熱傳導(dǎo)方程(擴(kuò)散方程)推薦課件

1、2021/8/221從不同的物理模型出發(fā)，建立數(shù)學(xué)物理中三類從不同的物理模型出發(fā)，建立數(shù)學(xué)物理中三類 典型方程典型方程根據(jù)系統(tǒng)邊界所處的物理?xiàng)l件和初始狀態(tài)列出根據(jù)系統(tǒng)邊界所處的物理?xiàng)l件和初始狀態(tài)列出 定解條件定解條件提出相應(yīng)的定解問題提出相應(yīng)的定解問題第一章第一章 數(shù)學(xué)建模和基本原理介紹數(shù)學(xué)建模和基本原理介紹2021/8/2221.1 1.1 數(shù)學(xué)模型的建立數(shù)學(xué)模型的建立 數(shù)學(xué)模型建立的一般方法：數(shù)學(xué)模型建立的一般方法：確定所研究的物理量；確定所研究的物理量；建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；劃出研究小單元，根據(jù)物理定律和實(shí)驗(yàn)資料寫出劃出研究小單元，根據(jù)物理定律和實(shí)驗(yàn)資料寫出 該單元與鄰近單

2、元的相互作用，分析這種相互該單元與鄰近單元的相互作用，分析這種相互 作用在一個(gè)短時(shí)間內(nèi)對(duì)所研究物理量的影響，作用在一個(gè)短時(shí)間內(nèi)對(duì)所研究物理量的影響， 表達(dá)為數(shù)學(xué)式表達(dá)為數(shù)學(xué)式; ;簡(jiǎn)化整理，得到方程。簡(jiǎn)化整理，得到方程。 2021/8/223第一節(jié)第一節(jié) 熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出和定解條件熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出和定解條件一、熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出：一、熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出：給定一空間內(nèi)物體給定一空間內(nèi)物體 ，設(shè)其上的點(diǎn)，設(shè)其上的點(diǎn) 在時(shí)刻在時(shí)刻 的溫度為的溫度為 。模型：模型：?jiǎn)栴}：?jiǎn)栴}：研究溫度研究溫度 的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。G( , )x y zt( , , )u x y z t( , , )u x y z t

3、2021/8/224 1 1、熱量守恒定律、熱量守恒定律: :2 2、傅里葉、傅里葉（Fourier）熱傳導(dǎo)定律熱傳導(dǎo)定律: :溫度變溫度變化吸收化吸收的熱量的熱量通過邊通過邊界流入界流入的熱量的熱量 熱源放熱源放出的熱出的熱量量 ( , ),udQk x y zdSdtn 為熱傳導(dǎo)系數(shù)。為熱傳導(dǎo)系數(shù)。( , )k x y z 3 3、熱量公式、熱量公式: :Qcmu 2021/8/225任取物體任取物體 內(nèi)一個(gè)由光滑閉曲面內(nèi)一個(gè)由光滑閉曲面 所圍成的區(qū)所圍成的區(qū)域域 ，研究物體在該區(qū)域，研究物體在該區(qū)域 內(nèi)熱量變化規(guī)律。內(nèi)熱量變化規(guī)律。1Q熱傳導(dǎo)方程的推導(dǎo)：熱傳導(dǎo)方程的推導(dǎo)：GS 熱量熱量守

4、恒守恒定律定律區(qū)域區(qū)域 內(nèi)各點(diǎn)的溫度從時(shí)刻內(nèi)各點(diǎn)的溫度從時(shí)刻 的溫度的溫度 改變?yōu)闀r(shí)刻改變?yōu)闀r(shí)刻 的溫度的溫度 所吸收（或所吸收（或放出）的熱量，應(yīng)放出）的熱量，應(yīng)等于等于從時(shí)刻從時(shí)刻 到時(shí)刻到時(shí)刻 這這段時(shí)間內(nèi)通過曲面段時(shí)間內(nèi)通過曲面 流入（或流出）流入（或流出） 內(nèi)的內(nèi)的熱量和熱源提供（或吸收）的熱量之和。即熱量和熱源提供（或吸收）的熱量之和。即 1t2t1( , , , )u x y z t2( , , , )u x y z t1t2tS 內(nèi)溫度變化所需要的熱量?jī)?nèi)溫度變化所需要的熱量 =通過曲面通過曲面 流入流入 內(nèi)的內(nèi)的熱量熱量 +熱源提供的熱量熱源提供的熱量 QS 2Q下面分別計(jì)算這

