無相互作用力；（3）分子之間，分子與器壁之間的碰撞是完全彈性的。 而實(shí)際氣體分子之間有相互作用力，在短程斥力的作用下，實(shí)際氣體分子不能當(dāng)著質(zhì)點(diǎn)來處理，應(yīng)考慮到其本身體積的大小。實(shí)際氣體的狀態(tài)方程和實(shí)際氣體的等溫線和理想氣體相比較也有較大的差別。2-3 若給出一個(gè)矩形容器，設(shè)內(nèi)部充有同一種氣體，每一個(gè)分子的質(zhì)量為，分子數(shù)密度為，由此可以導(dǎo)出理想氣體的壓強(qiáng)公式。若容器是一個(gè)球形的，壓強(qiáng)公式的形式仍然是不變的。請證明之。答：在球形容器內(nèi)，分子運(yùn)動(dòng)的軌跡如本圖中帶箭頭實(shí)線所示。設(shè)分子i的速率為，分子與器壁的碰撞為完全彈性碰撞，分子碰撞器壁只改變分子運(yùn)動(dòng)方向，不改變速度的大小，并且，“入

3、射角”等于“反射角”。對分子i來說，在每次和器壁的碰撞中，分子對器壁作用的法向沖量為。該分子每秒鐘內(nèi)與器壁的碰撞次數(shù)為，所以，該分子每秒內(nèi)作用在器壁上的作用力為qqOR思考題2-3用圖viq對于總數(shù)為N的全部分子（分子是全同的，每一個(gè)分子的質(zhì)量均為m。）來說，球形內(nèi)壁每秒內(nèi)所受到的總作用力等于由于球形內(nèi)壁的總面積為，氣體的體積為。所以，按照壓強(qiáng)的定義得證畢。2-4 對汽車輪胎打氣，使之達(dá)到所需要的壓強(qiáng)。在冬天與夏天，打入輪胎內(nèi)的空氣質(zhì)量是否相同？為什么？答：不相同，在冬天打入輪胎內(nèi)的空氣質(zhì)量要大一些。因?yàn)橄奶鞖鉁馗?，空氣分子的平均平?dòng)能較大；冬天氣溫低，空氣分子的平均平動(dòng)能較小。根據(jù)理想氣體的

4、壓強(qiáng)公式可知，當(dāng)壓強(qiáng)相同時(shí)，在冬天打入輪胎內(nèi)的空氣密度（即質(zhì)量）要大一些。2-5如何理解分子平均平動(dòng)動(dòng)能？對于某一個(gè)分子，能否根據(jù)此式計(jì)算它的動(dòng)能？答：為大量分子的平均平動(dòng)動(dòng)能的統(tǒng)計(jì)平均值，對于一個(gè)給定的分子，它的平動(dòng)動(dòng)能可能在0與之間的任何上一個(gè)值，故無法直接用計(jì)算它的平均平動(dòng)動(dòng)能。 2-6 根據(jù)理想氣體的溫度公式，當(dāng)K時(shí)，0。由此可推斷，K(即273)時(shí)，分子將停止運(yùn)動(dòng)。對此推論，你有何看法？請?jiān)u判之。答：這種看法是錯(cuò)誤的。因?yàn)槔硐霘怏w的溫度公式只適用于理想氣體，而在273時(shí)，已經(jīng)不存在理想氣體了，溫度公式也就不成立了，如此的推論自然也就是錯(cuò)誤的。事實(shí)上，即使達(dá)到273，分子也還在作微小的

5、振動(dòng)，運(yùn)動(dòng)仍不會停止。 2-7 如盛有氣體的容器相對于某坐標(biāo)系從靜止開始運(yùn)動(dòng)，容器內(nèi)的分子速度相對于這坐標(biāo)系也將增大，則氣體的溫度會不會因此升高呢?答：容器內(nèi)氣體的溫度是大量分子無規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)的平均效果，是表征容器內(nèi)氣體平衡狀態(tài)的宏觀參量。若因容器的運(yùn)動(dòng)而破壞了容器內(nèi)氣體的平衡狀態(tài)，則無溫度可言。在容器一般運(yùn)動(dòng)的情況下(比如直線運(yùn)動(dòng))，由于氣體分子的頻繁碰撞，總能維持平衡狀態(tài)，所有分子的熱運(yùn)動(dòng)疊加了一個(gè)整體定向運(yùn)動(dòng)的速度，這并未增加或減少分子問的碰撞機(jī)會。因此，容器內(nèi)氣體的溫度不會變化(通過取相對容器靜止的參考系，可證明這一結(jié)論)。但當(dāng)容器突然停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，大量分子定向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能將通過與器壁以及分

