高中數學 第三章 空間向量與立體幾何 3.2.2 平面的法向量與平面的向量表示課件2 新人教B版選修2-1

1、3.2.23.2.2平面的法向量與平面的法向量與 平面的向量表示平面的向量表示一、復習引入一、復習引入l定義定義：如果一條直線垂直于一個平面內的任意一條：如果一條直線垂直于一個平面內的任意一條直線，那么稱這條直線和這個平面垂直。直線，那么稱這條直線和這個平面垂直。判定判定：如果一條直線垂直于一個：如果一條直線垂直于一個平面內平面內的的兩條相交兩條相交直線直線，則這條直線與這個平面垂直。，則這條直線與這個平面垂直。mna性質性質：(1)(1)垂直于同一個平面的兩垂直于同一個平面的兩條直線平行。條直線平行。 l(2)(2)垂直于同一條直線的兩垂直于同一條直線的兩個平面平行。個平面平行。1.1.平面

2、的法向量平面的法向量已知平面已知平面 ，如果向量，如果向量 的基線與平面的基線與平面 垂直，則垂直，則 叫做平面叫做平面 的的法向量法向量或說向量或說向量 與平面與平面 正交正交。nnnn mabc m二、探究新知二、探究新知思考：思考： 1.1.平面的法向量是否只有一個？平面的法向量是否只有一個？ 一個平面有無數多個法向量，所一個平面有無數多個法向量，所有法向量互相平行。有法向量互相平行。性質：性質：平面的一個法向量垂直于與平平面的一個法向量垂直于與平面共面的所有向量。面共面的所有向量。2.2.平面的一個法向量和與平面平面的一個法向量和與平面共面的向量之間有何關系？共面的向量之間有何關系？問

3、題：直線與平面垂直的判定定理的向量法證明？問題：直線與平面垂直的判定定理的向量法證明？直線與平面垂直的判定定理：直線與平面垂直的判定定理： 如果一條直線和平面內的兩條相交直線垂直，如果一條直線和平面內的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個平面。那么這條直線垂直于這個平面。abn已知：已知： 是平面是平面 內的兩條相交的直線，且內的兩條相交的直線，且 求證：求證： , a b,na nbn概念應用概念應用牛刀小試牛刀小試abcdb1c1d1a1思考：如何求平面的法向量？思考：如何求平面的法向量？已知正方體已知正方體 acac1 1 ，寫出平面，寫出平面abcabc和平面和平面a ab b1

4、1c c的一個法向量的一個法向量. .典例剖析典例剖析例例1.1.已知點已知點 其中其中 求平面求平面 的一個法向量。的一個法向量。 ( ,0,0),(0, ,0),(0,0, ),a abbcc0,abcabcn設平面設平面 的一個法向量為的一個法向量為abc(x,y,z)n則則(x,y,z) ( a,b,0)axby0(x,y,z) ( a,0,c)ax cz0 n abn ac解得解得,aayx zxbc令令 則則,xbc,yac zab令令 則則1,x,aayzbc(,)nbc ac ab解：由已知得解：由已知得 (,0,c) acocoaa(,0) aboboaa b(1,)a an

5、bc什么什么關系？關系？鞏固練習鞏固練習 在空間直角坐標系中，已知在空間直角坐標系中，已知a a（3,0,03,0,0），b b（0,4,00,4,0），），c c（0,0,20,0,2），試求平面），試求平面abcabc的的一個單位法向量。一個單位法向量。模為模為1 1的法向量，叫做單位的法向量，叫做單位法向量，記作法向量，記作 顯然顯然0 n0| nnn方法總結方法總結求平面的法向量的步驟？求平面的法向量的步驟？1.1.設平面的法向量為設平面的法向量為( , , )nx y z3 3.建立關于建立關于x,y,zx,y,z的方程組的方程組00 n an b2 2. .在已知平面內找出（求出）

6、兩個不共線在已知平面內找出（求出）兩個不共線的向量的向量123123(,),( ,)aa a abb b b4.4.解方程組：并用一個未知量表示其他兩個解方程組：并用一個未知量表示其他兩個未知量，然后給未知量賦特值，從而得到平未知量，然后給未知量賦特值，從而得到平面的法向量。面的法向量?！按ㄏ禂捣ùㄏ禂捣ā?.2.平面的向量表示平面的向量表示（1 1）設）設a a是空間任意一點，是空間任意一點， 為空間任意一個非零向為空間任意一個非零向量，適合條件量，適合條件 的點的點 m m 的集合構成什么的集合構成什么樣的圖形？樣的圖形？n0 am nna am mm m1 1m m2 20 am n

7、稱此為稱此為平面的向量表達式平面的向量表達式。二、探究新知二、探究新知n通過空間內一點并且與一個向通過空間內一點并且與一個向量垂直的平面可以表述為：量垂直的平面可以表述為：2 n1 n設設 分別是平面分別是平面 的法向量，則有的法向量，則有12, n n, 12/ nn或 與 重合1 n12120 nnnn二、探究新知二、探究新知3 3. .平面法向量的應用平面法向量的應用用法向量證明平面與平面平行及垂直用法向量證明平面與平面平行及垂直垂直垂直平行平行相交相交例例2.設設 分別是平面分別是平面 的法向量的法向量,根根據下列條件據下列條件,判斷判斷 的位置關系的位置關系., u v, , (1)

8、( 2,2,5),(6, 4,4)(2)(1,2, 2),( 2, 4,4)(3)(2, 3,5),( 3,1, 4) uvuvuv三、概念應用三、概念應用4 -5 例例3 設平面設平面 的法向量為的法向量為(1, 2, -2),平面平面 的法向量為的法向量為(-2, -4, k)， 若若 ，則，則k = ； 若若 ，則，則 k = 。 三、概念應用三、概念應用a ab bc cd da a1 1b b1 1c c1 1d d1 1e ef f利用法向量證明兩個平面垂直的基本思路是證明兩利用法向量證明兩個平面垂直的基本思路是證明兩個平面的法向量互相垂直。個平面的法向量互相垂直。三、概念應用三、

9、概念應用例例4.4.已知正方體已知正方體abcd-aabcd-a1 1b b1 1c c1 1d d1 1中，中，e e，f f分別是分別是bbbb1 1，cdcd的中點。求證：平面的中點。求證：平面deadea平面平面a a1 1fdfd1 1 思考思考例例4 4中，已知正方體中，已知正方體abcd-aabcd-a1 1b b1 1c c1 1d d1 1中，中，e e，f f，m m分別是分別是bbbb1 1，cdcd，dddd1 1的中點。的中點。求證：求證： 在平面在平面dea dea 平面平面b b1 1c c1 1f f四、課堂小結四、課堂小結1 1、平面法向量的定義及性質、平面法向量的定義及性質2 2、