5、些熱量下面分別計(jì)算這些熱量2021/8/226( , , ),cc x y z （1） 內(nèi)溫度變化所需要的能量?jī)?nèi)溫度變化所需要的能量 QG那么包含點(diǎn)那么包含點(diǎn) 的體積微元的體積微元 的溫度從的溫度從 變?yōu)樽優(yōu)?所需要的熱量為所需要的熱量為 1 C 21 ( , , ,)( , , ,)dQcu x y z tu x y z tdV dV設(shè)物體設(shè)物體的比熱（單位質(zhì)量的物體溫度改變的比熱（單位質(zhì)量的物體溫度改變所需要的熱量為所需要的熱量為密度為密度為( , , ),x y z ( , , )x y z1( , , , )u x y z t2( , , , )u x y z t 整個(gè)整個(gè) 內(nèi)溫度變化

6、所需要的能量?jī)?nèi)溫度變化所需要的能量 Q221121 ( , ,)( , ,)()(1.1)ttttQdQcu x y z tu x y z tdVuucdt dVcdV dttt 2021/8/227 （2）通過曲面）通過曲面 進(jìn)入進(jìn)入 內(nèi)的熱量?jī)?nèi)的熱量 1QS 由傅里葉熱傳導(dǎo)定律，從由傅里葉熱傳導(dǎo)定律，從 到到 這段時(shí)間內(nèi)通過這段時(shí)間內(nèi)通過 進(jìn)入進(jìn)入 內(nèi)的熱量為內(nèi)的熱量為2t1tS211( , ),ttSuQk x y zdSdtn 由高斯公式由高斯公式xSdivAdxdydzA ndS 知知211()()().(1.2)ttuuuQkkkdV dtxxyyzz 2021/8/228 （3）

7、熱源提供的熱量）熱源提供的熱量 2Q 用用 表示熱源強(qiáng)度，即單位時(shí)間內(nèi)從單位表示熱源強(qiáng)度，即單位時(shí)間內(nèi)從單位體積內(nèi)放出的熱量，則從體積內(nèi)放出的熱量，則從 到到 這段時(shí)間內(nèi)這段時(shí)間內(nèi) 內(nèi)熱內(nèi)熱源所提供的熱量為源所提供的熱量為( , , , )F x y z t2t1t212( , , )(1.3)ttQF x y z t dV dt 由熱量守恒定律得：由熱量守恒定律得：221121()()()( , , , )ttttttuuuucdVdtkkkdV dttxxyyzzF x y z t dVdt 由由 及及 的任意性知的任意性知12,t t()()()( , , , ).(1.4)uuuuck

8、kkF x y z ttxxyyzz 2021/8/229三維無熱源熱傳導(dǎo)方程：三維無熱源熱傳導(dǎo)方程：22222220 .(1.6)uuuuatxyz 三維有熱源的熱傳導(dǎo)方程：三維有熱源的熱傳導(dǎo)方程： （均勻且各向同性物均勻且各向同性物體，即體，即 都為常數(shù)的物體）都為常數(shù)的物體）2222222( , , ),(1.5)uuuuaf x y z ttxyz 2,kFaffcc 其中其中稱為非齊次項(xiàng)（自由項(xiàng)）。稱為非齊次項(xiàng)（自由項(xiàng)）。,ck 通常稱（通常稱（1.5）為）為非齊次的熱傳導(dǎo)方程非齊次的熱傳導(dǎo)方程，而稱（，而稱（1.6）為為齊次熱傳導(dǎo)方程齊次熱傳導(dǎo)方程。2021/8/2210二、定解條

9、件（初始條件和邊界條件）二、定解條件（初始條件和邊界條件）初始條件：初始條件：( , )( , ),( , ),0: (1.7)u x tx y zx y zGt 邊界條件：邊界條件：1 1、第一邊界條件、第一邊界條件（ Dirichlet 邊界條件）邊界條件）特別地：特別地： 時(shí)，物體表面保持恒溫。時(shí)，物體表面保持恒溫。( , , )0g x y z t ( , , ),( , ),0,(1.8)ug x y z tx y zt ()G 2021/8/22112 2、第二邊界條、第二邊界條件件（ Neumann 邊界條件）邊界條件）( , , )0g x y z t 特別地：特別地： 時(shí)，表