6、子問的碰撞而轉(zhuǎn)換為熱運(yùn)動(dòng)的能量，會使容器內(nèi)氣體的溫度有所升高。2-8 麥克斯韋速率分布是指氣體在平衡態(tài)下的統(tǒng)計(jì)分布。一般而言，速率分布函數(shù)還可以有其他形式。但是，無論何種形式，它們的意義是相同的。設(shè)為速率分布函數(shù)，請思考下列各式所代表的意義：（1） ； （2）； （3）； （4）。答：（1）表示速率分布在區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。（2）表示速率分布在區(qū)間內(nèi)的氣體分子數(shù)。（3） 表示速率分布在區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。（4） 表示速率分布在區(qū)間內(nèi)的氣體分子數(shù)。2-9 何謂速度空間？速度空間中的一個(gè)點(diǎn)代表什么？速度空間中的一個(gè)微分體積元代表什么？ 答：速度空間是以，作為直角坐標(biāo)系三

7、個(gè)坐標(biāo)軸來描述的空間，是一種假想的空間，利用它可以描述粒子的速度大小和方向。從速度空間的原點(diǎn)向速度空間中的某一點(diǎn)畫出一個(gè)矢量，該矢量的大小和方向就是所對應(yīng)的速度矢量。速度空間中的微分元表示速度矢量的取值范圍在，內(nèi)的所有速度矢量的整體，而，是該立方體微分元中最靠近原點(diǎn)的那一點(diǎn)的坐標(biāo)。2-10 空氣中含有氮分子和氧分子。試問哪種分子的平均速率較大？這個(gè)結(jié)論是否對空氣中的任意一個(gè)氮分子及氧分子都適用？答：由于氮分子質(zhì)量小于氧分子，在溫度相同的情況下，氮分子的平均速率大于氧分子的平均速率。但是對于任意一個(gè)分子來說，其速度的大小與方向瞬息萬變，是個(gè)隨機(jī)變量，無法進(jìn)行比較。2-11 氣體分子的平均速率、最

8、概然速率和均方根速率的物理意義有什么區(qū)別？最概然速率是否是速率分布中最大速率的值？在數(shù)值上，這三個(gè)速率哪個(gè)最大？那個(gè)最??？答：由平均速率可以了解氣體分子平均的運(yùn)動(dòng)快慢，由方均根速率可知分子平均平動(dòng)動(dòng)能的大小，而最概然速率則表明速率在此速率附近的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率最大。顯然，最概然速率不是速率分布中最大速率的值。在數(shù)值上，此三個(gè)速率大小關(guān)系是2-12 兩瓶不同種類的理想氣體，它們的溫度和壓強(qiáng)相同，但體積不同。試問：（1）單位體積內(nèi)的分子數(shù)是否相同？（2）單位體積內(nèi)的氣體質(zhì)量是否相同？（3）單位體積內(nèi)的氣體分子總平動(dòng)動(dòng)能是否相同？（4）單位體積氣體的內(nèi)能是否相同？答：（1）根據(jù)，T和p相同，則

9、n相同；（2）n相同，但是兩種不同氣體，每個(gè)分子質(zhì)量不同，所以單位體積內(nèi)氣體質(zhì)量不同； （3）n相同，根據(jù)，T相同，則相同，所以單位體積內(nèi)氣體分子總平動(dòng)動(dòng)能相同； （4）因?yàn)槊糠N氣體的自由度未知，所以無法判斷內(nèi)能是否相同。2-13 若盛有某種理想氣體的容器漏氣，使氣體的壓強(qiáng)和分子數(shù)密度各減為原來的一半，氣體的內(nèi)能和分子平均動(dòng)能是否改變？為什么？答： 根據(jù)理想氣體的溫度公式由于溫度不變，氣體分子平均動(dòng)能沒有改變。但由于分子數(shù)密度減少了，容器中的氣體質(zhì)量減小，根據(jù)理想氣體的內(nèi)能公式 可知，氣體的內(nèi)能減少。2-14 在氣體的遷移現(xiàn)象中本質(zhì)上是那些量在遷移？分子熱運(yùn)動(dòng)和分子碰撞在遷移現(xiàn)象中起什么作用？

10、答：在氣體的遷移現(xiàn)象中本質(zhì)上是氣體的動(dòng)量、能量或質(zhì)量從一部分向另一部分的定向遷移。動(dòng)量、能量或質(zhì)量的定向遷移是通過分子熱運(yùn)動(dòng)和分子碰撞實(shí)現(xiàn)的。練習(xí)題2-1 每秒有1023個(gè)氧分子以500m·s-1的速度沿與器壁法線成45º角的方向撞在面積為m2的器壁上，問這群分子作用在器壁上的壓強(qiáng)為多大? 解：每個(gè)分子對器壁碰撞時(shí)，對器壁的作用沖量為 每秒內(nèi)全部N個(gè)分子對器壁的作用沖量，即沖力為根據(jù)壓強(qiáng)定義式得 （Pa）2-2 目前，真空設(shè)備內(nèi)部的壓強(qiáng)可達(dá)Pa，在此壓強(qiáng)下溫度為27時(shí)1m3體積中有多少個(gè)氣體分子?解：由 得2-3 一個(gè)容器內(nèi)儲有氧氣，其壓強(qiáng)為Pa，溫度為27，計(jì)算:(1)氣

11、體分子數(shù)密度；（2）氧氣的密度；（3）分子平均平動(dòng)動(dòng)能. 解：由題意知 、（1） 分子數(shù)密度可由下式求出：（2） 設(shè)氧氣分子的密度為，每個(gè)分子的質(zhì)量為m,則 設(shè)分子的摩爾質(zhì)量為，1mol氣體所含的分子數(shù)為（阿伏伽德羅常數(shù)），則，將其帶入上式得（3） 分子平均平動(dòng)動(dòng)能可由溫度公式求出2-4 kg的氫氣裝在m3的容器內(nèi)，當(dāng)容器內(nèi)的壓強(qiáng)為Pa時(shí)，氫氣分子的平均平動(dòng)動(dòng)能為多大？已知?dú)錃獾哪栙|(zhì)量。解：由理想氣體狀態(tài)方程解出將其帶入理想氣體的溫度公式可得 2-5 某些恒星的溫度可達(dá)到K，這是發(fā)生聚變反應(yīng)（也稱熱核反應(yīng)）所需的溫度。在此溫度下的恒星可視為由質(zhì)子組成。試求（1）質(zhì)子的平均動(dòng)能；（2）質(zhì)子的方

12、均根速率。（提示：大量質(zhì)子可視為由質(zhì)點(diǎn)組成的理想氣體，質(zhì)子的摩爾質(zhì)量）。）解：（1）將質(zhì)子視為理想氣體，由理想氣體的溫度公式得質(zhì)子的平均動(dòng)能為(J)（2）質(zhì)子的方均根速率可由下式求出2-6 在容積為1 m3的密閉容器內(nèi)，有900g水和1.6kg的氧氣。計(jì)算溫度為500時(shí)容器中的壓強(qiáng)。解：在500時(shí)，水變?yōu)樗羝?，容器?nèi)的壓強(qiáng)為 帶入已知條件可得 2-7 若使氫分子和氧分子的方均根速率等于它們在地球表面上的逃逸速率（ m·s-1），各需要多高的溫度？若等于它們在月球表面上的逃逸速率（ m·s-1），各需要多高的溫度？解：已知?dú)錃獾哪栙|(zhì)量為，氧氣的摩爾質(zhì)量為，由得當(dāng)時(shí)，由上式