10、示物體絕熱。時(shí)，表示物體絕熱。3 3、第三邊界條件、第三邊界條件 ( ( D-N 混合邊界條件混合邊界條件 ) )( , , ),( , ),0,(1.9)ukg x y z tx y ztn ( , , ),( , ),0,(1.10)uug x y z tx y ztn 1110,.kkgukk 其中：其中： 表示表示 沿邊界沿邊界 上的單位外法線方向上的單位外法線方向 的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù)u nun 注：注：2021/8/2212注意第三邊界條件的推導(dǎo)：注意第三邊界條件的推導(dǎo)：研究物體與周圍介質(zhì)在物體表面上的熱交換問題研究物體與周圍介質(zhì)在物體表面上的熱交換問題 把一個(gè)溫度變化規(guī)律為把一個(gè)

11、溫度變化規(guī)律為 的物體放入的物體放入 空空氣介質(zhì)中，已知與物體表面接觸處的空氣介質(zhì)溫度氣介質(zhì)中，已知與物體表面接觸處的空氣介質(zhì)溫度為為 ，它與物體表面的溫度，它與物體表面的溫度 并不并不相同。這給出了第三邊界條件的提法。相同。這給出了第三邊界條件的提法。1( , , , )u x y z t( , , , )u x y z t( , , , )u x y z t熱傳導(dǎo)熱傳導(dǎo)試驗(yàn)定試驗(yàn)定律或牛律或牛頓定律頓定律從物體流到介質(zhì)中的熱量和兩者的溫差成正比從物體流到介質(zhì)中的熱量和兩者的溫差成正比：11(),(1.11)dQk u u dSdt 其中比例常數(shù)其中比例常數(shù) 稱為稱為熱交換系數(shù)熱交換系數(shù)10

12、k 2021/8/2213流過物體表面流過物體表面 的流量可以從物質(zhì)內(nèi)部（傅里葉的流量可以從物質(zhì)內(nèi)部（傅里葉定律）和外部介質(zhì)（牛頓定律）兩個(gè)方面來確定：定律）和外部介質(zhì)（牛頓定律）兩個(gè)方面來確定：11(),ukdSdtk uu dSdtn 或或11().ukk uun ( , , )()|( , , , ).x y zuug x y z tn 即得到（即得到（1.10）：）： 2021/8/2214例例 長(zhǎng)為長(zhǎng)為l 的均勻桿，兩端有恒定熱流進(jìn)入，其強(qiáng)度為的均勻桿，兩端有恒定熱流進(jìn)入，其強(qiáng)度為0q，寫出這個(gè)熱傳導(dǎo)問題的邊界條件。，寫出這個(gè)熱傳導(dǎo)問題的邊界條件。在邊界上有：在邊界上有：若端點(diǎn)是絕熱

13、的，則解：nukq 00|qqxuknuknlxlx x=l處： 0|0 xlxxuxuxq0q0nnkqxux00| x=0處： 00)(|qqxuknuknlxx kqxulx0| 2021/8/2215三、定解問題三、定解問題定義定義1 在區(qū)域在區(qū)域0,)G 上，由偏微分方程、初上，由偏微分方程、初始條件和邊界條件中的其中之一組成的定解問題稱為始條件和邊界條件中的其中之一組成的定解問題稱為初邊值問題或混合問題初邊值問題或混合問題。 2120,0,0,0( ),0,0,( ),( ),0,0.txxxua uxltu xxxl tu o ttul thu l ttth 例如三維熱傳導(dǎo)方程的

14、第一初邊值問題為：例如三維熱傳導(dǎo)方程的第一初邊值問題為：20( , , )()( , , , ), ( , , , ),0,( , , , )|( , , ),( , , , ),|( , , , ),0.txxyyzztx y zua uuuf x y z tx y z ttu x y z tx y zx y z tug x y z tt 2021/8/2216始條件組成的定解問題稱為始條件組成的定解問題稱為初值問題或柯西問題初值問題或柯西問題。例如三維熱傳導(dǎo)方程的初值問題為：例如三維熱傳導(dǎo)方程的初值問題為：定義定義2 在區(qū)域在區(qū)域30,)R 上，由偏微分方程和初上，由偏微分方程和初2330

15、()( , , , ), ( , , , ),0,( , , , )|( , , ),( , , , ).txxyyzztua uuuf x y z tx y z tRtu x y z tx y zx y z tR 2021/8/22172 2、上述邊界條件形式上與波動(dòng)方程的邊界條件上述邊界條件形式上與波動(dòng)方程的邊界條件一樣，但表示的物理意義不一樣；一樣，但表示的物理意義不一樣；3 3、熱傳導(dǎo)方程的初始條件只有一個(gè)，而波動(dòng)方熱傳導(dǎo)方程的初始條件只有一個(gè)，而波動(dòng)方程有兩個(gè)初始條件。程有兩個(gè)初始條件。1 1、熱傳導(dǎo)、熱傳導(dǎo)方程不僅僅描述熱傳導(dǎo)現(xiàn)象，也可以方程不僅僅描述熱傳導(dǎo)現(xiàn)象，也可以刻畫分子、氣

16、體的擴(kuò)散等，也稱擴(kuò)散方程；刻畫分子、氣體的擴(kuò)散等，也稱擴(kuò)散方程；注注4 4、除了三維熱傳導(dǎo)方程外，物理上，除了三維熱傳導(dǎo)方程外，物理上，溫度的分溫度的分布在同一個(gè)界面上是相同的布在同一個(gè)界面上是相同的，可得，可得一維熱傳導(dǎo)方一維熱傳導(dǎo)方程：程：222.(1.12)uuatx 而對(duì)于薄片的熱傳導(dǎo)，而對(duì)于薄片的熱傳導(dǎo)，可得可得二維熱傳導(dǎo)方程：二維熱傳導(dǎo)方程：22222().(1.13)uuuatxy 2021/8/22183 3 拉普拉斯方程拉普拉斯方程當(dāng)我們研究物理中的各類現(xiàn)象，如振動(dòng)、熱傳導(dǎo)、當(dāng)我們研究物理中的各類現(xiàn)象，如振動(dòng)、熱傳導(dǎo)、擴(kuò)散等的擴(kuò)散等的穩(wěn)定穩(wěn)定過程時(shí)，由于表達(dá)該物理過程的物過程

17、時(shí)，由于表達(dá)該物理過程的物理量理量 不隨時(shí)間變化而變化，因此不隨時(shí)間變化而變化，因此 . .u0ut 如果我們考慮的是一個(gè)穩(wěn)定的熱場(chǎng)，則可以得到如果我們考慮的是一個(gè)穩(wěn)定的熱場(chǎng)，則可以得到不隨時(shí)間變化而變化的溫度不隨時(shí)間變化而變化的溫度 所滿足的方所滿足的方程：程： , , ,u x y z t2222220,(*)uuuxyz 方程方程( (* *) )稱為三維稱為三維拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)(Laplace)方程方程或者或者調(diào)和方程調(diào)和方程，它通常表示成為，它通常表示成為 或者或者 的形式。的形式。0u 20u 2021/8/2219拉普拉斯方程和泊松方程不僅描述穩(wěn)定狀態(tài)下溫拉普拉

18、斯方程和泊松方程不僅描述穩(wěn)定狀態(tài)下溫度的分布規(guī)律，而且也描述穩(wěn)定的濃度分布及靜度的分布規(guī)律，而且也描述穩(wěn)定的濃度分布及靜電場(chǎng)的電位分布等物理現(xiàn)象。電場(chǎng)的電位分布等物理現(xiàn)象。 222222, ,( )uuufx y zxyz 其中其中 , ,( , , )/ .fx y zF x y xk 如果我們考慮有源的穩(wěn)定熱場(chǎng)，則可以得到方程：如果我們考慮有源的穩(wěn)定熱場(chǎng)，則可以得到方程：非齊次方程非齊次方程 通常叫做通常叫做泊松泊松(Poisson)(Poisson)方程方程，記作，記作 , ,uf x y z 或者或者 2, ,.ufx y z ( ) 2021/8/2220()( , , ),( ,

19、, ),( , , )|( , , ),( , , ).xxyyzzuuuf x y zx y zu x y zx y zx y z ( , , ),( , , ),( , , ),( , , ).uf x y zx y zux y zx y zn ( , , ),( , , ),( , , ),( , , ).uf x y zx y zuux y zx y zn 1 1、DilichletDilichlet問題。問題。2 2、NeumannNeumann問題。問題。2 2、NeumannNeumann問題。問題。3 3、 第三邊值問題。第三邊值問題。2021/8/2221波動(dòng)方程（雙曲型）波