13、可解出氫氣分子所需要的溫度為 氧氣分子所需要的溫度為當(dāng)時(shí)，可解出氫氣分子所需要的溫度為 氧氣分子所需要的溫度為2-8 CO2氣體的范德瓦耳斯常量，。0時(shí)其摩爾體積為，計(jì)算其壓強(qiáng)。如果將其當(dāng)作理想氣體，壓強(qiáng)又為多少？ 解：（1）由范德瓦耳斯方程解得帶入已知數(shù)據(jù)得（2）若將氣體當(dāng)作理想氣體，由可得2-9 質(zhì)量為g的粒子懸浮在27的液體中，觀測到它的方均根速率為1.40 cm·s-1 。（1）計(jì)算阿伏伽德羅常量；（2）設(shè)粒子遵守麥克斯韋速率分布，計(jì)算該粒子的平均速率。解:（1）將在液體中的粒子運(yùn)動(dòng)看作理想氣體的運(yùn)動(dòng)，則由理想氣體的溫度公式可得由此解得（2）設(shè)粒子遵守麥克斯韋速率分布，由麥克

14、斯韋速率分布規(guī)律可求出粒子的平均速率為2-10 由麥克斯韋速率分布計(jì)算速率倒數(shù)的平均值。解: 由麥克斯韋速率分布函數(shù)可得2-11 20個(gè)質(zhì)點(diǎn)速率如下：2個(gè)具有速率，3個(gè)具有速率2，5個(gè)具有速率3，4個(gè)具有速率4，3個(gè)具有速率5， 2個(gè)具有速率6，1個(gè)具有速率7。試計(jì)算：（1）平均速率；（2）方均根速率；（3）最概然速率。答：據(jù)平均速率、方均根速率和最概然速率的定義得 20個(gè)質(zhì)點(diǎn)中出現(xiàn)速率為的概率最大，有5個(gè)，故。2-12 有N個(gè)粒子，其速率分布函數(shù)為 （0<<） （>）voOvf(v)C練習(xí)題5-11圖（1） 畫出該粒子的速率分布曲線（2） 由求出常量（3） 求粒子的平均速率

15、解: （1）粒子的速率分布曲線如本題圖所示（2） 由于由分布函數(shù)的歸一化條件 ，得則（3） 粒子平均速率為2-13 假定海平面處的大氣壓為Pa，大氣等溫并保持0，那么，珠穆朗瑪峰頂（海拔8882m）處的大氣壓為多少？（已知空氣的摩爾質(zhì)量2.89 kg·mol1） 解：由大氣壓強(qiáng)公式可得：帶入已知數(shù)據(jù)可得：2-14 求上升到什么高度處，大氣壓強(qiáng)減到地面的75。設(shè)空氣的溫度為0，空氣的摩爾質(zhì)量為2.89 kg·mol1。答：利用理想氣體狀態(tài)方程可得等溫條件下高度隨壓強(qiáng)的變化關(guān)系可得 km2-15 儲有氧氣的容器以速率100m·s-1運(yùn)動(dòng)，假設(shè)容器突然停止運(yùn)動(dòng)，全部定向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能轉(zhuǎn)變?yōu)闅怏w分子熱運(yùn)動(dòng)動(dòng)能，容器中氧氣的溫度將上升多少? 解:設(shè)每一個(gè)分子的質(zhì)量為m，1mol氣體的質(zhì)量為，總分子數(shù)為N，則全部分子的定向運(yùn)動(dòng)動(dòng)能為 按照能量均分原理，每一個(gè)分子的熱運(yùn)動(dòng)動(dòng)能為 N個(gè)分子的熱運(yùn)動(dòng)動(dòng)能為溫度變化時(shí)，熱運(yùn)動(dòng)動(dòng)能的增量為按題意，并考慮到氧氣的自由度為5，可得即2-16 在容積為的容器中，有內(nèi)能為J的剛性雙原子分子理想氣體。（1）計(jì)算氣體的壓強(qiáng)；（2）設(shè)分子總數(shù)為個(gè)，計(jì)算氣體的溫度和分子的平均平動(dòng)動(dòng)能。 解：（1）由理想氣體狀態(tài)方程和理想氣體內(nèi)能公式再考慮到，可得（2）由得 2-17 一個(gè)長為、半徑