20、動(dòng)方程（雙曲型） 聲波、電磁波、桿的振聲波、電磁波、桿的振 動(dòng)；動(dòng)；熱傳導(dǎo)方程（拋物型）熱傳導(dǎo)方程（拋物型） 熱傳導(dǎo)，物質(zhì)擴(kuò)散時(shí)熱傳導(dǎo)，物質(zhì)擴(kuò)散時(shí) 的濃度變化規(guī)律的濃度變化規(guī)律, , 土壤力學(xué)土壤力學(xué) 中的滲透方程中的滲透方程; ;LaplaceLaplace方程方程 （橢圓型）（橢圓型） 穩(wěn)定的濃度分布穩(wěn)定的濃度分布, , 靜電場(chǎng)的電位靜電場(chǎng)的電位, , 流體的勢(shì)。流體的勢(shì)?？偪?結(jié)：結(jié)：2021/8/22221.3 1.3 定解問題的提法定解問題的提法初始條件和邊界條件通稱為初始條件和邊界條件通稱為定解條件定解條件。定解問題定解問題是指泛定方程和相應(yīng)定解條件的結(jié)合體。是指泛定方程和相應(yīng)定解

21、條件的結(jié)合體。泛定方程和相應(yīng)初始條件構(gòu)成的定解問題稱為泛定方程和相應(yīng)初始條件構(gòu)成的定解問題稱為初值初值問題問題或者或者柯西柯西(Cauchy)(Cauchy)問題問題。 )( )(|)0,( 002xxutxuautxxt 2021/8/2223 )(|)( )(|)0,( 0002xuxxutxuautttxxtt 波方程的Cauchy問題由泛定方程和相應(yīng)邊界條件構(gòu)成的定解問題稱為由泛定方程和相應(yīng)邊界條件構(gòu)成的定解問題稱為邊值問題。邊值問題。).,(,),( , 0yxfuyxuLaplace方程的邊值問題2021/8/2224由偏微分方程和相應(yīng)的初始條件及邊界條件構(gòu)成由偏微分方程和相應(yīng)的初

22、始條件及邊界條件構(gòu)成的定解問題稱為的定解問題稱為混合問題混合問題。 ), ,()(),( ),(0,),( 0)(02tzyxfunuzyxzyxutzyxuuuautzzyyxxt 熱傳導(dǎo)方程的混合問題熱傳導(dǎo)方程的混合問題2021/8/22252220,0;22uuaxlttx ,2 2lll0例例 設(shè)弦的兩端固定于設(shè)弦的兩端固定于x=0 和和x=l，弦的初始位移，弦的初始位移如下圖，初速度為零，求弦滿足的定解問題。如下圖，初速度為零，求弦滿足的定解問題。解：解：,02,000,2lxxuutlttlxxl 0;0uuxxl2021/8/2226一個(gè)定解問題的一個(gè)定解問題的適定性適定性(We

23、ll-posedness)(Well-posedness)包含以包含以下幾個(gè)方面：下幾個(gè)方面：1 1）解的）解的存在性存在性，即所提的定解問題是否有解；，即所提的定解問題是否有解；3 3）解的）解的穩(wěn)定性穩(wěn)定性，即看定解問題的解是否連續(xù)依賴，即看定解問題的解是否連續(xù)依賴定解條件。也就是說，當(dāng)定解條件有微小變動(dòng)時(shí)，定解條件。也就是說，當(dāng)定解條件有微小變動(dòng)時(shí)，引起解的變動(dòng)是否足夠小。若是，則稱解是穩(wěn)定的，引起解的變動(dòng)是否足夠小。若是，則稱解是穩(wěn)定的，否則稱解是不穩(wěn)定的。否則稱解是不穩(wěn)定的。2 2）解的）解的唯一性唯一性，即所提的定解問題是否有唯一的，即所提的定解問題是否有唯一的解；解；2021/8

24、/2227數(shù)理方程的一些基本概念數(shù)理方程的一些基本概念(1) 偏微分方程偏微分方程 含有未知多元函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的方程，如含有未知多元函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的方程，如22222( , , ,)0uuuuuF x yuxyxyx y 其中其中( , ,)u x y 是未知多元函數(shù)，是未知多元函數(shù)，而而 , ,x y 是未知變量；是未知變量； ,uuxy為為u的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù). 有時(shí)為了書有時(shí)為了書寫方便，通常記寫方便，通常記22,xyxxuuuuuuxyx2021/8/2228(2)方程的階方程的階 偏微分方程中未知函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱偏微分方程中未知函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱為方程的階為方程的階(3)方程

25、的次數(shù)方程的次數(shù) 偏微分方程中最高階偏導(dǎo)數(shù)的冪次數(shù)稱為偏微分方程中最高階偏導(dǎo)數(shù)的冪次數(shù)稱為偏微分方程的次數(shù)偏微分方程的次數(shù)(4)線性方程線性方程 一個(gè)偏微分方程對(duì)未知函數(shù)和未知函數(shù)的所一個(gè)偏微分方程對(duì)未知函數(shù)和未知函數(shù)的所有（組合）偏導(dǎo)數(shù)的有（組合）偏導(dǎo)數(shù)的冪次數(shù)冪次數(shù)都是一次的，就稱為線性方程，都是一次的，就稱為線性方程，高于一次以上的方程稱為非線性方程高于一次以上的方程稱為非線性方程2021/8/2229(5)準(zhǔn)線性方程準(zhǔn)線性方程 一個(gè)偏微分方程，如果僅對(duì)方程中所有最一個(gè)偏微分方程，如果僅對(duì)方程中所有最高階偏導(dǎo)數(shù)是線性的，則稱方程為準(zhǔn)線性方程高階偏導(dǎo)數(shù)是線性的，則稱方程為準(zhǔn)線性方程(6)自

26、由項(xiàng)自由項(xiàng) 在偏微分方程中，不含有未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的在偏微分方程中，不含有未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的項(xiàng)稱為自由項(xiàng)項(xiàng)稱為自由項(xiàng)2021/8/22305 5、微分方程的解、微分方程的解 古典解：如果將某個(gè)函數(shù) u 代入偏微分方程中，能使方程成為恒等式，且方程中出現(xiàn)的偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù)，則這個(gè)連續(xù)函數(shù)就是該偏微分方程的古典解。通解： 解中含有相互獨(dú)立的和偏微分方程階數(shù)相同的任意常數(shù)的解。 特解： 通過定解條件確定了解中的任意常數(shù)后得到的解。 形式解：未經(jīng)過嚴(yán)格數(shù)學(xué)理論驗(yàn)證的解為形式解。 6 6、求解方法、求解方法分離變量法、 特征線法、格林函數(shù)法2021/8/2231 例例2.1 設(shè) 在直線R上具有二階連續(xù)導(dǎo)

27、數(shù)， ，驗(yàn)證 在 平面上都是 的古典解. ),(),(1atxFtxu ,F xG x)(),(2atxGtxu21uu 和xot02xxttuau解解 直接計(jì)算可得).( ),( 2121atxFxuatxFxu).()( ,)( 22 2121atxFaaatxFtuaatxFtu 212 xu212 tu2u代，到方程中即得結(jié)論成立. 類似可證也是方程的古典解. 2021/8/22322021/8/2233(4) 按未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的系數(shù)是否變化分為常系數(shù)和按未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的系數(shù)是否變化分為常系數(shù)和變系數(shù)微分方程變系數(shù)微分方程；(5) 按自由項(xiàng)是否為零分為按自由項(xiàng)是否為零分為齊次方程齊

28、次方程和和非齊次方程非齊次方程3 3、微分方程一般分類、微分方程一般分類 (1) 按自變量的個(gè)數(shù)，分為二元和多元方程按自變量的個(gè)數(shù)，分為二元和多元方程；(2) 按未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的冪次，分為線性微分方程和按未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的冪次，分為線性微分方程和 非線性微分方程非線性微分方程；(3) 按方程中未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)，分為一階、二階按方程中未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)，分為一階、二階 和高階微分方程和高階微分方程；2021/8/2234xxuatu2222222222uuauxt222uuaxuxt222110uu判斷下列方程的類型思考2021/8/22352021/8/223621110nnnik

29、iikiikiuuABcufx xx fFuyuExuDyuCyxuBxuA 222222一般二階線性偏微分方程（n個(gè)自變量）兩個(gè)自變量二階線性偏微分方程的一般形式 線性方程的疊加原理線性方程的疊加原理2021/8/2237稱形如021222221222112xxBcybxbyayxaxaL的符號(hào)為微分算子。 021222221222112xxuuBcyubxubyuayxuaxuauL2021/8/2238二階偏微分方程fcuyubxubyuayxuaxua 21222221222112可簡(jiǎn)寫為.fuL定解條件定解條件gxux0可簡(jiǎn)寫為可簡(jiǎn)寫為.guB2021/8/2239 幾種不同的原因的綜合所產(chǎn)生的效果等于這些不同原因單獨(dú)產(chǎn)生的效果的累加。(物理上)2021/8/2240線性方程的解具有疊加特性 iifLu ffi